'

&

$

%

PRÓBKOWANIE SYGNAŁÓW

Teoretyczny model operacji próbkowania – próbkowanie idealne

δ

T

s

(t) =

∞

X

n=−∞

δ(t − nT

s

)

x

s

(t) = x(t)δ

T

s

(t) =

∞

X

n=−∞

x(nT

s

)δ(t − nT

s

)

Twierdzenie o próbkowaniu (Kotielnikowa-Shannona)
Niech x(t) będzie sygnałem, którego widmo X(ω) spełnia warunek
X(ω) = 0 dla ω > ω

m

. Sygnał x(t) jest równoważny zbiorowi swoich

próbek odległych od siebie o stały przedział T

s

6

π

ω

m

, tzn.

x(t) ≡



x(nT

s

) : n = 0, ±1, ±2 . . . ∧ T

s

6

π

ω

m



TSIM

W5: Próbkowanie sygnałów 1

1/14

'

&

$

%

Widmo impulsowego sygnału spróbkowanego

X

s

(ω) = F[x

s

(t)] = F[x(t)δ

T

s

(t)] =

1

2π

F[x(t)] ∗ F[δ

T

s

(t)]

F[δ

T

s

(t)] = ω

s

∞

X

k=−∞

δ(ω − kω

s

) = ω

s

δ

ω

s

(ω)

X

s

(ω) =

1

2π

X(ω) ∗

2π

T

s

∞

X

k=−∞

δ(ω − kω

s

) =

1

T

s

∞

X

k=−∞

X(ω − kω

s

)

TSIM

W5: Próbkowanie sygnałów 1

2/14

'

&

$

%

TSIM

W5: Próbkowanie sygnałów 1

3/14

'

&

$

%

Widmo sygnału dyskretnego

X

s

(ω) =

Z

∞

−∞

x

s

(t)e

−jωt

dt =

Z

∞

−∞

"

∞

X

n=−∞

x(nT

s

)δ(t − nT

s

)

#

e

−jωt

dt

=

∞

X

n=−∞

x(nT

s

)

Z

∞

−∞

δ(t − nT

s

)e

−jωt

dt =

∞

X

n=−∞

x(nT

s

)e

−jωnT

s

x(nT

s

) =

1

ω

s

Z

ω

s

/2

−ω

s

/2

X

s

(ω)e

jnT

s

ω

dω

X(e

jθ

) =

∞

X

n=−∞

x(n)e

−jnθ

,

θ =

ω

f

s

= ωT

s

TSIM

W5: Próbkowanie sygnałów 1

4/14

'

&

$

%

Warunek Nyquista – zjawisko aliasingu

T

s

6

π

ω

m

,

T

s

6

1

2f

m

ω

s

> 2ω

m

,

f

s

> 2f

m

Częstotliwość Nyquista:

f

N

,

f

s

2

TSIM

W5: Próbkowanie sygnałów 1

5/14

'

&

$

%

TSIM

W5: Próbkowanie sygnałów 1

6/14

'

&

$

%

Teoretyczny model odtwarzania sygnału analogowego
na podstawie jego próbek

H(jω) = T

s

Y  ω

2ω

gr



ω

m

< ω

gr

< ω

s

− ω

m

TSIM

W5: Próbkowanie sygnałów 1

7/14

'

&

$

%

Y (ω) = H(jω)X

s

(ω) = T

s

Y  ω

2ω

gr



X

s

(ω)

Y (ω) = T

s

Y  ω

2ω

gr



1

T

s

∞

X

k=−∞

X(ω − kω

s

) = X(ω)

Dla T

s

=

π

ω

m

otrzymujemy:

x(t) = F

−1



π

ω

m

Y  ω

2ω

m



∗ F

−1

[X

s

(ω)]

h(t) = Sa(ω

m

t)

x(t) = Sa(ω

m

t) ∗

∞

X

n=−∞

x(nT

s

)δ(t − nT

s

),

T

s

=

π

ω

m

TSIM

W5: Próbkowanie sygnałów 1

8/14

'

&

$

%

Szereg (interpolacyjny) Kotielnikowa-Shannona

x(t) =

∞

X

n=−∞

x(nT

s

)Sa [ω

m

(t − nT

s

)] ,

T

s

=

π

ω

m

Praktyczna realizacja operacji odtwarzania sygnału
analogowego z jego próbek

¯

x(t) = v(t) ∗ x

s

(t) =

∞

X

n=−∞

x(nT

s

)v(t − nT

s

)

v(t) =

Y  t − T

s

/2

T

s



=







1 dla

0 < t < T

s

0 dla pozostałych t

TSIM

W5: Próbkowanie sygnałów 1

9/14

'

&

$

%

¯

X(ω) = V (ω)X

s

(ω)

TSIM

W5: Próbkowanie sygnałów 1

10/14

'

&

$

%

V (ω) = T

s

Sa



ωT

s

2



e

−j

ωTs

2

¯

X(ω) = Sa



ωT

s

2



e

−j

ωTs

2

∞

X

n=−∞

X(ω − nω

s

),

ω

s

=

2π

T

s

Twierdzenie o próbkowaniu sygnałów stochastycznych

Definicja
Powiemy, że sygnał stacjonarny ξ(t) jest sygnałem o ograniczonym
pasmie, inaczej sygnałem dolnopasmowym, jeżeli istnieje skończona
liczba ω

m

taka, że S

ξ

(ω) = 0 dla |ω| > ω

m

. Pulsację ω

m

nazwiemy

pulsacją graniczną sygnału.

TSIM

W5: Próbkowanie sygnałów 1

11/14

'

&

$

%

Próbką sygnału ξ(t) w punkcie t = t

0

nazwiemy zmienną losową ξ(t

0

)

określoną w tym punkcie. Próbkę sygnału w punkcie t = t

0

będziemy

reprezentować impulsem Diraca w punkcie t

0

o wysokości ξ(t

0

), tzn.

dystrybucją stochastyczną ξ(t

0

)δ(t − t

0

).

Stochastyczny sygnał spróbkowany:

ξ

s

(t) =

∞

X

n=−∞

ξ(nT

s

)δ(t − nT

s

)

Twierdzenie
Niech ξ(t) będzie sygnałem stacjonarnym o funkcji autokorelacji R

ξ

(τ )

i widmie gęstości mocy ξ(ω) spełniającym warunek S

ξ

(ω) = 0 dla

|ω| > ω

m

. Sygnał ξ(t) jest równoważny zbiorowi swoich próbek

odległych od siebie o stały przedział próbkowania T

s

6

π

ω

m

i jest

określony przez te próbki wyrażeniem:

TSIM

W5: Próbkowanie sygnałów 1

12/14

'

&

$

%

ξ(t) =

∞

X

n=−∞

ξ(nT

s

)Sa[ω

m

(t − nT

s

)]

Równoważność tę rozumiemy jako równoważność w sensie
średniokwadratowym.

˜

ξ(t) =

∞

X

n=−∞

ξ(nT

s

)Sa[ω

m

(t − nT

s

)]

^

t

E





ξ(t) − ˜

ξ(t)







2



= 0

TSIM

W5: Próbkowanie sygnałów 1

13/14

'

&

$

%

Analiza odstępstw od idealnych założeń twierdzenia
o próbkowaniu

•

nierealizowalność operacji próbkowania idealnego

•

skończony czas trwania sygnału – nieograniczone pasmo

•

skończone okno czasowe obserwacji sygnału

•

zbyt wolne próbkowanie – ograniczenia przetworników A/C

•

nierealizowalność idealnej filtracji dolnoprzepustowej

•

skończona dokładność reprezentacji cyfrowej próbek

•

losowy rozrzut rzeczywistych chwil, w których pobierane są próbki,
wokół chwil teoretycznych nT

s

TSIM

W5: Próbkowanie sygnałów 1

14/14