'
&
$
%
PRÓBKOWANIE SYGNAŁÓW
Teoretyczny model operacji próbkowania – próbkowanie idealne
δ
T
s
(t) =
∞
X
n=−∞
δ(t − nT
s
)
x
s
(t) = x(t)δ
T
s
(t) =
∞
X
n=−∞
x(nT
s
)δ(t − nT
s
)
Twierdzenie o próbkowaniu (Kotielnikowa-Shannona)
Niech x(t) będzie sygnałem, którego widmo X(ω) spełnia warunek
X(ω) = 0 dla ω > ω
m
. Sygnał x(t) jest równoważny zbiorowi swoich
próbek odległych od siebie o stały przedział T
s
6
π
ω
m
, tzn.
x(t) ≡
x(nT
s
) : n = 0, ±1, ±2 . . . ∧ T
s
6
π
ω
m
TSIM
W5: Próbkowanie sygnałów 1
1/14
'
&
$
%
Widmo impulsowego sygnału spróbkowanego
X
s
(ω) = F[x
s
(t)] = F[x(t)δ
T
s
(t)] =
1
2π
F[x(t)] ∗ F[δ
T
s
(t)]
F[δ
T
s
(t)] = ω
s
∞
X
k=−∞
δ(ω − kω
s
) = ω
s
δ
ω
s
(ω)
X
s
(ω) =
1
2π
X(ω) ∗
2π
T
s
∞
X
k=−∞
δ(ω − kω
s
) =
1
T
s
∞
X
k=−∞
X(ω − kω
s
)
TSIM
W5: Próbkowanie sygnałów 1
2/14
'
&
$
%
TSIM
W5: Próbkowanie sygnałów 1
3/14
'
&
$
%
Widmo sygnału dyskretnego
X
s
(ω) =
Z
∞
−∞
x
s
(t)e
−jωt
dt =
Z
∞
−∞
"
∞
X
n=−∞
x(nT
s
)δ(t − nT
s
)
#
e
−jωt
dt
=
∞
X
n=−∞
x(nT
s
)
Z
∞
−∞
δ(t − nT
s
)e
−jωt
dt =
∞
X
n=−∞
x(nT
s
)e
−jωnT
s
x(nT
s
) =
1
ω
s
Z
ω
s
/2
−ω
s
/2
X
s
(ω)e
jnT
s
ω
dω
X(e
jθ
) =
∞
X
n=−∞
x(n)e
−jnθ
,
θ =
ω
f
s
= ωT
s
TSIM
W5: Próbkowanie sygnałów 1
4/14
'
&
$
%
Warunek Nyquista – zjawisko aliasingu
T
s
6
π
ω
m
,
T
s
6
1
2f
m
ω
s
> 2ω
m
,
f
s
> 2f
m
Częstotliwość Nyquista:
f
N
,
f
s
2
TSIM
W5: Próbkowanie sygnałów 1
5/14
'
&
$
%
TSIM
W5: Próbkowanie sygnałów 1
6/14
'
&
$
%
Teoretyczny model odtwarzania sygnału analogowego
na podstawie jego próbek
H(jω) = T
s
Y ω
2ω
gr
ω
m
< ω
gr
< ω
s
− ω
m
TSIM
W5: Próbkowanie sygnałów 1
7/14
'
&
$
%
Y (ω) = H(jω)X
s
(ω) = T
s
Y ω
2ω
gr
X
s
(ω)
Y (ω) = T
s
Y ω
2ω
gr
1
T
s
∞
X
k=−∞
X(ω − kω
s
) = X(ω)
Dla T
s
=
π
ω
m
otrzymujemy:
x(t) = F
−1
π
ω
m
Y ω
2ω
m
∗ F
−1
[X
s
(ω)]
h(t) = Sa(ω
m
t)
x(t) = Sa(ω
m
t) ∗
∞
X
n=−∞
x(nT
s
)δ(t − nT
s
),
T
s
=
π
ω
m
TSIM
W5: Próbkowanie sygnałów 1
8/14
'
&
$
%
Szereg (interpolacyjny) Kotielnikowa-Shannona
x(t) =
∞
X
n=−∞
x(nT
s
)Sa [ω
m
(t − nT
s
)] ,
T
s
=
π
ω
m
Praktyczna realizacja operacji odtwarzania sygnału
analogowego z jego próbek
¯
x(t) = v(t) ∗ x
s
(t) =
∞
X
n=−∞
x(nT
s
)v(t − nT
s
)
v(t) =
Y t − T
s
/2
T
s
=
1 dla
0 < t < T
s
0 dla pozostałych t
TSIM
W5: Próbkowanie sygnałów 1
9/14
'
&
$
%
¯
X(ω) = V (ω)X
s
(ω)
TSIM
W5: Próbkowanie sygnałów 1
10/14
'
&
$
%
V (ω) = T
s
Sa
ωT
s
2
e
−j
ωTs
2
¯
X(ω) = Sa
ωT
s
2
e
−j
ωTs
2
∞
X
n=−∞
X(ω − nω
s
),
ω
s
=
2π
T
s
Twierdzenie o próbkowaniu sygnałów stochastycznych
Definicja
Powiemy, że sygnał stacjonarny ξ(t) jest sygnałem o ograniczonym
pasmie, inaczej sygnałem dolnopasmowym, jeżeli istnieje skończona
liczba ω
m
taka, że S
ξ
(ω) = 0 dla |ω| > ω
m
. Pulsację ω
m
nazwiemy
pulsacją graniczną sygnału.
TSIM
W5: Próbkowanie sygnałów 1
11/14
'
&
$
%
Próbką sygnału ξ(t) w punkcie t = t
0
nazwiemy zmienną losową ξ(t
0
)
określoną w tym punkcie. Próbkę sygnału w punkcie t = t
0
będziemy
reprezentować impulsem Diraca w punkcie t
0
o wysokości ξ(t
0
), tzn.
dystrybucją stochastyczną ξ(t
0
)δ(t − t
0
).
Stochastyczny sygnał spróbkowany:
ξ
s
(t) =
∞
X
n=−∞
ξ(nT
s
)δ(t − nT
s
)
Twierdzenie
Niech ξ(t) będzie sygnałem stacjonarnym o funkcji autokorelacji R
ξ
(τ )
i widmie gęstości mocy ξ(ω) spełniającym warunek S
ξ
(ω) = 0 dla
|ω| > ω
m
. Sygnał ξ(t) jest równoważny zbiorowi swoich próbek
odległych od siebie o stały przedział próbkowania T
s
6
π
ω
m
i jest
określony przez te próbki wyrażeniem:
TSIM
W5: Próbkowanie sygnałów 1
12/14
'
&
$
%
ξ(t) =
∞
X
n=−∞
ξ(nT
s
)Sa[ω
m
(t − nT
s
)]
Równoważność tę rozumiemy jako równoważność w sensie
średniokwadratowym.
˜
ξ(t) =
∞
X
n=−∞
ξ(nT
s
)Sa[ω
m
(t − nT
s
)]
^
t
E
ξ(t) − ˜
ξ(t)
2
= 0
TSIM
W5: Próbkowanie sygnałów 1
13/14
'
&
$
%
Analiza odstępstw od idealnych założeń twierdzenia
o próbkowaniu
•
nierealizowalność operacji próbkowania idealnego
•
skończony czas trwania sygnału – nieograniczone pasmo
•
skończone okno czasowe obserwacji sygnału
•
zbyt wolne próbkowanie – ograniczenia przetworników A/C
•
nierealizowalność idealnej filtracji dolnoprzepustowej
•
skończona dokładność reprezentacji cyfrowej próbek
•
losowy rozrzut rzeczywistych chwil, w których pobierane są próbki,
wokół chwil teoretycznych nT
s
TSIM
W5: Próbkowanie sygnałów 1
14/14