Nr æw. 103	Data			Wydzia³ Elektryczny		Semestr III		Grupa I-1
Prowadz¹ca:				Przygotowanie		Wykonanie		Ocena

Temat: Wyznaczanie modu³u Younga metod¹ wyd³u¿enia

1. W³asnoœci sprê¿yste cia³

Gdy odkszta³cenie (makroskopowa deformacja cia³a) zanika po odjêciu si³y zewnêtrznej, to nazywamy je sprê¿ystym, natomiast odkszta³cenie nie znikaj¹ce po odjêciu si³y nazywamy plastycznym.

2. Si³y oddzia³ywania miêdzyatomowego. Zale¿noœæ energii potencjalnej i si³y oddzia³ywania w funkcji odleg³oœci w uk³adzie 2 atomów.

Miêdzy atomami dzia³aj¹ si³y zale¿ne od wzajemnej odleg³oœci. Zale¿noœæ si³y oraz energii potencjalnej w uk³adzie 2 atomów przedstawiaja wykresy:

Przy pewnej odleg³oœci r0, si³a dzia³aj¹ca miêdzy atomami ma wartoœæ równ¹ zero, a energia potencjalna uk³adu osi¹ga minimum. Jest to po³o¿enie równowagi. Gdy ten stabilny stan zostanie zak³ocony przez np. si³ê zewnêtrzn¹, bêdzie on "próbowa³" powróciæ do stanu równowagi (o minimalnej energii) --pojawia siê si³a sprê¿ystoœci.

3. Zale¿noœæ odkszta³cenia od naprê¿enia. Prawo Hooke'a

Naprê¿eniem normalnym nazywamy stosunek si³y normalnej (prostopad³ej) do wielkoœci powierzchni, na któr¹ dzia³a:

Pod wp³ywem naprê¿eñ normalnych cia³o ulega odkszta³ceniu: wyd³u¿eniu lub skróceniu. Stosunek przyrostu d³ugoœci do d³ugoœci pocz¹tkowej nazywamy odkszta³ceniem wzglêdnym :

Wyd³u¿enie wzglêdne jest wprost proporcjonalne do naprê¿enia normalnego:

Jest to prawo Hooke'a, s³uszne bez wzglêdu na zwrot odkszta³cenia. Wspó³czynnik E nazywamy modu³em Younga. Jest to wartoœæ naprê¿enia potrzebna do wyd³u¿enia cia³a o d³ugoœæ pocz¹tkow¹.

Jednak¿e, tej wiadomoœci nie da siê bezpoœrednio wykorzystaæ w praktyce do pomiaru wielokœci modu³u Younga, poniewa¿ granica stosowalnoœci prawa Hooke'a (odkszta³cenie, dla którego cia³o zachowuje w³asnoœci sprê¿yste) dla wiêkszoœci cia³ le¿y poni¿ej modu³y Younga. Ale, rozszeraj¹c w/w wzór otrzymujemy:

Zatem, jeœli w prostok¹tnym uk³adzie wspó³rzêdnych na osi X od³o¿ymy wyd³u¿enie wzglêdne, a na osi Y stosunek si³y do powierzchni przekroju, to tangens k¹ta nachylenia powsta³ej prostej bêdzie modu³em Younga.

4. Zasada pomiaru

Do d³ugiego drutu umocowanego koñcem w suficie przymocowujemy obci¹¿enie pocz¹tkowe celem wyprostowania zgiêæ. Przymocowan¹ osiowo poziomicê ustalamy w po³o¿eniu zerowym krêc¹c pokrêt³em œruby mikrometrycznej i odczytujemy z jej podzia³ki wartoœæ pocz¹tkow¹. Podobnie postêpujemy przy dok³adaniu kolejnych ciê¿arków. Po osi¹gniêciu obci¹¿enia maksymalnego zdejmujemy ciê¿arki w odwrotnej kolejnoœci. Jeœli odpowiednie wartoœci s¹ zgodne, to znaczy ¿e zakres obci¹¿eñ nie przekroczy³ granicy sprê¿ystoœci.

Przekrój drutu obliczamy z pomiarów œrednicy za pomoc¹ œruby mikrometrycznej.

5. Pomiary i obliczenia

pomiary d³ugoœci i œrednicy drutu

d³. drutu l =1,2540,001 m

Numer pomiaru	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
œrednica drutu [mm]	0,5	0,5	0,49	0,49	0,5	0,49	0,51	0,5	0,5	0,5

=0,01 mm

Uœredniaj¹c powy¿sze pomiary i korzystaj¹c z odchylenia standardowego otrzymujemy:
œr. drutu =0,4980,019 [mm]
Zatem, promieñ drutu r=0,2490,009 [mm]
Pole przekroju S=r2=0,1950,014 [mm2]

pomiary wyd³u¿eñ

obci¹¿enie [g]:	m0+101,32	m0+205,41	m0+300,70	m0+398,30	m0+503,08	m0+602,46	m0+697,38
Zn rosn¹co [mm]	0,26	0,31	0,35	0,38	0,42	0,46	0,50
Zn malej¹co [mm]	0,26	0,30	0,35	0,38	0,41	0,45	0,50

Zn=0,01 [mm]
masa pocz¹tkowa m0=396,950,01 [g]
po³o¿enie zerowe (wyd³u¿nie pod wp³ywem obci¹¿enia pocz¹tkowego) Z0=0,200,01 [g]
Jak widaæ granica sprê¿ystoœci nie zosta³a przekroczona.
Uœredniaj¹c odpowiednie wartoœci, oraz stosuj¹c odchylenie standardowe (×3) w celu obliczenia b³edu tam gdzie wyniki siê ró¿ni¹, a b³¹d systematyczny tam gdzie s¹ takie same w powy¿szej tabelce, otrzymujemy:

[mm]	0,26	0,305	0,35	0,38	0,415	0,455	0,5
	0,010	0,021	0,010	0,010	0,021	0,021	0,010

obliczanie naprê¿eñ

Nastêpnie korzystaj¹c z wzoru w pkt.3 obliczamy naprê¿enie normalne . B³¹d obliczamy korzystaj¹c z ró¿niczki zupe³nej:

, i otrzymujemy:

[N/m2]	25066814	30303342	35097162	40007192	45278432	50278011	55053217
[N/m2]	1800172	2176128	2520299	2872814	3251262	3610206	3953042

obliczanie odkszta³ceñ wzglêdnych

Korzystaj¹c z wzoru na odkszta³cenie wzglêdne z pkt. 3 obliczamy . B³¹d obliczamy korzystaj¹c z rózniczki zupe³nej:

, otrzymujemy:

	0,0000478	0,0000837	0,0001196	0,0001435	0,0001714	0,0002033	0,0002392
	0,0000080	0,0000170	0,0000081	0,0000081	0,0000171	0,0000171	0,0000082

Odk³adaj¹c odpowiednio na osiach otrzymujemy wykres:

czyli E ma wartoœæ 1,611011 [N/m2]Pozostaje jeszcze do obliczenia b³¹d E. Jest on œredni¹ b³êdów En. Za pomoc¹ ró¿niczki zupe³nej otrzymujemy nastêpuj¹cy wzór:

który pozwala uzyskaæ:

En

1,251011

9,941010

4,091010

3,571010

4,521010

3,851010

2,44E+10

obliczaj¹c œredni¹ mamy: E=5,851010 [N/m2].

Ostateczny wynik to E=(1,610,59)1011 [N/m2].

6. Wnioski i uwagi

Badany materia³ to najprawdopodobniej stal, choæ w otrzymanym zakresie (1,012,20)1011 [N/m2] mieœci siê równie¿ wiele innych materia³ów np. miedŸ, mosi¹dz, konstantan, nikiel, ¿elazo, platyna. Œwiadczy to o tym, ¿e wyniki s¹ niezbyt wiarygodne, byæ mo¿e ze wzglêdu na niezadowalaj¹co sztywne przymocowanie podpórki ze œrub¹ mikrometryczn¹ do œciany, oraz pewn¹ niejednoznacznoœæ przy ustawianiu poziomicy, jej punkt podparcia by³ doœæ trudny do uchwycenia.

---