Prognoza jest naukowo uzasadnionym sądem o stanie zjawiska w określonym momencie należącym do przyszłości. W definicji tej wykorzystano słowo sąd co ma sygnalizować niepewność prognozy a wykorzystanie w tej def. Słów naukowo uzasadniony oznacza, że prognoza musi być racjonalnym wnioskowaniem prowadzącym od przesłanek do wniosków odnoszących się do przeszłości. Można powiedzieć, że prognoza jest sądem o nieznanym opartym o znane. Prognozy mogą być: trafione gdy okazują się wystarczająco bliskie realizacji prognozowanej zmiennej lub nie trafione gdy rozbieżność pomiędzy prognozą a realizacją okazuje się zbyt duża jak na potrzeby zamawiającego prognozę. Role jakie spełnia prognoza: preparacyjna gdy prognozowanie jest działaniem przygotowującym inne działania, prognoza może spełniać rolę aktywizująco -ostrzegawczą wtedy gdy prognozy zjawisk gospodarczych przez sam fakt ich opublikowania mogą wywierać wpływ na prognozowane zjawisko. Tego typu prognozy mogą być: samorealizujące np. prognoza o przewidywaniach inflacyjnych bądź samounicestwiających się bo wywołują działania przeciwdziałające ich realizacji. Wpływ prognoz na prognozowane zjawisko może znacznie obniżyć trafność prognozy. Podstawy prognozowania: podstawą prognozowania w większości przypadków jest fakt, że w przeszłości zaobserwowaliśmy wystąpienie pewnej korelacji pomiędzy zmiennymi. Fakt ten sprawia, że mamy nadzieję że korelacja ta utrzyma się w przyszłości i na tej podstawie formułujemy o tej przyszłości sądy, czyli prognozy. Podstawą takich prognoz będą modele: strukturalne inaczej przyczynowo-skutkowe oparte są na teorii ekonomicznej i odwzorowują mechanizm przyczynowo-skutkowy występujący pomiędzy modelami. Niestrukturalne w nich przyjmuje się, że w przeszłości prognozowanej zmiennej zawarta jest informacja o mechanizmie, który generuje przyszłe wartości tej zmiennej. Modele niestrukturalne dzielą się na: modele naiwne(poziom bez zmian, przyrost bez zmian)modele filtracji (modele średnich ruchomych, modele wygładzenia wykładniczego)modele szeregów czasowych (modele trendów: liniowe, nieliniowe, sezonowości i modele autoregresyjne: tzn modele których postać liniowa i nie liniowa zbudowana jest: y_t=f(y_t-1, y_t-2….,xi,u_t). MODELE szeregów czasowych dzielimy na stacjonarne i nie stacjonarne. Szereg czasowy y_1, y₂….y_t nazywamy szeregiem stacjonarnym wtedy gdy kolejne zmienne losowe zmiennej y_i charakteryzują się momentami rozkładu głównie chodzi o wariancje i kowariancje, takimi samymi dla zmiennych oddalonych o tę samą liczbę obserwacji. ETAPY PROGNOZOWANIA: 1. sformułowanie zadania prognozowania i określamy zjawisko, które prognozujemy, cel, horyzont prognozy i wymagania co do dokładności prognozy. 2. sformułowanie przesłanek prognozy opisujemy mechanizm generujący prognozowaną zmienną oznacza to podjęcie decyzji czy będziemy prognozować w oparciu o model strukturalny czy nie strukturalny czy jeszcze inną metodę. 3. wybór predystora czyli przepisu wg którego wyznaczamy prognozę 4. wyznaczenie prognozy 5. ocena dokładności prognozy. Prognozy dzielimy na: ex post i ex ante. EX POST oparta jest na znanych wartościach zmiennych o wartościach z góry ustalonych. EX ANTE oparta jest na nie znanych wartościach zmiennych z góry ustalonych które w celu wyznaczenia prognozy same zostały wyprognozowane.

t= 1,2,3,4….T-1, T, T+1, T+2 budujemy prognozę ale informacje jeszcze nie znamy y_t nie znamy.

Sytuacja:S1: ex post znane wartości zmiennych o wartościach z góry ustalonych znamy wartości zmiennej endogenicznej. Sytuacja S2: ex post znane wartości zmiennych o wartościach z góry ustalonych ale nie znane wartości zmiennej endogenicznej. Prognoza ex ante: nie znane wartości zmiennych o wartościach z góry ustalonych i nie znane wartości zmiennych endogenicznych S3. Prognoza ex ante: nie znane wartości zmiennych o wartościach z góry ustalonych i nie znane wartości zmiennych endogenicznych. Prognoza wygasła staje się prognozą wygasłą gdy poznamy zrealizowaną wartość zmiennej y na okres prognozy. Podział na prognozy wygasłe i nie wygasłe jest bardzo ważny z punktu widzenia mierzenia błędu prognozowania. Dla prognoz wygasłych dla których znamy błąd prognozy.

^ ^

U_t=y_t-y_t możemy policzyć miary oparte na tym błędzie tj: RMSE, RMSPE, MAPE. Takie miary błędu możemy policzyć dla prognozy ex post w sytuacji pierwszej S1. Błędy prognoz nie wygasłych nie można policzyć można je tylko oszacować i to nie dla wszystkich modeli. Dotyczy to prognozy ex post w sytuacji S2 i i prognozy ex ante S3. w przypadku modeli jednorównaniowych , liniowych, statystycznych i dynamicznych możemy wyznaczyć oczekiwany błąd prognozy czyli oszacować błąd prognozy nie wygasłej czyli oszacować błąd prognozy nie wygasłej. W przypadku modeli wielorównaniowych tylko modele liniowe i statystyczne pozwalają wyznaczyć oczekiwany błąd prognozy.

Miary błędu prognozy wygasłej. Miary te są oparte na zrealizowanym błędzie prognozy.

^ ^

u _t=y_t-y_t prognozujemy na okres T+1, T+2 …. T '

RMSE pierwiastek z błędu średniokwadratowego, jednostka tej miary jest jednostka zmiennej y. Informuje nas o ile średnio jednostka jednostka zm. Y prognoza odbiega od realizacji

RMSPE pierwiastek z procentowego błędu średniokwadratowego. Interpretacja: o tyle średnio procent prognoza różni się od realizacji zmiennej y.MAPE średni bezwzględny błąd procentowy. Interpretacja taka jak RMSPE. Są to miary błędu prognozy wygasłej.

Modele nie strukturalne są modelami budowanymi w oparciu o szereg czasowy, wyróżnia się 2 składowe:a) składową systematyczna będącą efektem oddziaływania stałego zestawu czynników na zmienną prognozowaną, b)składowa przypadkowa (nazywamy ją składnikiem losowym wahaniami przypadkowymi)Skł. Mechaniczna może wystąpić w postaci tendencji rozwojowej, stałego przeciętnego poziomu zjawiska składowej okresowej. Tendencja rozwojowa czyli trend jest długookresową skłonnością do jednokierunkowych zmian wartości badanej zmiennej. Stały przeciętny poziom prognozowanej zmiennej występuje wówczas gdy w szeregu czasowym nie ma tendencji rozwojowej zaś wartości prognozowanej zmiennej ostytuja wokół pewnego stałego poziomu. Składowa okresowa w szeregu czasowym dzieli się na:wahania sezonowe i wahania cykliczne. Wahania sezonowe są wahaniami wartości obserwowanej zmiennej wokół tendencji rozwojowej lub stałego poziomu tej zmiennej. Wahania te mają skłonności do powtarzania się co pewien czas w określonym czasie nie przekraczającym okresu 1 roku. Najczęściej są to wahania kwartalne, miesięczne bądź związane z dniami tygodnia. Wahania cykliczne są wahaniami wartości obserwowanej zmiennej wokół tendencji rozwojowej lub stałego poziomu tej zmiennej, wahania te mają skłonności do powtarzania się co pewien czas w okresie dłuższym niż rok. Głównymi wahaniami okresowymi są wahania związane z cyklem koniunkturalnym czyli w szeregu czasowym wyróżniliśmy składową systematyczną i wahania przypadkowe. Różne metody prognozowania pasują do różnych szeregów czasowych. Zawsze należy zbadać najpierw szereg czasowy zanalizować z jakich wahań się składa by móc wybrać właściwą do jego prognozowania metodę niestrukturalną.

Zmienność szeregu czasowego dzieli się na:a) zmienność systematyczna :

-tendencja rozwojowa lub przeciętny stały poziom zjawiska(+)(*)zmiany okresowe(zmiany sezonowe lub/i zmiany cykliczne.

Wiadomo, że są różne szeregi czasowe mniej lub bardziej skomplikowane w zależności od tego jak zbudowany jest szereg czasowy dobieramy metodę do jego zmodelowania co oznacza również wybór metody do prognozowania na podstawie tego szeregu. Jeśli w szeregu nie ma zmian sezonowych nie stosuj do jego prognozowania metod które są przeznaczone dla szeregów ze zmianami sezonowymi np. metoda Wintera.

METODA NAIWNA-POZIOM BEZ ZMIAN stosujemy tą metodę do szeregów czasowych charakteryzującym się stałym przeciętnym poziomem zjawiska i wahaniami przypadkowymi. Wahania przypadkowe nie powinny być silne, czyli szereg czasowy powinien charakteryzować się niskim współczynnikiem zmienności. Metoda bardzo prosta do jej zastosowania wystarczy jedna obserwacja. Przystępując do prognozowania i wyboru modelu na podstawie którego będziemy to czynić analizujemy szereg czasowy. W tym celu sporządzamy wykres i liczymy współczynnik zmienności. Na tej podstawie podejmujemy decyzje, które z metod dla danego szeregu czasowego mogą być wykorzystane. Jeśli dojdziemy do wniosku, że szereg charakteryzuje się stałym poziomem zjawiska to do takiego szeregu możemy zastosować metodę naiwną- poziom bez zmian.

^

y_t=y_t-1 ^

y_T=y_T-1

METODA ŚREDNIEJ RUCHOMEJ jest pierwszą metoda którą omówiliśmy, a która jest z grupy metod filtracji szeregu czasowego. Metody filtracji mają na celu oczyszczanie szeregu czasowego z zakłóceń przypadkowych , szczególnie gdy mają one dużą wariancję. Metodę średniej ruchomej stosujemy do szeregu który charakteryzuje się stałym poziomem zjawiska i zmiennością przypadkową. Jeśli zastosujemy tę metodę w sposób niewłaściwy np. do szeregu który charakteryzuje się wahaniami sezonowymi lub trendem to metoda ta złagodzi zmienność wynikającą z badań sezonowych bądź trendu spowoduje gorszą jakość prognoz, którą uzyskamy dla tego szeregu czasowego na podstawie tej metody. Średnia ruchoma składająca się z k-elementów , k-liczba elementów. Parametr ten można zmieniać. O doborze właściwego k zdecydują takie miary jak MAPE i RMSE.t≥k+1 t≤T ex post τ≥1;ŚREDNIA WAŻONA metoda ta stosowana jest do szeregów charakteryzujących się stałym poziomem zjawiska i wahaniami przypadkowymi. Prognozy generowane przez metodę średnich ruchomych w jednakowym stopniu zależą od każdego k -okresów ma taki sam wpływ na prognozę zmiennej jak obserwacja z okresu poprzedniego. Jeśli uznamy to za wadę to zastosujemy metode średniej ruchomej ważonej. W metodzie tej każda z obserwacji pomnożona jest przez wagę, którą oznaczamy symbolem W_i . Wagi te są nieujemne, suma wag jest równa 1. Najwyższą wartość przyjmuje waga dla obserwacji najnowszej i wartości wag maleją wraz ze starzeniem się informacji. W _i≥0 ; ∑W _i =1 W₁ ≥ W₂≥….≥W_k

_^

y_t=w₁*y_t-1+w₂*y_t-2+…w t≥k+1 t≤T

Gdy w szeregu czasowym występuje trend to musimy zastosować metody prognozowania które ten fakt uwzględniają. Najprostszą z metod stosowanych w takich przypadkach jest metoda naiwna- przyrost bez zmian. Metodę tę stosujemy w przypadku gdy w szeregu czasowym występuje trend i wahania przypadkowe. Tak jak poprzednio analiza wykresu ma nam powiedzieć czy w szeregu czasowym występuje trend. Metoda ta jest bardzo prosta. Do jej zastosowania potrzebujemy 2 obserwacji.

^

y_t=y_t-1+( y_t-1-y_t-2)

^

y_T=y_T-1+( y_T-1-y_T-2)

^

Y_T+τ=y _T-1+(τ+1)( y_T-1-y_T-2)

^

Y_T+1=y_T-1+2*( y_T-1-y_T-2)

Prognozy ex ante na kolejne okresy będą różniły się o wielkość różnicy pomiędzy y_T-1-y_T-2. oznacza to że w prognozie zakładamy wystąpienie trendu liniowego.

Metoda filtracji- metoda średnich ruchomych przyrostów . właściwa jest do szeregów w których jest trend.

W przypadku szeregów czasowych zawierających tendencje rozwojową pierwszą metodą należącą do metod filtracji będzie metoda średniej ruchomej uśredniająca przyrost.

Jest to metoda zbliżona do metody naiwnej przyrost bez zmian. Można ją stosować do szeregów czasowych zawierających trend i wahania przypadkowe. Zgodnie z tą metodą prognoza wymierzona jest w następujący sposób:

^Y_t =y_t-1 +[(y_t-1 - y_t-2)+(y_t-2+y_t-3)+…+(y_t-k - y_t-k-1)]/k

^Y_t=y_t-1+(y_t-1 - y_t-k-1)/k

Ex post t=1

^y₁=t_t-1+(y_t-1+y_t-k-1)/k

Ex ante

^y_T+τ=y_T-1+(τ+1)*[{y_T-1 - y_T-K-1)/k]

Szereg czasowy świadczeń społ. jest szeregiem zawierającym trend w związku z tym do prognozowania tego szeregu możemy stosować metody, które ten trend uwzględniają.

Z dotychczasowych poznanych to metoda: naiwna przyrost bez zmian i metod filtracji = średnia ruchoma przyrostów. Jeśli zastosujemy metodę, która nie jest charakterystyczna dla tego typu szeregu to możemy oczekiwać, że prognozy uzyskane tą metoda będą gorsze. (Jeśli stosujemy niewłaściwą metodę to wyniki są sporne).

Metoda Browna inaczej nazywana metodą wygładzania wykładniczego jest kolejną z grupy metod filtracji, bardziej skomplikowaną. Stosujemy metodę Browna w przypadku szeregów czasowych charakteryzujących się stałym poziomem zjawiska oraz wahaniami.

W szeregu nie powinno być tendencji rozwojowej i wahań sezonowych bądź cyklicznych. Punktem wyjścia dla tej metody jest metoda średniej ruchomej.

^yt=[yt-1+yt-2+yt-k]/k

^y_t-1=(y_t-2+…+y_t-k)/k + (y_t-1/k)

Y_t-k-1/k =w przybliżeniu=^y_t-1/k

Jeśli w metodzie jest trend to przybliżenie jest mało dokładne dlatego te metody stosujemy dla modeli bez trendu.

1/k=^yt=1/ky_t-1+(1-1/k)^y_t-1 α 0 ≤α≤1

Ex post ^y_t=α*y_t-1+(1-α)^y_t-1

^y₂=y₁

^y₃=α*y₂+(1-α)^y₂

Jeśli α=1 metoda tą redukuje się do metody naiwnej poziom bez zmian.

Prognoza w tej metodzie jest przedstawiona jako suma dwóch elementów z okresu t-1. α nosi nazwę parametru wygładzania i zawiera się w przedziale [0;1].

Pierwsza prognoza ex ante

τ≥1 ^y_t+τ=α^y_t+τ-2+(1+α)~y_T+τ-1

Metodę tę nazywamy wygładzania wykładniczego ponieważ:

^y_t=αy_t-1 + (1-α)^y_t-1=αy_t-1 + (1-α)[α*y_t-2 + (1-α)^y_t-2}= αy_t-1 + α(1-α)y_t-2 + (1-α)²^y_t-2=

=αy_t-1 + α(1-α)y_t-2 + α(1-α)²y_t-3 + α(1-α)^t-3y₂ + (1-α)^t-1^y₁

Prog. zmiennej y na okres t została wyrażona jako funkcja opóźnień zmiennej y. Parametry przy opóźnieniach zmiennej y maleją w sposób wykładniczy o parametr (1-α), stąd nazwa dla tej metody.

Rola parametru α:

Jeśli wartość parametru α jest bliska jedności to prognoza na okres t bliska jest realizacji z okresu t -1. Opóźnienia zmiennej y wyższego rzędu niż 1 mają mały wpływ na zmienną y.

Jeśli wartość parametru α jest niska to opóźnienia zmiennej y czyli historia szeregu ma istotny wpływ na bieżącą wartość zmiennej y.

^y_t=αy_t-1+(1-α)*^y_t-1=αy_t-1+^y_t-1-α^y_t-1=^y_t-1+α(y_t-1 - ^y_t-1)=^y_t-1+α^υ_t-1

Prognoza na okres t jest równa prognozie na okres t-1 zwiększonej o część błędu popełnionego przy prognozie na okres t-1. Jeśli w poprzednim roku popełniliśmy błąd dodatni nie doszacowując zmienną y, to poprawiamy się w roku t dodając część tego błędu.

Parametr α, który zawiera się w przedziale [0;1] możemy wyznaczyć za pomocą :a)Metoda prób i błędów polega na tym, że budujemy prognozy ex post dla różnych znanych wartości param. Α z przedziału [0;1] np. α=0,1, α=0,3,α=0,6,α=0,9. Dla każdego α budujemy prognozę ex post metodą Browna ^y_0,1 ^y _0,3 ^y_0,6 ^y_0,9. Następnie dla każdej prognozy liczymy RMSPE0,1; RMSPE0,3; RMSPE 0,6; RMSPE 0,9; MAPE 0,1; MAPE 0,3;

MAPE 0,6; MAPE 0,9. Porównujemy wartości tych miar i wybieramy to α dla każdego wart. tych miar są najmniejsze bo oznacza to, iż dla tego α jakość prognozy jest najlepsza.

b)SOLVER do wyznaczenia parametru α:

1. Wyznaczamy komórkę, w której mieścimy zmienną, czyli parametr α (D1)

2. E1 - dolna i górna wartość zmienności parametru α. E1 -dolna wartość, F1 - górna wartość

3. C - info ststyst.

4. D - formuła w jaki sposób buduje się prognozę ex post z tym że parametr α oznaczony jest za pomocą numeru komórki w którym się zawiera $1%C

5. W momencie gdy realizujemy prognozę (kol.D) to przechodzimy do miary oznaczającej prognozę ex post RMSPE (lub MAPE).Funkcje kryterium (zawarta jest w F31).

6. Włączamy Solvera po przygotowaniu prognozy i miary oceniającej prognozę.

7. Funkcja celu (F31)(komórka celu);Min ,Komórki zmienione (D1);Warunki ograniczające: Dodaj D1≤F1 D1≥E1

PODWÓJNA METODA BROWNA:

Tak jak nazwa wskazuje polega na 2-krotnym zastosowaniu metody Browna. Występują w tej metodzie 2 parametry wygładzania wykładniczego α1, α2. Tak jak i metoda Browna stosujemy ją do szeregów czasowych charakteryzujących się stałym poziomem zjawiska i wahaniami sezonów. W efekcie zastosowania tej metody otrzymamy szereg bardziej wygładzony z bardziej wyeliminowanymi wahaniami przypadkowymi. Metoda ta składa się z 2 etapów. Pierwszy etap polega na zastosowaniu metody Browna.

Ex post I etap

^y_t=α₁y_t-1+(1+α₁)^y_t-1

Ex ante

τ≥1 ^y_T+τ=α₁+^y_t+τ-2+(1-α₁)^y_T+τ-1

^y_t+1=α₁*^y_t-1+(1-α)^y_T

Etap II polega na ponownym zastosowaniu metody Browna do szeregu czasowego składającego się z prognoz ex post i ex ante otrzymanych w I etapie.

Ex post ^^y_t=α₂^y_t+1+(1-α₂)^^y_t-1

Najczęściej jest tak, że w pierwszym etapie używamy α wysokiego (α₁>0,5), a w II etapie najczęściej α₂<0,5.

METODA HOLTA -> metoda wygładzania wykładniczego z trendem liniowym. Metodę tę stosujemy do szeregów czasowych w których występuje tendencja rozwojowa (trend rosnący lub malejący) oraz wahania przypadkowe. W met. Holta występują 2 stałe wygładzania wykładniczego α i β. Α - stała wygładzania poziomu zmiennej. Β - stała wygładzania współczynnika trendu. Ponieważ metodę tę stosujemy do szeregów czasowych zawierających trend w związku z tym prognoza wartości zmiennej y składa się z 2 elementy:

1. prognozy stałego poziomu zmiennej F

2. prognozy przyrostu bądź spadku T

Równanie wygładzania wykładniczego poziomu zmiennej

F_t = αy_t+(1-α)(F_t-1+T_t-1)

Równanie wygładzania wykładniczego współczynnika trendu

T_t=β[F_t - F_t-1]+(1-β)T_t-1

Prognoza w metodzie Holta

Ex post ^y_t-1=F_t + T_t

^y = F_T-1 +T_T-1

^y_t+1=αy_t+(1-α)^y_t+T_t interpretacja:

Prognoza na okres t+1w metodzie Holta składa się z prognozy stałego poziomu zmiennej na okres t+1, który wynika z poziomu zmiennej w okresie poprzednim i prognozy na okres t. Jest to zgodne z wzorem na prognozę według metody Browna. Poziom parametru α (który zawiera się w przedziale [0;1]) będzie wskazywał czy w prognozie większą wagę przyjmuje do ostatniej obserwacji (α wysokie) czy do historii szeregu czasowego (α - niskie wartości).

Drugim elementem prognozy w metodzie Holta jest prognoza przyrostu który nastąpi w prognozowanym okresie, oznaczanym T_t. Prognoza T oparta jest na różnicy pomiędzy wygładzonymi poziomami w ostatnim okresie przed okresem prognozy oraz na historii przyrostów. Im wartość parametru β (który zawiera się w {0;1}) wyższa, tym większą wagę przykładamy w procesie prognozowania do zmian z ostatniego okresu.

Ex ante y_T+τ=^y_T+τT_T-1=F_T-1+(τ+1)T_T-1 τ≥0

Wzór na prognozę ex ante oznacza, iż w okresie zakładamy trend linowy. Różnica pomiędzy kolejnymi prognozami jest stała i równa T_t-1.

Wybór parametrów α i β w metodzie Holta maże nastąpić za pomocą metody prób i błędów, czyli dla prognozy ez post wybieramy parę wartości dla parametrów α i β spełniających warunek 0≤β≤1 ; 0≤β≤1, policzymy prognozę ex post a następnie policzymy miarę błędu prognozy wygasłej RMSPE. Badanie powtórzymy dla wielu par wartości α i β, porównamy wartości RMSPE i wybierzemy te parę wartości dla której błąd prognozy jest najmniejszy.

Możemy również wyznaczyć α i β rozwiązując zadanie prognozowania kwadratowego, wykorzystując program Solver. Jako funkcję celu przyjmiemy RMSPE dla prognozy ex post.

^y = F_t-1+T_t-1 min RMSPE

Zm. α β

Warunki ograniczające: 0≤α≤1 α≥0 α≤1; 0≤β≤1 β≥0 β≤1

Szereg w przykładzie charakteryzuje się trendem stąd można do prognozowania wykorzystać metodę Holta.

Okres prognozy 3 kwartał 2003 r. co oznacza że w momencie gdy prognozujemy nie znamy wartości zmiennej y dla 3 kwart. 2003 r., I kwart. 2004, II kwart. 2004.

METODA PROGNOZOWANIA GDY W METODZIE WYSTĘPUJE SEZONOWOŚĆ

W ogólnym przypadku sezonowość zdefiniujemy jako wahania występujące w szeregu czasowym związane z porami roku. Wahania związane z porami roku, miesiącami, dniami tygodnia. Z jakiego rodzaju sezonowością mamy do czynienia zależy od rodzaju danych w szeregu czasowym. Ważnym parametrem jest parametr r - długość cyklu sezonowości. Gdy

r = 4 to nasze badanie jest oparte o dane kwartalne i mogą wtedy wystąpić zmiany w zmiennej y związane z porami roku. Gdy r = 2 wtedy badanie jest oparte na danych półrocznych i w zmiennej y może wystąpić zmienność związana z której połowy roku pochodzi informacja. Gdy r =r 12 badanie oparte na danych miesięcznych iw zmiennej y mogą wystąpić zmiany w wartościach związane z miesiącem, z którego pochodzi informacja. Gdy r = 5 mamy dane dzienne od poniedziałku do piątku i zmiany zmiennej y związane są wtedy z daniami tygodnia.

Najdokładniej przebadane jest mierzenie zmian związanych z porami roku. Występuje ono, gdy mamy szereg czasowy z danymi kwartalnymi.

Jeżeli analiza wykresu z danymi kwartalnymi wskaże, iż w szeregu czasowym występuje sezonowość to do prognozowania tego szeregu należy wykorzystać metody uwzględniające sezonowość. Efekty sezonowe w modelu uwzględniamy w dwojaki sposób: addytywny lub multiplikatywny.

MODEL ADDYTYWNY

y_t,i= ^^y_t,i+S_i+u_t

y_t,i - oznacza wartość zmiennej y dla obserwacji o numerze t, która pochodzi z i0tego kwartału i= 1,2,3,4

^^y_t,i - oznacza wartość zmiennej y dla tego samego okresu oczyszczoną z sezonowości

S_i - indeks sezonowości dla kwartału i - tego

u_t - zakłócenia przypadkowe dla okresu t

Najczęściej przyjmujemy w przypadku modelu z addytywną sezonowością, że

S_i= S_i+r = S_i+2r = S_i+3r efekt sezonowości jest stały w czasie.

Indeks sezonowości dla przypadku addytywnego mówi o ile wartość zmiennej w danym kwartale różni się od wartości oczyszczonej z sezonowości dla danego kwartału.

S_i ma taką samą jednostkę jak zmienna y. W skali roku efekty sezonowości addytywnej powinny sumować się do zera. S₁+S₂+S₃+S₄=0

Jak najprościej zmierzyć sezonowość(indeks sezonowości)

y_1,1 y_1,2 y_1,3 y_1,4 y_t,i

Musimy mieć informacje o wszystkich wartościach w 4 kwartale roku

r

S_i= y₁ - (Σy_i/r) i = 1,2,3,4

i=1

METODA WINTERA

Wykorzystujemy ją do szeregów czasowych, w których występuje tendencja rozwojowa, zakłócenia przypadkowe i wahania sezonowe.

Sezonowość w modelu można uwzględnić na 2 sposoby:

• Addytywny

• Multiplikatywny

Interpretacja: W I kw wartość zmiennej y różni się od wartości oczyszczonej z sezonowości (średniej) o….

Model multiplikatywny uwzględniający sezonowość:

y_t = y_t^{^^} * Si * u_t

Si = y_t/y_t^{^^}

y^{^^} = y_t/Si - Wart. oczyszczona z sezonowości

W przypadku, gdy w szeregu czasowym występuje trend wyraźny, to należy spodziewać się efektów sezonowych multiplikatywnych. Często przyjmuje się w modelu, że efekty sezonowe mogą być względnie stałe w czasie. Oznacza to, że ich udział w wartości zmiennej jest stały

Si = S_i+r = S_i+2r…..

S_i= y_ti / (Σy_ti/r)

Te wskaźniki najczęściej interpretowane są w %.

Metoda Wintera jest skomplikowanym przypadkiem metody Holta uwzględniającym wahania sezonowe.

W modelu Wintera sezonowość możemy uwzględniać sposób multiplikatywny lub addytywny, czyli rozróżniamy 2 modele Wintera z sezonowością addytywną i multiplikatywną. W przypadku tego modelu prognoza składa się z 3 elementów:

1. prognozy wygładzonego poziomu zmiennej y - F

2. prognozy wygładzonej zmiany wartości zmiennej y (spadku bądź wzrostu wywołanego trendem) -T

3. prognozy wygładzonego efektu sezonowego na dany sezon -Si, i=1,2,…r (r-długość cyklu sezonowości)

F_t- prognoza wygładzonego poziomu zmiennej na okres t+1

Parametr wygładzania oznaczamy α <0;1>

F_t = α(y_t - S_t-r) + (1-α)*(F_T-1 + T_t-1)

(F_T-1 + T_t-1) - prognoza dla okresu t po wyeliminowaniu sezonowości

T_t - prognoza wygładzania zmiany wartości zmiennej y

T_t= β (F_t - F_t-1) + (1- β)T_t-1 β<0,1>

S_t wygładzona zmiana spowodowana sezonowością

S_t = γ (y_t - F_t) + (1-γ) S_t-r γ<0,1>

Prognoza modelu Wintera ex post (m addytywny)

y^{^}_t+1= Ft + Tt+ S_t+1-r

y^{^}_T = F_t-1 + T_t-1 + S_T-r

ex ante y^{^}_T+τ= F_T-1 + (1-τ)T_T-1+S_T+τ-r τ>= 1, τ<=r

Pamiętamy, że w prognozie ex ante uwzględniamy ostatni dostępny wskaźnik sezonowości dla nr kwartału, na który prognozujemy, i - nr kwartału

y^{^}_{T+τ, i}= F_T-1 + (1-τ)T_T-1+S_{T+τ-r, i}

Model Wintera w przypadku sezonowości multiplikatywnej:

F_t = α(y_t /S_t-r) + (1-α)*(F_t-1 + T_t-1)

T_t= β (F_t - F_t-1) + (1- β)T_t-1

S_t = γ (y_t / F_t) + (1-γ) S_t-r

Prognoza ex post:

y^{^}_t+1= (Ft + TT) * S_t+1-r

y^{^}_T =( F_T-1 + T_T-1) * S_T-r

Prognoza ex ante:

y^{^}_T+τ= [F_T-1 + (1+τ)T_T-1] * S_T+τ-1

Parametry α, β, γ są zawarte w przedziale <0,1> Wartości tych parametrów mogą być wyznaczone w dwojaki sposób:

1. metodą prób i błędów

2. rozwiązując zadanie programowania liniowego z niewiadomymi α, β, γ wykorzystując SOLVER'A

W I kroku wykorzystania metody Wintera liczymy wskaźniki sezonowości, na podstawie danych pochodzących dla I roku próby.

Jeśli wartość parametrów α, β, bliższa jest jedności to oznacza to że większy wpływ na wartość prognozy mają bezpośrednio poprzedzające okres prognozy opóźnienia zmiennej y, a mniejszy wpływ historia szeregu czasowego.

Metoda analizy harmonicznej

Wykorzystywana jest do szeregów czasowych, w którym występuje stały poziom badanego zjawiska, wahania sezonowe i przypadkowe. Metoda ta wykorzystuje ciąg funkcji sinus i cosinus. Można ją stosować do szeregu czasowego o stałym poziomie zjawiska, jak i dla szeregu charakteryzującego się tendencją rozwojową. Funkcję przybliżającą wartość zmiennej y budujemy wg wzoru:

y_t = α_i + Σ[α_{i *} sin (i* t* 2Π/T) +β_i* cos * (i* t* 2Π/T) + u_t

Estymatory nieznanych parametrów α_i β_i otrzymujemy z następujących wzorów:

a_i = 2/T * [ Σ y_t * sin (i* t* 2Π/T)

a_T/2 = 0 a₀ = Σy_t/ T

b_i = 2/T * [ Σ y_t * cos (i* t* 2Π/T)

b_T/2 = 1/T [Σ y_t * y_t * cos (Π - t)

Po policzeniu wartości estymatorów a_i, b_i podejmujemy decyzję, które składowe istotnie wpływają na zmienną y_t. Wartości estymatorów a_i, b_i noszą nazwę harmonik, wartość i indeksu „i” oznacza numer harmoniki, np. a₂, b₂ - harmoniki drugiego rzędu. Następnie liczymy udziały poszczególnych harmonik w ogólnej zmienności zmiennej y. Udział tej części zmienności, która wyjaśnia poszczególne harmoniki określa iloraz w postaci:

u_i = C²_i/2s²

s² - wariancja zmiennej y

C²_i - suma kwadratów wartości estymatora

Do wyznaczenia prognozy zmiennej y nie wykorzystujemy wszystkich harmonik, ale tylko te a_i, b_i , które wyjaśniają najwięcej zmienności zmiennej y. Te harmoniki, których udział w objaśnianiu zmienności zmiennej y jest bardzo mały pomijamy w dalszym modelu.

y^{^}_t = a₀ + Σ a₁ sin (i* t* 2Π/T) + b₁ Σ cos (i* t* 2Π/T)

Prognozowanie w oparciu o modele strukturalne

Model strukturalny inaczej zwanym m. opisowym, przyczynowo skutkowym, definiowanym jako model, którego budowa oparta jest o teorię ekonomiczną, gdzie zmienne objaśniające są przyczynami zmienności zmiennej. Przy prognozowaniu jak z m. strukturalnymi postępujemy z m. trendu (m. trendu należą do m. szeregów czasowych i są modela niestrukturalnymi)

Co różni podejście przy prognozowaniu m. strukturalnych i niestrukturalnych? Błędy prognoz w przypadku m. niestrukturalnych możemy policzyć tylko dla prognoz wygasłych. Natomiast w przypadku modeli strukturalnych w pewnych przypadkach jesteśmy w stanie oszacować błąd prognozy, nim będzie ona prognozą wygasłą. W przypadku m. struk i m trendu jesteśmy w stanie w wielu przypadkach policzyć błąd prog niewygasłej.

Miary błędów prognozy niewygasłej, m. statyczny:

Błąd prognozy ex post:

Model liniowy z jedną zmienną objaśniającą:

y_t = b₁+ b₂ x_t +u_t

Prognozę będziemy wyznaczać na poziomie wartości oczekiwanej zmiennej y. Rozważania teoretyczne dot. Prognoz prowadzimy przy przyjęciu 4 standardowych założeń dot m. ekonometrycznego, (schemat Gaus'a - Markowa). Założenia dotyczyły:

1. E(u_t) = 0

2. D²(u) = δ² I

3. zmienne objaśniające z X są zmiennymi o wartościach z góry ustalonych, co oznacza, że nie są skorelowane z zakłóceniami czy ze składnikiem losowym u

4. zmienna losowa ma rozkład normalny o parametrze (0, δ²)

Te założenia pozwalają nam pokazać, że wart oczek E(y_t )= b₁+ b₂ x_t

Nie obciążona prognoza ex post jest wyznaczana z wzoru:

y^{^}_t' = b^{^}₁ + b^{^}₂ x_t' t'>T

t' - okres na który prognozujemy, czyli przyszłość w stosunku do T, który jest końcem obserwacji.

Oszacowania parametrów b₁i b₂ na podstawie próby metodą najmniejszych kwadratów:

Żeby mówić o prognozie ex post to musimy znać wartość zmiennej X w okresie prognozy. Prognoza ex post została zdefiniowana w taki sposób, iż wartości zmiennych objaśniających mają być znane w okresie prognozy

E(y^{^}_t') = E (b^{^}₁ + b^{^}₂ x_t' ) = b₁+ b₂ x_t jeśli działają założenia 1-3

Od czego zależy błąd prognozy?

Błąd prognozy zależy od jakości oszacowań parametrów i od składnika losowego - zakłócenia w czasie prognozy

u^{^}_t' = y_t' - y^{^}_t' =(b₁ - b^{^}₁ ) + (b₂ -b^{^}₂ )x_t' +u_t'

W przypadku prognozy ex post jesteśmy w stanie wyprowadzić wzór na oszacowanie oczekiwanego błędu prognozy, który będziemy oznaczać S_t. Oszacowanie błędu prognozy nosi nazwę oszacowania odchylenia standardowego błędu prognozy. Wzór na oczekiwanego błędu prognozy wyprowadzamy korzystając z 1-3 założeń przyjmowanych w m. ekonometrycznym. Zauważmy, że rozważania dot syt tak zdefiniowanej:

u^{^}_t' = y_t' - y^{^}_t' gdzie y^{^}_t' - jest znane, a y_t' i u^{^}_t' nie znane, bo prognoza jeszcze nie wygasła.

E(u^{^}_t') = 0

D²(u^{^}_t') = E[(u^{^}_t' - 0)²] = E(u^{^}_t')²= E (y_t' - y^{^}_t')²

Korzystając z tych 3 założeń:

D²(u^{^}_t') = δ²_n {1+1/T+ [(x_t' - x^-)²/Σ(x_t - x^-)²]}

Przechodzimy na odchylenie stand.

S(u^{^}_t') = Su{1+1/T+ [(x_t' - x^-)²/Σ(x_t - x^-)²]}^-1/2

Su - odchyl stand reszt okresu próby

W przypadku prognozy ex post, gdy znamy x_t' jesteśmy w stanie ocenić jakość prognozy poprzez policzenie odchyl stand błędu prognozy, nim poznamy realizację zmiennej y w okresie t'.

Od czego zależy błąd prognozy ex post?

Rośnie, gdy wzrasta wariancja reszt, albo odchyl. stand reszt Su, rośnie, gdy wartość zmiennej x w okresie prognozy bardziej odbiega od średniej. Maleje, gdy wzrasta liczba obserwacji, z których składa się próba, maleje, gdy wzrasta zmienność zmiennej x, czyli wariancja zmiennej x.

Błąd prognozy ex post, m. z wieloma zmiennymi objaśniającymi, liniowy, statyczny.

y_t = b₁ + b₂ x_t2 +…..+ b_k x_tk + ut

y^{^}_t' = b^{^}₁ + b^{^}₂ x_t'2+…+ b^{^}_k x_t'k

u^{^}_t' = y_t' - y^{^}_t' = x_t' (b- b^{^}) + ut'

Błąd prognozy jest rezultatem błędów w oszacowaniu parametrów, czyli w różnicach pomiędzy wartościami parametrów, a jego oszacowaniem oraz zakłócenia w okresie t'.

Możemy policzyć oczekiwany błąd prognozy nim ona wygaśnie, tzn nie znając realizacji zmiennej y w okresie t'. Oszacowany błąd prognozy informuje nas jak średnio prognoza odbiega od realizacji na plus lub minus. Przyjmując, że zmienność y w okresie t' przyjmuje wartości y^{^}_t' mylimy się średnio o plus/minus St'.

Względny błąd prognozy

(St'/ y^{^}_t')*100% informuje nas ile % wartości prognozy stanowi jej błąd, im jego wartość mniejsza tym lepiej.

Błąd prognozy ex ante:

Prognozą ex ante mamy do czynienia , gdy nie znamy wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozy i posługujemy się ich oszacowanie

y_t = b₁ + b₂ x_t + ut

y^{^}_t' = b^{^}₁ + b^{^}₂ x_t' prognoza wartości zmiennej x na okres t'

x^{^}_t' = x_t' + v_t' v_t' zmienne losowa, która nosi nazwę błąd prognozy zmiennej x na okres t'

v_t' = x^{^}_t' - x_t'

Zakładamy o zmiennej v_t' , że ma:

1. E(v_t') = 0

2. D²(v_t') = δ² v

Ponadto zakładamy, że zmienna vt' nie jest skorelowana ze zmienną losową ut'

u^{^}_t' = y_t' - y^{^}_t' =(b₁ - b^{^}₁ ) + (b₂ -b^{^}₂ )x_t' +(u_t'- b^{^}₂* v_t')

Jeśli błąd prognozy uzależniony jest od błędu prognozy zmiennej x, czyli od zmiennej vt', to wzór na oczekiwany błąd prognozy jest następujący(nie ma on zastosowania w praktyce):

D_t' = δ_u {1+1/T+ [(x_t' - x^-)² *δ² * v/Σ(x_t - x^-)²] + b²₂* δ² * v }^-1/2

Błąd prognozy ex ante zależy od:

1. jakości oszacowanych parametrów modelu

2. jakości prognoz dla zmiennych objaśniających na okres t'

W praktyce w przypadku prognoz ex ante postępujemy w następujący sposób:

1. wartości prognoz dla zmiennych objaśniających x^{^}_{t' i} traktujemy jako znane, a nie jako zmienne losowe x_{t' i}

2. oszacowanie oczekiwanego błędu prognozy otrzymujemy z wzoru na oszacowanie oczekiwanego błędu prognozy ex post

St' = Su[ x_t' (x^Tx)^-1x^T_t' +1]^-1/2

Model dynamiczny z wieloma zmiennymi objaśniającymi, liniowy:

y_t = b₁ + b₂ x_t + b₃y_t-1 + ut

y^{^}_T+1 = b^{^}₁ + b^{^}₂ x_T+1+b^{^}₃ y_T

Jeśli znamy wartość zmiennej x w okresie T+1, to możemy policzyć oczekiwany błąd prognozy ze wzoru na oczekiwany błąd prognozy ex post

y^{^}_T+2 = b^{^}₁ + b^{^}₂ x_T+2+b^{^}₃ y_T+1

Procedura wyliczania prognozy ex post i jej oczekiwanego błędu-model liniowy:1)szacujemy parametry modelu na podstawie próby i otrzymujemy teoretyczne wartości param. Y^_t=b^₁+b^₂*x_t2+…+b^_k*x_tk2)badamy własn. Modelu by wykorzystać go do prognoz, model powinien być „dobry” (wysoki współ. determinacji, uzasadnione ekonom. i statyst. Zmienne objaśniające raczej bez autokorelacji).Jeżeli model spełnia te warunki to jest sens wykorzystać go do prognoz.3)Liczymy prognozę y^_t'=b^₁+b^₂*x_t'2+…+b^_k*x_t'k4)szacujemy oczekiwany błąd prognozy: S_t'=S_u[X_t'(X^TX)^-1X_t'^T+1]^1/25)liczymy względny błąd prognozy i albo prognozę akceptujemy, albo nie S_t'/y^_t'<=5%. Procedura wyliczania prognozy ex ante i jej oczekiwanego błędu w modelu liniowym. W przypadku prognozy ex ante postępujemy w ten sam sposób jak w przypadku procedury wyliczania prognozy ex post zakładając, że wyprognozowaliśmy wartości zmiennych objaśniających bez błędu. Wyznaczanie oczekiwanego błędu prognozy w modelach nieliniowych: dla modelu nieliniowego wyznaczenie oczek. bł. progn. Jest zawsze skomplikowane dlatego przy wyborze najlepszej postaci modelu ze względu na zastosowaną funk. możemy zastosować następ. procedurę, która opiera się na prognozie wygasłej:1)kilka ostatnich obserwacji na zmiennych nie włączamy do procesu estymacji parametrów, traktując je jako przyszłość.2)na ten okres budujemy progn. na podstawie oszacowanego modelu, jest to progn. wygasła.3)dla porównywanych modeli liczymy miary zrealizowanego błędu prognozy(RMSE,RMSPE,MAPE)4)wybieramy postać modelu charakteryzującą się najlepszymi wynikami powyższych miar. Wynik z powyższej procedury jest najczęściej zgodny z wyborem funkcji o najwyższym współ. determ. po sprowadzeniu ich do porównywalności dla całej próby. Prognozowanie na podstawie modeli tendencji rozwojowej. Szereg czasowy jest to ciąg wartości zjawiska obserwowanego w kolejnych jednostkach czasu. Wyróżniamy 2 rodzaje sz. czasow. A)sz. czas. okresów-są związane z kategoriami, które sumuje się przy rozszerzaniu przedziału czasowego związanego z analizowanym okresem, w ekonomii są to wielkości noszące nazwą strumieni.B)sz. czas. momentów-związane są z kategoriami, które są niesumowalne, a ich stan określa się na pewien moment czasu najczęściej dzień, w ekonomii są to wielkości noszące nazwę zasobów. Jednym z ważniejszych zadań analizy szeregów czasowych jest określenie prawidłowości zmian poziomu zjawiska badanego w czasie, poznanie podstawowych prawidłowości rozwoju zjawisk ekonom. odbywa się przez wyodrębnienie tendencji rozwojowej. Zazwyczaj tendencja ta jest rezultatem działania zespołu przyczyn wpływających w sposób ciągły na badane zjawisko w długim okresie. W celu wykrycia ogólnej tendencji zmian zjawiska ekonom. w określonym przedziale czasu należy wyrównać szereg czasowy. Konieczność ta jest spowodowana tym, że oprócz czynników głównych oddziałujących na kształtowanie się wartości sz. czasow. wpływa na nie także duża liczba czynników przypadkowych. Czynniki główne wyznaczają konkretną postać składnika systematycznego(trendu). Z kolei czynniki _. przypadkowe powodują odchylenia zaobserwowanych wart. sz. czas. od wielkości wyznaczonych przez trend. Jedną z ważniejszych metod wyodrębniania tendencji rozwojowej szeregu dynamicznego jest jej wyrażenie za pomocą f. trendu. F. trendu matematycznymi funkcjami zmiennej czasowej, szereg czasowy składa się wtedy z dwóch elementów tj. f. trendu i odchyleń losowych. Najczęściej spotykane postacie analityczne f. trendu:1)trend liniowy y^_t=b₁t+b₀ oznaczenia:y^_t-teoret. wart. y wyliczona z f. trendu;b₁-współ. trendu;b₀-wyraz wolny;t-jest zmienną wyrażającą czas o wart. definiowanych zazwyczaj zgodnie z numeracją kolejnych okresów lub momentów dla których dysponujemy informacją. W trendzie liniowym parametr b₀ jest interpretowany jako poziom zjawiska y w okresie zerowym. Z kolei ocen parametru kierunkowego b₁ oznacza przeciętny jednostkowy przyrost zjawiska y w przedziale [0;n].2)trend nieliniowy sprowadzamy do liniowego: a) trend wykładniczy-w celu oszacowania parametrów trendu wykład. sprowadza się go do postaci liniowej przez obustronne logarytmowanie wyrażenia y_t=e^(b1+b2t+ut)=e^b1*e^b2t*e^ut logarytmujemy, stosujemy MNK b^=(X^TX)^-1X^TY'. MNK możemy stosować gdy model jest liniowy względem parametrów i składnik losowy wprowadzony jest addytywnie (czyli dodany), dlatego modele nieliniowe przekształcamy by spełniały te warunki. Interp.: dla trendu wykład. ocena param. b₁ oznacza wyrównany poziom badanego zjawiska w okresie zerowym. Ocena param. b₂ jest interpretowana jako średni łańcuchowy wskaźnik dynamiki badanego zjawiska w przedziale czasu od 1 do n. [(b₂-1)*100] b)trend logarytmiczny-cechą charakteryst. jest to, że w miarę upływu czasu następują coraz mniejsze przyrosty badanego zjawiska. Y_t=b₁+b₂lnt+u_t. stosujemy MNK c)trend potęgowy-składnik losowy wprowadzamy multiplikatywnie, aby można było zastosować MNK. Y_t=e^btt^b2e^ut d)trend logistyczny y_t=b₁/(1+b₂e^-b3t); e)trend hiperboliczny y_t=b₁+b₂/t+u_t : b₂>0 f. malejąca; b₂<0 f. rosnąca, granicą tej f. jest limy_t=b₁ f) model z wielomianem i-tego stopnia y_t=b₁+b₂t+b₃t²+u_t.

Zmienne zerojedynkowe w modelach trendu: w modelach trendu możemy uwzględniać zmiany sezonowe na porę roku (r=12m-ąc, r=4kw.). W modelach trendu zmienne zerojedynk. możemy dołączyć w sposób addytywny i multiplikatywny. 1)model liniowy, sezonowość uwzględniona addytywnie(r=4) Zdefiniujemy 4 zmienne zerojedynk. Z₁-mierzy efekt wpływu I kw. na zmienną y, zmienna ta przyjmuje wart. 1 dla obserwacji z I kwartałów w naszej próbie i wart. 0 dla obserwacji z pozostałych kwart. Podobnie Z₂, Z₃, Z₄. Włączając zmienne do modelu otrzymujemy: y_t=b₁+b₂t+s₁z_t1+s₂z_t2+s₃z_t3+s₄z_t4+u_t. W modelu tym ystępuje współliniowość zmiennych objaśniających i nie możemy zastosować MNK. By pokonać tę trudność stosujemy 2 alternatywne metody:a)opuszczamy jedną zmienną zerojedynk.(najczęściej dla IV kw.) wtedy do modelu stosujemy met. MNK i otrzymujemy oszacowania parametrów. Interpret.:oszacowanie param. a₁ informuje o ile wart. zmiennej y w I kw. różni się od wart. zmiennej w IV kw., param. jest mierzony w jednost. zmiennej y. b)wykorzystujemy założenie, że efekty sezonowe w ramach roku sumują się do zera Σs_i=0

Y_t=b₁+b₂t+s₁(z_t1-z_t4)+s₂(z_t2-z_t4)+s₃(z_t3-z_t4)+u_t; S^₄= -ΣS^_i oszacowane efekty sezonowe S_i mają następ. interp.: mówią one o ile zmienna w i-tym kwartale różni się od średniej wart. y w ciągu roku. 2)model liniowy, sezonowość uwzględniona multiplikatywnie y_t=(b₁+b₂t)(s₁z_t1+s₂z_t2+s₃z_t3+s₄z_t4)+u_t Zmienne zdefiniowane są tak jak poprzednio tj. w modelu liniowym z sezonowością wprowadzoną addytywnie. Powyższy model nie może być estymowany MNK i stosujemy metody nieliniowe np. Solver'a minimalizując pierwiastek z procentowego błędu średniokwadratowego(RMSPE). Model wykorzystujący wielomian-postępujemy analogicznie jak w modelu liniowym.

W modelu potęgowym i wykładniczym najczęściej zm. 0-1 wprowadzamy w sposób multiplikat. i istnieją dwa sposoby dołączenia zm. 0-1

Model potęgowy

y_t=e^b1t^b2e^a1Zt1e^{a 2Zt2}e^a3Zt3e^ut

y_t=e^b1t^b2e^s1(Zt1-Zt4)e^b2(Zt2-Zt4)e^b3(Zt3-Zt4)e^ut

model wykładniczy

y_t=e^(b1+b2t)e^a1Zt1e^a2Zt2e^a3Zt3e^ut

y_t=e^(b1+b2t)e^s1(Zt1-Zt4) e^b2(Zt2-Zt4)e^b3(Zt3-Zt4)e^ut

estymujemy i log str

model potęgowy

lny_t=b₁+b₂lnt+a₁Z_t1+a₂Z_t2+a₃Z_t3+u^t

lny^t=b₁+b₂lnt+s₁(Z_t1-Z_t2)+s₂(Z_t2-Z_t4)+s₃(Z_t3-Z_t4)+u_t

model wykładniczy

lny_t=b₁+b₂t+a₁Z_t1+a₂Z_t2+a₃Z_t3+u_t

lny_t=b₁+b₂t+s₁(Z_t1-Z_t4)+s₂(Z_t2-Z_t4)+s₃(Z_t3-Z_t4)+u_t

intrpret. a₁-pozoim zjawiska w I kwart. stanowi e^a1*100%poziomu zjaw. w IV kwart.

Inter. s₁-pozoim zjawiska w I kwat jest o (e^s1-1)*100%mniejszy/większy od średniego poziomu zjaw w ciągu roku

Symulacja to technika numeryczna służąca do dokonywania eksperymentów na pewnych rodzajach modeli matem. przy użyciu maszyny cyfrowej które opisują zachowanie się złożonego systemu w ciągu pewnego okresu czasu. S. jest wprowadzeniem modelu matem. w ruch. S. dzielimy na:s. stochastyczną i deterministyczną.

S. detemin.to sytuacja gdy w modelu nie ma zm. los. bądź zostały zastąpione swoimi wart. oczekiw. i traktujemy je jako znane.

S. stochast. Jest wtedy gdy symulację przeprowadzamy na modelu zawierającym zm. los.W rezultacie wyniki sym. są też zm. los. o pewnym rozkładzie prawdop. charakteryzowanym przez parametry t.j.wart.oczekiw.,wariancja,mediana,dominanta.Przy analizie wyników symulacji najczęściej skupiamy się na wariancji i wart.oczekiw.

Zm.los. występujące w modelu mogą przyjmować wart ciągłe lub skokowe(dyskretne) i dlatego wyróżniamy symul:na modelach ciągłych i dyskretnych.Często wygodnie jest zm.ciągłą przybliżyć za pomocą zm.dyskret co nazyw.dyskretyzacją zmiennej.W s. stochast. Losowe elementy modelu podlegają samodzielnemu modelowaniu a proces ich generowania nosi nazwę metody MONTE CARLO-to technika wyboru wielk. los. w oparciu o ich rozkład prawdop. W sym. stochast. we fragmenty modelu:zm.,ograniczenia,parametry,stawiane są zaburzenia los. wylosowane z odpowiedniego rozkładu prawdop. i stanowią źródło niepewności modelu.W rezultacie rozwiązanie modelu jest zm.los.(Z)o pewnym rozkładzie prawdop.scharektyryzowanym przez parametry rozkładu. Najczęściej model jest na tyle skomplikowany że jego rozw.czyli rozkład prawdop.zm.Z lub wart.parametru charakteryzujących ten rozkład w sposób analityczny nie jesteśmy w stanie wyznaczyć i uciekamy do symulacji która polega na puszczeniu modelu w ruch i otrzymaniu pojedynczego rozw.modelu.Operację tę powtarza się n-krotnie i w rezultacie otrzymuje się n-rozw.modelu czyli n-replikacji rozwiązania.REPLIKACJA to pojedyncze rozwiązanie modelu otrzymane po wstawieniu wart.konkretnych zaburzeń.

Symulacje z punktu widzenia wiedzy której nam dostarczają dzielimy na:s.statyczną i dynamiczną. S.statyczna to wynik otrzymany z pojedynczej replikacji dla zm.Z nie ma wpływu na wart.tej zm.w kolejnych replik.co oznacza ze zm.z kolejnych replik.są niezależne.W przypadku s.dynamicznej wpływ na wart.zm.Z z poprzednich replik.mają wart.zm.Z występujących w replik.po nich następujących oznacza to że zm.los.Z nie są zm.niezależnymi.To rozróżnienie jest istotne ze względu na pewność wnioskowania o własnościach zm.Z na podst.symulacji.W przypadku s.statycznej są twierdz. Które uzasadniają przybliżenie nieznanego rozkładu zm.Z za pomocą wyników symulacji.W przypad. s.dynamicznej-z.los.Z jest rozw.modelu nie znamy rozkładu i parametrów rozkładu tej zm.i dlatego uciekamy do symul.Symul. ma nam pomóc wyznaczyć nieznany rozkład zm.Z i parametry tego rozkładu(wart.oczekiw.,wariancja,mediana,dominanta,kwartale)i inne cechy zm.Z. Przy symul.pomocne są twierdz.graniczne najprościej przeprowadzić wywiad który pozwoli poznać nieznaną wartość wart.oczekiw.zm.Z wykorzystujemy tu prawo wielkich liczb Czebyszewa z którego wynika że jeśli zm.Z_i są parami nieskorelowanymi a ponadto mają taką samą wart.oczek. i wariancję(pochodzą z tej samej puli lub są generowane przez ten sam rozkład)to ciąg zmiennych z średniej z próby Z_k(średnia)określamy wzorem: Z_k=(ΣZ_i)/k ma następ.własności: E(Z_kśred)=μ; D²(Z_kśred)=σ²/k; lim_k→∞ D²(Z_kśred)=0.Własności te wynikają z tego że zm.Z_k mają takie same rozkłady czyli i parametry rozkładu są takie same σ i μ. W przypadku symulacji oznacza to że jeśli zwiększymy liczbę replikacji to wart.zm.los.Z_k(średnia z próby) dąży do nieznanej wart.oczekiw.zm.Z w populacji generalnej.Czyli wykorzysta.dużą próbę otrzymamy z badania wart. Zbliżoną do wart.oczekiw.zm.Z która jest rozwiązaniem modelu. Trudniejsze jest wprowadzenie własności wariancji lub odchyl.standart. próby pomocne jest tutaj tw. Chinczyna i tw. Słudzkiego z których wynika ze jeśli zm.Z₁,Z₂…Z_k są parami niezależnymi i zdefiniujemy następ. Funkcję zm.losowych: S²(Z_k)=[Σ(Z_i-Z_k-śred)²]/k, to plim_k→∞S²(Z_k)=D²(Z)=σ² Wariancja z próby przy k→∞ jest stochastycznie zbieżna do wariancji z populacji generalnej.

Dlaczego przeprowadzamy symulacje?Najczęściej dlatego że zadanie które mamy rozw.jest na tyle trudne ze nie potrafimy zrobić tego w sposób analityczny(teoretycznie).Zawarte w tym zad.elementy stochastyczne często w połączeniu z pytaniem na które chcemy odpowiedzieć nie pozwalają rozwiązać zad.w sposób teoret.

By przeprowadzić symulację budujemy model dla problemu który chcemy rozw.A następnie rozwiązujemy go wielokrotnie, pojedyncze rozw.modelu nazywamy replikacją.Rozw.zad.w k-tej replikacji jest zm.los.oznaczamy ją Z_k.Każde rozw.zad. przynosi realizację dla tej zm.los.

Przeprowadzenie bardzo wielu replikacji oznacza otrzymanie licznego zbioru wartości realizacji zm.los. i pozwala wyznaczyć jej rozkład empirycznt który można zaprezentować w postaci wykresu częstotliwości występowania danej wartości z.Z-wykres nosi nazwę histogramu.

Jeśli przeprowadzimy bardzo wiele replik.to rozkład krytyczny zm.Z odpowiada rozkł.teoret. Twierdzić tak możemy tylko w pewnych przypadkach. Podst. z nich jest warunek by symulacja była prosta(ozn.że wynik kolejnej replik.nie zależy od wyników poprzednich replikacji)tych warunków.

Symulacja ma za zadanie umożliwić nam poznanie wartości tych parametrów których teoret.nie umiemy policzyć. Korzystając z rozkładu empir.(który jest wynikiem symulacji)możemy policzyć średnią z próby(Z_k-śred.)i odchyl.standar.(S(Z_k)).

Twierdzenia graniczne:Czybyszewa,Chinczyna i Słudzkiego pozwalają wnioskować że miary policzone na podst.próby symetrycznie(czyli gdy jest dużo replik.)zbiegają do tych nieznanych parametrów μ i σ(oznacza to że licząc średnią i odchyl.stand. na podst.próby poznajemy nieznane wart.wart.oczekiw. i odchyl.stand. zm.Z która jest teoret.rozwiąz.zadania.

Twierdzenia graniczne:Czybyszewa,Chinczyna i Słudzkiego mówią że średnia z próby-gdy jest liczna próba-dobrze przybliżają nieznane wart. μ i σ teoret.rozkładu zm.Z której poszukujemy bo stanowią rozwiąż.naszego zadania.Poznanie wart.tych parametrów stanowiło cel symulacji.

Opisując rozkład empiryczny zm.Z korzysta się z następ.miar statyst.:średnia,odchyl.stand,mediana,kwartale,dominanta,współczynnik skośności,kurtoza-miara koncentracji.

Współ.skośn.-wart.dodatnia oznacza skośność prawostr.-garb wykresu jest przesunięty w lewo a rozbudowany jest ogon po prawej str.Skośność lewostr.-garb po str.prawej.

Kurtoza mierzy stopień skupienia wart.wokół średniej.Wzorcem jest rozkład normalny dla którego kurtoza jest=0.Gdy rozkład jest bardziej wysmukły od normalnego to kurtoza>0czyli+;rozkład jest spłaszczony-rozlazły to kurtoza<0czyli-.

By wyznaczyć wart.zm.Z należy wylosować wart. zm.X i Y korzystając z ich rozkładu prawdop. Losowanie metodą odwróconej dystrybuanty-losow.powinno zapewnić ze wart.zm.X pojawią się w próbie z częstością równą prawdop.F.prawdop.zapisujemy w postacie skumulowanej tj.dystrybuanty rozkładu.Następnie wykorzystujemy zm.U przyjmującą z jednakową szansą wartości z przedziału [0;1] tj.zm. o rozkładzie równomiernym(jednostajnym) na odcinku 0;1.Zm.U to zm.losująca.Losowanie wart.zm.X przebiega w następ.sposób:-wykorzyst.f.los(Excel)i otrzym wart.zm.U₁;-a dalej przyjmujemy zasadę ze jeśli zm.losująca U₁ ma wart.≤to zm.X=…. W identyczny sposób generujemy wart.zm.Y za pomocą zm.U₂.Następnie wart.zm.Z=X+Y i wyciągamy wnioski na podst.miar które stosujemy w symulacji.

---