ET2, grupa operacyjna


ANALIZA OBWODÓW RC W STANIE NIEUSTALONYM. Rozpatrzmy obwód przedstawiony na Rys.5. pobudzany napięciem u=Umsin(ωt+ϕu). W analizowanym obwodzie zastosujemy NPK: u=Ri+uC, a następnie podstawimy i=C(duC/dt), otrzymując: RC(duC/dt)+uC = Umsin(ωt+ϕu); RC(duCS/dt)+uCS=0. Rozwiązanie uCS ma postać wzoru Helmholtza: uCS=Ae-t/RC i zawiera składową stałą A zależną od warunku początkowego. Zatem pełna odpowiedź obwodu wynosi: uC = uCW + uCS = uCW + Ae-t/RC i po upływie dostatecznie długiego czasu dąży do uCW. Wprowadzone wyżej napięcia uCW i uCS noszą odpowiednio nazwę składowej wymuszonej i składowej swobodnej rozwiązania uC. Obwód RC opiszemy równaniem różniczkowym I rzędu: RC(duC/dt)+uC=eZ, przy czym RC=τ nosi nazwę stałej czasowej obwodu. Dzielimy obie strony równania przez τ: (duC/dt)+(1/τ)uC=(1/τ)eZ. Stałą A znajdujemy pisząc równanie : uC = uCW + Ae-t/RC dla chwili t=0. Otrzymujemy: A=uC(0)-uCW(0), co po rozwiązaniu prowadzi do pełnego rozwiązania: uC = uCW + [uC(0)-uCW(0)]e-t/τ. Przy wyznaczaniu wartości początkowej uC(0) korzystamy z zas. zachowania ładunku kondensatora. Ładunek kondensatora q(t) nie może zmienić się momentalnie, a stąd wynika, że q(t) jest ciągłą funkcją czasu. Oznaczmy przez q(t0-) lewostronną, a przez q(t0+) prawostronną granicę q(t) w chwili t=t0. Zachodzi zależność q(t0-) = q(t0+) +t0-∫ t0+iC(τ)dτ. Ponieważ t0+-t0-=0. Z zas. ciągłości ładunku wynika zas. ciągłości napięcia liniowego kondensatora o stałej pojemności C, czyli uC(t0+) = uC(t0-). Wykres uCS(t). ANALIZA OBWODÓW RL W STANIE NIEUSTALONYM. Weźmiemy pod uwagę obwód z Rys.7 i zbudujemy równanie tego obwodu, posługując się PPK przy uwzględnieniu zależności uL=L(diL/dt). Otrzymujemy: (diL/dt)+(1/τ)iL=(1/τ)iZ, gdzie τ=L/RZ jest stałą czasową analizowanego obwodu. iL=iLw+Ae-t/τ, gdzie A=iL(0)-iLw(0), a stąd: iL = iLw + [iL(0)-iLw(0)]e-t/τ. W powyższych wymuszeniach iLw jest składową wymuszoną, a iLS = Ae-t/τ składową swobodną prądu iL. Wyznaczając warunek początkowy iL(0), korzystamy z zas. zachowania strumienia magnetycznego skojarzonego z cewką. Według tej zasady strumień magnetyczny skojarzony nie może zmienić się momentalnie, czyli Ψ(t) jest ciągłą funkcją czasu. Oznaczamy przez Ψ(t0-) lewostronną oraz przez Ψ(t0+) prawostronną granicę Ψ(t) w chwili t=t0. Obowiązuje zależność: Ψ(t0+) = Ψ(t0-) + t0-∫ to+uL(τ)dτ. Ponieważ przedział całkowania równa się zeru, t0-∫ to+uL(τ)dτ znika dla skończonego uL(t0-). Wobec tego Ψ(t0+) = Ψ(t0-). W przypadku cewki liniowej (ψ=L⋅iL): iL(t0-) = iL(t0+). Rząd układu mówi nam jakiego stopnia będzie równanie różniczkowe opisujące układ. STAN NIEUSTALONY W SZEREGOWYM OBWODZIE RLC. Rys.8. W celu sformułowania równania obwodu zastosujemy NPK: Ri + L(di/dt) + uC = u, i podstawimy i=C(duC/dt), otrzymując LC(d2uCS/dt2) + RC(duCS/dt) + uCS = 0. Równanie to zapiszemy w postaci: (1) (d2uCS/dt2) + 2α(duCS/dt) + ωn2uCS = 0, gdzie α=R/2L nosi nazwę stałej tłumienia, zaś ωn = 1/√(LC) jest pulsacją drgań nietłumionych. Rozwiązanie równania (1) zależy od pierwiastków równania charakterystycznego s2+2αs+ωn2=0, wynoszących: s1,2 = -α ± √(α2-ωn2). Rozróżniamy trzy przypadki: 1) α>ωn, czyli R>2√(L/C) - pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste i ujemne, a ponadto s1≠s2. Rozwiązanie swobodne określa wzór: uCS = A1es1t+A2es2t, zaś: iS = C(dUCS/dt) = C(A1s1es1t+A2s2es2t), przy czym A1 i A2 są stałymi zależnymi od warunków początkowych. Przebiegi mają charakter aperiodyczny i znikają od zera dla t→∞. 2) α=ωn, czyli R=2√(L/C) - pierwiastki równania charakterystycznego są jednakowe, rzeczywiste i ujemne, a ponadto s1 = s2 = -α. Rozwiązanie jest następujące: uCS = (A1+A2t)e-αt, a zatem: iS = C(dUCS/dt) = C[A2-α(A1+A2t)]e-αt. Przebiegi aperiodyczne, graniczne, zanikające do zera dla t→∞. 3) α<ωn, czyli R<2√(L/C) - pierwiastki równania charakterystycznego są zespolone, sprzężone s1,2 = -α ± jω0, gdzie ω0 = √(ωn2-α2) nosi nazwę pulsacji drgań własnych. Rozwiązanie równania ma postać: uCS = Ae-αtsin(ω0t+ψ), gdzie A i ψ są stałymi. Stąd: iS = C(dUCS/dt) = CA[-αsin(ω0t+ψ) + ω0cos(ω0t+ψ)]. Otrzymujemy ostatecznie: iS = A√(L/C)e-αtcos(ω0t+ψ+η), przy czym: η = arctg(α/ω0). Stopień tłumienia określa dekrement tłumienia ∂. Dla napięcia swobodnego uCS otrzymujemy: ∂ = uCS(t)/uCS(t+T0) = eαTo, a stąd wynika następujący wzór na logarytmiczny dekrement tłumienia: ln∂ = αT0.

Czwórniki

Czwórnik - połączenie mające cztery zaciski: dwa zaciski wejściowe (pierwotne) oraz dwa zaciski wyjściowe (wtórne). Zaciski wejściowe oznaczamy 1, 1', a wyjściowe 2, 2'. Napięcie u1 między 1,1' nazywa się wejściowym, natomiast u2 między 2,2' - wyjściowym. Podobnie prądu i1 oraz i2. Czwórnik liniowy - gdy wszystkie elementy z których zbudowany jest czwórnik są liniowe. Czwórnik nieliniowy - jeżeli choć jeden z elementów jest nieliniowy. Czwórnik aktywny - jeżeli w wewnętrznych połączeniach znajdują się źródła energii. Czwórnik nie zawierający żadnego źródła nazywa się pasywnym. Równania czwórnika: R. admitancyjne: [I1; I2] = Y[U1; U2]; Y= [y11, y12; y21, y22] Elementy macierzy admitancyjnej wyznacza się rozpatrując stan zwarcia strony wyjściowej (U2=0) oraz strony wejściowej (U1=0) czwórnika. R. impedancyjne: [U1; U2] = Z[I1; I2]; Z = [z11, z12; z21, z22] = [y11, y12; y21, y22]-1. Elementy wyznacza się rozpatrując stany jałowe strony wyjściowej (I2=0) oraz strony wejściowej (I1=0) R.e łańcuchowe: [U1; I1] = A[U2; -I2]; A = [a11, a12; a21, a22]. Elementy wyznacza się rozpatrując stan jałowy (I2=0)oraz stan zwarcia (U2=0) strony wyjściowej czwórnika. Równanie mieszane (hybrydowe): [U1; I2] = H[I1; U2]; H = [h11, h12; h21, h22]. Elementy wyznacza się rozpatrując stan zwarcia strony wyjściowej (U2=0) oraz stan jałowy strony wejściowej (I1=0). Czwórnik nazywamy prawidłowym jeżeli ma wszystkie macierze charakterystyczne. Czwórnik jest prawidłowy gdy ma którąkolwiek z macierzy Z,Y,A,B,H,F nieosobliwą i o wszystkich elementach różnych od zera. Jeśli nie to jest zdegenerowany. Cz. Zerowy: Czwórnik mający tylko jedną macierz charakterystyczną nazywamy czwórnikiem zerowym. Macierz charakt czwórnika zerowego ma wszystkie elementy równe zeru. Czwórniki odwracalne i symetryczne: Czwórniki, do których stosuje się tw. o wzajemności nazywamy odwracalnymi lub wzajemnymi, natomiast czwórniki do których nie stosuje się tw. o wzajemności nazywamy nieodwracalnymi lub niewzajemnymi. Czwórnikami nieodwracalnymi są czwórniki zawierające źródła sterowane. Czw. odwracalny określony jest przez trzy niezależne parametry: a= a11a22 - a12a21 = 1; z21 = -z12; y21 = -y12; h21 = h12. Czw. symetrycznym - gdy przy zmianie strony zasilania, prądy i napięcia nie zmieniają się. Jest rzeczą obojętną, którą stronę czwórnika symetrycznego zasilimy, a którą obciążymy. Macierz łańcuchowa czwórnika symetrycznego nie może zależeć od wyboru strony zasilania. Wynika stąd warunek jaki muszą spełniać elementy macierzy łańcuchowej czwórnika symetrycznego: a22 = a11; z22 = -z11; y22 = -y11; h = h11h22 - h122 = 1. Impedancja falowa: Impedancją wejściową czwórnika symetrycznego nazywamy iloraz napięcia wejściowego U1 przez prąd wejściowy I1, czyli Z1 = U1/I1. Połączenie łańcuchowe: czwórników nazywamy połączenie, w którym zaciski wyjściowe jednego czwórnika dołączone są do zacisków wejściowych czwórnika następnego. Rys.10 przedstawia połączenie łańcuchowe czwórników. Równania łańcuchowe poszczególnych czwórników: [U1; I1] = a1[U2; I2]; [U2; I2] = a2[U3; I3], skąd po podstawieniu otrzymujemy: [U1; I1] = a1a2[U3; I3]. Równanie łańcuchowe czwórnika zastępczego jest następujące: [U1; I1] = a[U3; I3], gdzie a = a1a2. W przypadku połączenia łańcuchowego zawierającego n czwórników o macierzach łańcuchowych a1, a2, ..., an macierz łańcuchowa czwórnika zastępczego wyraża się wzorem: a = a1a2...an. Wynika stąd, że macierz łańcuchowa połączenia łańcuchowego jest równa iloczynowi ich macierzy łańcuchowych. Połączenie szeregowe (regularne): Równania impedancyjne poszczególnych czwórników w połączeniu przybierają postać: [U1'; U2'] = z1[I1; I2] oraz [U1''; U2''] = z2[I1; I2]. Napięcie wejściowe U1 oraz wyjściowe U2 są sumą napięć po stronie wejściowej lub wyjściowej obu czwórników. Wynika stąd, że macierz impedancyjna połączenia szeregowego dwóch czwórników: z = z1+z2, a więc macierze impedancyjne dodają się. Połączenie równoległe: W połączeniu równoległym dwóch czwórników zarówno strony wejściowe jak i wyjściowe obu czwórników połączone są równolegle, wobec czego napięcie U1 istnieje po stronie wejściowej, a napięcie U2 - po stronie wyjściowej każdego z czwórników. Równania admitancyjne poszczególnych czwórników tworzących połączenie wyrażają się wzorami: [I1'; I2'] = y1[U1; U2] oraz [I1''; I2''] = y2[U1; U2]. Macierz admitancyjna połączenia równoległego dwóch czwórników: y = y1+y2, co oznacza że przy połączeniu równoległym czwórników dodają się ich macierze admitancyjne.

Linia długa

Linia długa: Obwód o parametrach rozłożonych, w którym należy uwzględnić dwa rodzaje zmiennych niezależnych związanych z czasem i przestrzenią. Jeżeli zaburzeniem jest sygnał okresowy o okresie T, to definiuje się długość fali tego sygnału λ zgodnie ze wzorem: λ = vT = v/f, gdzie f - częstotliwość. Jeżeli układ ma taką konfigurację, że jego wymiary geometryczne w jednym kierunku są znacznie większe niż w innych kierunkach, to model takiego układu zawiera parametry rozłożone i nazywany jest linią długą. Równania Linii długiej: Linię długą modeluje się za pomocą obwodu zawierającego elementy R, L, C, G. R jest rezystancją reprezentującą straty cieplne w linii, L - indukcyjnością reprezentującą energię zgromadzoną w p. magnet. linii, C - pojemność reprezentująca energię zgromadzoną w p. elektr. wytworzonym przez przewody, G - konduktancja reprezentująca straty cieplne w dielektryku w którym znajdują się przewody. Jeżeli parametry R, L, C, G są stałe (niezależne od x), to linię nazywamy jednorodną. Model linii długiej można traktować jako łańcuchowe połączenie czwórników. Na zaciskach pierwotnych występuje napięcie u(x,t) oraz prąd i(x,t), a na wtórnych u(x + Δx, t), i(x + Δx, t). Równania linii długiej: 1) -du/dx = Ri + L(di/dt); 2) -di/dx = Gu + C(du/dt). W szczególnym przypadku, gdy R=0 i G=0 mamy do czynienia z tzw. linią bez strat. Równania takiej linii: 1) LC(d2u/dt2) - (d2u/dx2) = 0; 2) LC(d2i/dt2) - (d2i/dx2) = 0 Prędkość rozchodzenia się fali: v = 1/√LC. W linii bez strat napięcie i prąd mają charakter falowy. RÓWNANIA TRANSFORMAT. 1) (d2u/dx2) - γ2u = 0; 2) (d2i/dx2) - γ2i = 0, gdzie γ = √[(R+sL)(G+sC)] - współczynnik przenoszenia linii. Rozwiązania tych równań mają postać: u(x) = A1(s)e-γx + A2(s)e-γx; i(x) = B1(s)e-γx + B2(s)e-γx. Funkcje A1(s), A2(s) oraz B1(s), B2(s) są wzajemnie uzależnione. Znajdujemy B1(s) = A1(s) / Zf; B2(s) = A2(s) / Zf, gdzie Zf = √[(R+sL) / (G+sC)] nazywamy impedancją falową linii długiej. Ostatecznie układ równań przyjmuje postać: 1) u(x) = A1(s)e-γx + A2(s)e-γx, 2) i(x) = (1/Zf)[A1(s)e-γx + A2(s)e-γx]. W celu zdeterminowania funkcji A1(s) i A2(s) należy rozpatrzyć odpowiednie warunki brzegowe, czyli określić związki pomiędzy napięciami i prądami na początku i na końcu linii. WARUNKI BRZEGOWE W LINII NIESKOŃCZENIE DŁUGIEJ. Rozpatrujemy linię długą zasilaną na początku (x=0) z generatora o napięciu źródłowym e1(t) oraz impedancji operatorowej Z1(s). Warunki początkowe w całym układzie są równe zeru: u(x,0) = 0 oraz u(x,0) = 0. Napięcie i prąd na początku linii: u1(t) oraz i1(t), a ich transformaty U1 oraz I1. Warunek brzegowy na początku linii: E1 - U1 = Z1(s)I1. A zatem równania linii długiej: 1) U(x) = [Zf / (Z1+Zf)]E1e-γx; 2) I(x) = [Zf / (Z1+Zf)]E1e-γx. W jednorodnej linii nieskończenie długiej stosunek transformat napięcia i prądu w dowolnym punkcie x jest równy impedancji falowej. Impedancja wejściowa linii nieskończenie długiej jest równa impedancji falowej tej linii. WARUNKI BRZEGOWE LINII O SKOŃCZONEJ DŁUGOŚCI. Analizujemy linię o skończonej długości l zasilanej z generatora E1, Z1(s) i na końcu z generatora E2, Z2(s). Na początku linii: x = 0: E1 = U1+Z1(s)I1. Na końcu linii: x = l: U2 = Z2(s)I2 + E2. Linia dopasowana falowo: Jeżeli impedancja operatorowa odbiornika równa się impedancji falowej, czyli Z2 = Zf. Linia zwarta na końcu: W przypadku zwarcia Z2(s)=0. Linia rozwarta na końcu: Z2(s)= ∞. Linia zrównoważona: Gdy zachodzi warunek: R/L = G/C, przy czym LC≠0. Linia bez strat: W linii bez strat zachodzi R=0, G=0 oraz LC≠0, co sprawia że w linii nie ma żadnych strat energii. W linii bez strat napięcie i prąd mają charakter fali płaskiej, której prędkość rozchodzenia się wynosi: : v = 1/√LC. Impedancja falowa linii bez strat równa się oporowi charakterystycznemu: Zf = √(L/C), oraz współczynnik przenoszenia wyraża się wzorem: γ = s√LC = s.

Metoda klasyczna

Liniowość: Opornik: jeżeli R=const. Cewka: ψ=Li , charakterystyka prądowo-strumieniowa jest linią prostą. Kondensator: q=Cu , char. Napięciowo-ładunkowa jest linią prostą. Stacjonarność: Elementy nie zależą od czasu. Obwody są skupione jeśli można zgromadzić w poszczególnych częściach obwodu reprezentacje zjawisk fizycznych, tzn. rezystor - zamiana energii na ciepło; cewka - obecność pola mag. wokół przewodu z prądem ; kondensator - obecność pola mag. w obwodzie. Stała czasowa to taki czas po którym wartość składowej swobodnej zmienia się e-krotnie. Interpretujemy ją również jako długość odcinka zawartego między rzutem dowolnego punktu krzywej na oś odciętych a punktem przecięcia stycznej, poprowadzonej w tym punkcie z osią odciętych. uCs(t)=Ae-t/τ. duCs(t)/dt=- Ae-t/τ/τ=tgβ=tg-γ. tgγ=Ae-t/τ/τ=-A1/x= Ae-t/τ/(tk-tj). tk-tj= τ. Algorytm rozwiązywania układów dowolnego rzędu: 1.Wybieram zmienną (dowolnie- najlepiej napięcie na kondensatorze lub prąd w cewce). W przypadku układu nieliniowego wybieramy ładunek jednego z kondensatorów lub strumień jednej z cewek. 2.Układamy równania Kirhoffa- formułujemy ostatecznie równanie różniczkowe. 3.Ustalamy warunki początkowe: -są to napięcie Uc(0) i IL(0) dla wszystkich niezależnych kondensatorów i cewek w układzie. -pochodne zmiennej wybranej w punkcie a w chwili 0+. 4.Wyznaczenie składowej wymuszonej metodami obwodowymi (przy t→∞ obliczamy rozpływ prądów i napięć w stanie ustalonym). 5.Wyznaczenie składowej swobodnej: -znajdujemy układ podstawowy rozwiązań równania jednorodnego. -wyznaczamy stałe dowolne z wykorzystaniem warunków początkowych. 6.Rozwiązanie jest postaci: x(t)=xw(t)+xs(t).

Metoda operatorowa

Przekształcenie LAPLACE'A: Przekształceniem lub transformatą Laplace'a funkcji f(t) nazywamy wyrażenie: α{f(t)} = F(s) = 0∫∞ f(t)e-stdt, gdzie s = δ+jω jest zmienną zespoloną. Funkcję f(t) nazywamy funkcją pierwotną lub oryginałem, natomiast funkcję F(s) transformatą Laplace'a funkcji f(t). Własności przekształcenia Laplace'a: Tw o liniowości. Jeżeli a i b są dowolnymi stałymi, to L{af(t)+bg(t)}= aF(s)+bG(s). Prawdziwość twierdzenia wynika bezpośrednio z faktu, że całkowanie jest operacją addytywną i jednorodną. Tw o podobieństwie. Jeżeli a jest liczbą rzeczywistą dodatnią, to L{f(at)} = (1/a)F(s/a). Tw o przesunięciu w dziedzinie zespolonej. Jeżeli k jest dowolną liczbą rzeczywistą lub zespoloną, to L{ektf(t)} = F(s-k). Twierdzenie to pokazuje jaki wpływ w dziedzinie przekształcenia Laplace'a ma pomnożenie funkcji f(t) przez czynnik ekt. Tw o opóźnieniu. Jeżeli h jest stałą rzeczywistą dodatnią, to L{f(t-h)u(t-h)} = e-shF(s). Tw o transformacie pochodnej. L{df/dt}=sF(s)-f(0), gdzie F(s)=L{f(t). Tw o transformacie całki. L{0∫t f(τ)dτ}=F(s)/s, gdzie F(s)=L{f(t). Tw o transformacie splotu (Borela): L{f(t)*g(t)}=F(s)G(s). Tw. o transformacie pochodnej splotu: Jeżeli F(s)=L{f(t)}, G(s)=L{g(t)} to transformata pochodnej splotu wyraża się wzorem L{d/dt{f(t)*g(t)}}=sF(s)G(s). Transformata funkcji okresowej: f(t)1(t)=g(t)+f(t-T)1(t-T). Odwrotne przekształcenie Laplace'a: Jeżeli funkcja f(t) jest bezwzględnie transformowalna i L{f(t)} = F(s) oraz w każdym przedziale <0,T>, T>0, ma ograniczoną zmienność, to dla dowolnej ustalonej wartości c>xa: (1/2πj)[c-j∞∫c+j∞ estF(s)ds = f(t) dla t>0 i (1/2πj)[c-j∞∫c+j∞ estF(s)ds=0 dla t<0. Zachodzi wzór: f(t) = L-1{F(s)} = (1/2πj)[c-j∞∫c+j∞ estF(s)ds, zwany wzorem Riemanna - Mellina. Rozkład na ułamki proste. Rozpatrzmy funkcję wymierną postaci F(s) = n(s)/d(s), gdzie n(s) i d(s) są wielomianami takimi, że stopień n(s) jest mniejszy od stopnia d(s). Załóżmy na wstępie, że zera wielomianu d(s), czyli pierwiastki równania d(s)=0 są pojedyncze i wynoszą s1,s2, ..., sm, gdzie si≠sj. Pierwiastki te nazywamy biegunami funkcji F(s). Przy przyjętych założeniach funkcja F(s) ma postać F(s) = n(s)/[(s-s1)(s-s2)...(s-sm)]. Funkcję F(s) można rozwinąć na ułamki proste o postaci F(s) = j=1Σm [kj/(s-sj)]. W celu wyznaczenia k1 mnożymy F(s) przez (s-s1): (s-s1)F(s) = k1 + j=1Σm [kj/(s-sj)](s-s1) i przyjmujemy, że s→s1. Wobec czego zachodzi: k1 = lims→s1(s-s1)F(s). Po odpowiednich przekształceniach znajdujemy odwrotne przekształcenie Laplace'a: L-1(F(s)) = j=1Σm L-1[kj/(s-sj)] = j=1Σm kjepjt, t ≥ 0. Impulsem Diraca nazywamy wielkość δ(t) o następujących właściwościach: δ(t) = {0 dla t≠0} i δ(t) = {+∞ dla t=0}, oraz -∞∫∞ δ(t)dt = 1. Impuls Diraca będzie aproksymowany za pomocą funkcji δ(t,h) dwóch zmiennych: t∈(-∞; +∞) oraz h>0. Przykładem funkcji aproksymującej jest funkcja pokazana na Rys.9, określona zależnością: δ(t,h) = {1/h dla 0<t<h} i {0 dla t<0 oraz t>h}, lub w postaci wzoru δ(t,h) = (1/h)[u(t)-u(t-h)]. Korzystając z powyższego wzoru znajdujemy transformatę δ(t,h) L{δ(t,h)} = (1/h)[1/s-(1/s)e-sh]. Z zależności δ(t) = {0 dla t≠0} i δ(t) = {+∞ dla t=0}, oraz -∞∫∞ δ(t)dt = 1, definiujących impuls Diraca, wynika: -∞∫t δ(τ)dτ = 1 dla t>0 i -∞∫t δ(τ)dτ = 0 dla t<0. Stąd otrzymujemy -∞∫t δ(τ)dτ = 1(t) i po zróżniczkowaniu dochodzimy do relacji wiążącej impuls Diraca z funkcją jednostkową δ(t) = (d/dt)1(t). Równania operatorowe: Dla dwójników skupionych, liniowych, stacjonarnych przy zerowych warunkach początkowych, równanie operatorowe ma postać U(s) = Z(s)I(s), lub I(s) = Y(s)U(s), przy czym Z(s), Y(s) jest funkcją wymierną rzeczywistą. Z(s) nosi nazwę impedancji operatorowej, zaś Y(s) admitancji operatorowej dwójnika. Pisząc PPK dla wartości chwilowych Σik(t) = 0 i dokonując przekształcenia Laplace'a otrzymujemy ΣIk(s) = 0. Analogicznie w przypadku NPK dochodzimy do równania ΣUk(s) = 0. Powyższe relacje wskazują, że PPK i NPK dla transformat prądów i napięć formułuje się identycznie jak dla wartości chwilowych. Rezystor: Z zależności u=Ri, po dokonaniu transformacji Laplace'a, otrzymujemy U(s) = RI(s), a zatem ZR(s) = R. Cewka: Poddając obie strony równania u = L(di/dt) przekształceniu Laplace'a i korzystając z tw. o transformacie pochodnej, znajdujemy U(s) = sLI(s)-Li(0). Kondensator: Z zależności napięciowo prądowej dla wartości chwilowych u = u(0) + (1/C)0∫t i(τ)dτ otrzymujemy w wyniku przekształcenia Laplace'a i uwzględnienia tw. o transformacie całki, równanie operatorowe U(s) = u(0)/s + (1/sC)I(s).

Fourier

Tw. FOURIER'A: Funkcję okresową f(t) o okresie T można przedstawić w postaci szeregu utworzonego ze składowej stałej i przebiegów sinusoidalnych o częstotliwościach k⋅f, gdzie f=1/T, k=1,2,3,..., jeżeli funkcja ta spełnia warunki Dirichleta: 1) w każdym przedziale o długości T funkcja f(t) jest bezwzględnie całkowalna: ∫Tf(t)dt<∞. 2) w każdym przedziale o długości T f-cja f(t) ma co najmniej skończoną liczbę maksimów i minimów. 3) funkcja f(t) może mieć w przedziale o długości T co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości, przy czym w każdym punkcie nieciągłości istnieją granice: lewostronna i prawostronna. Postacie szeregu Fourier'a: f(t) = A0 + k=1Σ∞Amk⋅sin(kω0+αk), gdzie Amk - amplituda k-tej harmonicznej; αk - faza początkowa k-tej harmonicznej. f(t) = C0/2 + k=1Σ∞(Bksinkω0 + Ckcoskω0); Bk = Amkcosαk; Ck = Amksinαk; Amk = √(Bk2+Ck2); φk=argVk=arctg(Ck/Bk). Postać wykładnicza: f(t)= -∞Σ∞Vkejkωt , Vk= |Vk|ejargV=|Vk|ejφ . Widmo sygnału okresowego: Nazywamy ciąg współczynników rozwinięcia funkcji okresowej f(t) w zespolony szereg Fouriera. Vk=(1/T) {to∫to+T}f(t)e-jkωtdt. gdzie: Vk= |Vk|ejargV=|Vk|ejφ. Widmem amplitudowym nazywamy ciąg liczb rzeczywistych: {|Vk|:k=0,±1..}. Widmem fazowym nazywamy ciąg liczb rzeczywistych: {argVk=φk :k=0,±1..}. Z zależności |Vk|=|V-k|, argVk=-argV-k. Wynika z tego że widmo amplitudowe jest funkcją parzystą, a fazowe nieparzystą. Efekt Gibbsa: Przy skokowych zmianach wartości w otoczeniu punktu nieciągłości występują niekorzystne oscylacje funkcji (sygnału). Zwiększenie liczby wyrazów w sumie częściowej zmniejsza błąd aproksymacji. Można wykazać że w otoczeniu punktu nieciągłości skończony szereg aproksymujący posiada oscylacje, z których największa przyjmuje wartość 9% wartości skoku w punkcie nieciągłości. Tw. PARSEVALA. Jeżeli f(t) i g(t) są funkcjami okresowymi o tym samym okresie T spełniającymi warunki Dirichleta, to zachodzi zależność: (1/T)0∫Tf(t)g(t)dt = k=-∞Σ∞ fk⋅gk* = k=-∞Σ∞ fk*⋅gk. 1)Współczynnik szczytu: Jest to stosunek wartości maksymalnej do skutecznej: s=Amax/Ask; dla sinusoidy: Ask=Amax/√2, s=√2; dla prostokąta: Amax=A; Ask=A; s=1. 2) Współczynnik kształtu: Jest to stosunek wartości skutecznej do wartości średniej z modułu: k=Ask/Aśr; dla sinusoidy: Aśr = 2Amax/π; k = (Amax/√2)(π/2Amax) = 1,11; dla prostokąta: k = A/A = 1. 3) Współczynnik zawartości harmonicznych: Jest to stosunek wartości skutecznej przebiegu po usunięciu z niego składowej stałej i pierwszej harmonicznej do wartości skutecznej przebiegu po usunięci z niego składowej stałej: dla sinusoidy: h=0; dla prostokąta: A0=0; Ask=A; h=0,43. 4) Współczynnik odkształcenia: Jest to stosunek wartości skutecznej I harmonicznej do wartości skutecznej całego przebiegu: k0 = A1/Ask; dla sinusoidy: k0=A/A=1; dla prostokąta: k0 = 4/π√2 = 0,9. 5) Współczynnik zawartości k-tej harmonicznej: Jest to stosunek wartości skutecznych k-tej harmonicznej do I harmonicznej: hk = Ak/A1. Wpływ indukcyjności i pojemności na wyższe harm. prądu i napięcia: Indukcyjność: Rozpatrzmy cewkę liniową o indukcyjności L: Imk/Im1=(Umk/kω0L)(ω0L/Um1) = (Umk/Um1)(1/k), przy czym dla wyższych harmonicznych k>1, a zatem Imk/Im1<Umk/Um1. Indukcyjność działa tłumiąco na wyższe harmoniczne prądu i pobudzająco na wyższe harmoniczne napięcia. Pojemność: Rozpatrzmy kondensator liniowy o pojemności C. Imk/Im1=(Umk⋅kω0C)(Um1⋅ω0C) = k(Umk/Um1)>Umk/Um1. Pojemność działa tłumiąco na wyższe harmoniczne napięcia i pobudzająco na wyższe harmoniczne prądu. Moce: Moc czynna dwójnika równa się sumie mocy wytworzonej przez składowe stałe U0, I0 oraz mocy czynnych poszczególnych harmonicznych prądu i napięcia tego samego rzędu: P=U0I0+k=1Σ∞Uk⋅Ik⋅cosϕk. Moc bierną definiujemy jako sumę mocy biernych poszczególnych harmonicznych: P= k=1Σ∞Uk⋅Ik⋅sinϕk. Mocą pozorną nazywamy iloczyn wartości skutecznych prądu i napięcia: Sp=UskIsk. Moc odkształcenia: Dla niesinusoidalnych przebiegów ogólnie nie obowiązuje trójkąt mocy. Zachodzi natomiast nierówność: P2+Q2≤Sp2, w związku z czym wprowadza się pojęcie mocy zniekształcenia T, korzystając z relacji: P2+Q2+T2=Sp2.

ANALIZA OBWODÓW RC W STANIE NIEUSTALONYM. Rozpatrzmy obwód przedstawiony na Rys.5. pobudzany napięciem u=Umsin(ωt+ϕu). W analizowanym obwodzie zastosujemy NPK: u=Ri+uC, a następnie podstawimy i=C(duC/dt), otrzymując: RC(duC/dt)+uC = Umsin(ωt+ϕu); RC(duCS/dt)+uCS=0. Rozwiązanie uCS ma postać wzoru Helmholtza: uCS=Ae-t/RC i zawiera składową stałą A zależną od warunku początkowego. Zatem pełna odpowiedź obwodu wynosi: uC = uCW + uCS = uCW + Ae-t/RC i po upływie dostatecznie długiego czasu dąży do uCW. Wprowadzone wyżej napięcia uCW i uCS noszą odpowiednio nazwę składowej wymuszonej i składowej swobodnej rozwiązania uC. Obwód RC opiszemy równaniem różniczkowym I rzędu: RC(duC/dt)+uC=eZ, przy czym RC=τ nosi nazwę stałej czasowej obwodu. Dzielimy obie strony równania przez τ: (duC/dt)+(1/τ)uC=(1/τ)eZ. Stałą A znajdujemy pisząc równanie : uC = uCW + Ae-t/RC dla chwili t=0. Otrzymujemy: A=uC(0)-uCW(0), co po rozwiązaniu prowadzi do pełnego rozwiązania: uC = uCW + [uC(0)-uCW(0)]e-t/τ. Przy wyznaczaniu wartości początkowej uC(0) korzystamy z zas. zachowania ładunku kondensatora. Ładunek kondensatora q(t) nie może zmienić się momentalnie, a stąd wynika, że q(t) jest ciągłą funkcją czasu. Oznaczmy przez q(t0-) lewostronną, a przez q(t0+) prawostronną granicę q(t) w chwili t=t0. Zachodzi zależność q(t0-) = q(t0+) +t0-∫ t0+iC(τ)dτ. Ponieważ t0+-t0-=0. Z zas. ciągłości ładunku wynika zas. ciągłości napięcia liniowego kondensatora o stałej pojemności C, czyli uC(t0+) = uC(t0-). Wykres uCS(t). ANALIZA OBWODÓW RL W STANIE NIEUSTALONYM. Weźmiemy pod uwagę obwód z Rys.7 i zbudujemy równanie tego obwodu, posługując się PPK przy uwzględnieniu zależności uL=L(diL/dt). Otrzymujemy: (diL/dt)+(1/τ)iL=(1/τ)iZ, gdzie τ=L/RZ jest stałą czasową analizowanego obwodu. iL=iLw+Ae-t/τ, gdzie A=iL(0)-iLw(0), a stąd: iL = iLw + [iL(0)-iLw(0)]e-t/τ. W powyższych wymuszeniach iLw jest składową wymuszoną, a iLS = Ae-t/τ składową swobodną prądu iL. Wyznaczając warunek początkowy iL(0), korzystamy z zas. zachowania strumienia magnetycznego skojarzonego z cewką. Według tej zasady strumień magnetyczny skojarzony nie może zmienić się momentalnie, czyli Ψ(t) jest ciągłą funkcją czasu. Oznaczamy przez Ψ(t0-) lewostronną oraz przez Ψ(t0+) prawostronną granicę Ψ(t) w chwili t=t0. Obowiązuje zależność: Ψ(t0+) = Ψ(t0-) + t0-∫ to+uL(τ)dτ. Ponieważ przedział całkowania równa się zeru, t0-∫ to+uL(τ)dτ znika dla skończonego uL(t0-). Wobec tego Ψ(t0+) = Ψ(t0-). W przypadku cewki liniowej (ψ=L⋅iL): iL(t0-) = iL(t0+). Rząd układu mówi nam jakiego stopnia będzie równanie różniczkowe opisujące układ. STAN NIEUSTALONY W SZEREGOWYM OBWODZIE RLC. Rys.8. W celu sformułowania równania obwodu zastosujemy NPK: Ri + L(di/dt) + uC = u, i podstawimy i=C(duC/dt), otrzymując LC(d2uCS/dt2) + RC(duCS/dt) + uCS = 0. Równanie to zapiszemy w postaci: (1) (d2uCS/dt2) + 2α(duCS/dt) + ωn2uCS = 0, gdzie α=R/2L nosi nazwę stałej tłumienia, zaś ωn = 1/√(LC) jest pulsacją drgań nietłumionych. Rozwiązanie równania (1) zależy od pierwiastków równania charakterystycznego s2+2αs+ωn2=0, wynoszących: s1,2 = -α ± √(α2-ωn2). Rozróżniamy trzy przypadki: 1) α>ωn, czyli R>2√(L/C) - pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste i ujemne, a ponadto s1≠s2. Rozwiązanie swobodne określa wzór: uCS = A1es1t+A2es2t, zaś: iS = C(dUCS/dt) = C(A1s1es1t+A2s2es2t), przy czym A1 i A2 są stałymi zależnymi od warunków początkowych. Przebiegi mają charakter aperiodyczny i znikają od zera dla t→∞. 2) α=ωn, czyli R=2√(L/C) - pierwiastki równania charakterystycznego są jednakowe, rzeczywiste i ujemne, a ponadto s1 = s2 = -α. Rozwiązanie jest następujące: uCS = (A1+A2t)e-αt, a zatem: iS = C(dUCS/dt) = C[A2-α(A1+A2t)]e-αt. Przebiegi aperiodyczne, graniczne, zanikające do zera dla t→∞. 3) α<ωn, czyli R<2√(L/C) - pierwiastki równania charakterystycznego są zespolone, sprzężone s1,2 = -α ± jω0, gdzie ω0 = √(ωn2-α2) nosi nazwę pulsacji drgań własnych. Rozwiązanie równania ma postać: uCS = Ae-αtsin(ω0t+ψ), gdzie A i ψ są stałymi. Stąd: iS = C(dUCS/dt) = CA[-αsin(ω0t+ψ) + ω0cos(ω0t+ψ)]. Otrzymujemy ostatecznie: iS = A√(L/C)e-αtcos(ω0t+ψ+η), przy czym: η = arctg(α/ω0). Stopień tłumienia określa dekrement tłumienia ∂. Dla napięcia swobodnego uCS otrzymujemy: ∂ = uCS(t)/uCS(t+T0) = eαTo, a stąd wynika następujący wzór na logarytmiczny dekrement tłumienia: ln∂ = αT0.

Czwórniki

Czwórnik - połączenie mające cztery zaciski: dwa zaciski wejściowe (pierwotne) oraz dwa zaciski wyjściowe (wtórne). Zaciski wejściowe oznaczamy 1, 1', a wyjściowe 2, 2'. Napięcie u1 między 1,1' nazywa się wejściowym, natomiast u2 między 2,2' - wyjściowym. Podobnie prądu i1 oraz i2. Czwórnik liniowy - gdy wszystkie elementy z których zbudowany jest czwórnik są liniowe. Czwórnik nieliniowy - jeżeli choć jeden z elementów jest nieliniowy. Czwórnik aktywny - jeżeli w wewnętrznych połączeniach znajdują się źródła energii. Czwórnik nie zawierający żadnego źródła nazywa się pasywnym. Równania czwórnika: R. admitancyjne: [I1; I2] = Y[U1; U2]; Y= [y11, y12; y21, y22] Elementy macierzy admitancyjnej wyznacza się rozpatrując stan zwarcia strony wyjściowej (U2=0) oraz strony wejściowej (U1=0) czwórnika. R. impedancyjne: [U1; U2] = Z[I1; I2]; Z = [z11, z12; z21, z22] = [y11, y12; y21, y22]-1. Elementy wyznacza się rozpatrując stany jałowe strony wyjściowej (I2=0) oraz strony wejściowej (I1=0) R.e łańcuchowe: [U1; I1] = A[U2; -I2]; A = [a11, a12; a21, a22]. Elementy wyznacza się rozpatrując stan jałowy (I2=0)oraz stan zwarcia (U2=0) strony wyjściowej czwórnika. Równanie mieszane (hybrydowe): [U1; I2] = H[I1; U2]; H = [h11, h12; h21, h22]. Elementy wyznacza się rozpatrując stan zwarcia strony wyjściowej (U2=0) oraz stan jałowy strony wejściowej (I1=0). Czwórnik nazywamy prawidłowym jeżeli ma wszystkie macierze charakterystyczne. Czwórnik jest prawidłowy gdy ma którąkolwiek z macierzy Z,Y,A,B,H,F nieosobliwą i o wszystkich elementach różnych od zera. Jeśli nie to jest zdegenerowany. Cz. Zerowy: Czwórnik mający tylko jedną macierz charakterystyczną nazywamy czwórnikiem zerowym. Macierz charakt czwórnika zerowego ma wszystkie elementy równe zeru. Czwórniki odwracalne i symetryczne: Czwórniki, do których stosuje się tw. o wzajemności nazywamy odwracalnymi lub wzajemnymi, natomiast czwórniki do których nie stosuje się tw. o wzajemności nazywamy nieodwracalnymi lub niewzajemnymi. Czwórnikami nieodwracalnymi są czwórniki zawierające źródła sterowane. Czw. odwracalny określony jest przez trzy niezależne parametry: a= a11a22 - a12a21 = 1; z21 = -z12; y21 = -y12; h21 = h12. Czw. symetrycznym - gdy przy zmianie strony zasilania, prądy i napięcia nie zmieniają się. Jest rzeczą obojętną, którą stronę czwórnika symetrycznego zasilimy, a którą obciążymy. Macierz łańcuchowa czwórnika symetrycznego nie może zależeć od wyboru strony zasilania. Wynika stąd warunek jaki muszą spełniać elementy macierzy łańcuchowej czwórnika symetrycznego: a22 = a11; z22 = -z11; y22 = -y11; h = h11h22 - h122 = 1. Impedancja falowa: Impedancją wejściową czwórnika symetrycznego nazywamy iloraz napięcia wejściowego U1 przez prąd wejściowy I1, czyli Z1 = U1/I1. Połączenie łańcuchowe: czwórników nazywamy połączenie, w którym zaciski wyjściowe jednego czwórnika dołączone są do zacisków wejściowych czwórnika następnego. Rys.10 przedstawia połączenie łańcuchowe czwórników. Równania łańcuchowe poszczególnych czwórników: [U1; I1] = a1[U2; I2]; [U2; I2] = a2[U3; I3], skąd po podstawieniu otrzymujemy: [U1; I1] = a1a2[U3; I3]. Równanie łańcuchowe czwórnika zastępczego jest następujące: [U1; I1] = a[U3; I3], gdzie a = a1a2. W przypadku połączenia łańcuchowego zawierającego n czwórników o macierzach łańcuchowych a1, a2, ..., an macierz łańcuchowa czwórnika zastępczego wyraża się wzorem: a = a1a2...an. Wynika stąd, że macierz łańcuchowa połączenia łańcuchowego jest równa iloczynowi ich macierzy łańcuchowych. Połączenie szeregowe (regularne): Równania impedancyjne poszczególnych czwórników w połączeniu przybierają postać: [U1'; U2'] = z1[I1; I2] oraz [U1''; U2''] = z2[I1; I2]. Napięcie wejściowe U1 oraz wyjściowe U2 są sumą napięć po stronie wejściowej lub wyjściowej obu czwórników. Wynika stąd, że macierz impedancyjna połączenia szeregowego dwóch czwórników: z = z1+z2, a więc macierze impedancyjne dodają się. Połączenie równoległe: W połączeniu równoległym dwóch czwórników zarówno strony wejściowe jak i wyjściowe obu czwórników połączone są równolegle, wobec czego napięcie U1 istnieje po stronie wejściowej, a napięcie U2 - po stronie wyjściowej każdego z czwórników. Równania admitancyjne poszczególnych czwórników tworzących połączenie wyrażają się wzorami: [I1'; I2'] = y1[U1; U2] oraz [I1''; I2''] = y2[U1; U2]. Macierz admitancyjna połączenia równoległego dwóch czwórników: y = y1+y2, co oznacza że przy połączeniu równoległym czwórników dodają się ich macierze admitancyjne.

Linia długa

Linia długa: Obwód o parametrach rozłożonych, w którym należy uwzględnić dwa rodzaje zmiennych niezależnych związanych z czasem i przestrzenią. Jeżeli zaburzeniem jest sygnał okresowy o okresie T, to definiuje się długość fali tego sygnału λ zgodnie ze wzorem: λ = vT = v/f, gdzie f - częstotliwość. Jeżeli układ ma taką konfigurację, że jego wymiary geometryczne w jednym kierunku są znacznie większe niż w innych kierunkach, to model takiego układu zawiera parametry rozłożone i nazywany jest linią długą. Równania Linii długiej: Linię długą modeluje się za pomocą obwodu zawierającego elementy R, L, C, G. R jest rezystancją reprezentującą straty cieplne w linii, L - indukcyjnością reprezentującą energię zgromadzoną w p. magnet. linii, C - pojemność reprezentująca energię zgromadzoną w p. elektr. wytworzonym przez przewody, G - konduktancja reprezentująca straty cieplne w dielektryku w którym znajdują się przewody. Jeżeli parametry R, L, C, G są stałe (niezależne od x), to linię nazywamy jednorodną. Model linii długiej można traktować jako łańcuchowe połączenie czwórników. Na zaciskach pierwotnych występuje napięcie u(x,t) oraz prąd i(x,t), a na wtórnych u(x + Δx, t), i(x + Δx, t). Równania linii długiej: 1) -du/dx = Ri + L(di/dt); 2) -di/dx = Gu + C(du/dt). W szczególnym przypadku, gdy R=0 i G=0 mamy do czynienia z tzw. linią bez strat. Równania takiej linii: 1) LC(d2u/dt2) - (d2u/dx2) = 0; 2) LC(d2i/dt2) - (d2i/dx2) = 0 Prędkość rozchodzenia się fali: v = 1/√LC. W linii bez strat napięcie i prąd mają charakter falowy. RÓWNANIA TRANSFORMAT. 1) (d2u/dx2) - γ2u = 0; 2) (d2i/dx2) - γ2i = 0, gdzie γ = √[(R+sL)(G+sC)] - współczynnik przenoszenia linii. Rozwiązania tych równań mają postać: u(x) = A1(s)e-γx + A2(s)e-γx; i(x) = B1(s)e-γx + B2(s)e-γx. Funkcje A1(s), A2(s) oraz B1(s), B2(s) są wzajemnie uzależnione. Znajdujemy B1(s) = A1(s) / Zf; B2(s) = A2(s) / Zf, gdzie Zf = √[(R+sL) / (G+sC)] nazywamy impedancją falową linii długiej. Ostatecznie układ równań przyjmuje postać: 1) u(x) = A1(s)e-γx + A2(s)e-γx, 2) i(x) = (1/Zf)[A1(s)e-γx + A2(s)e-γx]. W celu zdeterminowania funkcji A1(s) i A2(s) należy rozpatrzyć odpowiednie warunki brzegowe, czyli określić związki pomiędzy napięciami i prądami na początku i na końcu linii. WARUNKI BRZEGOWE W LINII NIESKOŃCZENIE DŁUGIEJ. Rozpatrujemy linię długą zasilaną na początku (x=0) z generatora o napięciu źródłowym e1(t) oraz impedancji operatorowej Z1(s). Warunki początkowe w całym układzie są równe zeru: u(x,0) = 0 oraz u(x,0) = 0. Napięcie i prąd na początku linii: u1(t) oraz i1(t), a ich transformaty U1 oraz I1. Warunek brzegowy na początku linii: E1 - U1 = Z1(s)I1. A zatem równania linii długiej: 1) U(x) = [Zf / (Z1+Zf)]E1e-γx; 2) I(x) = [Zf / (Z1+Zf)]E1e-γx. W jednorodnej linii nieskończenie długiej stosunek transformat napięcia i prądu w dowolnym punkcie x jest równy impedancji falowej. Impedancja wejściowa linii nieskończenie długiej jest równa impedancji falowej tej linii. WARUNKI BRZEGOWE LINII O SKOŃCZONEJ DŁUGOŚCI. Analizujemy linię o skończonej długości l zasilanej z generatora E1, Z1(s) i na końcu z generatora E2, Z2(s). Na początku linii: x = 0: E1 = U1+Z1(s)I1. Na końcu linii: x = l: U2 = Z2(s)I2 + E2. Linia dopasowana falowo: Jeżeli impedancja operatorowa odbiornika równa się impedancji falowej, czyli Z2 = Zf. Linia zwarta na końcu: W przypadku zwarcia Z2(s)=0. Linia rozwarta na końcu: Z2(s)= ∞. Linia zrównoważona: Gdy zachodzi warunek: R/L = G/C, przy czym LC≠0. Linia bez strat: W linii bez strat zachodzi R=0, G=0 oraz LC≠0, co sprawia że w linii nie ma żadnych strat energii. W linii bez strat napięcie i prąd mają charakter fali płaskiej, której prędkość rozchodzenia się wynosi: : v = 1/√LC. Impedancja falowa linii bez strat równa się oporowi charakterystycznemu: Zf = √(L/C), oraz współczynnik przenoszenia wyraża się wzorem: γ = s√LC = s.

Metoda klasyczna

Liniowość: Opornik: jeżeli R=const. Cewka: ψ=Li , charakterystyka prądowo-strumieniowa jest linią prostą. Kondensator: q=Cu , char. Napięciowo-ładunkowa jest linią prostą. Stacjonarność: Elementy nie zależą od czasu. Obwody są skupione jeśli można zgromadzić w poszczególnych częściach obwodu reprezentacje zjawisk fizycznych, tzn. rezystor - zamiana energii na ciepło; cewka - obecność pola mag. wokół przewodu z prądem ; kondensator - obecność pola mag. w obwodzie. Stała czasowa to taki czas po którym wartość składowej swobodnej zmienia się e-krotnie. Interpretujemy ją również jako długość odcinka zawartego między rzutem dowolnego punktu krzywej na oś odciętych a punktem przecięcia stycznej, poprowadzonej w tym punkcie z osią odciętych. uCs(t)=Ae-t/τ. duCs(t)/dt=- Ae-t/τ/τ=tgβ=tg-γ. tgγ=Ae-t/τ/τ=-A1/x= Ae-t/τ/(tk-tj). tk-tj= τ. Algorytm rozwiązywania układów dowolnego rzędu: 1.Wybieram zmienną (dowolnie- najlepiej napięcie na kondensatorze lub prąd w cewce). W przypadku układu nieliniowego wybieramy ładunek jednego z kondensatorów lub strumień jednej z cewek. 2.Układamy równania Kirhoffa- formułujemy ostatecznie równanie różniczkowe. 3.Ustalamy warunki początkowe: -są to napięcie Uc(0) i IL(0) dla wszystkich niezależnych kondensatorów i cewek w układzie. -pochodne zmiennej wybranej w punkcie a w chwili 0+. 4.Wyznaczenie składowej wymuszonej metodami obwodowymi (przy t→∞ obliczamy rozpływ prądów i napięć w stanie ustalonym). 5.Wyznaczenie składowej swobodnej: -znajdujemy układ podstawowy rozwiązań równania jednorodnego. -wyznaczamy stałe dowolne z wykorzystaniem warunków początkowych. 6.Rozwiązanie jest postaci: x(t)=xw(t)+xs(t).

Metoda operatorowa

Przekształcenie LAPLACE'A: Przekształceniem lub transformatą Laplace'a funkcji f(t) nazywamy wyrażenie: α{f(t)} = F(s) = 0∫∞ f(t)e-stdt, gdzie s = δ+jω jest zmienną zespoloną. Funkcję f(t) nazywamy funkcją pierwotną lub oryginałem, natomiast funkcję F(s) transformatą Laplace'a funkcji f(t). Własności przekształcenia Laplace'a: Tw o liniowości. Jeżeli a i b są dowolnymi stałymi, to L{af(t)+bg(t)}= aF(s)+bG(s). Prawdziwość twierdzenia wynika bezpośrednio z faktu, że całkowanie jest operacją addytywną i jednorodną. Tw o podobieństwie. Jeżeli a jest liczbą rzeczywistą dodatnią, to L{f(at)} = (1/a)F(s/a). Tw o przesunięciu w dziedzinie zespolonej. Jeżeli k jest dowolną liczbą rzeczywistą lub zespoloną, to L{ektf(t)} = F(s-k). Twierdzenie to pokazuje jaki wpływ w dziedzinie przekształcenia Laplace'a ma pomnożenie funkcji f(t) przez czynnik ekt. Tw o opóźnieniu. Jeżeli h jest stałą rzeczywistą dodatnią, to L{f(t-h)u(t-h)} = e-shF(s). Tw o transformacie pochodnej. L{df/dt}=sF(s)-f(0), gdzie F(s)=L{f(t). Tw o transformacie całki. L{0∫t f(τ)dτ}=F(s)/s, gdzie F(s)=L{f(t). Tw o transformacie splotu (Borela): L{f(t)*g(t)}=F(s)G(s). Tw. o transformacie pochodnej splotu: Jeżeli F(s)=L{f(t)}, G(s)=L{g(t)} to transformata pochodnej splotu wyraża się wzorem L{d/dt{f(t)*g(t)}}=sF(s)G(s). Transformata funkcji okresowej: f(t)1(t)=g(t)+f(t-T)1(t-T). Odwrotne przekształcenie Laplace'a: Jeżeli funkcja f(t) jest bezwzględnie transformowalna i L{f(t)} = F(s) oraz w każdym przedziale <0,T>, T>0, ma ograniczoną zmienność, to dla dowolnej ustalonej wartości c>xa: (1/2πj)[c-j∞∫c+j∞ estF(s)ds = f(t) dla t>0 i (1/2πj)[c-j∞∫c+j∞ estF(s)ds=0 dla t<0. Zachodzi wzór: f(t) = L-1{F(s)} = (1/2πj)[c-j∞∫c+j∞ estF(s)ds, zwany wzorem Riemanna - Mellina. Rozkład na ułamki proste. Rozpatrzmy funkcję wymierną postaci F(s) = n(s)/d(s), gdzie n(s) i d(s) są wielomianami takimi, że stopień n(s) jest mniejszy od stopnia d(s). Załóżmy na wstępie, że zera wielomianu d(s), czyli pierwiastki równania d(s)=0 są pojedyncze i wynoszą s1,s2, ..., sm, gdzie si≠sj. Pierwiastki te nazywamy biegunami funkcji F(s). Przy przyjętych założeniach funkcja F(s) ma postać F(s) = n(s)/[(s-s1)(s-s2)...(s-sm)]. Funkcję F(s) można rozwinąć na ułamki proste o postaci F(s) = j=1Σm [kj/(s-sj)]. W celu wyznaczenia k1 mnożymy F(s) przez (s-s1): (s-s1)F(s) = k1 + j=1Σm [kj/(s-sj)](s-s1) i przyjmujemy, że s→s1. Wobec czego zachodzi: k1 = lims→s1(s-s1)F(s). Po odpowiednich przekształceniach znajdujemy odwrotne przekształcenie Laplace'a: L-1(F(s)) = j=1Σm L-1[kj/(s-sj)] = j=1Σm kjepjt, t ≥ 0. Impulsem Diraca nazywamy wielkość δ(t) o następujących właściwościach: δ(t) = {0 dla t≠0} i δ(t) = {+∞ dla t=0}, oraz -∞∫∞ δ(t)dt = 1. Impuls Diraca będzie aproksymowany za pomocą funkcji δ(t,h) dwóch zmiennych: t∈(-∞; +∞) oraz h>0. Przykładem funkcji aproksymującej jest funkcja pokazana na Rys.9, określona zależnością: δ(t,h) = {1/h dla 0<t<h} i {0 dla t<0 oraz t>h}, lub w postaci wzoru δ(t,h) = (1/h)[u(t)-u(t-h)]. Korzystając z powyższego wzoru znajdujemy transformatę δ(t,h) L{δ(t,h)} = (1/h)[1/s-(1/s)e-sh]. Z zależności δ(t) = {0 dla t≠0} i δ(t) = {+∞ dla t=0}, oraz -∞∫∞ δ(t)dt = 1, definiujących impuls Diraca, wynika: -∞∫t δ(τ)dτ = 1 dla t>0 i -∞∫t δ(τ)dτ = 0 dla t<0. Stąd otrzymujemy -∞∫t δ(τ)dτ = 1(t) i po zróżniczkowaniu dochodzimy do relacji wiążącej impuls Diraca z funkcją jednostkową δ(t) = (d/dt)1(t). Równania operatorowe: Dla dwójników skupionych, liniowych, stacjonarnych przy zerowych warunkach początkowych, równanie operatorowe ma postać U(s) = Z(s)I(s), lub I(s) = Y(s)U(s), przy czym Z(s), Y(s) jest funkcją wymierną rzeczywistą. Z(s) nosi nazwę impedancji operatorowej, zaś Y(s) admitancji operatorowej dwójnika. Pisząc PPK dla wartości chwilowych Σik(t) = 0 i dokonując przekształcenia Laplace'a otrzymujemy ΣIk(s) = 0. Analogicznie w przypadku NPK dochodzimy do równania ΣUk(s) = 0. Powyższe relacje wskazują, że PPK i NPK dla transformat prądów i napięć formułuje się identycznie jak dla wartości chwilowych. Rezystor: Z zależności u=Ri, po dokonaniu transformacji Laplace'a, otrzymujemy U(s) = RI(s), a zatem ZR(s) = R. Cewka: Poddając obie strony równania u = L(di/dt) przekształceniu Laplace'a i korzystając z tw. o transformacie pochodnej, znajdujemy U(s) = sLI(s)-Li(0). Kondensator: Z zależności napięciowo prądowej dla wartości chwilowych u = u(0) + (1/C)0∫t i(τ)dτ otrzymujemy w wyniku przekształcenia Laplace'a i uwzględnienia tw. o transformacie całki, równanie operatorowe U(s) = u(0)/s + (1/sC)I(s).

Fourier

Tw. FOURIER'A: Funkcję okresową f(t) o okresie T można przedstawić w postaci szeregu utworzonego ze składowej stałej i przebiegów sinusoidalnych o częstotliwościach k⋅f, gdzie f=1/T, k=1,2,3,..., jeżeli funkcja ta spełnia warunki Dirichleta: 1) w każdym przedziale o długości T funkcja f(t) jest bezwzględnie całkowalna: ∫Tf(t)dt<∞. 2) w każdym przedziale o długości T f-cja f(t) ma co najmniej skończoną liczbę maksimów i minimów. 3) funkcja f(t) może mieć w przedziale o długości T co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości, przy czym w każdym punkcie nieciągłości istnieją granice: lewostronna i prawostronna. Postacie szeregu Fourier'a: f(t) = A0 + k=1Σ∞Amk⋅sin(kω0+αk), gdzie Amk - amplituda k-tej harmonicznej; αk - faza początkowa k-tej harmonicznej. f(t) = C0/2 + k=1Σ∞(Bksinkω0 + Ckcoskω0); Bk = Amkcosαk; Ck = Amksinαk; Amk = √(Bk2+Ck2); φk=argVk=arctg(Ck/Bk). Postać wykładnicza: f(t)= -∞Σ∞Vkejkωt , Vk= |Vk|ejargV=|Vk|ejφ . Widmo sygnału okresowego: Nazywamy ciąg współczynników rozwinięcia funkcji okresowej f(t) w zespolony szereg Fouriera. Vk=(1/T) {to∫to+T}f(t)e-jkωtdt. gdzie: Vk= |Vk|ejargV=|Vk|ejφ. Widmem amplitudowym nazywamy ciąg liczb rzeczywistych: {|Vk|:k=0,±1..}. Widmem fazowym nazywamy ciąg liczb rzeczywistych: {argVk=φk :k=0,±1..}. Z zależności |Vk|=|V-k|, argVk=-argV-k. Wynika z tego że widmo amplitudowe jest funkcją parzystą, a fazowe nieparzystą. Efekt Gibbsa: Przy skokowych zmianach wartości w otoczeniu punktu nieciągłości występują niekorzystne oscylacje funkcji (sygnału). Zwiększenie liczby wyrazów w sumie częściowej zmniejsza błąd aproksymacji. Można wykazać że w otoczeniu punktu nieciągłości skończony szereg aproksymujący posiada oscylacje, z których największa przyjmuje wartość 9% wartości skoku w punkcie nieciągłości. Tw. PARSEVALA. Jeżeli f(t) i g(t) są funkcjami okresowymi o tym samym okresie T spełniającymi warunki Dirichleta, to zachodzi zależność: (1/T)0∫Tf(t)g(t)dt = k=-∞Σ∞ fk⋅gk* = k=-∞Σ∞ fk*⋅gk. 1)Współczynnik szczytu: Jest to stosunek wartości maksymalnej do skutecznej: s=Amax/Ask; dla sinusoidy: Ask=Amax/√2, s=√2; dla prostokąta: Amax=A; Ask=A; s=1. 2) Współczynnik kształtu: Jest to stosunek wartości skutecznej do wartości średniej z modułu: k=Ask/Aśr; dla sinusoidy: Aśr = 2Amax/π; k = (Amax/√2)(π/2Amax) = 1,11; dla prostokąta: k = A/A = 1. 3) Współczynnik zawartości harmonicznych: Jest to stosunek wartości skutecznej przebiegu po usunięciu z niego składowej stałej i pierwszej harmonicznej do wartości skutecznej przebiegu po usunięci z niego składowej stałej: dla sinusoidy: h=0; dla prostokąta: A0=0; Ask=A; h=0,43. 4) Współczynnik odkształcenia: Jest to stosunek wartości skutecznej I harmonicznej do wartości skutecznej całego przebiegu: k0 = A1/Ask; dla sinusoidy: k0=A/A=1; dla prostokąta: k0 = 4/π√2 = 0,9. 5) Współczynnik zawartości k-tej harmonicznej: Jest to stosunek wartości skutecznych k-tej harmonicznej do I harmonicznej: hk = Ak/A1. Wpływ indukcyjności i pojemności na wyższe harm. prądu i napięcia: Indukcyjność: Rozpatrzmy cewkę liniową o indukcyjności L: Imk/Im1=(Umk/kω0L)(ω0L/Um1) = (Umk/Um1)(1/k), przy czym dla wyższych harmonicznych k>1, a zatem Imk/Im1<Umk/Um1. Indukcyjność działa tłumiąco na wyższe harmoniczne prądu i pobudzająco na wyższe harmoniczne napięcia. Pojemność: Rozpatrzmy kondensator liniowy o pojemności C. Imk/Im1=(Umk⋅kω0C)(Um1⋅ω0C) = k(Umk/Um1)>Umk/Um1. Pojemność działa tłumiąco na wyższe harmoniczne napięcia i pobudzająco na wyższe harmoniczne prądu. Moce: Moc czynna dwójnika równa się sumie mocy wytworzonej przez składowe stałe U0, I0 oraz mocy czynnych poszczególnych harmonicznych prądu i napięcia tego samego rzędu: P=U0I0+k=1Σ∞Uk⋅Ik⋅cosϕk. Moc bierną definiujemy jako sumę mocy biernych poszczególnych harmonicznych: P= k=1Σ∞Uk⋅Ik⋅sinϕk. Mocą pozorną nazywamy iloczyn wartości skutecznych prądu i napięcia: Sp=UskIsk. Moc odkształcenia: Dla niesinusoidalnych przebiegów ogólnie nie obowiązuje trójkąt mocy. Zachodzi natomiast nierówność: P2+Q2≤Sp2, w związku z czym wprowadza się pojęcie mocy zniekształcenia T, korzystając z relacji: P2+Q2+T2=Sp2.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
wyniki egzaminu ET2, grupa operacyjna
ściąga z et2 na egzam, grupa operacyjna
ściąga do ET2 zestaw z pierwszego terminu ;), grupa operacyjna
sciaga ET2 zestaw z 2 terminu, grupa operacyjna
ściąga z anglika, grupa operacyjna
Sprawozdanie ćw1, grupa operacyjna
FCS(1), grupa operacyjna
sprawozdanie metro2, grupa operacyjna
numerki6teoria, grupa operacyjna
Sprawko8, grupa operacyjna
sprawko.metka.11, grupa operacyjna
4C1, grupa operacyjna
stona tytulowa labET, grupa operacyjna
lista na ćwiczenia automatyka, grupa operacyjna
elektronika cw.4, grupa operacyjna
wmat7, grupa operacyjna
sprawko2, grupa operacyjna
mechana duże, grupa operacyjna

więcej podobnych podstron