WYKŁADY- Edukacja matematyczna z metodyką, pliki zamawiane, edukacja


Matematyka jako nauka i wynikające stąd konsekwencje dla nauczania- w1

*Specyfika matematyki

*Filozofia nauczania matematyki

Matematyka jest sposobem patrzenia na świat.

Każdy może nauczyć się matematyki o ile wprowadzana jest ona zgodnie z jego możliwościami.

MATEMATYKA- z gr. `mathema'- nauka wiedza, poznanie

mathemazis- uczyć się przez rozmyślanie

nie ma jednoznacznej definicji

- ma charakter kumulacyjny (nie jest tak, że jak odkryje się coś nowego to te stare rzeczy zostają zapomniane, korzysta się ze wszystkiego)

- aby się nią zajmować należy znać wszystkie jej dziedziny (gdyż są ze sobą powiązane)

- stale się rozwija

- matematyka towarzyszy naszemu codziennemu życiu

- jest nauką abstrakcyjną- o czymś czego tak naprawdę nie ma

Historyczny rozwój matematyki

3 etapy:

1) etap aksjomatyzacji (aksjomat-pewnik)

-przyjmuje się pewne pojęcia pierwotne bez ich udowadniania; badanie rozwijanie tych pojęć bez potrzeby ich udowadniania;

2) etap formalizacji

-pojawiły się różne sposoby zapisywania matematyki za pomocą ciągu znaków i symboli matematycznych; charakteryzuje się ścisłością, zapomniano o jasności;

3) etap strukturyzacji

-próba porządkowania wiedzy matematycznej, układania jej w pewne struktury

BEZ MATEMATYKI NIE MOŻNA SIĘ ROZWIJAĆ!

Zastosowanie matematyki:

umożliwia bardzo jasny opis świata ( bardzo dokładny)

pozwala na odkrywanie nowych zjawisk

2 podejścia do matematyki

I podejście

*nie powinno się zmuszać dzieci do 16 r. życia do nauki matematyki

*powinno się nauczać tylko podstaw teoretycznych matematyki, a skupiać się na praktycznym jej wykorzystaniu

*matematyka dzieli ludzi na tych co ją umieją, więc są bardzo inteligentni i na tych co nie umieją

II podejście

*matematyka jako jedyna jest abstrakcyjna- czyli uczy wyobraźni, więc jak jej nie uczyć

* rozwija specyficzny (abstrakcyjny) sposób myślenia

*uczy dedukowania, wnioskowania

* uczy przeciwstawiania, negacji na poziomie abstrakcyjnym

* ucząc matematyki wyposażamy dzieci w logikę

*uczy kreatywności

Filozofia nauczania matematyki

/ aby dzieci polubiły naukę matematyki, powinny mieć n-la, który lubi matematykę

/ ze względu na swą specyfikę nauczanie matematyki jest bardzo złożone

/ m-tyka jest narzędziem do poznawania świata, nie powinna więc być nauczana w oderwaniu od tego świata

/ nauczanie m-tyki musi opierać się na podstawowych pojęciach i ideach dla m-tyki jako nauki

/ termin m-tyka ma podwójne znaczenie:

1) jako działanie specyficzne

2) jako coś co jest odkryte, gotowe

/ n-el powinien oczekiwać????? od dzieci odkrywania a nie odtwarzania

/ należy przezwyciężać podział na m-tykę czystą i stosowaną

/ reformę m-tyki nie należy utożsamiać z wprowadzeniem nowych treści, ale należy skupić się na metodach nauki m-tyki

/ m-tyka musi być wiedzą operatywną stosowaną, należy więc stworzyć sposobność do uczenia się uczniów

/ nade wszystko należy kształcić za pomocą m-tyki, a nie tylko uczyć m-tyki

/ m-tyka szansą zdobycia nowych wiadomości i umiejętności

/ spotkanie z m-tyką powinno być świętem a nie przymusem

Cele, treści, podstawy kształcenia edukacji matematycznej- w2

1.Cele kształcenia

2.Rodzaje treści

Cele kształcenia matematycznego wywodzą się z celów kształcenia m-tyki.

Genezy celów kształcenia matematycznego należy też szukać w historii m-tyki.

ZESTAW CELÓW NAUCZANIA wg E. Wittmana

Aspekty m-tyki

Cele uczenia się w procesie nauczania

Zdolności ogólnoludzkie, sprawności, postawy

Aspekty człowieka

m-tyka jako nauka dedukcyjna

argumentowanie, dowodzenie

zdolność prowadzenia dialogu

Człowiek jako istota mówiąca

m-tyka jako twór umysłu ludzkiego

Zachowanie aktywne, twórcze

Postawa twórcza

Człowiek jako istota twórcza (bawiąca się)

m-tyka jako schemat ujęcia-opisanie świata

matematykowanie

Opis świata i wykorzystywanie jego zasobów środkami matematyczno-techniczno- przyrodniczymi

Człowiek jako istota kształtująca, gospodarująca

Przedmioty m-tyki jako twory abstrakcyjne

klasyfikowanie

Tworzenie pojęć abstrakcyjnych

Człowiek stwarza sobie porządek o ogólny pogląd przez te czynności umysłowe

Struktury porządkowe jako „struktury-matki” m-tyki

porządkowanie

Rozróżnianie (przyporządkowywanie, skalowanie)

Twierdzenia m-tyki jako wypowiedzi egzystencjonalne i ogólne

generalizowanie

konkretyzowanie

Eksploracja (kontynuacja …..

lokalne doświadczenia)

Amorfizmy jako centralne przedmioty m-tyki

Rozumowanie przez analogię

Tworzenie odpowiedników zwrotnego (wzajemnego) wyjaśniania

m-tyka jako system formalny

formalizowanie

Notacje (schematy, diagramy, symbole, szkice)

Główny cel edukacji matematycznej:

przygotowanie do pracy na wyższym szczeblu

Nauczanie m-tyki powinno przede wszystkim [cele wg Zofii Krygowskiej]:

1)intelektualizowanie postawy ucznia

2)pomoc w przyswajaniu aparatu pojęciowego i operowaniu nim

3)pomoc w przyswojeniu technik nauczania i uczenia się

4) zapewnić elementarnej wiedzy i sprawności matematycznej

Rejestr celów w edukacji matematycznej:

1_nabywanie elementarnych wiadomości, umiejętności i sprawności z zakresu m-tyki oraz umiejętności wykorzystania ich podczas rozwiązywania zadań i problemów pojawiających się w codziennych sytuacjach życiowych

2_ukształtowanie podstawowych pojęć m-tycznych oraz umiejętności zastosowania ich w praktyce

3_kształtowanie rozumienia pojęcia liczby naturalnej w aspekcie kardynalnym, porządkowym i mierzalnym

4_nabywanie praktycznych umiejętności wykonywania podstawowych działań arytmetycznych

5_ intuicyjne kształtowanie pojęcia zbioru, ułamka i niektórych pojęć geometrycznych

6_rozwijanie umiejętności schematyzowania, matematyzowania i modelowania konkretnych sytuacji z najbliższego otoczenia

7_rozwijanie zdolności poznawczych i wyobraźni przestrzennej

8_przygotowanie do czytania i rozumienia prostych tekstów matematycznych

9_doskonalenie umiejętności planowania i organizowania pracy indywidualnej i zespołowej

10_rozwijanie umiejętności komunikacyjnych

cele ogólne- powinny być operacjonalizowane, uszczegóławiane--- cele etapowe--- cele operacyjne

Treści kształcenia (wywodzą się z obszarów m-tyki)

-arytmetyka

-algebra(równania)

-geometria(figury geometryczne i ich własności, zależności)

-teoria mnogości (zbiory)

-logika (badanie natury rozumowania)

-probabilistyka (rachunek prawdopodobieństwa, modele zjawisk losowych)

-kombinatoryka( badanie różnych zestawień)

-statystyka (badanie zjawisk masowych)

Kryteria doboru treści programu do nauczania m-tyki

1.kryterium naukowości

uwzględnianie pojęć uważanych za podstawowe dla danej nauki oraz zapewnić zgodność z tendencjami rozwojowymi m-tyki

2.kryterium elementarności (dostępności)

treści dostępne dla ucznia, uwzględnienie możliwości uczniów

3.kryterium optymalnej organizacji materiału

treści nie powinny być ułożone w sposób encyklopedyczny, ale wg jakiegoś schematu, idei, aby stanowiły treści węzłowe

4.kryterium zastosowań

dotyczy przydatności wiedzy m-tycznej dla samej m-tyki i poza nią

Zadania tekstowe w kl. I-III. Pojęcie i rodzaje. - w3

zadanie- coś co się zadaje do wykonania komuś albo sobie; obowiązek; cel

zadanie matematyczne- zagadnienie matematyczne dane uczniowi do rozwiązania; najczęściej w formie: Oblicz, Wykonaj, Ile?, Jaka to liczba?

Zadanie matematyczne:

Zadania beztekstowe

Rodzaje:

1-zad.- ćw., których celem jest usprawnienie techniki rachunkowej ucznia („Oblicz”, „Ile”)

2-ćw. praktyczne, ruchowo- manipulacyjne, mają na celu ujawnienie sensu pojęć operacji matem.

3-zad. logicznegry, łamigłówki, zabawy, zagadki uczą pomysłowości, logicznego myślenia

Zadania tekstowe

Funkcje:

=ułatwiają kształtowanie i wprowadzanie pojęć matem,

=pozwalają na konkretyzację i pogłębienie rozumienia pojęć matem.

=nawiązują do codziennego życia

=uczą czytania i rozumienia tekstu matem.

=utrwalają umiejętność wykonywania działań

=uczą twórczego myślenia, posługiwania się podstawowymi prawami matem.

=sprzyjają wielostronnej aktywizacji uczniów

=podstawa pracy na zajęciach matem.

jest to układ zmian oznajmujących i zdania pytającego (z punktu widzenia gramatyki)

Wg Zofii Cydzik: zad. tekstowe składa się z sytuacji życiowej i warunków m-tycznych określonych za pomocą wielkości danych i wielkości poszukiwanych powiązanych ze sobą takimi zależnościami, których odkrycie prowadzi do udzielenia odp. na pyt. główne końcowe

Każde zad. tekstowe składa się z 2 warstw:

(1)werbalnej (fabularnej)

^ma swoją treść i kompozycję (zwracamy na to uwagę podczas układania zadania)

^treść zad. nawiązuje do różnych sytuacji życiowych bliskich dzieciom

^tekst może być zaprezentowany w formie opowiadania i opisu

^kompozycję zad. stanowi ciąg zad. powiązanych ze sobą logicznie

^ramę modalną tworzą pierwsze zd. (wprowadzające) i ostatnie (zamykające)

(2)matematycznej

*dane i poszukiwane i zależności między nimi

*dane mogą być wyrażane liczbami lub słownie za pomocą terminów matem.

*zależności pomiędzy liczbami (danymi) najczęściej wyrażane są j. potocznym opisującym działanie lub słownictwem paramatematycznym (o tyle więcej, o tyle razy mniej)

*problem matem. tkwiący w zad. powinien być zapisany w formie formuły matem.

Rodzaje zad. tekstowych

I-standardowe (poddają się matematyzacji) posiadają wszystkie inf. niezbędne do odp. na gł. pyt.

1) proste jednodziałaniowe

a)addytywne (+, -)

b)multiplikatywne (*, : )

2)złożone

a)zł. łańcuchowo (wynik 1 działania jest elementem następnego)

b)zł. niełańcuchowe

^ze względu na formę prezentacji treści

-dynamiczne (opis działania)

-statyczne (opis sytuacji)

^ze względu na sposób prezentacji zad.

-inscenizowane

-słowne

-obrazkowe

^ze względu na układ danych

-arytmetyczne (dadzą się od razu zapisać w formułę matematyczną 15-3= )

-algebraiczne (wykorzystują równania do rozwiązania zad. 15-x=3 - musimy dokonać przekształceń)

^ze względu na formę w jakiej wyrażone są dane matem.

-zad. typowe:

*na porównywanie różnicowe (dane mają charakter półjawny o tyle więcej, o tyle mniej)

*na porównanie ilorazowe (mają specyficzne treści: tyle razy więcej/mniej)

*na sprowadzanie do jedności (dają możliwość do konkretyzowania mnożenia i dzielenia)

^ze względu na rodzaj problemu

-o problemie zamkniętym (dane jasno określone, 1 wynik)

-o problemie półzamkniętym (problem matem. nie do końca określony, 1 wynik)

-o problemie otwartym (najsłabiej określone, z lukami)

-o problemie półotwartym (zawiera wszystkie dane, wiele rozwiązań)

II-niestandardowe (zaprzeczenie poprawności)

1)zad. z nadmiarem danych

-dane nie są związane z rozwiązaniem

-dane dublujące się

2)zad. z niedomiarem danych

-których nie można rozwiązać

-o niejednoznacznym rozwiązaniu w skutek braku pewnych danych

3)zad. sprzeczne

-sprzeczność treści z pyt.

-występują warunki sprzeczne

4)zad. o złej treści

-brak związku między danymi a pyt.

-bezsensowne z punktu widzenia życiowego

-o nie dość precyzyjnych warunkach

-nie poddające się matematyzacji arytmetycznej

Metodyka rozwiązywania zadań tekstowych

1. Zapoznanie ze strukturą zadania

2.Rozwiązywanie zadań tekstowych

3.Problematyzacja zadań tekstowych

Rozwiązać zadanie tekstowe- to odp. na pyt.; należy przeczytać, odszukać i udzielić odp. na pyt.

Ćwiczenia kształtujące pojęcie struktury zad. tekstowego

(1)dobieranie odpowiedniego obrazka z kilku, do treści zadania, które wypowiedział n-el

(2)układanie zad. do obrazka, do którego n-el podał pytanie

(3)rozpoznanie przez klasę obrazka, jednego z kilku do którego uczeń już ułożył zad.

(4)układanie pyt. do zad.

(5)uzupełnienie brakującej wielkości w zad. podanym przez n-la

(6)wskazanie wielkości zbędnej

(7)układanie zadań z rozsypki zadaniowej

(8)ilustrowanie zadania czynnościami na konkretach

(9)rozbudowa zadania (dodawanie danych, zależności)

Zad. tekstowe są wprowadzane równolegle z innymi działaniami arytmetycznymi

Etapy rozwiąz. zad. tekstowych:

1_dobór zadania tekstowego przez n-la

2_zapoznanie uczniów z treścią zad.

Zapoznanie słowne

a)n-el czyta lub mówi treść zadania

b)głośne czytanie treści przez dzieci

c)czytanie ciche przez dzieci

Zapoznanie ilustracyjne

w postaci rysunków na tablicy, które pokazują, obrazują treść zad.

3_sprawdzenie rozumienia treści zad. przez sprawdzenie rozumienia:

*treści fabularnej (to co przyczynia się do zrozumienia zad.)

*treści matematycznej

Co w zad. jest dane?

Co wiemy z zad.?

Co jest niewiadome?

Co możemy obliczyć?

Czy warunek nie jest sprzeczny z danymi? itd.

4_układanie planu rozwiązania zad.

I-forma werbalna (opowiedzenie)- opis słowny, opowiedzenie o tym jak rozwiąże zad. bez podania liczb

Proponuje się 3 sposoby analizy treści zad.

1analityczne (redukcyjne)

-wychodzimy od pyt. końcowego, przez dobieranie kolejnych danych dochodzimy do odpowiedzi

2syntetyczne- składamy w jedność dane w treści zad. (dedukcyjna)

-łączymy inf. zawarte w zad. dochodząc do odp.

3analityczno-syntetyczne- kombinujemy 2 sposoby

Zadanie

Staszek i Tomek kupili 5 zeszytów. Staszek zapłacił 15 zł a Tomek 10zł. Ile zeszytów kupił Staszek? (reszta na kartcesegregator)

II- forma symboliczna (zapisanie)

Innowacje w formie symbolicznej

/konstruowanie modeli, które będą wykorzystane do zobrazowania treści zad.

/polegająca na wprowadzeniu symboliki literowej, która ma zastosowanie przede wszystkim w zad. algebraicznych o nieuporządkowanym układzie danych

5_wykonanie planu

6_spr. rozwiąz. zad. tekstowego (sprzyja to kształtowaniu nawyku sprawdzania swojej pracy)

7_zredagowanie odp. na pyt. główne w zad.

Nauczanie czynnościowe matematyki w klasach młodszych- w4

1.Psychologiczne i merytoryczne podstawy czynnościowego nauczania.

2.Kształtowanie pojęć matematycznych.

Koncepcje

1)nauczanie mechanistyczne- dać regułki, wykuć je i egzekwować

2)nauczanie empirystyczne- tak nauczyć m-tyki, aby dawali sobie radę w życiu

Podstawą kształcenia matem. dziś jest zrozumienie pojęć matematycznych, a nie tylko nauczenie się na pamięć.

N-el powinien pomyśleć co ma zrobić; jak ma poprowadzić dzieci

Ad.1. Psychologiczne i merytoryczne podstawy czynnościowego nauczania.

Nauczanie czynnościowe m-tyki jest to postępowanie dydaktyczne uwzględniające stałe i konsekwentnie operatywny charakter m-tyki równolegle z psychologicznym procesem interioryzacji (uwewnętrznienia) prowadzącym od czynności konkretnych i wyobrażeniowych do operacji abstrakcyjnych.

(wg Zofii Krygowskiej)

2 stanowiska wobec nauczania czynnościowego:

I-jest to postępowanie dydaktyczne, więc skupia w sobie wiele metod (Baniecki)

II-jest to metoda (jedna), gdyż jest to sposób, powtarzany do osiągnięcia jakiegoś efektu (H.Sirek)

DYREKTYWY wynikające z teorii Piageta brać z psych rozwoju

-dobór treści poznawczych i zad.

-treści poznawcze podane w formie umożliwiającej dz. dokonywanie różnorodnych czynności oraz w formie zad. problemowych

-należy dz. pozostawić swobodę wyboru czynności oraz sposobu rozw. problemów; dopuszcza się popełnianie błędu; zalecana jest forma zad.

-w sytuacji nie radzenia należy zaniechać działań aż do osiągnięcia dojrzałości

-n-el wspiera

-przechodzenie od konkretu do abstrakcji ma charakter wysoce zindywidualizowany

Nauczanie czynnościowe opiera się na:

(1)wydobyciu przez analizę teoretyczną z materiału nauczania podstawowych operacji w każdej definicji

(2)na świadomym organizowaniu sytuacji problemowych sprzyjających procesowi interioryzacji i kształtowaniu myślenia matematycznego ucznia jako specyficznego działania, jako swobodnego i świadomego posługiwania się przyswajanymi stopniowo operacjami, oraz na konsekwentnym stosowaniu zabiegów dydaktycznych mających na celu zapewnienie prawidłowości i efektywności tego procesu, między innymi przez:

a)wiązanie treści m-tycznych z wyraźnie formułowanymi schematami postępowania

b)wiązanie operacji z operacjami odwrotnymi

c)wiązanie operacji z różnych dziedzin m-tyki w bardziej złożone schematy

d)uwzględnianie różnych ciągów operacji prowadzących do tego samego rezultatu

e)stawianie ucznia w sytuacjach konfliktowych, w których przyswojone mu schematy operacji zawodzą i w których uczeń musi dokonać przekształcenia dawnego schematu lub wypracować nowy.

f)opis słowny operacji, którymi uczeń myśli (co robię?)

g)właściwe i celowe wiązanie czynności konkretnych z myślowymi operacjami, przy czym czynność konkretna może być:

źródłem procesu interioryzacji, w którym jako jej odbicie powstaje określona operacja myślowa,

wykonywana równolegle z operacjami myślowymi, wspierać je i stabilizować- przez odbicie w konkrecie i równocześnie je pobudzać

weryfikacją w konkrecie efektywności pomyślanego ciągu operacji;

h)konsekwentne uczenie swobodnego posługiwania się z poznanymi operacjami i przyzwyczajanie ucznia do tego, że tylko określone planowe działanie a nie bierna kontemplacja i oczekiwanie na „natchnienie” prowadzi do rozwiązania zagadnienia

i)zwrócenie uwagi na to, aby stosowana symbolika miała również charakter operatywny, aby wizualnie sugerowała operację

Ad.2. Kształtowanie pojęć matematycznych.

Pojęcia matem. są kształtowane na drodze odczynnościowej.

Schemat postępowania dyd. wg P.J. Galpierina

-org. czynności orientacyjnych- uczeń powinien mieć orientację w strukturze pojęcia, znać ogólne sposoby postępowania w danej sytuacji (wiad. zdobyte na tym etapie decydują o poziomie poprawności wszystkich dalszych czynności uczniów oraz o ich efektach)

-org. czynności na materiale konkretnym lub umownym- czynności pomiaru, przekształcenia, uproszczenia, przesunięcia. Formy materialne unaoczniają istotne związki i zależności materiału strukturalnego, działanie materialne pozwala kontrolować i korygować proces przyswojenia wiedzy. Materiał manipulacyjny to konkretne przedmioty lub ich zastępniki ewentualnie schematy, obrazy, modele

-org. czynności w mowie głośnej- kiedy to dokonuje się poważny proces abstrahowania połączony z eliminacją cech nieistotnych, przy jednoczesnym uwypukleniu cech i związków istotnych

-org. czynności w mowie cichej- zad. mowy jest uświadomienie sobie czynności schematu. Stając się ona mową „dla siebie” pełni funkcję planowania czynności, rejestrowania tych jej elementów, które wymagają dalszego rozwinięcia, zapewnienia ogólnego, poprawnego kierunku działania

-org. czynności umysłowych- czynności są tak dalece eliminowane, że znikają nawet wyobrażenie słów. Przebieg czynności przestaje być uświadamiany i staje się niedostępny kontroli. W sferze świadomości rejestrowane są tylko elementy sytuacji problemowej i końcowy rezultat czynności. Same procesy odbywają się tak szybko, że stwarza się wrażenie, że jakby czynności nie odbywały się w ogóle, a odbicie następowało momentalnie. Procesów tych nie można kontrolować ani korygować, można o nich sądzić na podstawie końcowego gotowego rezultatu.

Na ostatnim etapie działania osiąga się rzeczywiście operację umysłową.

Czynności, które powinny wystąpić w procesie kształtowania pojęć m-tycznych:

-czynności manipulacyjno ruchowe z wykorzystaniem przedmiotów rzeczywistych

-czynności manipulacyjno ruchowe z wykorzystaniem zastępników

-czynności umysłowe z wykorzystaniem środków graficznych (drzew, grafy, schematy, pętle)

-czynności werbalne

-czynności umysłowe (wykonywane są za pomocą symboli matematycznych)

Wskazania do kształtowania pojęć matem.:

-nie można wymagać regułek, def., dziecko musi rozumieć

-proces kształtowania pojęć jest długotrwały

-wstępne kształtowanie pojęć musi wiązać się zgodnie z omówioną kolejnością

-pojęcia matem. nie mogą być kształtowane w oderwaniu od siebie

Pojęcia m-tyczne powinny być ujmowane w strukturze, tzn. w związku z innymi pojęciami:

*płaszczyzna pozioma- złączanie- część wspólna zbiorów; dodawanie -odejmowanie;

*płaszczyzna pionowa- (dodawanie- jako podstawa do pojęcia, działanie arytmetyczne, dalej do pojęcia funkcji)

Dziecko w świecie liczb -w5

1. 4 główne okresy w rozwoju m-tyki

I OKRES NARODZIN (do V w.p.n.e)

-kiedy tylko czł. Zyskał świadomość swego istnienia i musiał nawiązać kontakt z innymi i wyrażać swoje obserwacje

Wiedza matematyczna:

*nieuporządkowane, chaotyczne sposoby liczenia

*wiedza b. konkretna, dotycząca życia codziennego

*pojawiły się pojęcia „mniej więcej” i „równo”

*rachowanie związane z przedmiotami z codziennego życia

*każdy region miał swój sposób wyrażania

*rozpoczął się etap kształtowania pojęcia liczby nat. w aspekcie kardynalnym, porządkowym

*obserwowanie różnych kształtów przedmiotów naturalnych dało początek geometrii

*pojawiła się u ludzi mapa położenia organizmu względem innych przedmiotów (orientacja co do położenia siebie w świecie i przedmiotów względem siebie)

*zaczęto nadawać nazwy obiektom i relacjom między nimi

II OKRES WIELKOŚCI STAŁYCH (od końca V w.p.n.e. -XVI w.n.e.) wiąże się z rozwojem kultury greckiej)

*zaczęto nauczać m-tyki jako dziedziny

*zaczęto poszukiwać idei, które dawałyby podstawy do zbudowania teorii m-tyki

*nastąpiło oderwanie od konkretów na rzecz istnienia pewnych abstraktów

*m-tyka usamodzielniła się jako dyscyplina naukowa pojawiły się aksjomaty (pewniki)

*wprowadzono dedukcję jako podstawową metodę myślenia

*Tales, Pitagoras, Euklides- matematycy tego okresu

*pojawił się pewien dorobek tzw. m-tyki arabskiej (słowo algebra z j. arabskiego- przenoszenie składników z jednej str. na drugą)

III OKRES M-TYKI ZMIENNYCH WIELKOŚCI (od XVIIw.)

*ten okres rozpoczęły prace Kartezjusza

*?

*postępowanie abstrakcyjnego myślenia

*wzbogacanie języka m-tyki

*bogactwo mitów i dziedzin matem., którymi się zajmowano

*zaczęto porządkować, uściślać wiedzę m-tyczną

*rygoryzm- tendencja do uściślania, nazywania m-tyki

*nowe tendencje w filozofii m-tyki (logicyzm, formalizm-gra symbolami, konwencjonalizm- wszystko jest umową, intuicjonizm- m-tyka powinna odwoływać do rzeczywistości

IV M-TYKA WSPÓŁCZESNA (zmiennych relacji)

*króluje dedukcyjna metoda

*odkryto geometrię przestrzeni

*odkryto teorię zbiorów (mnogości)kantor

*przestała być dziedziną samą w sobie stała się nauką wykorzystywaną w wielu dziedzinach m-tyka dziedziną „usługową” innym dziedzinom

Dla matematyka istnieją 2 światy: abstrakcyjny i rzeczywisty

WYZNACZNIKI ROZUMOWANIA OPERACYJNEGO:

(1)Ustalenie stałości ilości nieciągłych.

Dziecko potrafi:

#ustalić równoliczność w dwu badanych zbiorach przez przyporządkowanie elementów jednego zbioru elementom drugiego zbioru „jeden do jednego” (w działaniu praktycznym i wyobraźni)

#skupić się na czynności o oderwać od cech jakościowych przedmiotów

#przegrupować w wyobraźni przedmioty- łatwiej je porównywać, porządkować lub przyporządkowywać (aspekt kardynalny liczby)

(2) przyporządkowanie elementów w zbiorze przy wyznaczaniu konsekwentnych serii

-podstawa rozumienia relacji porządkującej i jej własności (porządkowy i miarowy aspekt l. naturalnej)

(3)operacyjne rozumowanie w zakresie ustalania stałości masy.

Dziecko odkrywa, że mimo pewnych przeobrażeń, przekształceń ilość masy pozostaje taka sama. Pojęcie miary i umiejętności mierzenia buduje się na bazie wnioskowania „jest tyle samo”, mimo zmian sugerujących, że jest teraz więcej lub mniej.

(4)operacyjne rozumowanie w zakresie stałości długości przy obserwowanych przekształceniach (pojawia się u dzieci dopiero pomiędzy 8 a 9 r. ż., dosyć późno w stosunku do wymagań programowych)

Dostarczenie dz. okazji do badania długości oraz analizowania zmian zachodzących przy przekształceniach-podstawą do kształtowania pojęć geometrycznych oraz opanowywania umiejętności mierzenia długości

(5)rozumowanie operacyjne w zakresie ustalania stałej objętości cieczy przy transformacjach zmieniających jej wygląd (podstawa do rozumienia istoty pomiaru, a potem sprawnego posługiwania się jednostkami pojemności)

2. Historyczny rozwój pojęcia liczby i wynikające z tego konsekwencje dla nauczania

Liczby arabskie:

/autorami hindusi

/arabowie rozprzestrzeniali

Hindusi są też autorami dziesiątkowego systemu liczenia.

Do Polski liczby arabskie trafiły ponoć w XIV w. (Polska jednym z pierwszych krajów do którego trafiły liczby arabskie)

Układ numeracji umowny sposób symbolicznego przedstawienia różnych wartości liczbowych przy użyciu stosunkowo niewielu różnych znaków graficznych (cyfr)

Wyróżniamy 2 ukł. numeracji:

1]addytywny- w którym zapis symboli liczb umieszczonych obok ma wartość sumy np.321=6

2]pozycyjny- wartość liczby zależna od miejsca w którym zostanie zapisana np. 321=321

LICZBA- bardzo ciężko określić to pojęcie, pojęcie abstrakcyjne, istnieje tylko w naszym umyśle;

Własności liczby- możliwość wykorzystania liczb

Dz. kończące edu. przedszkolną

^powinny znać i stosować 2 metody ustalania w którym zbiorze jest więcej elementów

1. przeliczanie zbiorów

2. układanie elementów zbiorów w pary (odwzorowywanie zbiorów)

^powinny mieć umiejętność wyznaczania wyniku dodawania i odejmowania

^niezbędne jest rozumowanie operacyjne, które jest podstawą rozumienia pojęcia liczby

ROZUMOWANIE OPERACYJNE- sposób funkcjonowania intelektualnego, który dojrzewa i kształtuje się zgodnie z rytmem rozwoju czł. Zmiany w rozumowaniu (następujące także pod wpływem nauczania) mają charakter progresywny i przebiegają od form prostych silnie powiązanych ze spostrzeganiem i wykonywanymi czynnościami, do form coraz b. precyzyjnych, zrealizowanych w umyśle, a więc abstrakcyjnych i hipotetycznych (def. Wg Gruszczyk-Kolczyńskiej)

Rodzaje aktywności matematycznej i sposoby jej rozwijania- w6

Aktywność- rozumiana jako indywidualna cecha przejawiająca się w podejmowaniu inicjatywy, w prowadzeniu działalności.

Aktywność m-tyczna

-aktywność skierowana na kształtowanie pojęć i rozumowań typu m-tycznego stymulowana przez problemy abstrakcyjne lub teoretyczne dotyczące sytuacji konkretnych

-jest to działalność umysłu typowa dla pracy matematyka, który wypracowuje charakterystyczne, typowe dla siebie strategie i techniki indywidualne;

Nie podawać gotowej wiedzy, a stwarzać syt. zdobywania doświadczeń przez aktywność.

Aspekt: język, metoda, wiedza.

Założenia dotyczące rozwijania aktywności m-tycznej ucznia:

I- Podstawową formą edukacji jest samodzielna, twórcza aktywność u

II-Nauczanie m-tyki w kl. początkowych to tworzenie m-tyki w wyniku matematyzacji zjawisk o przestrzeni świata materialnego

III- Proces tworzenia m-tycznej wiedzy u opiera się na koncepcji czynnościowego nauczania m-tyki (sposób postępowania dydaktycznego od konkretów do abstrakcji)

Aktywności matematyczne zalecane dla uczniów

1)dostrzeganie i wykorzystywanie analogii (zgadzają się pewne relacje między odpowiednimi częściami- w obiektach analogicznych)

2)schematyzowanie i matematyzowanie (rozwiązywanie problemów pozamatematycznych sposobami matematycznymi wprowadzamy u w metody stosowania matem.)

MATEMATYZACJA- porządkowanie pewnej rzeczywistości środkami matematycznymi.

SCHEMATYZACJA- izolowanie pewnej struktury wśród wielu innych występujących w danej sytuacji; tworzenie obiektu podobnego.

3)algorytmizowanie (algorytm- zbiór zasad postępowania (przepis) matematyka to nie kontemplacja a działanie; trzeba znać przepis postępowania inaczej nic się nie wymyśli.

2 aspekty postępowania m-tycznego:

^pojęciowy- nastawienie na rozwiązywanie problemu przez operowanie pojęciem jako całością bez tendencji rozkładania go na elementy, typowe jest wtedy poszukiwanie interpretacji rysunku, budowanie modelu;

^algorytmiczny- charakteryzuje się nastawieniem umysłu na wykonanie pewnych operacji w myśl pewnych reguł; najważniejsze jest rozbicie ciągu działań na pojedyncze czynności (np. drzewka)

4)rozumowanie dedukcyjne i redukcyjne (d- przygotowanie do tej umiejętności; wyprowadzanie wniosków z różnych przesłanek; r- analiza i synteza);

5)asymilowanie, przetwarzanie wiedzy (asymilacja- przyswajanie, zapamiętywanie) wiedza zależy od zrozumienia, sposobu podania, metod, od podręcznika; przetwarzanie- gdy się rozumie, ma się okazję sprawdzić w zadaniach;

6)argumentowanie jako aktywność (stanowi podstawę do rozwijania aktywności pozostałych rodzajów; poszukiwanie dowodów i werbalizowanie ich; pytamy dlaczego)

Sposoby, metody rozwijania umiejętności aktywności:

a)przez kontrastowanie pojęć (pokazanie dawnego pojęcia na tle innych pojęć, często zupełnie odwrotnych)

b)przez łączenie operacji danej przez łączenie z operacją odwrotną ( + i * jakie dwie liczby można przez siebie * aby wyszło 12, a jakie +)

c)przez stosowanie analogii

d)rozwijanie aktywności przez rozw. zad. różnymi sposobami

WYOBRAŹNIA MATEMATYCZNA- w7

3 równolegle istniejące systemy informacji:

  1. Dotyczące działania

  2. Dotyczące percepcji

  3. Mowa - system posługiwania się symbolami

WYOBRAŹNIA PRZESTRZENNA:

→ Część wyobraźni matematycznej (o niej częściej mówi się przy nauczaniu początkowym niż o matematycznej).

WYOBRAŻENIA;

WYOBRAŹNIA MATEMATYCZNA:

Czynniki, warunki spostrzegania i rozwoju wyobraźni:

  1. Wrodzony.

  2. Nauczyciel (jak pokieruje uczniem).

Akomodacja,

3. { Konwergencja, } widzenie, wzrok, sprawność widzenia

Widzenie dwuoczne,

  1. Otoczenie.

W nauczaniu matematyki chodzi o rozwijanie WYOBRAŹNI PRZESTRZENNEJ:

  1. Czynnej (twórczej).

  2. Biernej (odtwórczej).

Powinny się rozwijać równolegle.

Postulaty do nauczania matematyki kształtującego wyobraźnię:

♣ Stwarzanie warunków do zdobywania doświadczeń

RÓŻNE TYPY WYOBRAŹNI:

Istnieją co najmniej 3 poziomy wyobraźni związanej z liczbami:

I POZIOM → to co bliskie dziecku

→ co można narysować, zilustrować, pokazać

II POZIOM → nie jest bliska dziecku, ale jesteśmy w stanie pokazać tą liczbę z czymś bliskim dziecku

III POZIOM → wyobrażenie liczby w zasadzie niemożliwe, np. liczba 11-cyfrowa

POJĘCIA GEOMETRYCZNE A TWÓRCZE DZIAŁANIE UCZNIÓW- w8

  1. Rola czynności konkretnych i pomyślanych we wprowadzaniu dzieci w świat geometrii.

  2. Rodzaje działalności prowadzące do rozwoju wiedzy geometrycznej ucznia.

  3. Aktywność geometryczna ucznia.

  4. Trudności w uczeniu się geometrii.

Świat geometryczny jest ukryty w świecie realnym.

* Podstawowym materiałem dydaktycznym poprzez który nauczyciel przekazuje pojęcia jest rysunek.

Rola rysunku w geometrii:

3 światy w których funkcjonuje uczeń i nauczyciel:

  1. Świat własności przestrzennych materialnych przedmiotów.

  2. Świat rysunkowych schematów (zachowane są tu niektóre z tych własności0.

  3. Świat abstrakcyjnych pojęć (pomyślanych, wyidealizowanych cech tego, co obserwujemy)

* Nauczanie geometrii do 12 r.ż. powinno opierać się na poglądowości:

→ Na obserwacji świata zewnętrznego.

→ Na eksperymentach

Pozwala to na wyrobienie intuicji idących w kierunku pojęć geometrycznych.

* Pracę z dziećmi rozpoczynamy od czynności konkretnych (a nie od definicji i twierdzeń) i nie opieramy się głównie na mówieniu, ale na:

Jeśli dziecko ma konkretną „wizję” obrazu jest to już temat do rozmowy. Często dziecko nie potrafi wyjaśnić odpowiednimi słowami danego obrazu, wizji, ale to rozumie, „widzi”. (Wtedy można im powiedzieć żeby wykonały rysunki)

* W klasach młodszych najczęściej występują zadania dotyczące:

GEOMETRII W KRATKĘ - na bazie sieci kwadratowej (np. wykorzystanie zeszytu w kratkę - przydatny do budowania figur geometrycznych).

Albo też ćwiczenia na GEOPLANIE (płytka z bokami w odległościach od siebie 1 cm) - manipulujemy na nim gumką-recepturką.

Przy okazji takich ćwiczeń rozwija się wyobraźnia (wizjonerstwo) i sprawność palców, ręki.

* Do nauczania geometrii oprócz obrazów niezbędne są też operacje.

Np. ćwiczenia z lustrem (narysuj przedmiot odbity w lustrze - czyli odwrócony) → przygotowuje to do obrotów względem osi symetrii → propedeutyka przekształceń geometrycznych (w formie zabawy)

* Pojęcia geometryczne dotyczą stosunków przestrzennych

Dla geometrii ważne jest zrozumienie związków między figurami.

2 rodzaje wykorzystywanych w geometrii rysunków:

  1. RYSUNKI IKONICZNE