Zadanie 1.

Na podstawie poniższego zestawienia, należy oszacować (wypełnić także puste miejsca i wyjaśnić zastosowane oznaczenia) średni staż pracy oraz jego zróżnicowanie w firmie „F”.

Parametry Q
E(X) = ? D(X) = ?
n	x średnia	D(X)	S(x)	T	D(T)	1-			-u
50	10	nieznane	5	…	…	0,95	…	…	-1,96
				Dolna granica		Górna granica

… …

n	x średnia	D(X)	S(x)	T	D(T)	1-			-u
50	10	nieznane	5	…	…	0,95	…	…	-1,96
				Dolna granica		Górna granica

… …

Zinterpretować otrzymany przedziały.

Miarą zróżnicowania stażu pracy jest odchylenie standardowe stażu pracy.

Można określić tzw. przedział ufności, w którym z prawdopodobieństwem 95 % zawiera się oszacowane odchylenie standardowe stażu pracy.

X - zmienna - staż pracy [w latach np.]

Przedział ufności dla odchylenia standardowego σ w populacji generalnej.

T - szacowany parametr (odchylenie std) z próby

- maksymalny błąd (odchylenie standardowe) na parametrze z próby

- wartość krytyczna z tablic rozkładu normalnego

Próba jest liczna - przekracza 30 obserwacji, a podana wariancja jest obciążona (zwykła)
.

(n>30 ;w przypadku dużej próby budujemy przedział ufności dla odchylenia standardowego)

n = 50 (n >30) , więc korzystam z rozkładu normalnego

=>

Interpretacja

Przedział ufności dla odchylenia standardowego stażu pracy przy współczynniku ufności 0,95 to
(lat).

Zadanie 2.

Do badania średniej płacy w przedsiębiorstwie „P”, wylosowano 70 pracowników. Pracownicy ci zarabiali średnio 2900 zł (± 300). Badanie miało na celu sprawdzenie przypuszczenia, że w tym przedsiębiorstwie pracownicy zarabiają średnio biorąc więcej niż 2500 zł. Wnioskując w tym zakresie dopuszczono nie więcej niż 5 pomyłek na 100. Poniżej przedstawiono wyniki badania uzyskane przy zastosowaniu programu Gretl (wskazać odpowiedni moduł). Zapisać odpowiednie hipotezy oraz podjąć decyzję weryfikacyjną w oparciu o udostępnione wyniki badania.

Hipoteza zerowa: średnia z populacji = 2500

Liczebność próby: n = 70

Średnia z próby = 2900, odchylenie std. = 300

Statystyka testowa: z = (2900 - 2500)/35,8569 = 11,1555

Dwustronny obszar krytyczny p = 6,734e-029

(jednostronny obszar krytyczny = 3,367e-029)

Moduł programu Gretl:

X - płaca [zł]

Oznaczenia:

- średnia (arytmetyczna) z próby = 2900

- średnia z populacji generalnej

- odchylenie standardowe z próby = 300

- odchylenie standardowe z populacji generalnej - nieznane!

- poziom, do którego porównujemy w treści zadania = 2500

n - liczba obserwacji (wielkość próby) = 70

Hipotezy:

(średnia wynosi tyle samo, co wartość zakładana)

(średnia jest wyższa od zakładanej)

Uwaga:

Przy hipotezie alternatywnej jednostronnej:

Tj. :
lub

Należy szukać wartość krytyczną w tablicach statystycznych przy podwojonej wartości
.

Próba jest liczna (n > 30), więc korzystam z rozkładu normalnego

Statystyka testu:

Hipoteza zerowa: średnia z populacji = 2500

Liczebność próby: n = 70

Średnia z próby = 2900, odchylenie std. = 300

Statystyka testowa: z = (2900 - 2500)/35,8569 = 11,1555

Dwustronny obszar krytyczny p = 6,734e-029

(jednostronny obszar krytyczny = 3,367e-029)

Testy można weryfikować na podstawie u i u alfa, bądź porównania wartości p i poziomu alfa. Wyniki są te same. W programie Gretl jest już podany poziom wartości p.

Decydujemy na podstawie wartości p i poziomu alfa.

Jeśli alternatywna hipoteza jest jednostronna, to w programie Gretl wybieramy
. Wartość p = 3,367e-09.

Alfa = 0,05.

Wartość p = 3,367e-09 < alfa = 0,05

Zachodzi:

Wartość p < 0,05 => istnieją podstawy do odrzucenia hipotezy zerowej

Przy poziomie istotności 0,05 odrzucamy hipotezę zerową mówiącą o tym, że płaca jest równa 2500 zł. Jest ona wyższa.

Dodatkowo:

Wartość p < 0,05 => istnieją podstawy do odrzucenia hipotezy zerowej

To to samo, jak:

|u|>
=> istnieją podstawy do odrzucenia hipotezy zerowej

Zadanie 3.

Zapytano dwóch studentów o sposób zbadania zależności między wydatkami na kulturę a wykształceniem Polaków. Według pierwszego z nich do badania należy wyodrębnić próbę losową osób, określić warianty badanych cech, policzyć współczynnik korelacji liniowej Pearsona i ocenić jego statystyczną istotność. Drugi ze studentów odpowiedział, że należy wytypować próbę losową osób, określić warianty badanych cech, policzyć statystykę χ² i zastosować ją jako test niezależności, a następnie obliczyć współczynnik Czuprowa. Czy Twoim zdaniem rację miał: (a) pierwszy ze studentów, (b) drugi, (c) obaj, ponieważ są to dwa równoważne sposoby rozwiązania tego samego problemu, (d) żaden, ponieważ należało postąpić następująco … (opisać, jak), (e) jedna z odpowiedzi (a) - (c) jest prawidłowa (wskazać, która), ale można było również postąpić następująco … (opisać, jak).

Zależność między wydatkami (cecha ilościowa ciągła - w jednostce zł), a wykształceniem (cecha jakościowa, skokowa).

Pierwszy student się myli, bo współczynnik korelacji liniowej Pearsona (miernik siły związku prostoliniowego między dwoma cechami mierzalnymi)

wymaga 2 cech ilościowych. Tam m.in. liczy się średnie, odchylenia - jak więc liczyć średnią wykształcenia?! Nie jest to możliwe.

Drugi student też się myli. Współczynnik zbieżności Czuprowa

mierzy siłę korelacji w przypadku dwóch cech nominalnych, a jedna z naszych cech jest ilościowa.

Odpowiedź:

Należy stworzyć np. przedziały wydatków oraz posegregować typy wykształceń.

Stworzyć tabele korelacyjną, policzyć statystykę
, potem ją przetestować testem niezależności.

gdzie:
(Liczebności teoretyczne)

Liczebności teoretyczne wyznaczamy na podstawie iloczynu dwóch liczebności (sumy wiersza i sumy kolumny dla danej wartości xij) podzielonego przez generalną liczebność.

Potem:
(Współczynnik V_xy- Cramera)

Gdzie:

min(k;w) - mniejsza z liczby kolumn lub wierszy

<0;1>

V_xy = 0, gdy zmienne są stochastycznie niezależne,

V_xy = 1, gdy między zmiennymi jest związek funkcyjny.

Może być obliczany na podstawie dowolnej tablicy korelacyjnej (w odróżnieniu od współczynnika Yule'a).

Zadanie 4.

W celu zbadania zależności między wielkością obrotów a liczbą klientów pewnego supermarketu zbudowano klasyczny model ekonometryczny. W wyniku estymacji i weryfikacji tego modelu otrzymano:

Model 1: Estymacja KMNK z wykorzystaniem 72 obserwacji 2005:01-2010:12

Zmienna zależna: obroty

współczynnik błąd standardowy t-Student wartość p

---------------------------------------------------------------------

const 394623 491353 0,8031 0,4246

liczba_klientow 21,9766 3,10141 7,086 8,70E-010 ***

Średnia arytmetyczna zmiennej zależnej = 3,82849e+006

Odchylenie standardowe zmiennej zależnej = 896481

Suma kwadratów reszt = 3,32271e+013

Błąd standardowy reszt = 688965

Wsp. determinacji R-kwadrat = 0,41769

Skorygowany wsp. R-kwadrat = 0,40937

Stopnie swobody = 70

Statystyka testu Durbina-Watsona = 1,5112

Autokorelacja reszt rzędu pierwszego = 0,208477

(1) Zapisać empiryczny model regresji. (2) Zinterpretować wartość współczynnika regresji.
(3) Wypowiedzieć się na temat jego istotności. (4) Zinterpretować również: S(u), R² ϕ².

Czy rozważany model spełnia podstawowe kryteria weryfikacji statystycznej i ekonomicznej?

Polecenie 1.

Model empiryczny: obroty^_i = 394623 + 21,9766 * liczba_klientow_i

Polecenie 2.

Interpretacja współczynnika regresji

+ 21,9766 * liczba_klientow_i

Jeśli obroty sklepu są np. w zł, a liczba klientów w osobach, to:

Wzrost liczby klientów o 1 osobę powoduje wzrost obrotów sklepu przeciętnie o 21,9766 zł (ceteris paribus).

Polecenie 3.

Istotność współczynnika regresji

Oszacowany parametr: 21,9766

Błąd na oszacowanym parametrze:

Test t- Studenta na istotność poszczególnych (indywidualnych) współczynników regresji

Hipotezy:

(parametr stojący przy zmiennej „i” jest nieistotny statystycznie)

(parametr stojący przy zmiennej „i” jest istotny statystycznie)

i = 1.

Obliczone wartości statystyk dla każdego z parametrów strukturalnych:

Znów decyzje można podjąć na podstawie t i t krytycznej.

My podejmiemy decyzje na podstawie wartości p i poziomu alfa:

Poziom istotności (wartość p) = 8,70E-010 < przyjęty poziom istotności (
)

Oznacza to, że przy
należy odrzucić H₀, czyli parametr jest statystycznie istotny - zmienna „liczba_klientow” jest istotna.

Ważna dla jakości modelu jest istotność wszystkich parametrów stojących przy zmiennych objaśniających - świadczy to o tym, że wszystkie zmienne wykazują w modelu trwały wpływ na zmienną objaśnianą. Jest to podstawowe kryterium oceny jakości modelu.

Polecenie 4.

Zinterpretować:

Błąd standardowy reszt

Wartości empiryczne (rzeczywiste) obrotów sklepu różnią się od ich wartości teoretycznych (wyznaczonych na podstawie modelu) średnio o 688965 zł.

Współczynnik determinacji R²

R² = 41,769 %

Interpretacja

Zmienność czynników uwzględnionych w modelu (liczby klientów sklepu) wyjaśniła około 41,769 % zmienności obrotów sklepu w badanym okresie.

Stopień wyjaśnienia zmienności zmiennej objaśniającej w modelu w porównaniu do granicznej (minimalnej) wartości tego współczynnika - możemy uznać za zbyt niski.

Współczynnik indeterminacji

= 100 % - 41,769 % = 58,231 %

Interpretacja

Zmienność czynników uwzględnionych w modelu (liczby klientów sklepu) nie wyjaśniła około 58,231 % zmienności obrotów sklepu w badanym okresie. Pozostałe czynniki wyjaśniają 58,231 % zmienności obrotów sklepu w badanym okresie.

Stopień niewyjaśnienia zmienności zmiennej objaśniającej w modelu w porównaniu do granicznej (minimalnej) wartości tego współczynnika - możemy uznać za zbyt wysoki.

Nie, nie spełnia. Parametr przy zmiennej dot. liczby klientów jest istotna, a więc ta zmienna trwale wpływa na wielkość obrotów, ale poziom wyjaśnienia zmienności zmiennej objaśnianej (wielkość obrotów) jest zbyt niski - powinno być przynajmniej 85 % tego współczynnika.

Dodatkowo:

Błąd S(u) w porównaniu do średniej y:

V(u) = 688965 / 3,82849e+006 = 17,996 % przekracza maksymalne 15 %, co oznacza, że model nie nadaje się do prognozowania.

Model niskiej jakości - nie spełnia podstawowych kryteriów oceny statystycznej.

Zadanie 5.

Na podstawie danych dotyczących wielkości obrotów pewnego przedsiębiorstwa handlowego (styczeń 2005 - grudzień 2009) dopasowano model z trendem liniowym (zapisać hipotezę takiego modelu - tzn. model hipotetyczny), oszacowano parametry tego modelu i wyznaczono prognozy obrotów na trzy okresy wprzód (wyniki poniżej). Polecenie: Ocenić otrzymane prognozy.

:

[hipoteza modelowa]

Oszacowany model ma postać:

Mając tylko takie dane dot. prognoz:

Okres przyjęty za próbę to styczeń 2005 - grudzień 2009, to 60 obserwacji.

W przypadku trendu liniowego podstawiamy kolejne „numery czasu”: 61, 62 i 63. [sprawdź liczby]

Błąd ex ante - ocena dopuszczalności prognozy do praktycznego wykorzystania (przyjmując maksymalny poziom błędu ex ante równy 5%):

Bezwzględny błąd
[podany w tabeli początkowej jako „błąd standardowy”]

Względny

Zasada oceny dopuszczalności prognozy:

=> prognoza dopuszczalna do praktycznego wykorzystania

=> prognoza niedopuszczalna do praktycznego wykorzystania

Obs	Vt	Ytp		Ocena prognozy
Styczeń 2010	501160,380	3794559,500	13,21%	niedopuszczalna
Luty 2010	501967,830	3831711,100	13,10%	niedopuszczalna
Marzec 2010	502799,980	3868862,600	13,00%	niedopuszczalna

Komentarz:

Prognozy zmiennej objaśnianej okazały się niedopuszczalne do praktycznego wykorzystania dla okresów prognozowania, ponieważ błąd prognoz przekraczał maksymalny poziom błędu ex ante = 5 %.

2

---