WYKŁAD 2 .

2.1.Równania różniczkowe drgań o jednym stopniu swobody .

Ogólne równanie drgań ma postać :

(2.1)

Wymuszenie może mieć różną postać , np. harmoniczną , losową itd. , np.:

(2.2)

Warunki początkowe z energią początkową :

(2.3)

W zależności od istnienia poszczególnych składników możemy wyróżnić różne rodzaje

drgań.

2.1.1.Drgania swobodne nietłumione .

(2.4)

(2.5)

2.1.2.Drgania tłumione niewymuszone .

(2.6)

(2.7)

2.1.3.Drgania wymuszone nietłumione.

(2.8)

(2.9)

lub: (2.9a)

2.1.4.Drgania wymuszone tłumione.

(2.1)

(2.3)

Zawsze mamy do czynienia z siłą restytucyjną - wywołującą akumulację energii potencjalnej .

2.2.Podział drgań .

Rys.2.1.Podział drgań

.

2.3.Oscylator harmoniczny i jego własności .

2.3.1.Równania oscylatora harmonicznego .

Równanie drgań swobodnych nietłumionych :

(2.4)

(2.5)

Zapiszmy :

(2.10)

(2.11)

(2.12)

(2.13)

(2.14)

Podstawiając równanie (2.12) i (2.14) do równania (2.10) otrzymujemy :

(2.15)

(2.16)

Po uwzględnieniu równania (2.15) w równaniu (2.12) :

(2.17)

Stosując reguły Eulera łączące świat wykładniczy z harmonicznym otrzymujemy:

(2.18)

(2.19)

(2.19a)

(2.19b)

Podstawiając zależność (2.19b) do równania (2.19a) otrzymujemy :

(2.20)

Uwzględniając (2.11) :

(2.21)

Przy złożeniu dwóch ruchów harmonicznych przy tej samej częstości otrzymamy również ruch harmoniczny .

Rozwiązanie (2.20) lub (2.21) jest zbiorem całek ogólnych , czyli klasą rozwiązań równania (2.10) . W konkretnym przypadku uwzględniamy (2.5) :

(2.22)

Uzyskujemy więc pełne rozwiązanie dla oscylatora harmonicznego w postaci :

(2.23)

Mnożymy i dzielimy równanie przez pierwiastek z sumy kwadratów czynników przy funkcjach:

(2.24)

Oznaczając :

(2.25)

jeśli :

(2.26)

oraz amplituda a :

(2.27),

Uwzględniając teraz równania (2.25) , (2.26) i (2.27) w równaniu (2.24) otrzymamy :

(2.28)

(2.29)

(2.30)

gdzie : ϕ-faza drgań.

2.3.2.Własności oscylatora harmonicznego .

Oscylator harmoniczny jest układem o jednym stopniu swobody - masa podwieszona na nieważkiej , liniowej sprężynie , która drga harmonicznie ( sinusoidalnie ) z częstością własną ω_n . Częstość drgań własnych jest dla tego układu cechą charakterystyczną :

(2.11)

Drgania odbywają się tylko według jednej sinusoidy , z fazą drgań ϕ ( por.rys.2.2) .

Rys.2.2.Wykres drgań na płaszczyżnie xt .

Na podstawie rys.2.2. :

(2.31)

Uwaga : jeśli obserwujemy realizację drgań - a jest wychyleniem w danym czasie . a jako amplituda przyporządkowane jest wyłącznie drganiom harmonicznym (por.rys.2.3) .

Rys.2.3.Drgania nieharmoniczne .

Złożenia dwóch drgań harmonicznych możemy dokonać geometrycznie - rys.2.4.

Rys.2.4.Graficzne składanie drgań harmonicznych .

Można wykazać algebraicznie lub geometrycznie , że energia końcowa po czasie t jest równa energii początkowej . Jeśli potrafimy to wykazać , to mówimy że układ jest zachowawczy ( konserwatywny ) .

(2.32)

(2.33)

Podstawiając równania (2.29) , (2.33) do (2.32) otrzymujemy:

(2.34)

Po uwzględnieniu (2.11) :

(2.35)

(2.36)

Wykazaliśmy , że drgania oscylatora są drganiami zachowawczymi . Układ w czasie oscylacji nie traci energii . Energia z jednej postaci ( energia kinetyczna ) przechodzi w energię drugiej

postaci ( energię potencjalną ) .Wynika to ze wzoru (2.32) . Gdy sin(ωnt+ϕ)=0 , wówczas energia kinetyczna przyjmuje wartość maksymalną . Gdy cos(ωnt+ϕ)=0 , wówczas energia potencjalna przyjmuje wartość maksymalną .

Okres drgań - ponieważ funkcja sinus jest funkcją okresową , więc x(t+T)=x(t) ( T oznacza teraz okres ) i wyrażenie

(2.37)

Wyrażenie

(2.38)

Często pulsacja układu wyraża się w [Hz] , jeżeli wyrażenie

(2.39)

to otrzymujemy :

(2.40)

(2.41)

Stąd :

(2.42)

Gdy mamy do czynienia np. z belką jak na rysunku 2.5. , to na podstawie λ_st możemy w prosty sposób obliczyć częstość drgań własnych układu . Da nam to jednocześnie informację o tym , jaka musi być częstość wymuszenia , by nie wystąpiło zjawisko rezonansu . Rezonans - jest to nieograniczony wzrost amplitudy drgań , gdy częstość wymuszenia pokrywa się z częstością drgań własnych układu .

Rys.2.5.Statyczne ugięcie belki .

Ugięcie statyczne belki odpowiada strzałce ugięcia belki :

(2.43)

stąd

(2.44)

2.4.Drgania tłumione swobodne .

Po podstawieniu do równania (2.1) i F(t)=0 otrzymujemy równanie drgań tłumionych , swobodnych :

(2.6)

(2.7)

(2.45)

Równania te można rozwiązać metodą podstawienia lub na podstawie równania charakterystycznego .

(2.44)

(2.45)

(2.46)

Podsawiając (2.44) , (2.45) i (2.46) do (2.45) otrzymujemy :

(2.47)

Po ugrupowaniu i redukcji składników uzyskujemy postać równania na funkcję μ(t):

(2.48)

(2.49)

(2.50)

Widząc pełną analogię pomiędzy (2.48) i (2.4) uzyskujemy rozwiązanie :

(2.51)

ω może przyjmować wartości dodatnie , ujemne i zero .

Uwzględniając warunki początkowe otrzymujemy :

(2.52)

(2.53)

ostatecznie więc

(2.54)

Wynika stąd , że postać swobodnych drgań tłumionych zależy od wielkości tłumienia - parametru h .

Rozróżnia się :

• tłumienie małe , h<ω_n;

• tłumienie krytyczne , h=ω_n;

• tłumienie duże , h>ω_n→ .

Laplace : „Liczba urojona jest jak amfibia , która łączy byt z niebytem” .

Zadanie domowe nr 2 .

1) Sporządzić wykres częstości drgań własnych w funkcji ugięcia statycznego .

2) Wyznaczyć częstość drgań układu postaci jak na rysunku ( krzyżak , na którym umieszczono na pewnej wysokości silnik o masie m ) . Jaka musi być częstość wymuszenia silnika , aby nie wywoływała rezonansu ?

FIZYKA

MECHANIKA

DRGANIA

ZDETERMINOWANE

LOSOWE

OKRESOWE

NIEOKRESOWE

NIESTACJONARNE

STACJONARNE

HARMONICZNE

NIEHARMONICZNE

NIEERGODYCZNE

ERGODYCZNE

SWOBODNE

WYMUSZONE

NIETŁUMIONE

TŁUMIONE

SWOBODNE

WYMUSZONE

TŁUMIONE

x

t

a

a

a

Acosω_nt

Bsinω_nt

.

ϕ

ω_nt+ϕ

G

mg

EI , l

λ_st

EI₁

EI₂

l₂

l₂

l₁

l₁

m

---