Klasyczna metoda Feussnera dla obwodów biernych

Na początku pokażemy wzory, opracowane 100 lat temu przez niemieckiego fizyka Wilhelma Feussnera (Rys. 4, 5). Klamrami na wszystkich rysunkach będziemy oznaczać wyznacznik narysowanego obwodu, tzn. wyznacznik odpowiedniej macierzy admitancji.

Algorytm Feussnera jest bardzo prosty i polega na dzieleniu oryginalnego (podstawowego) obwodu, w którym na zewnątrz pokazano wybrany element Y lub Z na dwa mniejsze podobwody: pierwszy - to bez wybranego elementu, oraz drugi - po zwarciu wierzchołków, do których podłączony wybrany element . Na Rys. 4 Δ(Y) oznacza, że wyróżniony został element w postaci admitancji. Analogicznie (Rys. 5) Δ(Z) oznacza, że wyróżniony został element w postaci impedancji. Δ_Y i Δ_Z oznaczają wyznacznik pierwszego podobwodu, a Δ^Y i Δ^Z - wyznacznik drugiego podobwodu. Algorytm Feussnera jest rekurencyjny, tzn. że każdy podobwód może być kolejno podzielony wg opisanej metody. Po skończonej liczbie redukcji podobwodów na mniejsze podobwody otrzymywane są podstawowe obwody (Rys. 6), wyznaczniki których są znane. Po wstawianiu wstecz podwzorów otrzymujemy szukany wzór wyznacznika z nawiasami. Generalnie, celem redukcji Feussnera jest wyprowadzenia wzoru pewnego obwodowego wyznacznika.

Zauważymy, że w każdym kroku redukcji można wybierać zarówno element admitancyjny lub impedancyjny. Pozwala to osiągnąć adekwatność notacji generowanych wzorów oraz często zmniejszyć liczbę operacji arytmetycznych.

Istotne przyspieszenie procesu wyprowadzenia wzorów można osiągnąć dzięki wykorzystaniu biblioteki poprzednio obliczonych wyznaczników podobwodów elementarnych. Dalej w celu uproszczenia rysunków i tekstu będziemy posługiwać się zamiast rysunku obwodu jego adekwatnym grafem. Na rys. 7 pokazano przykłady wyznaczników podobwodów elementarnych. Oczywiście, że liczba „elementarnych” obwodów w bibliotece (komputerowej) może być rozszerzona często używanymi grafami obwodów.

Ważną cechą redukcji Feussnera jest generowanie nawiasów we wzorach wyznaczników, co pozwala minimalizować w nich liczbę operacji arytmetycznych w porównaniu z beznawiasową notacją obwodowego wyznacznika. Widać to już na prostym przykładzie wyprowadzenia wzoru wyznacznika elementarnego grafu obwodu wg metody Feussnera (rys. 7d).

Δ = Δ_y1+y₁⋅Δ^y1; Δ_y1=y₂⋅y₃; Δ^y1=y₂+y₃; Δ= y₂⋅y₃+y₁⋅(y₂+y₃);

Dla porównania zanotujemy ten sam wyznacznik z macierzy admitancji

= (y₁+y₂)(y₂+y₃) -y₂² = y₁y₂+y₁y₃+y₂y₃.

Efekt zmniejszenia liczby operacji w danym przykładzie polega na tym, że wzór wg Feussnera zawiera dwa mnożenia, a wg macierzy - trzy. Dodamy, że przy otwarciu wyznacznika algebraiczną metodą w ogólnym przypadku mamy do czynienia z pracochłonnym kasowaniem pewnych składników, czego nie ma w klasycznej metodzie Feussnera. Zmniejszenie liczby mnożeń w obwodowym wyznaczniku jest wynikiem opisanego wyżej naturalnego generowania nawiasów w czasie przepisywania wzoru w formie sekwencji do jednolitej (liniowej) formy.

Drzewo wzoru Feussnera

Algorytm redukcji Feussnera, pokazany na Rys. 4, 5 i 9 łatwo przedstawić w postaci drzewa binarnego (Rys. 20b dla przykładu Rys. 4). Każdy wierzchołek drzewa jest pewnym obwodem, a jego potomkowie w ogólnym przypadku - to dwa podobwody: np. bez wybranego elementu (A) oraz ze zwartymi wierzchołkami (B). Dla Rys. 5 - dualnie. Analogicznie - dla Rys. 9.

Liście drzewa - to obwody (grafy) elementarne, wyznaczniki których są znane, jak na Rys. 6, 7, 10, 13, 15, 17-19. W ogólnym wypadku każdy fragment drzewa jak na Rys. 20b zawiera parę nawiasów: otwierającego na wejściu oraz zamykającego - na wyjściu. Dla notowania wzoru wyznacznika obwodu lub jego fragmentu wystarczy „ściągnąć” znaki i wzory wg ścieżki, pokazanej na Rys. 20b.

W celu uproszczenia rysunku drzewa umówimy się nie rysować liście o zerowych wyznacznikach. Oprócz tego w przypadkach, kiedy ma miejsce dzielenie obwodu (grafu) na części (jak na Rys. 14) z odpowiedniego wierzchołka drzewa mogą wychodzić kilka potomków. W celu uproszczenia czytania wzoru z drzewa będziemy wykorzystywać cztery typy wierzchołków, pokazanych na Rys. 21. Każdy wierzchołek oznacza pewny obwód (podobwód) lub jego graf. Symbole wybranych elementów razem ze znakiem mnożenia należy zawsze notować obok odpowiedniego łuku drzewa z jego lewej strony (patrząc od grota). Wierzchołek na Rys.21a odpowiada sytuacji, kiedy wyznacznik podobwodu A równy zero. W innej sytuacji zerowym może być podobwód B.

Na Rys. 22 pokazano ilustracyjny przykład kodowania drzewa wzoru oraz zanotowano wzór, odczytany po obchodzeniu danego drzewa. Wewnątrz każdego wierzchołka grafu notujemy numer kolejnego podobwodu. Pod numerem 2 zaznaczono obwód, który da się podzielić na trzy prostsze podobwody: 3, 6 i 7. Obok numeru podobwodu można notować symbol wybranego (redukowanego) elementu lub inną korzystną informację. Pod każdym liściem zanotowano w klamrowych nawiasach wzór odpowiedniego elementarnego grafu lub obwodu. Przy okazji dodamy, że po prostej modyfikacji drzewo wzoru nawiasowego może być wykorzystane do notowania tego samego wzoru obwodowego beznawiasowego w odwrotnej notacji polskiej.

---