RÓWNANIE PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO -

- PRZYPADEK WALCA (KO
A) I KULI

A) Walec

Równanie przewodnictwa cieplnego w przypadku trójwymiarowym ma posta

[tutaj u=u(x,y,z,t) - temperatura w punkcie (x,y,z) w chwili t].

Rozpatrujemy jednorodny walec o sko
czonej lub niesko
czonej d
ugo
ci o promieniu R, którego osi
symetrii jest o
Oz.

Wprowadzamy wspó
rz
dne walcowe
, wtedy równanie przewodnictwa przybiera posta
:

.

Za
ó
my,
e pocz
tkowy rozk
ad temperatury oraz warto
ci brzegowe nie zale

od zmiennej z - wtedy mo
emy poszukiwa
rozwi
zania równie
niezale
nego od z. Wtedy równanie przybierze posta
:

(innymi s
owy, rozpatrujemy przekrój walca p
aszczyzn
poziom
). Je
eli ponadto równie
warunki graniczne nie zale

od k
ta
, to mo
emy poszukiwa
rozwi
zania niezale
nego od
i równanie przybiera posta
:

(*)
.

Niech na powierzchni walca (r=r₀) temperatura b
dzie równa 0, tzn. u(r₀,t)=0, t"0. Zak
adamy,
e dany jest pocz
tkowy rozk
ad temperatury w walcu, tzn. u(r,0)=f(r), 0"r"r₀, przy czym funkcja f spe
nia warunek zgodno
ci f(r₀)=0, oraz
e podstawy walca s
idealnie odizolowane cieplnie od otoczenia (dzi
ki temu ostatniemu mo
emy przyj

,
e rozwi
zanie nie zale
y od z.

Uwaga: Je
eli zamiast warunku u(r₀,t)=0 mamy warunek u(r₀,t)=A, gdzie A"0, to wystarczy dokona
podstawienia u(r,t)=w(r,t)+A.

Szukamy najpierw rozwi
zania równania (*) w postaci

.

St
d
, lub

(dodatnie warto
ci s
niemo
liwe ze wzgl
dów fizycznych). St
d

.

Na R dostajemy równanie

.

Równanie to jest
ci
le zwi
zane z równaniem Bessela
. Podstawiaj
c now
zmienn

(wtedy

)

dostajemy

.

Jest to równanie Bessela rz
du k=0. Jego rozwi
zaniem ograniczonym przy !0 jest
, czyli
. Poniewa
dla r=r₀ ma by

, wi
c
, gdzie
, n=1,2,... s
kolejnymi dodatnimi pierwiastkami funkcji J₀. Tak wi
c

Warunek pocz
tkowy

,

przy oznaczeniu r=r₀s, przybiera posta

.

Poniewa
funkcje

tworz
uk
ad ortogonalny na przedziale <0,1> z wag
s [tzn. wzgl
dem iloczynu skalarnego
], wi
c wspó
czynniki C_n musz
by
wspó
czynnikami Fouriera wzgl
dem tego uk
adu ortogonalnego (zwanymi w tym przypadku wspó
czynnikami Fouriera-Bessela), tzn. wyra
aj
si
wzorami

Przyk
ad 1. (ECW, str. 59).

Walec o promieniu r₀=5 zosta
nagrzany do temperatury 20°C. Wyznaczy
rozk
ad temperatury na przekroju osiowym tego walca, je
eli na jego powierzchni jest utrzymywana temperatura 0°C, a obie podstawy walca s
idealnie izolowane pod wzgl
dem cieplnym od otoczenia. Przyj

a²=4.

Zgodnie ze wzorem wyprowadzonym powy
ej,

,

gdzie (przy oznaczeniu u(r,0)=f(r)=20) mamy

Ale
, wi
c

.

Przyk
ad 2 (ECW, zad. 1 str. 61)

Walec o promieniu r₀=8 zosta
nagrzany do temperatury 30°. Wyznaczy
rozk
ad temperatury na przekroju osiowym walca, je
eli na jego powierzchni bocznej utrzymywana jest temperatura 0°, a obie podstawy walca s
idealnie izolowane cieplnie od otoczenia. Przyj

a²=1.

Odp. (napisana przez analogi
do poprzedniego zadania, bo funkcja f(r) jest proporcjonalna do funkcji z poprzedniego zadania):

.

Przyk
ad 3 (ECW zad.2 str. 62)

jak wy
ej, ale
.

Rozwi
zanie:
, gdzie

Przyk
ad 4 (ECW zad.3 str. 62.) Walec o promieniu R=5 zosta
nagrzany do temperatury 20°. Wyznaczy
rozk
ad temperatury na przekroju osiowym tego walca, je
eli jego powierzchnia boczna jest izolowana (
). Przyj

a²=1/2.

Wsk. Ci
g funkcji
, gdzie
- dodatnie miejsca zerowe funkcji J₀', jest ortogonalny w przedziale 0;1 z wag
x; kwadrat normy=
.

Odp.

B) Kula

W równaniu

przechodzimy do wspó
rz
dnych sferycznych:

Korzystaj
c z wyra
enia laplasjanu we wspó
rz
dnych sferycznych, dostajemy posta
:

Je
eli szukamy rozwi
zania zale
nego tylko od r (i, oczywi
cie, od t), to równanie upraszcza si
do postaci

(*)
.

W celu dalszego uproszczenia tego równania, wprowad
my pomocnicz
funkcj
(now
funkcj
niewiadom
) v(r,t)=ru(r,t). Wtedy:

.

Mno

c równanie (*) przez r, otrzymujemy
- czyli, jak
atwo zauwa
y
,

.

W ten sposób zagadnienie przewodnictwa cieplnego dla kuli zosta
o sprowadzone do zagadnienia przewodnictwa dla pr
ta. Oczywi
cie, aby by
sens poszukiwa
rozwi
zania o symetrii sferycznej (tzn. zale
nego tylko od r i oczywi
cie od t), równie
warunki pocz
tkowe i brzegowe musz
mie
tak
symetri
. Oznacza to,
e temperatura pocz
tkowa musi zale
e
tylko od r, za
temperatura na powierzchni kuli musi by
sta
a. Oprócz warunku brzegowego na powierzchni kuli, dostajemy tak
e naturalny warunek brzegowy v(0,t)=0, wynikaj
cy z postaci v.

Przyk
ad. Wyznaczy
rozk
ad temperatury w kuli o promieniu R=10, je
eli w chwili pocz
tkowej temperatura wynosi
a u(r,0)=20-2r, a powierzchnia kuli jest utrzymywana w temperaturze 0°.

Rozwi
zanie. Po przej
ciu do funkcji v(r,t) otrzymujemy równanie
z warunkiem pocz
tkowym
i warunkami brzegowymi
. Stosujemy metod
rozdzielania zmiennych:

(sta
a musi by
niedodatnia ze wzgl
du na fizyczn
interpretacj
problemu).

.

R(0)=0, wi
c C₂=0; R(10)=0, st
d
, .

czyli B_n s
wspó
czynnikami rozwini
cia funkcji f(r)=20r-2r², 0"r"10, przed
u
onej w sposób nieparzysty na przedzia
<-10,10>.

Ostatecznie,

,

natomiast dla r=0

---