Równanie przewodnictwa cieplnego w pręcie i jego rozwiązywanie -

- metoda rozdzielania zmiennych.

RÓWNANIE PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO DLA PRĘTA SKOŃCZONEGO (o długości l)

gdzie a² - współczynnik dyfuzyjności cieplnej, a² = k/(ρc_p), gdzie z kolei k - współczynnik przewodnictwa ciepła w pręcie, ρ - gęstość materiału pręta, c_p - ciepło właściwe materiału pręta.

Jako WARUNEK POCZĄTKOWY będziemy zawsze przyjmować u(x,0)=f(x), 0≤x≤l (tzn. zadany jest rozkład temperatury w chwili początkowej). Natomiast:

WARUNKI BRZEGOWE (NAJCZĘŚCIEJ SPOTYKANE):

a) końce pręta utrzymywane w stałej temperaturze:

u(0,t)≡A, u(l,t)≡B (t≥0);

b) końce pręta izolowane:

Warianty: jeden koniec utrzymywany w stałej temperaturze, drugi izolowany,

tzn.

a-b)

lub też

b-a)

c) na końcach pręta następuje wymiana ciepła z otoczeniem

(h₀, h₁ - współczynniki przejmowania ciepła na końcach pręta, k - współczynnik przewodnictwa cieplnego w pręcie, u₀ i u₁ - temperatury otoczenia przylegającego do lewego i prawego końca pręta odpowiednio);

Warianty: jeden koniec utrzymywany w stałej temperaturze, zaś na drugim następuje wymiana ciepła z otoczeniem, tzn.

a-c)

lub na odwrót,c-a)
.Ad.a) Jeżeli A=0 i B=0 (oba końce utrzymywane w zerowej temperaturze), to stosujemy bezpośrednio metodę rozdzielania zmiennych (zob. dalej).

W ogólnym przypadku poszukujemy rozwiązania w postaci

,

gdzie w(x,t) spełnia to samo równanie przewodnictwa z zerowymi warunkami brzegowymi i z warunkiem początkowym

Ad. b) Stosujemy bezpośrednio odpowiedni wariant metody rozdzielania zmiennych.Ad.a-b) Jeżeli A=0, to stosujemy bezpośrednio odpowiedni wariant metody rozdzielania zmiennych. W ogólnym przypadku poszukujemy rozwiązania w postaci

,

gdzie w spełnia to samo równanie przewodnictwa z zerowymi warunkami brzegowymi i warunkiem początkowym w(x,0)=f(x)-A.Ad.b-a) przypadek symetryczny do a-b) - analogicznie.Ad.c) Nie wiem, czy ma praktyczne zastosowanie przypadek, w którym u₀ =u₁ =0, tzn. na obu końcach pręta następuje wypromieniowanie ciepła do otoczenia w temperaturze 0 (wtedy można by zapewne zastosować bezpośrednio odpowiedni wariant metody rozdzielania zmiennych).

Ad.a-c) Jeżeli A=0 i u =0, to stosujemy bezpośrednio odpowiedni wariant metody rozdzielania zmiennych.

W ogólnym przypadku poszukujemy rozwiązania w postaci

,

gdzie c jest dobrane tak, aby w(x,t) musiało spełniać warunki

,

co osiągamy, jak łatwo się przekonać, przyjmując
.

(Istotnie, warunek na w przyjmuje postać

czyli na to, aby było
potrzeba i wystarcza, by
, a stąd łatwo
.

Podobnie rozważa się przypadek c-a).

PRZYKŁADY

Przykład 1. Przypadek a). (Gindifer, Stankiewicz, Ćwiczenia z matematyki,

t.III, zeszyt 2, zad.564 str.83.

Rozwiązać równanie przewodnictwa cieplnego

dla pręta o długości l, jeżeli końce pręta utrzymywane są w temperaturach 400° i 20° odpowiednio:

u(0,t) ≡ 400 , u(l,t) ≡ 20 (t≥0),

a rozkład temperatury w chwili początkowej (t=0) dany jest warunkiem

u(x,0)=f(x)=x(l-x) + 400 - 380 x/l

(zauważmy, że są spełnione tzw. warunki zgodności: f(0)=400, f(l)=20).

Rozwiązanie. Przede wszystkim sprowadzamy równanie do równania o zerowych warunkach brzegowych. Poszukujemy rozwiązania w postaci:

u(x,t) = 400 - 380 x/l + v(x,t),

gdzie v spełnia nadal równanie przewodnictwa cieplnego (
) - a to dzięki temu, że funkcja liniowa 400 - 380 x/l oczywiście je spełnia, jako że nie zależy od t i jej druga pochodna po x jest równa 0 , przy czym w(0,t)≡0≡w(l,t) i w(x,0)=x(l-x), x∈<0,l>.

Metoda rozdzielania zmiennych, zastosowana do znalezienia "w", przebiega w następujących etapach.

Etap 1) Poszukujemy "w" w postaci w(x,t)=X(x)T(t), tak aby było spełnione równanie i warunki brzegowe; o warunki początkowe w tym etapie się nie troszczymy; zwykle dostajemy wtedy pewien ciąg X_n(t)T_n(t) rozwiązań tej postaci.

Etap 2) Poszukujemy "w" w postaci sumy szeregu
, gdzie współczynniki c_n są dobrane tak, aby zostały spełnione warunki początkowe (warunki brzegowe są przy odpowiednich założeniach o zbieżności szeregu i możliwości różniczkowania go wyraz po wyrazie - spełnione w oczywisty sposób).

Przystępujemy do realizacji.

Etap 1)

Jeżeli równanie jest spełnione przez funkcję postaci

w = X(x)T(t),

to ponieważ w_t =X(x)T'(t), w_xx =X"(x)T(t), mamy

X(x) T'(t) = a² X''(x) T(t),

czyli

;

lewa strona zależy tu tylko od t, podczas gdy prawa strona zależy tylko od x. Ale to oznacza, że obie strony muszą być stałe:

;

przy μ dodatnim (i przy niezerowym X(x) oczywiście, a tylko takie rozwiązania nas interesują) temperatura rosłaby do nieskończoności przy t dążącym do ∞, co jest niemożliwe przy danej interpretacji fizycznej. Dlatego przyjmujemy μ=-λ².

Stąd

T'(t) - λ²a²T(t) = 0,

X''(x) + λ²X(x) = 0.

Stąd

,

.

Mamy X(0)=0, stąd C₁ =0;

X(l)=0, stąd sin λl=0, czyli λl=nπ, czyli λ_n=nπ/l - wystarczy ograniczyć się do n=1,2,... .

Etap 2)

Będziemy teraz poszukiwali rozwiązania "w" w postaci

.

Stąd aby „w” spełniało warunki początkowe, musi być

(*)
.

Mamy

.

Korzysta się przy tym często ze wzorów:

W naszym przypadku

czyli

i ostatecznie

Przykład 2. Przypadek b-a). W tym przypadku występują dodatkowe trudności w porównaniu z przypadkiem a)Wyznaczyć temperaturę pręta o długości l (
), jeżeli koniec x=0 jest izolowany, koniec x=l jest utrzymywany w temperaturze B, l=5, a²=1/4, B=10, u(x,0)=2x.(Uwaga. Na lewym końcu nie jest spełniony warunek zgodności.)

Rozwiązanie. Poszukujemy rozwiązania w postaci:

u(x,t) = 10 + w(x,t),

gdzie

.

Metoda rozdzielania zmiennych, zastosowana do znalezienia "w", przebiega w następujących etapach.

Etap 1) Poszukujemy "w" w postaci w(x,t)=X(x)T(t), tak aby było spełnione równanie i warunki brzegowe; o warunki początkowe w tym etapie się nie troszczymy; zwykle dostajemy wtedy pewien ciąg X_n(t)T_n(t) rozwiązań tej postaci.

Etap 2) Poszukujemy "w" w postaci sumy szeregu
, gdzie współczynniki c_n są dobrane tak, aby zostały spełnione warunki początkowe (warunki brzegowe są przy odpowiednich założeniach o zbieżności szeregu i możliwości różniczkowania go wyraz po wyrazie - spełnione w oczywisty sposób).

Przystępujemy do realizacji.

Etap 1)

w = X(x)T(t)

X(x)T'(t) = (1/4) X''(x)T(t)

;

lewa strona zależy tu tylko od t, podczas gdy prawa strona zależy tylko od x. Ale to oznacza, że obie strony muszą być stałe:

.

Stąd

T'(t) - μT(t) = 0,

X''(x) - 4 μ X(x) = 0.

Z pierwszego z tych równań

.

Przy μ dodatnim (i przy niezerowym X(x) oczywiście, a tylko takie rozwiązania nas interesują) temperatura rosłaby do nieskończoności przy t dążącym do nieskończoności, co jest niemożliwe przy danej interpretacji fizycznej. Dlatego przyjmujemy μ=-λ².

T'(t) + λ²T(t) = 0

X''(x) + 4λ²X(x) = 0

T(t) = C₁exp(-λ²t) , X(x) = C₂ cos 2λx + C₃ sin 2λx.

Mamy X'(0)=0, X(5)=0, czyli

-2λC₂ sin 2λx + 2λC₃ cos 2λx |_x=0 = 0

-stąd C₃ =0. Zatem

X(5) = C₂ cos 10λ = 0,

stąd

10λ = π/2+nπ = (2n+1)π/2

i ostatecznie otrzymujemy ciąg możliwych wartości λ_n:

λ_n = (2n+1)π/20, n=0,1,2,... .

Etap 2)

Będziemy teraz poszukiwali rozwiązania "w" w postaci

.

Stąd aby w spełniało warunki początkowe, musi być

(*)
.

(*) jest żądaniem, aby funkcja 2x-10 rozkładała się w pewien szczególny szereg Fouriera. W związku z tym jesteśmy zmuszeni rozważyć parę aspektów.

Otóż jak dotychczas żądamy spełnienia równości (*) w przedziale <0,l>. Jednakże rozwinięcie (*) zawiera w sobie tylko kosinusy. Z tym możemy łatwo sobie poradzić - jak wiadomo, rozwinięcie względem samych kosinusów osiągamy, przedłużając funkcję parzyście na przedział <-l,l>. Pozostaje jednak nadal pewna trudność - mianowicie, mamy do dyspozycji tylko kosinusy nieparzystych wielokrotności πx/10, czyli πx/(2l). Zauważmy również, że składnik dla n=1 w rozwinięciu (*) ma okres 4l (czyli 20), a nie 2l - wszystkie dalsze składniki mają okres będący całkowitą częścią tego okresu, a więc suma ma okres taki jak pierwszy składnik, czyli (2l). Musimy więc przedłużyć funkcję, określoną na razie w przedziale Tymczasem funkcja, którą mamy rozłożyć, jest na razie określona tylko w przedziale <-l,l>, a mamy ją rozszerzyć na przedział <-2l,2l> (o długości jednego okresu: 4l) tak, aby w rozwinięciu występowały tylko kosinusy nieparzystych wielokrotności πx/10.

Przypomnijmy, że w ogólnym przypadku funkcji okresowej o okresie 2l, spełniającej warunki Dirichleta i zadanej na <-l,l> rozwinięcie w szereg Fouriera ma postać

,

gdzie

Jeżeli f - jak wyżej i f jest parzysta, to

,

przy czym

Kiedy w takim rozwinięciu składniki o parzystych indeksach tzn. a_2n się zerują, tzn. kiedy rozwinięcie zredukuje się do postaci

?

Otóż zauważmy, że wszystkie składniki ϕ_k(x)=cos (2k+1)πx/l w ostatnim rozwinięciu spełniają warunek ϕ_k(l-x)=-ϕ_k(x), wobec tego sama funkcja f, jeżeli jest równa swojemu rozwinięciu powyżej, również spełnia warunek f(l-x)=-f(x). Na odwrót, jeżeli f j.w.(tzn. okresowa o okresie 2l i parzysta) spełnia warunek f(l-x)=-f(x), to

;

podstawiając tu w drugiej całce x=l-u (dx=-du, l/2<x<l pociąga za sobą l/2<u<0) dostajemy

;

ale f(l-u)=-f(u) z założenia i cos 2kπ(l-u)/l = cos 2kπu/l , więc a_2k=0. Natomiast

(dowód podobny jak wyżej).

Reasumując, przy powyższych założeniach o funkcji f, mamy

,

gdzie

.

ZAMIENIAJĄC l na 2l otrzymujemy, że jeżeli funkcja f okresowa o okresie 4l jest parzysta i spełnia warunek f(2l-x)=-f(x), to

,

gdzie

.

Taką właśnie sytuację mamy w naszym zagadnieniu dla pręta o długości l.

Tak więc w naszym przykładzie rozkładamy następującą funkcję

f(x)=2x-10 dla x∈<0,5>; dla f(x)=-f(10-x)=-[2(10-x)-10]= -[20-2x-10] = 2x-10 dla x∈<5,10> (a więc przypadkiem tak samo);

.

Korzystając ze wzorów, wypisanych w poprzednim przykładzie, otrzymujemy:

Po nieskomplikowanych przeliczeniach otrzymujemy
.

Zatem

i w konsekwencji

Przykład 3. Przypadek b). Skrypt ECW (Eugenia Ciborowska - Wojdyga), zad.3b str.56.

Wyznaczyć temperaturę pręta o długości l, którego oba końce są izolowane.

l=4, a² =2, temperatura początkowa wynosi u(x,0) = x² :

.

(Uwaga: na prawym końcu nie jest spełniony warunek zgodności.)

Rozwiązanie.

1) u=X(x)T(t); X(x)T'(t) = 2X"(x)T(t);
;

T(t)=C exp [-λ²t] ; X"(x)+(λ²/2)X(x)=0; X(x) = C₁cos(λ/√2)x + C₂sin(λ/√2)x;

X'(x)=-(λ/√2)C₁sin(λ/√2)x+(λ/√2)C₂cos(λ/√2)x; X'(0)=(λ/√2)C₂=0, stąd C₂=0;

X'(4)= -(λ/√2)C sin[4(λ/√2)]=0, stąd 4λ/√2=nπ, n=0,1,2,...; λ_n=nπ√2/4,

λ_n² =n²π²/8.

2)

(dla uproszczenia zapisu nie wydzielono wyrazu ze współczynnikiem A₀ ).

Warunek brzegowy daje

.

Mamy

,

zaś dla n≥1

Ostatecznie

.

Przykład 4. Przypadek a-c). Stankiewicz, Wojtowicz, Zadania z matematyki, cz.II, zad. 566 str. 328.

Wyznaczyć temperaturę pręta (równanie przewodnictwa cieplnego
) jeżeli u(0,t)=0, a na końcu x=l występuje wypromieniowanie ciepła do otoczenia w temperaturze u =0, tzn.
; początkowy rozkład temperatury: u(x,0) = sin (πx/l). Uwaga: Początkowy rozkład temperatury nie jest, niestety, zgodny z warunkiem brzegowym.

Rozwiązanie.

Etap 1)

u = X(x)T(t), X(x)T'(t) = a²X''(x)T(t);
;

T'(t) - λ²a²T(t) = 0, X''(x) + λX(x) = 0;

T(t)=C exp[-λ²a²t], X(x)=C₁cos λx + C₂sin λx.

X(0)=0, stąd C₁ = 0; X'(l)=-hX(l), stąd λC₂cos λl = -hC sin λl.

Stąd -λ/h = tg λl. Równanie to ma nieskończenie wiele pierwiastków λ_n, leżących na poszczególnych gałęziach wykresu funkcji tangens (sporządzić rysunek); ponieważ λ_-n = -λ_n , pod uwagę weźmiemy tylko pierwiastki dodatnie.

X_n(x)=sin λ_nx. Można wykazać - albo bezpośrednio, albo korzystając z ogólnej teorii, że funkcje X_n i X_m są ortogonalne w <0,l> dla n≠m.

Sposób pierwszy: korzystając jedynie z tego, że -λ_n/h = tg λ_nl. Mamy

wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest równe

co po nieskomplikowanych przekształceniach daje

czyli wobec równań na λ_m, λ_n

,

c.n.d.

Obliczamy kwadrat normy funkcji X :

.

Sposób drugi (udowodnienia ortogonalności). Rozważamy równania dla X_n i X_m :

X_n" + λ_n²X_n =0, X_m" + λ_m²X_m =0,. Pierwsze z tych równań mnożymy przez X_m , a drugie przez X_n , odejmujemy od siebie i wynik całkujemy w przedziale <0,l>. Mamy:

,

czyli

;

przekształcając pierwsze dwie z tych całek przez części

w pierwszej u = X_m , v'= X_n" w drugiej u = X_n v'= X_m"

u'= X_m' v = X_n' u'= X_n' v = X_m'

otrzymujemy z łatwością

,

czyli

Ponieważ X_n(0) = X_m(0) = 0, X_n'(l) = -hX_n(l), X_m'(l) = -hX_m (l), więc mamy

,

czyli

,

skąd
. Kwadrat normy musimy policzyć bezpośrednio, podobnie jak w pierwszym sposobie.

Zastosowane tutaj techniki można uogólnić.

Etap 2) rozwiązania.

Rozwiązania szukamy w postaci

.

Warunek początkowy daje

.

Obliczenie współczynników b_n:

;

ponieważ 2 sin α sin β = cos (α-β)-cos(α+β), więc całka jest równa

;

zatem

.

Przykład 5. Analogicznie rozważa się przypadek b-c). Stankiewicz, Wojtowicz, t.II, zad. 568 str.329.

Wyznaczyć temperaturę pręta o długości l, w którym koniec x=0 jest izolowany, a na końcu x=l następuje wypromieniowanie do otoczenia o temperaturze 0, tzn.
.

Temperatura początkowa wynosi (dwa warianty):

a) u(x,0)≡A

b) u(x,0)=Ax dla 0≤x<l/2; u(x,0)=A(l-x) dla l/2≤x≤l.

Rozwiązujemy, jak zwykle, równanie
.

1) u(x,t)=X(x)T(t).

X(x) T'(t) = a²X''(x)T(t);

;

T'(t) - λ²a²T(t) = 0,

X''(x) + λ²X(x) = 0;

T(t)=Cexp[-λ²a²t], X(x)=C₁ cos λx + C₂ sin λx,

X'(x)=-λC₁sin λx + λC₂cos λx

X'(0)=λC₂ =0, stąd C₂ =0;

X'(l)=-hX(l)

-λC₁ sin λl=-hC₁cos λl

ctg λl=λ/h.

Istnieje nieskończony ciąg pierwiastków λ_n tego równania, tzn. ctg λ_nl = λ_n/h; wystarczy uwzględnić tylko dodatnie. Tak więc mamy ciąg rozwiązań

u (x,l) = C_ncos (λ_nx) exp (-λ²a²t).

Układ funkcji cos (λ_nx) jest ortogonalny w przedziale <0,l>. Kwadrat normy w przedziale <0,l> wynosi

.

Rozwiązania poszukujemy w postaci

,

przy czym ma być spełniony warunek początkowy:

w przypadku a)

.

Stąd

W przypadku b)

Równanie przewodnictwa cieplnego - Strona 8 z 12

---