WYKŁAD 4 .

4.1.Rachunek operatorowy w analizie drgań .

Załóżmy równanie ruchu :

(4.1)

Oznaczmy :

(4.2)

Transformata Laplace'a :

(4.3)

Jeśli σ=0 , to przekształcenie Fouriera jest jak poniżej :

(4.4)

Z rachunku operatorowego :

(4.5)

(4.6)

(4.7)

Przepiszmy pierwsze równanie :

(4.1)

(4.8)

Załóżmy :

(4.9)

Z rachunku operatorowego :

(4.10)

Załóżmy impuls jak na rysunku 4.1.

Rys.4.1.Impuls δ.

Mamy teraz :

(4.11)

Równanie charakterystyczne :

(4.12)

Równanie to posiada 2 pierwiastki zespolone :

(4.13)

Rys.4.2.Pierwiastki równania charakterystycznego na płaszczyźnie zespolonej .

Równanie (4.11) przybiera formę :

(4.14)

(4.15)

Stąd po podstawieniu do (4.14) otrzymujemy :

(4.16)

Rys.4.3.Przebieg czasowy x(t) .

4.2.Charakterystyka fazowa .

Rys.4.4.Model układu drgającego .

Piszemy równania :

(4.17)

(4.18)

Charakterystyka fazowa :

(4.19)

Rys.4.5.Rodzina krzywych przechodzących przez 1 .

(4.20)

Gdy s=jω to otrzymujemy podatność dynamiczną układu

(4.21)

(4.22)

(4.23)

4.3.Układ o 1 stopniu swobody z wymuszeniem harmonicznym , kinematycznym .

Rys.4.6.Układ z wymuszeniem kinematycznym .

Drgania podłoża :

(4.24)

Z równań ruchu wyznaczamy charakterystykę amplitudową

(4.25)

(4.26)

Oznaczamy :

(4.27)

Uwzględniając (4.27) w (4.26) :

(4.28)

Otrzymamy teraz

(4.29)

co da nam następujący wykres :

Rys.4.7.Zależność ϕ=f(z) .

4.4.Wykresy drgań układu na płaszczyźnie fazowej .

Rys.4.8.Wykresy drgań na płaszczyźnie fazowej , a)układ , b)układ bez wymuszenia , c)układ z wymuszeniem .

Rozważmy jeszcze równania :

(4.30)

(4.31)

(4.32)

Wstawiając (4.32) do (4.31) otrzymujemy :

(4.33)

Zakładamy h=0 - bez tłumienia :

(4.34)

(4.35)

Otrzymujemy równanie , które określa nam portret fazowy :

(4.36)

(4.37)

Uwzględniając warunki (4.37) otrzymujemy :

(4.38)

(4.39)

Oznaczmy :

(4.40)

Podstawiając (4.40) do (4.36) otrzymujemy :

(4.41)

Otrzymaliśmy równanie elipsy ; wykresy w zależności od warunków początkowych będą jak na rysunku 4 .7 .

Rys.4.9. Rodzina elips .

4.5.Stateczność położenia układów o wielu stopniach swobody .

Rys.4.10.Układ o wielu stopniach swobody (C-środek masy).

Energia potencjalna układu :

(4.42)

gdzie :

n-liczba stopni swobody.

Energia potencjalna jednej sprężyny przy przemieszczeniach jej końców o x₁ i x₂ lub tylko jednego z końców o x :

(4.43)

Ostatecznie energię potencjalną zapiszemy jako (q_n -współczynniki uogólnione) :

(4.45)

Szukamy zaburzenia statecznego położenia równowagi całego układu :

(4.46)

Warunek stateczności położenia równowagi w/g kryterium Sylvestra - Jacobiego formułujemy następująco : Położenie równowagi układu jest stateczne , gdy energia potencjalna w tym położeniu osiąga minimum .

Rys.4.11.Zagadnienie stateczności : 1-położenie stateczne , 2-równowaga chwiejna , 3-układ niestateczny .

(4.47)

Wzór (4.47) określa nam macierz energii potencjalnej .

(4.48)

0

1

δ₀

δ(t)=1

Im

jω_t

Re

-jω_t

x

t

y(t)

k

c

m

F(t)

R

bez tłumienia

z=ω/ω₀

π

π/2

0

1

y(t)

k

c

m

y₀

z

π

π/2

0

1

y

k

c,T

m B

R

S

F

F

S

T

R

B

ϕ

Re

Im

F

S

T

B

ϕ

Re

Im

a)

b)

c)

x₂,y₂,z₂

x₁,y₁,z₁

C

1

2

3

U

---