I EF-ZI 29.01.2012r
Laboratorium z fizyki
Ćw. nr: 27
Wyznaczanie indukcyjności cewki i pojemności kondensatora
w obwodzie prądu zmiennego
Artur Solarz
L 4
I. Wstęp teoretyczny
Prąd elektryczny jest to zjawisko fizyczne wywołane uporządkowanym ruchem ładunków elektrycznych przez badany przekrój poprzeczny danego ośrodka. Przepływ prądu elektrycznego wywołuje zjawiska: magnetyczne, cieplne, chemiczne, mechaniczne, świetlne i inne za pośrednictwem których poznaje się istnienie prądu elektrycznego.
Rozróżnia się m. in. prąd elektryczny:
stały - prąd jednokierunkowy , którego natężenie nie ulega zmianie w funkcji czasu
zmienny - w funkcji czasu zmienia się natężenie lub zwrot.
Jeśli w przypadku prądu zmiennego zmiany zachodzą okresowo , to prąd taki nazywa się przemiennym , a wartość średnia całookresowa natężenia prądu równa się zeru.
i śr (t) = (1/ T) ∫ i(t )dt = 0
gdzie: T - okres zmian prądu - czas , w którym prąd wykonuje jeden cykl zmian.
Najprostszym i najczęściej spotykanym prądem elektrycznym przemiennym jest prąd sinusoidalny, którego przebieg jest sinusoidalną funkcją czasu.
i(t) = Im sin(ωt + ϕ)
gdzie: i(t) - wartość chwilowa natężenia prądu.
Im - amplituda wielkości sinusoidalnej (wartość szczytowa prądu).
ω - pulsacja (częstość kątowa) ω = 2πf ; f - częstotliwość
ϕ - faza początkowa (początkowy kąt fazowy) - wielkość ta pozwala określić wartość prądu w chwili początkowej , tj. w chwili od której rozpoczęto rozpatrywać przebieg danej wielkości.
Prąd przemienny charakteryzują również takie wielkości jak wartość średnia prądu oraz wartość skuteczna.
Wartość skuteczną określa poniższy wzór:
ISK = √ (1/T) ∫ i2 (t)dt
Interpretacja fizyczna wartości skutecznej prądu przemiennego jest następująca::
Wartość skuteczna natężenia prądu, jest to wartość liczbowo równa takiej wartości prądu stałego, który w tym samym czasie i na tym samym oporze wydzieli taką samą ilość ciepła.
Wartość średnia całookresowa prądu przemiennego jest równa zero, dlatego podaje się wartość średnią półokresową. Wartość tę można policzyć ze wzoru:
IŚR = (1/T) 0∫T i(t)dt
Wartość średnia półokresowa prądu przemiennego jest równa takiej ilości prądu stałego który w tym samym czasie (połowie okresu) przeniesie taki sam ładunek co dany prąd przemienny.
Elementy R, L, C. Rozpatrując obwody prądu elektrycznego, możemy wyróżnić następujące elementy tych obwodów : odbiorniki o oporności czynnej (rezystancji) i biernej (reaktancji). Do pierwszej grupy zaliczamy m. in. rezystory (R - rezystancja), do drugiej zaś cewki (L - indukcyjność) i kondensatory (C - pojemność).
Odbiornik o oporności czynnej to takie odbiorniki których indukcyjność oraz pojemność jest znikomo mała i można ją pominąć.
Prąd przepływający przez taki odbiornik wyrazi równanie:
i = Im sin ωt
Spadek napięcia u na oporności czynnej R przy jej niezmiennej wartości jest tym większy, im większa jest wartość przepływającego prądu, więc chwilowe napięcie jest największe (Um) w chwili, gdy wartość chwilowa przepływającego prądu i jest szczytowa (Im). Gdy prąd i = 0 , to napięcie u = 0. Napięcie i prąd na rezystancji są zgodne w fazie, osiągają w tych samych momentach swe wartości szczytowe dodatnie i ujemne oraz zerowe
Gdy przez cewkę lub kondensator płynie prąd przemienny, wtedy część energii magazynowana jest w polu, odpowiednio magnetycznym lub elektrycznym. Wywołuje to spadek napięcia wprost proporcjonalny do iloczynu prądu i reaktancji. W przypadku obwodów prądu stałego nie mówi się o reaktancji, bowiem cewka stanowi zwarcie, zaś kondensator przerwę w obwodzie.
Reaktancja idealnej cewki i kondensatora jest równa co do wartości bezwzględnej ich impedancji. Napięcie i prąd w takich elementach są przesunięte w fazie o 90 stopni względem siebie. Znak liczby zależy od tego, czy prąd wyprzedza napięcie, czy napięcie wyprzedza w fazie prąd.
Reaktancja cewki (opór indukcyjny, induktancja) ma znak dodatni i oblicza się ją ze wzoru:
gdzie L to indukcyjność własna cewki,
- pulsacja.
Reaktancja kondensatora (opór pojemnościowy, kapacytancja) oblicza się ją ze wzoru:
gdzie: C - pojemność kondensatora,
- pulsacja.
We wzorze na reaktancję składowa indukcyjna występuje ze znakiem dodatnim, a pojemnościowa - z ujemnym:
Wykresy wektorowe obwodu
W przypadku analizy obwodów RLC w stanie ustalonym ważnym pojęciem jest wykres wektorowy, zwany również wykresem wskazowym, przedstawiający w sposób orientacyjny zależności między poszczególnymi wektorami prądu i napięcia w obwodzie. Jak wiadomo każdej liczbie zespolonej można przyporządkować reprezentację geometryczną w postaci odpowiedniej zależności wektorowej przedstawionej na płaszczyźnie, w której oś pozioma odpowiada części rzeczywistej a oś pionowa części urojonej liczby zespolonej. Konstruując wykres należy pamiętać, że pomnożenie wektora przez operator
jest równoważne jego obrotowi o kąt 90 stopni przeciwnie do ruchu wskazówek zegara gdyż operator j jest równy
Podobnie pomnożenie wektora przez operator
jest równoważne jego obrotowi o kąt 90 stopni zgodnie z ruchem wskazówek zegara gdyż operator -j jest równy
Pomnożenie wektora przez liczbę rzeczywistą nie zmienia pozycji wektora w przestrzeni o ile jest to liczba dodatnia lub zmienia zwrot wektora o jeśli liczba ta jest ujemna.
Z zależności prądowo-napięciowych dla rezystora jest oczywiste, że
co wobec rzeczywistych, dodatnich wartości R oznacza, że napięcie na rezystorze jest w fazie z prądem tego rezystora.
|
Przedstawione powyżej zasady konstruowania przesunięć kątowych między wektorami prądu i napięcia umożliwiają podanie ogólnych zasad postępowania przy konstruowaniu wykresu wektorowego dla dowolnego obwodu RLC.
Dla cewki obowiązuje
co oznacza, że napięcie na cewce wyprzedza prąd o kąt
.
|
Podobnie napięcie na kondensatorze opóźnia się względem swojego prądu o kąt
, gdyż
|
Wykres wektorowy z definicji uwzględnia przede wszystkim przesunięcia kątowe między poszczególnymi wektorami. Relacje ilościowe (długości) poszczególnych wektorów są mniej istotne i zwykle uwzględniane w sposób jedynie przybliżony.
Wykres rozpoczyna się zwykle od końca obwodu (gałęzi najdalej położonej od źródła). Jeśli gałąź jest połączeniem szeregowym elementów rozpoczynamy od prądu tej gałęzi, a w przypadku połączenia równoległego - od napięcia.
Następnie rysuje się na wykresie na przemian napięcia i prądy kolejnych gałęzi, dochodząc w ten sposób do źródła. Budowę wykresu kończy się w momencie dojścia do prądu i napięcia źródłowego obwodu. Relacja wektora prądu źródłowego względem napięcia decyduje o charakterze obwodu. Jeśli napięcie wypadkowe (źródłowe) wyprzedza prąd wypadkowy lub inaczej mówiąc prąd opóźnia się względem napięcia - obwód ma charakter indukcyjny. Jeśli natomiast napięcie opóźnia się względem prądu lub prąd wyprzedza napięcie - mówimy o charakterze pojemnościowym obwodu. Jeśli nie istnieje przesunięcie fazowe prądu wypadkowego względem napięcia (kąt fazowy równy zeru) mówimy o tzw. stanie rezonansu obwodu, lub po prostu charakterze rezystancyjnym danego obwodu. Charakter rezystancyjny obwodu może powstać nawet przy istnieniu w obwodzie indukcyjności i pojemności w przypadku gdy następuje kompensacja odpowiednich składowych indukcyjnej i pojemnościowej wektorów
Obwód szeregowy RLC
Szeregowy obwód RLC składa się z szeregowo połączonych : rezystancji , indukcyjności i pojemności. Napięcie chwilowe między zaciskami zewnętrznej części takiego układu jest sumą algebraiczną napięć na poszczególnych częściach obwodu
u = uR + uL + uC
Wartość skuteczna napięcia doprowadzonego do zacisków układu jest suma geometryczną napięć składowych UL , UR , UC . Należy pamiętać o tym że napięcia UL i UC są przesunięte w fazie względem napięcia UR odpowiednio o + 90 0 i - 90 0. Poniższy rysunek przedstawia wykres wskazowy dla takiego przypadku:
U2 = UR2 + (UL - UC)2
U = √ (IR)2 + (IXL - IXC)2 = I √ R2 + (XL - XC)2
Wyrażenie pod pierwiastkiem nazywa się opornością pozorną (impedancją) i często oznacza się literą Z
Z = √ R2 + (XL -XC)2
Jest to pierwiastek z sumy kwadratów oporności czynnej i biernej , gdzie oporność bierna jest sumą geometryczną oporności biernej pojemnościowej i oporności biernej indukcyjnej występujących w obwodzie.
Obwody zasilane prądem zmiennym, zawierające elementy czynne i bierne powodują przesunięcia fazowe pomiędzy prądem a napięciem. Kąt przesunięcia fazowego jest określony przez arctg stosunku oporności biernej od oporności czynnej:
ϕ = arctg (XL - XC)/R
Wzór wyrażający zależność między natężeniem prądu a napięciem : I = U/Z wyraża w najogólniejszej postaci prawo Ohma dla odcinka lub części zewnętrznej obwodu prądu przemiennego zawierającego oporność czynną i bierną .
II. Tabele pomiarowe
L.p. |
|
|
u(U_)[V] |
u(I_)[A] |
R[Ω] |
R±u(R) [Ω] |
1 |
1 |
0,06 |
0,15 |
3,75x10-3 |
16,67 |
16,18 ± 0,08 |
2 |
2 |
0,12 |
|
|
16,67 |
|
3 |
3 |
0,185 |
|
|
16,22 |
|
4 |
4 |
0,24 |
|
|
16,67 |
|
5 |
5 |
0,35 |
|
|
14,29 |
|
6 |
6 |
0,365 |
|
|
16,44 |
|
7 |
7 |
0,432 |
|
|
16,20 |
|
8 |
8 |
0,49 |
|
|
16,33 |
|
9 |
9 |
0,542 |
|
|
16,61 |
|
10 |
10 |
0,605 |
|
|
16,53 |
|
11 |
11 |
0,655 |
|
|
16,79 |
|
12 |
12 |
0,715 |
|
|
16,78 |
|
L.p. |
|
|
u(U~)[V] |
u(I~)[A] |
Z[Ω] |
Z±u(Z) [Ω] |
L±u(L) [H] |
1 |
10 |
0,18 |
0,375 |
7,5x10-3 |
58,82 |
59,18 ± 0,645 |
181,2 ± 2,2 |
2 |
20 |
0,33 |
|
|
58,82 |
|
|
3 |
30 |
0,51 |
|
|
57,69 |
|
|
4 |
40 |
0,67 |
|
|
58,33 |
|
|
5 |
50 |
0,86 |
|
|
58,82 |
|
|
6 |
60 |
1,02 |
|
|
56,82 |
|
|
7 |
70 |
1,2 |
|
|
57,69 |
|
|
8 |
80 |
1,26 |
|
|
58,33 |
|
|
L.p. |
|
|
u(U~)[V] |
u(I~)[A] |
|
XC±u(XC) [Ω] |
C±u(C) [µF] |
1 |
10 |
0,10 |
0,75 |
7,5x10-3 |
100,0 |
99,90 ± 0,0158 |
31,8 ± 0,005 |
2 |
20 |
0,20 |
|
|
100,0 |
|
|
3 |
30 |
0,31 |
|
|
100,0 |
|
|
4 |
40 |
0,41 |
|
|
100,0 |
|
|
5 |
49 |
0,50 |
|
|
100,0 |
|
|
6 |
60 |
0,61 |
|
|
100,0 |
|
|
7 |
70 |
0,71 |
|
|
100,0 |
|
|
8 |
100 |
1,02 |
|
|
99,9 |
|
|
III. Obliczenia
Rezystancja - R = U/I [Ω]
Obliczenie niepewności na podstawie klasy przyrządów pomiarowych:
Wyznaczanie niepewności typu A rezystancji cewki u(R)
[Ω]
Impedancja Z = U/I [Ω]
Obliczenie niepewności na podstawie klasy przyrządów pomiarowych:
Zśr = 59,2 [Ω]
Wyznaczanie niepewności typu A oporności pozornej u(Z)
[Ω]
Obliczenie indukcyjności cewki:
[H] = 0,181 [H] = 181 [mH]
Obliczenie niepewności u(L) metodą różniczki zupełnej:
Reaktancja - Xc = U/I [Ω]
Obliczenie niepewności na podstawie klasy przyrządów pomiarowych:
Xcśr = 99,9 [Ω]
Wyznaczanie niepewności typu A oporności biernej kondensatora u(Xc):
[Ω]
Obliczenie wartości pojemności kondensatora:
[F] = 3,18x10-5 [F] = 31,8 [µF]
Obliczenie niepewności u(C) metodą różniczki zupełnej:
IV. Wnioski
Wartość oporu czynnego dla cewki z prądem stałym wyznaczona w ćwiczeniu wyniosła R=(16,18 ± 0,08)[Ω] .
Wartość impedancji dla cewki z prądem wyznaczona w ćwiczeniu wyniosła Z=(59,2 ± 0,6)[Ω], a jej samoindukcyjność L=(181,2 ± 2,2)[mH].
Wartość oporności biernej dla kondensatora z prądem przemiennym wyznaczona w ćwiczeniu wyniosła Xc(99,9±0,02)[Ω]. Pojemność kondensatora wyniosła C=(31,8±0,005)[μF].
13
UC
UL
UR
U
UL - UC