Konspekt wykładu 2 (A.Jóźwikowska)

Ciągi Liczbowe

Funkcję odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R
nazywamy ciągiem liczbowym (nieskończonym) i oznaczamy
, gdzie
.

Ciągi monotoniczne

Ciąg
jest

.

Ciągi ograniczone

Ciąg
jest:

Otoczeniem liczby g o promieniu

nazywamy przedział otwarty
.

Inaczej :

Otoczeniem liczby g o promieniu

nazywamy zbiór punktów, których odległość od punktu g jest mniejsza od
.

Oznaczenie

Otoczeniem plus nieskończoności nazywamy przedział otwarty
, gdzie a jest dowolną liczbą.

Otoczeniem minus nieskończoności nazywamy przedział otwarty
, gdzie a jest dowolną liczbą.

Granica ciągu

Ciąg zbieżny do granicy skończonej

Def 1:

Liczbę g nazywamy granicą ciągu
, jeżeli spełniony jest warunek

.

dla dowolnej liczby dodatniej
istnieje liczba
taka, że wszystkie wyrazy ciągu o wskaźnikach większych od
różnią się od g mniej niż o
.

Zapisujemy

lub
.

Zwrot „Prawie wszystkie wyrazy ciągu” oznacza wszystkie wyrazu ciągu z wyjątkiem co najwyżej skończenie wielu.

Def 1a:

Liczbę g nazywamy granicą ciągu
, jeżeli w dowolnym otoczeniu liczby g leżą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.

Ciąg, który ma granicę (skończoną) nazywamy zbieżnym.

Zbieżność ciągu oznacza istnienie skończonej granicy tego ciągu.

Ciąg, który nie ma granicy skończonej nazywamy rozbieżnym.

Ciągi rozbieżne

Def 2:

Ciąg
nazywamy rozbieżnym do
jeżeli

dla dowolnej liczby A istnieje liczba
taka, że wszystkie wyrazy ciągu o wskaźnikach większych od
są większe od liczby A.

Def 3:

Ciąg
nazywamy rozbieżnym do
, jeżeli

Zapisujemy

lub
.

lub
.

Mówimy, że
, (
) jest granicą niewłaściwą ciągu.

Istnieją ciągi rozbieżne (czyli takie, które nie mają skończonej granicy), które nie są rozbieżne ani do
ani do
.

Przykład. Ciąg
jest rozbieżny.

Rachunek granic skończonych

Tw.

Jeżeli
i
, to

1.

2.

3.
przy założeniu, że
.

Ważniejsze granice

Prawdziwe są poniższe równości:

1.

2.

3.

Tw. 1

Jeśli ciąg jest zbieżny, to ma dokładnie jedną granicę.

Tw. 2

Jeżeli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony.

Wniosek

Ciąg, który nie jest ograniczony jest ciągiem rozbieżnym.

Uwaga! Twierdzenie odwrotne nie zachodzi.

Ciąg ograniczony, może być ciągiem rozbieżnym.

Tw. 3

Jeżeli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to jest zbieżny.

Tw.4 (o trzech ciągach)

Jeżeli
oraz dla prawie wszystkich n spełniona jest nierówność
to
.

Tw.5 ( zachowaniu nierówności słabej przy przejściu do granicy)

Jeżeli
i
oraz dla prawie wszystkich n spełniona jest nierówność
, to
.

Znak granicy i znak wyrazów ciągu

Tw.6

Jeżeli granica ciągu jest liczbą dodatnią (ujemną), to prawie wszystkie wyrazy ciągi są dodatnie (ujemne).

Jeżeli ciąg jest zbieżny i ma nieskończenie wiele wyrazów nieujemnych (niedodatnich), to granica tego ciągu jest liczbą nieujemną (niedodatnią).

Tw.7 (warunek Cauchy'ego zbieżności ciągu)

Ciąg
jest zbieżny

dla dowolnej liczby dodatniej
istnieje liczba
taka, że wszystkie wyrazy ciągu o wskaźnikach większych od
różnią się między sobą mniej niż o
.

Liczba Eulera e*2,718281...

Niech

Dowodzi się, że ciąg
jest rosnący i ograniczony, a więc zbieżny.

Granicę tego ciągu oznaczamy literą e.

Można wykazać, że e jest liczbą niewymierną.
. Logarytm o podstawie e nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy symbolem ln.

Tw.

Jeżeli

Jeżeli

Jeżeli
dla

Symbole nieoznaczone

Mówimy, że ciąg
jest ciągiem typu
jeżeli jest dany w postaci różnicy dwóch ciągów rozbieżnych do
.

, gdzie
,
.

O ciągu
nie można niczego orzec bez bliższych informacji o ciągach
.

Zbiór liczb rzeczywistych z dołączonymi do niego symbolami
i
nazywamy rozszerzonym zbiorem liczb rzeczywistych i oznaczamy
.

Przyjmujemy:

Jeżeli x jest liczba rzeczywistą

a)
,

,

.

b) Jeżeli
, to
,
.

c) Jeżeli
, to
,
.

Rachunek granic nieskończonych

1. Jeżeli
lub
, to
.

Symbolicznie:
,
.

2. Jeżeli
i wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie (
), to
. Symbolicznie
.

3. Jeżeli
i wszystkie wyrazy ciągu są ujemne (
), to
. Symbolicznie
.

4a. Jeżeli
,
i
, to
.

4b. Jeżeli
,
i
, to
.

Symbolicznie
.

5a Jeżeli
,
, to
.

5b. Jeżeli
,
, to
.

6a. Jeżeli
,
, to
.

6b. Jeżeli
,
, to
.

7. Jeżeli ciąg
jest ograniczony i
, to
.

Symbolicznie twierdzenie zapisujemy

7

---