Zadanie 1

Ze wszystkich wybudowanych w roku 2002 w Warszawie mieszkań wybrano w sposób losowy 120 i otrzymano dla nich następujący rozkład powierzchni mieszkalnej:

Powierzchnia w m^2	35-45	45-55	55-65	65-75	75-85	85-95	Razem
Liczba mieszkań	10	25	40	30	10	5	120

Na poziomie istotności α=0,05 sprawdzić, czy rozkład powierzchni mieszkań jest rozkładem normalnym.

Test zgodności

n = 120 liczebność duża

Test ten sprawdza, czy badany rozkład jest zgodny z rozkładem teoretycznym.

α = 0,05

PROCEDURA POSTĘPOWANIA

1. Wyznaczamy parametry, które charakteryzują rozkład normalny, czyli m - średnia arytmetyczna, σ - odchylenie standardowe.

Obliczam średnią arytmetyczną i odchylenie standardowe.

2. W ostatnim przedziale, liczebność jest mniejsza od 8, więc łączymy ostatni przedział z przedostatnim.

3. Wyznaczamy górne wartości przedziałów x_i1.

4. Standaryzujemy:
   

5. Odczytujemy dystrybuantę
   

6. Obliczamy prawdopodobieństwo
   , czyli

7. Wyznaczamy liczebność teoretyczną
   

8. Wyznaczam wartość statystyki
   




(xi0, xi1>	ni				(xi0, xi1>	ni	xi1		F(Zi1)	pi=F(Zi)−F(Zi-1)		(zaok)
35-45	10	40	400	4840	35-45	10	45	−1,42	0,0778	0,0778	9,6	10	0	0
45-55	25	50	1250	3600	45-55	25	55	−0,58	0,281	0,2032	24,384	24	1	0,04
55-65	40	60	2400	160	55-65	40	65	0,25	0,5987	0,3177	38,124	38	2	0,11
65-75	30	70	2100	1920	65-75	30	75	1,08	0,86	0,2613	31,356	31	−1	0,03
75-85	10	80	800	3240	75-95	15	95	2,75	0,997	0,14	16,8	17	−2	0,24
85-95	5	90	450	3920	Razem:	120	X	X	X	1,00	X	120	X	0,42
Razem:	120	X	7400	17680




Wartość statystyki


F(−1,42) = 1 − F(1,42) = 1 − 0,922196 = 0,077804

F(−0,58) = 1 − F(0,58) = 1 − 0,719043 = 0,280957

F(0,25) = 0,598706

F(1,08) = 0,859929

F(2,75) = 0,997020





9. Porównuję z wartość krytyczną.

α = 0,05
k - liczba przedziałów po złączeniu

r - liczba szacowanych parametrów, dla rozkładu normalnego

k = 5

r = 2
stopnie swobody






Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀, która mówi o tym, że rozkład powierzchni mieszkań jest rozkładem normalnym.




Zadanie 2

W celu oszacowania średniej wytrzymałości na ściskanie pewnego typu betonu, dokonano n = 80 niezależnych pomiarów wytrzymałości tego betonu i otrzymano następujące wyniki (w KG/cm²):

Wytrzymałość	190-194	194-198	198-202	202-206	206-210	210-214	Razem
Liczba pomiarów	6	12	26	20	11	5	80

Zweryfikować na poziomie istotności α = 0,05 hipotezę, że rozkład wytrzymałości na ściskanie badanego betonu jest normalny.

Test zgodności


n = 80 liczebność duża α = 0,05

Test ten sprawdza, czy badany rozkład jest zgodny z rozkładem teoretycznym.




PROCEDURA POSTĘPOWANIA

1. Wyznaczamy parametry, które charakteryzują rozkład normalny, czyli m - średnia arytmetyczna, σ - odchylenie standardowe.

Obliczam średnią arytmetyczną i odchylenie standardowe.














2. W pierwszym i ostatnim przedziale, liczebność jest mniejsza od 8, więc łączymy ostatni przedział z przedostatnim., natomiast pierwszy drugim.

3. Wyznaczamy górne wartości przedziałów x_i1.

4. Standaryzujemy:
   

5. Odczytujemy dystrybuantę
   

6. Obliczamy prawdopodobieństwo
   , czyli




7. Wyznaczamy liczebność teoretyczną
   

8. Wyznaczam wartość statystyki
   




(xi0, xi1>	ni				(xi0, xi1>	ni	xi1		F(Zi1)	pi=F(Zi)−F(Zi-1)		(zaok)
190-194	6	192	1152	600	190-198	18	198	−0,8	0,2119	0,2119	16,952	17	1	0,0588
194-198	12	196	2352	432	198-202	26	202	0	0,5	0,2881	23,048	23	3	0,3913
198-202	26	200	5200	104	202-206	20	206	0,8	0,7881	0,2881	23,048	23	−3	0,3913
202-206	20	204	4080	80	206-214	16	214	2,4	0,9918	0,2119	16,952	17	−1	0,0588
206-210	11	208	2288	396	Razem:	80	X	X	X	1,00	X	80	X	0,9002
210-214	5	212	1060	500
Razem:	80	X	16132	2112




Wartość statystyki


F(−0,8) = 1 − F(0,8) = 1 − 0,788145 =0,211855

F(0) = 0,5

F(0,8) = 0,788145

F(2,4) = 0,991802





9. Porównuję z wartość krytyczną.

α = 0,05
k - liczba przedziałów po złączeniu

r - liczba szacowanych parametrów, dla rozkładu normalnego

k = 4

r = 2
stopień swobody






Nie ma podstaw do odrzucenia H₀, która mówi o tym, że rozkład wytrzymałości na ściskanie badanego betonu jest normalny.




Zadanie 3

W celu sprawdzenia hipotezy, że „zarwanie” nocy przed egzaminem powoduje jego niezdanie, wylosowano próbę 200 studentów, którym zadano pytanie: „Czy spał/a Pan/Pani w noc poprzedzającą najtrudniejszy egzamin w sesji?”. Otrzymane odpowiedzi zestawiono w tablicy:

Wynik egzaminu	Noc przed egzaminem
		przespana	nieprzespana
zdany	115	45
niezdany	26	14

Test niezależności





PROCEDURA Postępowania (uproszczona)

1. Tworzymy tablicę asocjacji.

wynik egzaminu	noc przespana	noc nieprzespana	Σ
zdany	115^a	45 ^b	160
niezdany	26 ^c	14 ^d	40
Σ	141	59	200




Statystyka
ma postać











porównuję z wartością krytyczną dla rozkładu
.




liczba stopni swobody





Nie ma podstaw do odrzucenia H₀, która mówi o tym, że wyniki egzaminu nie zależą od sposobu spędzenia nocy poprzedzającej egzamin.

Zadanie 4

Pewien produkt można wytwarzać trzema metodami. Wysunięto hipotezę, że wadliwość produkcji nie zależy od metody produkcji. Pobrano próbkę o liczebności n = 400 sztuk i otrzymano następujące wyniki badania jakości dla poszczególnych metod:

Jakość	Metoda produkcji
		I	II	III
Sztuki dobre	100	140	100
Sztuki wadliwe	10	30	20

Test niezależności
.




Test nr 5



Tworzymy tablicę asocjacji.

jakość	Metoda produkcji
		I	II		III
sztuki dobre	100	140	100	340
sztuki wadliwe	10	30	20	60
	110	170	120	400

100	93,5	6,5	0,4519
140	144,5	−4,5	0,1401
100	102	−2	0,0392
10	16,5	−6,5	2,5606
30	25,5	4,5	0,7941
20	18	2	0,2222
400	400	X	4,2081

Wartość statystyki



dla 100
dla 140


dla 100
dla 10


dla 30
dla 20



porównuję z wartością krytyczną dla rozkładu
.




liczba stopni swobody

k - liczba kolumn

l - liczba wierszy






Nie ma podstaw do odrzucenia H₀, która mówi o tym, że jakość produkcji nie zależy od metody produkcji.




Zadanie 5

Na podstawie danych dotyczących wyników egzaminu wstępnego na wyższą uczelnię (Y, w punktach), ilorazu inteligencji (X) i liczby godzin poświęcanych tygodniowo na naukę (Z) grupy 12 osób wybranych w sposób losowy utworzono poniższą tabelę:

Numer	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Y	83	77	95	49	63	80	91	79	36	58	93	84
X	112	115	129	103	117	115	124	113	106	114	136	127
Z	9	6	14	4	8	12	10	9	5	7	8	3

1. Określić, która z badanych cech wykazuje największą zmienność

2. Obliczyć kowariancje między cechami X i Y, X i Z oraz Y i Z

3. Obliczyć współczynniki korelacji między wymienionymi w punkcie b) parami cech

4. Zbadać statystyczną istotność każdego z trzech wyżej wymienionych związków, zakładając prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju na poziomie 0,05

5. Obliczyć współczynniki korelacji rang Spearmana między cechami X i Y, X i Z oraz Y i Z

6. Określić kolejność uczniów ze względu na wszystkie badane cechy.

Y - wyniki egzaminu wstępnego na wyższą uczelnię w punktach

X - iloraz inteligencji

Z - liczba godzin poświęcanych tygodniowo na naukę

112	83	9	-6	9	1	36	81	1	-54	-6
115	77	6	-3	3	2	9	9	4	-9	-6
129	95	14	11	21	6	121	441	36	231	66
103	49	4	-15	-25	-4	225	625	16	375	60
117	63	8	-1	-11	0	1	121	0	11	0
115	80	12	-3	6	4	9	36	16	-18	-12
124	91	10	6	17	2	36	289	4	102	12
113	79	9	-5	5	1	25	25	1	25	-5
106	36	5	-12	-38	-3	144	1444	9	456	36
114	58	7	-4	-16	-1	16	256	1	64	4
136	93	8	18	19	0	324	361	0	342	0
127	84	3	9	10	-5	81	100	25	90	-45
1411	888	95	X	X	X	1027	3788	113	1615	104






				ranga xi	ranga yi	ranga zi	di=xi−yi		di=xi−zi		di=yi−zi
112	83	9	9	3	8	8,5	-5	25	-5,5	30,25	-0,5	0,25
115	77	6	6	6,5	5	4	1,5	2,25	2,5	6,25	1	1
129	95	14	126	11	12	12	-1	1	-1	1	0	0
103	49	4	100	1	2	2	-1	1	-1	1	0	0
117	63	8	0	8	4	6,5	4	16	1,5	2,25	-2,5	6,25
115	80	12	24	6,5	7	11	-0,5	0,25	-4,5	20,25	3	9
124	91	10	34	9	10	10	-1	1	-1	1	0	0
113	79	9	5	4	6	8,5	-2	4	-4,5	20,25	-2,5	6,25
106	36	5	114	2	1	3	1	1	-1	1	-2	4
114	58	7	16	5	3	5	2	4	0	0	-2	4
136	93	8	0	1	11	6,5	-10	100	-5,5	30,25	4,5	20,25
127	84	3	-50	10	9	1	1	1	9	81	8	64
1411	888	95	384	X	X	X	X	156,5	X	194,5	X	115






S(x) = 9,2511 ≈ 9 S(y) = 17,767 ≈ 18 S(z) = 3,0687 ≈ 3

KOWARIANCJA











Korelacja dodatnia Korelacja dodatnia Korelacja dodatnia











• Pomiędzy zmiennymi występuje dość silna korelacja dodatnia, co oznacza, że wraz ze wzrostem wartości jednej zmiennej wartość drugiej zmiennej wzrasta i odwrotnie.

Test istotności współczynnika korelacji liniowej Pearsona




H₀:


H₁:




























































• Odrzucam hipotezę H₀ na rzecz H₁ na poziomie istotności α=0,05 współczynnik korelacji pomiędzy zmiennymi jest statystycznie istotny, czyli zależność między nimi jest istotna.

• Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀ na poziomie istotności α=0,05 współczynnik korelacji pomiędzy zmiennymi jest statystycznie nieistotny, czyli zależność między nimi jest nieistotna.

• Odrzucam hipotezę H₀ na rzecz H₁ na poziomie istotności α=0,05 współczynnik korelacji pomiędzy zmiennymi jest statystycznie istotny, czyli zależność między nimi jest istotna.

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI RANG SPEARMANA












Zadania dotyczące testowania hipotez nieparametrycznych

1

Zadania dotyczące testowania hipotez nieparametrycznych

10

H₀: F(X) = F₀(X)

H₁: F(X) ≠ F₀(X)

H₀: F(X) = F₀(X)

H₁: F(X) ≠ F₀(X)

Na poziomie istotności α=0,05 sprawdzić hipotezę o niezależności wyniku egzaminu od sposobu spędzenia nocy poprzedzającej egzamin.

H₀: wyniki egzaminu nie zależą od nocy przed egzaminem

H₁: wyniki egzaminu zależą od nocy przed egzaminem

n

γ = (k − 1) (l −1) = 1

Przyjmując poziom istotności α=0,05, zweryfikować hipotezę o niezależności jakości produkcji od metod produkcji.

H₀: jakość produkcji nie zależy od metody produkcji

H₁: jakość produkcji zależy od metody produkcji

γ = (k − 1) (l − 1)




t_α,γ

t_α,γ

t_α,γ

t

t

t

---