Pytania kontrolne

0. Zdefiniować rozkład normalny.

0. Podać definicję zmiennej losowej. Czy pomiar można traktować, jako zmienną losową?

0. Co to jest dystrybuanta zmiennej losowej?

0. Jakie znasz rozkłady prawdopodobieństwa. Jak zdefiniowano rozkład
. T - Studenta. Fischera - Snedecora?

1. Jakie są źródła błędów pomiarów?

2. Na jakie trzy zasadnicze grupy możno podzielić błędy spostrzeżeń?

3. Jakie własności mają błędy przypadkowe?

4. Co to jest błąd systematyczny?

4. Co to jest błąd gruby (omyłka)?

5. Jakie informacje mamy analizując wielkości błędów absolutnych, a jakie błędów względnych?

6. Określić różnicę między błędami prawdziwymi a pozornymi; podać ich definicję?

7. Podać przykłady ilustrujące błędy prawdziwe.

11. Co to jest błąd graniczny?

12. Co to jest błąd Ferrero?

9. Przedstawić prawo rozkładu (prawdopodobieństwa) błędów Gaussa.

9. Wyznaczyć prawdopodobieństwo iloczynu błędów pomiarów. Zakładamy, że wartości otrzymywanych pomiarów (obserwacje) są w danych warunkach najbardziej prawdopodobne. Jaki ważny warunek pociągają te założenia?

9. Jakie kryterium stosujemy wyznaczając średni błąd pojedynczego spostrzeżenia?

9. Jakie kryterium stosujemy wyznaczając średni błąd typowego spostrzeżenia?

12. Dlaczego uważamy, że średnia arytmetyczna jest najprawdopodobniejszą wartością pomiaru?

13. Podać definicję błędu średniego pojedynczego spostrzeżenia?.

14. Wyprowadzić wzór na średni błąd średniej arytmetycznej (w zależności od średniego błędu pojedynczego spostrzeżenia) - wykorzystać prawo przenoszenia błędów średnich.

15. Wyprowadzić wzory na średnie błędy pojedynczego spostrzeżenia i średniej arytmetycznej wyrażone przez błędy pozorne.

16. Jaka relacja zachodzi między błędem średnim a parametrem dokładności spostrzeżeń?

17. Co to jest krzywa prawa rozkładu błędu. Jak na podstawie jej przebiegu można wnosić o dokładności prowadzonych pomiarów?

18. Jak jest różnica między pojęciami dokładności i precyzji?

12. Kiedy możemy mówić, że precyzja to to samo co dokładność?

10. Wymienić miary dokładności, jakie relacje zachodzą między nimi?

19. Czy z praktycznego punktu widzenia opłaca się powtórzyć pomiar 50 razy?

20. Jaką wartość wielkości mierzonej z określonym błędem można uznać za jej wartość prawdziwą?

8. Co to jest średnia arytmetyczna?

8. Wyznaczyć błąd średni pojedynczego pomiaru. Przeprowadzono n pomiarów wielkości geodezyjnej.

21. Kiedy mamy do czynienia z obserwacjami niejednakowo dokładnymi?

23. Co to są wagi spostrzeżeń?

23. Jaką wartość ma waga spostrzeżenia typowego.

23. Co to znaczy, że waga jest proporcjonalna do odwrotności kwadratu błędu średniego i jaki sens ma współczynnik proporcjonalności.

8. Wyznaczyć błąd średni typowego pomiaru. Przeprowadzono n pomiarów wielkości geodezyjnej.

24. Jaki jest związek wag z błędami średnimi?

10. Podać definicję średniej ważonej.

12. Wyznaczyć wysokość punktu węzłowego (rozważyć trzy ciągi, których przewyższenia mają te same błędy średnie).

13. Wyznaczyć wysokość punktu węzłowego (rozważyć trzy ciągi, których przewyższenia nie mają tych samych błędów średnich)

22. Wyprowadzić (podać) wzór na ogólną średnią arytmetyczną.

13. Wyznaczyć błąd średni średniej ważonej wykorzystując prawo przenoszenia błędów średnich.

25. Co to jest macierz błędów średnich?

26. Podać różnice pojęć - macierz wariancyjno kowariancyjna, macierz kowariancyjna, macierz błędów średnich.

26. Jaki jest związek między macierzą błędów średnich a macierzą wag?

27. Co to jest pomiar pośredni - pseudoobserwacja?

28. W jakim przypadku macierz błędu jest diagonalna?

29. Kiedy macierz błędu (wag) jest pełna?

30. Podać prawo przenoszenia błędu dla funkcji pomiarów niezależnych.

31. Podać prawo przenoszenia błędu dla funkcji pomiarów zależnych (pseudoobserwacj).

31. Co to jest gradient funkcji f?

31. Co to jest kowariancja?

32. Jakim obiektem jest jakobian funkcji g i f?

32. Jakim obiektem jest hesjan funkcji g i f?

32. Podać wzór na prawo przenoszenia kowariancji.

32. Mamy zależność y = Ax + b, A - macierz, x, y i b to wektory. Znamy macierz kowariancji C wektora x. Jaka jest macierz kowariancji y?

34. Co to jest współczynnik korelacji liniowej, jaka jest jego interpretacja?

34. Czy pomiary mogą być skorelowane i zarazem niezależne?

34. Czy pomiary mogą być zależne i zarazem nieskorelowane?

34. Czy z niezależności pomiarów wynika brak ich korelacji?

34. Zależność między x i y to:
. Jaki jest w tym przypadku współczynnik liniowej korelacji?

35. Co to jest wariancja i odchylenie standardowe? Podać odpowiedniki geodezyjne.

36. Jaki jest związek odchylenia standardowego i błędu średniego?

37. Dlaczego macierz błędu nazywamy także macierzą wariancyjno kowariancyjną?

37. Jakie wielkości reprezentują pierwiastki z elementów diagonalnych macierzy kowariancji?

37. Czy elementy diagonalne macierzy kowariancji mogą mieć wartości ujemne?

37. Czy macierz kowariancji jest dodatnio określona? Co to znaczy?

37. Co oznacza ujemna wartość kowariancji?

38. Co to jest krzywa błędu?

39. Co to jest elipsoida błędu?

40. Mając błędy średnie
współrzędnych punktu
wyznaczyć błąd położenia punktu
.

41. Zdefiniować równanie poprawki (kątowej, liniowej).

42. Co to jest układ obserwacyjny (model matematyczny) ?

43. Co to jest model stochastyczny.

43. Co to jest układ równań normalnych?

43. Co to oznacza pojęcie - wyrównanie?

44. Dlaczego wagi można mnożyć przez dowolna wartość stałą? Zilustrować ten fakt.

45. Jeśli pomiary mają rozkład normalny to, jaki rozkład mają ich błędy i poprawki?

46. Wyznaczyć średni błąd iloczynu
, Jeśli znana jest wartość stałej a i dany jest średni błąd
spostrzeżenia x.

47. Wyznaczyć średni błąd funkcji
znane są średnie błędy
,
.

48. Wyznaczyć średni błąd funkcji
znane są średnie błędy
,
.

49. Wyznaczyć średni błąd funkcji:
jeśli są znane błędy
i współczynniki
.

50. Wyznaczyć średni błąd dowolnej funkcji:
, jeśli znane są błędy
.

51. Wyznaczyć błąd średni funkcji:
, znane
.

51. Wyznaczyć wagi funkcji podanych w p. 46 -51.

52. Kiedy błąd średni odległości
jest proporcjonalny do
, a kiedy do
(
)?

52. Jak zmienia się wartość błędu średniego mierzonej odległości, gdy ona wzrasta?

52. Jak zmienia się wartość błędu średniego wyznaczanego kąta, gdy on wzrasta?

52. Jak uzależniony jest błąd średni wyznaczanego kąta od długości celowej?

52. Kąt wyznaczamy metodą kierunkową. Określić błąd tej metody wyznaczania kąta. Przyjąć, że błąd pomiaru kierunku jest równy m.

52. Znamy błąd średni metody pomiaru odległości wynikający z (ze sposobu prowadzenia pomiaru, błędów średnich dalmierza, centrowania, refrakcji itp.) dlaczego do określenia błędu średniego tej odległości przeprowadzamy zwykle tylko dwa pomiary a nie 50?

52. W jakim przypadku musimy przeprowadzić te 50 , 100, 1000 pomiarów?

52. Omówić problem planowania pomiarów na przykładzie wyznaczania współrzędnych metodą biegunową. Co oznacza pojęcie błędu średniego skoordynowanego, uzgodnionego?

52. Podać zależność na błąd średni m_d różnic pomiarów podwójnych, jeśli spostrzeżenia są jednakowo dokładne i niejednakowo dokładne. Podać zależność dla średniego błędu pojedynczego m₀ i typowego spostrzeżenia m.

53. W jaki sposób w rachunku wyrównawczym uwzględniamy błędy systematyczne?

54. W jaki sposób można wyeliminować błędy systematyczne? Rozważyć kwestię pomiarów podwójnych.

54. Podać wartość zamiennika radianów na sekundy, radianów na (cc)

56. Podać definicję: radiana i jego jednostkę, tysięcznej i jej jednostkę, grada.

56. Wyznaczyć tg(1”), sin(1”). Celowa ma 1 km jaką długość ma łuk 1', 1”, 1^c, 1 ^cc?

56. Z pomiarów (celowa 1km) możemy wyznaczyć kąt z dokładnością 1' np. 30^o45'. W jaki sposób można wyznaczyć bez dodatkowego pomiaru kąta, kąt 30^o45'15”?

56. Co to jest różniczka funkcji (jednej zmiennej, wieluzmiennych)?

56. Co to znaczy rozwinąć funkcję w (ucięty) szereg Taylora?

56. Omówić funkcje trygonometryczne małych kątów.

57. Czy formę Hausbrandta służącą do wyznaczenia kątów można stosować w każdym przypadku?

59. Jak użyć formy Hausbrandta do wyznaczenia kąta > 180º.

61. Podać wzór (lub formę Hausbrandta) dla różniczki kąta.

62. Podać wzór (lub formę Hausbrandta) dla różniczki długości.

63. Podać wzór (lub formę Hausbrandta) dla różniczki azymutu.

64. Jakie znasz metody rozwiązywania układów równań linowych?

65. Czy metoda wyznacznikowa jest metodą odpowiednią do rozwiązywania układów równań w rachunku wyrównawczym?

66. Podać warianty metody eliminacji Gaussa.

67. Co to jest przekształcenie Banachiewicza?

67. Omówić metodę LU (Choleskiego)? Czy met. LU jest równoważna metodzie Banachiewicza?

68. Co to jest krakowian? Jak mnożymy krakowiany.

69. Czy każda macierz, krakowian mają macierze, krakowiany odwrotne? Podać warunki.

70. Kiedy macierz, krakowian ma pierwiastek?

73. Podaj kilka wielkości geodezyjnych będących funkcją pojedynczego pomiaru.

74. Podaj kilka wielkości geodezyjnych (pseudoobserwacji) będących funkcją dwóch pomiarów.

75. Podaj kilka wielkości geodezyjnych będących funkcją kilku (>2) pomiarów.

75. Przedstawić prawo przenoszenia błędów w postaci macierzowej.

75. Odległość
wyznaczano ze współrzędnych
. Jaki jest błąd średni długości
, jeśli
są zależne?

Jaki jest błąd średni długości
, jeśli
są niezależne?

Jaki jest błąd średni długości
, jeśli
i
są niezależne?

Jaki jest błąd średni długości
, jeśli
i
są niezależne a
i
zależne?

Jaki jest błąd średni współrzędnych
i y jeśli wyznaczono je metodą biegunową?

75. Wyznaczyć macierz kowariancji współrzędnych
i
, jeśli wyznaczono je metodą biegunową.

75. Błąd średni kąta wyrażono w sekundach. Obliczamy pochodną cząstkową np. odległości względem tego kąta. Przedstawić tę zależność.

75. Omówić sposób wyznaczania błędów współrzędnych określanych za pomocą podstawowych konstrukcji geodezyjnych (wcięcia, zagadnienie Hansena, domiary).

76. Wyznaczyć błędy średnie współrzędnych węzłów ciągu poligonowego. Rozważyć przypadek ciągu dwuwęzłowego.

76. Jak określamy klasę sieci poziomej i wysokościowej?

76. Co to jest Instrukcja Techniczna G-4?

76. Zmierzono jeden bok a działki „kwadratowej” i wyznaczano jej pole
, następnie zmierzono dwa „prostopadłe” do siebie boki
tej działki i obliczono jej pole
. Czy wyznaczone w tych dwóch przypadkach błędy pola są różne? Jeśli tak to, dlaczego?

76. Zmierzono przewyższenia
między reperem, którego wysokość H wyznaczamy a reperami odniesienia o znanych wysokościach
. Obliczyć wysokość H, znając błędy średnie przewyższeń
. Zakładamy, że wysokości reperów dowiązania są bezbłędne.

76. Rozważyć przypadek, gdy wysokości reperów dowiązania obarczone są błędami średnimi o wartości m. (Trudne - spytać 2 rok.)

76. Wyznaczyć macierz kowariancji C znając błędy średnie pomierzonych przewyższeń
i macierz kowariancji reperów dowiązania C_H.

76. Obliczyć z dokładnością 1” graniczną odchyłkę sumy kątów trójkąta, jeżeli są znane błędy średnie tych kątów m_α = 5”, m_β = 4”, m_γ = 3”. Graniczną odchyłkę należy obliczyć z zależności: O_Gran = 3 m_f , m_f to błąd średni sumy kątów trójkąta.

77. Obliczyć średni błąd sumy przewyższeń w ciągu niwelacyjnym wykonanym metodą ze środka w terenie płaskim, przyjmując długość celowej 50 m, długość ciągu L = 1000 m, średni błąd przewyższenia na jednym stanowisku m_h = ± 2,5 mm.

78. Przewyższenie określamy, jako różnicę
odczytów łaty wstecz i w przód. Błąd odczytu łaty to 1mm. Przewyższenie zmierzono dwukrotnie. Jaki jest błąd średni pojedynczego pomiaru przewyższenia i średniej arytmetycznej przewyższeń?

78. Kąt wyznaczamy mierząc kierunki z błędem 5”. Kierunki pomierzono dwukrotnie. Jaki jest błąd średni kąta średniego a jaki pojedynczego (otrzymanego z jednej różnicy kierunków)?

78. Określić błąd względny ciągu o n = 10 bokach jednakowej długości równych S = 20 m przyjmując, że błąd względny pomiaru jednego boku taśmą wynosi m_S /S = 1/2000.

79. W ciągu poligonowym zmierzono 3 kąty. Jaki jest błąd wyznaczenia 1, 2, 3 azymutu kolejnych odcinków ciągu? Znamy (bezbłędne) azymuty nawiązania i błąd średni pomiaru kąta 2”.

79. Zmierzono kąty w trójkącie. Jeden kąt pomierzono w n = 3 razy z błędem średnim pojedynczego pomiaru m₁ = ± 5”. Ile razy trzeba pomierzyć pozostałe kąty z błędem średnim pojedynczego pomiaru m₂ = ±10”, aby wagi wszystkich kątów były jednakowe.

80. Pomierzono działkę kwadratową otrzymując wartość boku a = 100,236 m z wagą p_a = 1/(0,002)². Obliczyć z dokładnością 0,001 wagę powierzchni tej działki.

Zdefiniować pojęcia: błąd średni, błąd średni pojedynczego spostrzeżenia, błąd średni typowego spostrzeżenia, błąd średni średniej arytmetycznej, waga, kowariancja, współczynnik korelacji.

Scharakteryzować pojęcia precyzji i dokładności.

Zdefiniować pojęcia: macierz błędów średnich (kowariancji), macierz wag. Podać związek macierzy wag z macierzą błędów średnich. Co to jest macierz ko faktorów?

(średnia),
,
.

Podać praktyczne sposoby określenia błędu typowego spostrzeżenia na podstawie przeprowadzonych pomiarów. Posłużyć się przykładem.

Skomentuj tematy: Obserwacje bezpośrednie a pseudoobserwacje (Czy kąt to obserwacja czy pseudoobserwacja). Prawo przenoszenia błędów a prawo przenoszenia kowariancji.

Wyznacz błędy średnie tj. zapisz prawo przenoszenia błędów dla przypadku:

funkcji pomiarów bezpośrednich
,

funkcji pomiarów pośrednich
,

funkcji pomiarów pośrednich i bezpośrednich
.

Zdefiniować zagadnienie wyrównawcze tj. odpowiedz: kiedy zagadnienie ma charakter wyrównawczy, co to jest model funkcjonalny (matematyczny), co to jest model stochastyczny, podać kryteria wyrównania (co to jest nadokreślony, niedookreślony układ równań). (
, P,
)

Zdefiniować pojęcia błędu średniego a priori i aposteriori.

Ogólne równanie poprawki - omówić składniki równania poprawki (na wybranym przykładzie równania poprawki liniowej kątowej itp.)

,

Podać interpretację różniczki
.

Jak otrzymujemy układ równań normalnych - macierz układu równań normalnych (wymiar) - (
). Jaką rolę pełni ten układ w zagadnieniach wyrównawczych?

Jakie informacje zawiera macierz kowariancji. Jakie ma ona podstawowe własności?

Jakie informacje są potrzebne aby wykreślić elipsę błędu położenia punktu.

Obliczyć błąd średni odległości
,
to wyznaczone w procesie wyrównania (zależne) współrzędne węzła sieci.

Czy to są macierze kowariancji?

A)
, B)
, C)
, D)
, E)

Obliczyć błąd średni azymutu odcinka , AC, AB, BC, CD, DA, AD, DC, CB, BA , CA

,

jeśli macierz kowariancji punktów wyznaczanych
ma postać

A)
, B)
, C)
, D)
, E)

Obliczyć błąd średni kąta,

,
,
,

,
,

jeśli macierz kowariancji punktów wyznaczanych
ma postać jak wyżej.

Obliczyć błąd średni pola trójkąta ABC, CDA, ABD, DBC, BCE, AED, CED, ABE
,
.

jeśli macierz kowariancji punktów wyznaczanych
ma postać

A)
, B)
, C)
, D)
, E)

Wyznaczyć błędy średnie odcinków prostopadłościanu o bokach a, b, c.

Wyznaczyć wysokość punktu węzłowego.

1

H_B

H_A

H_C

C

c

b

B

A

a

∆h₁=1.1m

H₂=12 m

H₁=10 m

W

H₃=15 m

∆h₂=1.0 m

∆h₃=2.8 m

2

3

1

c

b

a

φ

A

B

C

D

γ

β

α

γ

β

α

A

B

C

D

E

∆h₁=1.1m

H₂=12 m

H₁=10 m

W

H₃=15 m

∆h₂=1.0 m

∆h₃=2.8 m

2

3

1

---