Tatiana Zaszkowska 21 III 2001

Ćwiczenie nr 6

Temat: Wyznaczanie momentów bezwładności bryły za pomocą wahadła torsyjnego.

Tabela pomiarów:

Masa walca m=740,4
kg

Promień podstawy walca r=24,55
m

Szerokość ramki l=119,5
m

Wymiary prostopadłościanu a=0,06m

b=0,1m

c=0,04m

Gęstość prostopadłościanu

Teoria:

W ruchu obrotowym bryły sztywnej ważną rolę odgrywa sposób rozmieszczenia masy bryły wokół osi obrotu. Wielkością charakteryzującą tę własność jest moment bezwładności. Bryła sztywna może być traktowana jako zbiór punktów materialnych m₁, m₂, ..., m_n, których odległości od osi obrotu wynoszą odpowiednio r₁, r₂, ..., r_n.

Momentem bezwładności bryły względem danej osi nazywamy sumę iloczynów mas poszczególnych punktów bryły i kwadratów ich odległości od danej osi. Można zatem zapisać:

W przypadku bryły o ciągłym rozkładzie masy, dzielimy ją na nieskończenie wiele małych części i wówczas sumowanie można zastąpić całkowaniem:

Opis metody:

Wahadło torsyjne stanowi ramka, w której umieszczamy bryłę. Dzięki elektromagnesowi układ taki wykonuje skręty, które zliczane są przez miernik Równocześnie następuje pomiar czasu.

Równanie ruchu obrotowego:

Załóżmy, że
jest funkcją czasu postaci
.

Po dwukrotnym zróżniczkowaniu otrzymamy:

Zatem:
. Uwzględniając, że
, otrzymujemy:

Okres drgań wahadła torsyjnego (samej ramki) wyraża się wzorem:

, (1)

gdzie I_O - moment bezwładności ramki, D - moduł sztywności.

Podobnie wygląda wyrażenie na okres drgań ramki z bryłą:

, (2)

gdzie I - moment bezwładności bryły oraz wzór na okres drgań ramki z bryłą względem danej osi i:

, (3)

gdzie I_i - moment bezwładności bryły względem danej osi i.

Podnosząc do kwadratu i odejmując równania (1) i (2) otrzymujemy:

Postępując podobnie z równaniami (3) i (1) otrzymujemy:

Podstawiając D:

MOMENT BEZWŁADNOŚCI WALCA WZGLĘDEM JEGO OSI SYMETRII

Wyznaczę najpierw moment bezwładności cylindra o promieniu wewnętrznym R₁ i zewnętrznym R₂. Po rozwinięci takiego cylindra otrzymamy pasek o grubości dr. Objętość takiego paska wynosi dv=2
hrdr, zaś objętość walca V=
h(R₂²-R₁²). Moment bezwładności można zapisać jako całkę:

, dm=
dv.

Uwzględniając, że
mamy:
.

Rozważając przypadek walca pełnego czyli
, w końcowym efekcie otrzymujemy moment bezwładności walca równy:

MOMENT BEZWŁADNOŚCI PROSTOPADŁOŚCIANU WZGLĘDEM TRZECH PROSTOPADŁYCH OSI SYMETRII

Prostopadłościan obraca się wokół osi x. Wówczas:

Analogicznie:

MOMENT BEZWŁADNOŚCI RAMKI

Moment bezwładności ramki jest sumą momentów bezwładności wszystkich prętów.
Wyznaczmy moment bezwładności pojedynczego pręta względem osi prostopadłej przechodzącej przez środek pręta.

Momenty bezwładności prętów 3 i 4 różnią się jedynie znakiem ( wynika to z twierdzenia Steinera ), więc znoszą się wzajemnie. Zatem moment bezwładności ramki jest równy:

, gdzie
- gęstość liniowa pręta.

Obliczenia:

RAMKA

T_O=t_O/20=1,7857s

I_O=337,0137503

WALEC

T=t/20=2,0688s

I=892,481862

PROSTOPADŁOŚCIAN

T_X=t_X/20=3,413155s

T_Y=t_Y/20=2,6593s

T_Z=t_Z/20=3,63535s

m=
V=1,896kg

Teoretyczny moment bezwładności prostopadłościanu:

I_X=1,8328

I_Y=0,8216

I_Z=2,1488

Korzystając natomiast ze wzoru roboczego otrzymujemy:

I_X=1,730001301

I_Y=0,793991546

I_Z=2,050238845

NIEPEWNOŚĆ POMIARU

Niepewność całkowita dla t:

Niepewność całkowita dla r:

Niepewność całkowita dla m:

Niepewność całkowita dla T' i T'':

Wartości pochodnych cząstkowych I względem poszczególnych zmiennych:

We wzorze roboczym dokonam podstawienia:

OŚ X

OŚ Y

OŚ Z

Niepewność całkowita dla I:

Niepewność rozszerzona (dla
=0,95 k=2) wynosi:

Ostateczny wynik otrzymujemy po zaokrągleniu wartości do dwu miejsc znaczących:

Wnioski:

Wahadło torsyjne jest urządzeniem, dzięki któremu możemy wyznaczyć moment bezwładności bryły doświadczalnie. Widać, że wartości momentów teoretycznych różnią się nieznacznie od momentów doświadczalnych. Wynika to z tego, że bryła prostopadłościanu była ścięta na rogach, więc jej masa rzeczywista była mniejsza niż masa wyliczona dzięki wymiarom i gęstości.

---