Wojciech Patryas, Elementy logiki dla prawników, Ars boni et aequi, Poznań 1994, s. 71-127 (Rozdział III Zbiory i IV Relacje).

III. ZBIORY

1. Zbiór w sensie dystrybutywnym

W poprzednim rozdziale zauważyliśmy, że rachunek predykatów bada jedynie formalne własności predykatów, nie wyróżniając w zasadzie żadnego z nich. Jednakże w szeroko pojętej logice pewne predykaty są przedmiotem szczególnych analiz. Takim właśnie predykatem jest jednoargumentowy predykat „być zbiorem” prowadzący do formuły „x jest zbiorem”. Formułę tę zapisujemy następująco „Z(x)”. Przekształca się ona w zdanie, gdy za zmienną „x” wstawi się określony termin jednostkowy albo też ową zmienną zwiąże się kwantyfikatorem.

Zauważmy więc, że predykat ten można pojmować na dwa sposoby, mając na uwadze albo zbiór w sensie kolektywnym albo też zbiór w sensie dystrybutywnym. Różnice między tymi dwoma sposobami pojmowania owego predykatu ujawniają się w pełni i z należytą precyzją na etapie aksjomatyzacji. Dla naszych celów wystarczy jednak uwidocznienie podstawowych, różnicujących je intuicji. Otóż zbiorem w sensie kolektywnym jest pewna całość składająca się z przedmiotów będących jej częściami. Takim zbiorem w sensie kolektywnym jest dany łańcuch składający się z ogniw stanowiących jego części. Zbiorem w sensie kolektywnym jest też określony człowiek składający się z poszczególnych części ciała, takich jak głowa, ręce, nogi itd. Zbiorem w sensie kolektywnym jest też las, którego częściami są takie przedmioty, jak drzewa, krzewy, mchy, grzyby itp.

Zbiór w sensie kolektywnym ma właściwości zbieżne z właściwościami jego części. Skoro więc ogniwo łańcucha ma określony ciężar, to jakiś - oczywiście większy - ciężar ma i cały łańcuch. Ponieważ ogniwa danego łańcucha są żelazne, przeto i cały łańcuch jest żelazny. Zarówno w ręce człowieka, jak [71/72] i w całym człowieku płynie krew. W szczególności, jeśli postrzegalne są części danego zbioru w sensie kolektywnym, to postrzegalny jest i sam ten zbiór. Zobaczyć można zarówno rękę człowieka, jak i całego człowieka. Przedmiotem postrzegania może być zarówno kępka mchu, jak i cały las.

Zbiór w sensie kolektywnym sam jest swoją - dodajmy, że najobszerniejszą - częścią. Częścią człowieka jest nie tylko noga czy tułów, ale jest nią również on sam. Najobszerniejszą częścią łańcucha jest sam ten łańcuch. Nadto, część części zbioru w sensie kolektywnym sama też jest częścią owego zbioru. Częścią człowieka jest ręka, a częścią ręki jest palec, jednakże palec jest również częścią całego człowieka. Paznokieć jest częścią palca, ale jest także częścią ręki i częścią całego człowieka. Częścią drzewa jest gałąź, która - tym samym - jest też częścią całego lasu.

Natomiast zbiorem w sensie dystrybutywnym jest zespół pewnych obiektów wyróżnionych w określony sposób. Obiekty należące do danego zbioru w sensie dystrybutywnym nazywamy jego elementami. Takim zbiorem w sensie dystrybutywnym jest zespół studentów pierwszego roku prawa. Obiekty te, będące elementami owego zbioru, wyróżnia to właśnie, że są studentami pierwszego roku prawa. Zbiorem w sensie dystrybutywnym jest też ogół miast polskich. Elementy tego zbioru wyróżnia to, że są miastami polskimi. Zbiorem w sensie dystrybutywnym jest też zbiór aktualnych stolic Polski. Wiemy, że elementem tego zbioru jest tylko jeden obiekt, gdyż tak wyróżnione jest tylko jedno miasto. Zbiór w sensie dystrybutywnym tworzą także Poznań, Wrocław i Łódź. Zbiór ten składa się z trzech elementów wyróżnionych przez ich wskazanie.

Każdy zbiór w sensie dystrybutywnym zasadniczo różni się od swoich elementów. O ile elementy zbiorów w sensie dystrybutywnym często są obiektami materialnymi o tyle żaden taki zbiór nie jest obiektem materialnym. Dany student pierwszego roku prawa jest - oczywiście - obiektem materialnym. Natomiast zbiór studentów pierwszego roku prawa nie jest obiektem materialnym. O ile więc elementy zbiorów w sensie dystrybutywnym częstokroć istnieją tak, jak istnieją obiekty materialne, o tyle żaden zbiór nie istnieje w taki sposób. Zbiory w sensie dystrybutywnym istnieją w szczególnym tego słowa znaczeniu, różnym od tego, jaki mamy na myśli, gdy mówimy o istnieniu obiektów materialnych. W konsekwencji zbiory w sensie dystrybutywnym są niepostrzegalne, [72/73] w odróżnieniu od ich zazwyczaj postrzegalnych elementów.

Żaden zbiór w sensie dystrybutywnym nie jest też swoim elementem. Zbiór studentów pierwszego roku prawa nie jest bowiem studentem pierwszego roku prawa, a zbiór miast polskich nie jest miastem polskim. Nadto, jeżeli elementami danego zbioru w sensie dystrybutywnym są zbiory w sensie dystrybutywnym, to elementy elementów tego zbioru z reguły nie są jego elementami. Elementami zbioru Polaków są Polacy, elementami zbioru Niemców są Niemcy itd. Natomiast elementami zbioru nacji są zbiory Polaków, Niemców, Anglików itd. Jan jest elementem zbioru Polaków. Zbiór Polaków jest elementem zbioru nacji. Jednakże Jan nie jest elementem zbioru nacji. Podobnie, Marcin jest elementem zbioru studentów pierwszego roku prawa. Ten zbiór jest z kolei elementem zbioru zbiorów studentów prawa z poszczególnych lat. Jednakże Marcin nie jest już elementem tego zbioru zbiorów.

Dział szeroko pojętej logiki zajmujący się badaniem zbiorów nazywamy teorią zbiorów albo - częściej - teorią mnogości, gdyż zbiory zwano niegdyś mnogościami. Dalej będziemy się zajmować tylko zbiorami w sensie dystrybutywnym, nazywając je po prostu zbiorami. Dla oznaczenia poszczególnych zbiorów używa się dużych liter: „Z”, „X”, „Y”, „Z₁”, „Z₂”, „Z₃”, „X₂”, „X₂”, „Z'”, „Z''” itd.

2. Elementy zbioru

Przedstawiona wyżej charakterystyka wskazuje, że nieodłącznym uzupełnieniem jednoargumentowego predykatu „być zbiorem” jest dwuargumentowy predykat „należeć do” pozwalający budować takie zdania, jak „a należy do Z”. Predykat ten zapisuje się za pomocą symbolu „∈”. Zatem zdanie konstatujące, że a należy do Z, zapisujemy następująco: „a ∈ Z”. Jak już zaznaczono wyżej, obiekt należący do danego zbioru jest jego elementem. Skoro więc a należy do Z, to a jest elementem zbioru Z. Na przykład, Poznań należy do zbioru miast, przeto jest elementem tego zbioru. Podobnie, Marcin należy do zbioru studentów [73/74] pierwszego roku prawa, więc jest elementem tego zbioru. Oczywiście, dany zbiór może mieć wiele elementów. Na przykład, elementami zbioru miast są zarówno Poznań, jak i Kościan czy Jarocin. Dany obiekt może też być elementem wielu zbiorów. Na przykład, Marcin może być elementem zbioru studentów pierwszego roku prawa, elementem zbioru mężczyzn oraz elementem zbioru Polaków. Gdy obiekt a nie należy do zbioru Z, czyli nie jest elementem tego zbioru, to stwierdzamy to, pisząc „~ (a ∈ Z)” albo też prościej „a ∉ Z”. Na przykład, Poznań nie jest elementem zbioru studentów pierwszego roku prawa, a Marcin nie jest elementem zbioru miast.

Zbiór, którego elementami są a, b, c oraz d, oznaczamy też następująco: „(a,b,c,d)”. Zatem prawdziwe są zdania „a ∈ (a,b,c,d)” oraz „b ∈ (a,b,c,d)”, a także zdanie „e ∉ (a,b,c,d)”. Należy zauważyć, że nie jest istotna kolejność wymieniania elementów zbioru. Zbiór (a,b,c,d) jest tym samym zbiorem co zbiór (a,c,b,d) i tym samym zbiorem co zbiór (d,c,a,b). Nie jest też istotne powtórne wymienienie któregoś z elementów zbioru. Zbiór (a,b,c,d) jest tym samym zbiorem co (a,d,d,c,b) i tym samym zbiorem co zbiór (c,c,b,c,a,c,d,a). Każde z tych określeń odnosi się do tego samego czteroelementowego zbioru.

Ze względu na liczbę elementów wyróżniamy pewne rodzaje zbiorów. Przede wszystkim wyróżniamy zbiór pusty. Otóż zbiorem pustym jest zbiór nie posiadający żadnego elementu. Zbiorem pustym jest na przykład zbiór studentów szóstego roku prawa. Nie ma bowiem takiego obiektu, który byłby elementem tego zbioru, gdyż studia prawnicze trwają krócej niż sześć lat. Zbiorem pustym jest też zbiór studentów mierzących ponad 4 metry. Nie ma bowiem studenta, który byłby tak wysoki. W następnym punkcie niniejszego rozdziału dowiemy się, że jest tylko jeden zbiór pusty. Zatem już teraz warto powiedzieć, że zbiór studentów szóstego roku prawa i zbiór studentów mierzących ponad 4 m to w istocie ten sam zbiór. Zbiór pusty oznaczamy symbolem „∅”.

Z kolei zbiorem jednoelementowym nazywamy zbiór, który ma tylko jeden element. Zbiorem jednoelementowym jest na przykład zbiór aktualnych stolic Polski, gdyż tylko jedno miasto jest stolicą Polski. Jednoelementowy jest też zbiór mórz, nad którymi leży Polska, bo - jak wiadomo - leży ona nad jednym tylko morzem. Oczywiście, pierwszy z tych zbiorów różni [74/75] się od drugiego. Zatem jest wiele zbiorów jednoelementowych. Zbiór, którego jedynym elementem jest Warszawa, oznaczamy - zgodnie z podanym wyżej sposobem - następująco „(Warszawa)”. Warto podkreślić, że zbiór Jednoelementowy zasadniczo różni się od swego elementu. Czym innym jest bowiem Warszawa, a czym innym zbiór, którego jedynym elementem jest to właśnie miasto. Warszawa jest bowiem stolicą Polski, natomiast zbiór, którego Warszawa jest jedynym elementem, stolicą Polski nie jest.

Zbiorem dwuelementowym nazywamy zbiór, który ma tylko dwa elementy. Dwuelementowy jest na przykład zbiór (Jarocin, Śrem), gdyż tylko te dwa miasta wielkopolskie są jego elementami. Dwuelementowy jest też zbiór (Adam Mickiewicz, Henryk Sienkiewicz), ponieważ jego elementami są tylko ci dwaj wybitni Polacy. Dwuelementowy jest też zbiór biegunów polarnych, bo -jak wiadomo - istnieje jedynie biegun północny i biegun południowy. Jak widać, jest wiele zbiorów dwuelementowych. Podobnie można wyróżnić zbiory trój elementowe, zbiory czteroelementowe itd.

Zbiorem skończonym nazywamy zbiór posiadający skończoną liczbę elementów. Zbiór pusty, wszystkie zbiory jedno-, dwu-, trój-, czteroelementowe są zbiorami skończonymi. Skończony jest także zbiór studentów pierwszego roku prawa. Skończony jest również zbiór wszystkich miast świata. Natomiast zbiór liczb naturalnych nie jest skończony, gdyż posiada nieskończenie wiele elementów.

Zazwyczaj daje się precyzyjnie określić zbiór przedmiotów, które bada dana dyscyplina naukowa. Na przykład, przedmiotem zainteresowania arytmetyki liczb naturalnych są właśnie liczby naturalne, przedmiotem zainteresowania zoologii są zwierzęta, a przedmiotem zainteresowania prawoznawstwa są akty prawne. Zbiorem pełnym danej nauki albo też jej uniwersum nazywamy zbiór wszystkich przedmiotów badanych przez tę naukę. Zbiór ten oznaczamy symbolami „1” lub „U”. Jak widać, zbiorem pełnym arytmetyki liczb naturalnych jest zbiór tychże liczb, zbiorem pełnym zoologii jest zbiór wszystkich zwierząt, a zbiorem pełnym prawoznawstwa jest zbiór, którego elementami są wszystkie akty prawne.

Obiekty nie będące zbiorami są pewnymi przedmiotami indywidualnymi. Elementami zbioru studentów pierwszego roku [75/76] prawa są wyłącznie przedmioty indywidualne. Oczywiście, zbiór może być również elementem jakiegoś innego zbioru. Na przykład, elementami zbioru (Władysław Jagiełło, (Kazimierz Wielki)) są dwa obiekty, z których pierwszy jest przedmiotem indywidualnym, a drugi jest zbiorem, którego jedynym elementem też jest przedmiot indywidualny. Natomiast elementami zbioru nacji są tylko zbiory, a mianowicie zbiór Polaków, zbiór Niemców, zbiór Anglików itd. Zbiór, którego wszystkie elementy są zbiorami, nazywamy rodziną zbiorów. Zbiór nacji jest więc rodziną zbiorów.

3. Stosunki między zbiorami

Między zbiorami zachodzą rozmaite stosunki. Zacznijmy od stwierdzenia, że niekiedy między zbiorami zachodzi najprostszy stosunek polegający na tym, iż zbiory te są identyczne. Otóż dwa zbiory są identyczne wtedy, gdy mają te same elementy. Stosując wprowadzoną uprzednio symbolikę, można to zapisać następująco: /\_x/\_y{Z(x) კ Z(y) → [x = y ≡ /\_z(z ∈ x ≡ z ∈ y)]}. Zamiast takiego skomplikowanego zapisu wprowadźmy jednak pewne uproszczenie. Przyjmijmy, że duże litery „Z”, „Y”, „X” itd. są zmiennymi, za które wolno wstawiać jedynie terminy jednostkowe oznaczające zbiory. Innymi słowy, zmienne te reprezentują dowolne zbiory. Określenie identyczności zbiorów można teraz prościej zapisać w sposób następujący: /\_X/\_Y[Z = Y ≡ /\_x(x ∈ Z ≡ x ∈ Y)]. Uprośćmy jeszcze ten zapis, pomijając duże kwantyfikatory występujące na jego początku. Wówczas określenie identyczności zbiorów brzmi następująco:

(1) Z = Y ≡ /\_x(x ∈ Z ≡ x ∈ Y)

Innymi słowy, dwa dowolne zbiory Z i Y są identyczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy. Dwa zbiory są więc identyczne, gdy wszystkie elementy pierwszego z nich są ele­mentami drugiego, a wszystkie elementy drugiego z nich są elementami pierwszego. Stosunek identyczności dwóch zbiorów ilustruje następujący rysunek: [76/77]

Jak widać, koło przedstawiające zbiór Z pokrywa się z kołem przedstawiającym zbiór Y. Na przykład, zbiór adwokatów jest identyczny ze zbiorem mecenasów. Każdy adwokat jest bowiem mecenasem, a każdy mecenas jest adwokatem. Podobnie, zbiór największych miast w Polsce jest identyczny ze zbiorem aktualnych stolic Polski. Każdy z tych zbiorów ma bowiem tylko jeden element, a jest nim w obu przypadkach to samo miasto, a mianowicie Warszawa.

Staje się teraz zrozumiałe, dlaczego dla zbioru nie jest istotna kolejność wymieniania jego elementów. Mimo że kolejność wymieniania elementów zbioru (Mieszko I, Bolesław Chrobry, Mieszko II) różni się od kolejności wymieniania elementów zbioru (Bolesław Chrobry, Mieszko II, Mieszko I), to jednak zbiory te są identyczne, gdyż mają te same elementy. Staje się też zrozumiałe, dlaczego dla zbioru nie jest istotny sposób wskazania jego elementów. Mimo że inaczej wskazuje się elementy zbioru nadwarciańskich miast uniwersyteckich, a inaczej elementy zbioru miast polskich, w których odbywają się targi o międzynarodowej renomie, to jednak są to zbiory identyczne, gdyż jedynym elementem każdego z nich jest to samo miasto Poznań.

Okazuje się też, że jest tylko jeden zbiór pusty. Dwa zbiory puste mają bowiem te same elementy, przeto są identyczne. Unaocznimy to na przykładzie. Weźmy pod uwagę zbiór kwadratowych kół i zbiór osób mierzących ponad 5 metrów. Zdanie głoszące, że Warta należy do zbioru kwadratowych kół, jest fałszywe. Również zdanie głoszące, że Warta należy do zbioru osób mierzących ponad 5 metrów, jest fałszywe. Zatem zdanie „Warta należy do zbioru kwadratowych kół wtedy i tylko wtedy, gdy Warta należy do zbioru osób mierzących ponad 5 metrów” - jako równoważność zbudowana z dwóch fałszywych członów -jest prawdziwe. Podobnie zdanie głoszące, że „Trylogia” należy do zbioru kwadratowych kół, jest fałszywe. Również zdanie głoszące, że „Trylogia” należy do zbioru osób mierzących ponad [77/78] 5 metrów, jest fałszywe. Zatem zdanie „«Trylogia» należy do zbioru kwadratowych kół wtedy i tylko wtedy, gdy «Trylogia» należy do zbioru osób mierzących ponad 5 metrów” - jako równoważność zbudowana z dwóch fałszywych członów -jest prawdziwe. Podobnie rzecz się ma z dowolnym obiektem. Zarówno zdanie głoszące, że należy on do zbioru kwadratowych kół, jak i zdanie głoszące, ze należy on do zbioru osób mierzących ponad 5 metrów, jest fałszywe. Prawdziwa jest więc równoważność zbudowana z owych zdań jako swych członów. Skoro dla każdego obiektu jest tak, że należy on do pierwszego z tych zbiorów wtedy i tylko wtedy, gdy należy do drugiego z nich, to wedle określenia (1) zbiory te są identyczne. Z tej samej racji identyczny z nimi jest zbiór ptaków ważących ponad tonę oraz zbiór dwudziestowiecznych królów Polski. Wszystkie te zbiory puste są identyczne, co znaczy, że jest to stale jeden i ten sam zbiór. Z kolei między niektórymi zbiorami zachodzi stosunek zawierania się jednego z nich w drugim. Stosunek ten nazywamy też inkluzją i oznaczamy symbolem „⊂”. Otóż

(2) Z ⊂ Y ≡ /\_x(x ჎ Z → x ჎ Y).

Innymi słowy, jeden zbiór zawiera się w drugim wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element pierwszego jest też elementem drugiego. Zbiór Z nazywa się wówczas podzbiorem zbioru Y, zaś zbiór Y nazywa się nadzbiorem zbioru Z. Na przykład, zbiór szczupaków zawiera się w zbiorze ryb, bo każdy szczupak jest rybą. Zbiór szczupaków jest więc podzbiorem zbioru ryb, zaś zbiór ryb jest nadzbiorem zbioru szczupaków. Podobnie, zbiór ugod zawiera się w zbiorze umów, bo każda ugoda jest umową. Zbiór ugod jest więc podzbiorem zbioru umów, a zbiór umów jest nadzbiorem zbioru ugod. Zauważmy jednak, że wedle powyższego określenia dwa zbiory identyczne także zawierają się w sobie. Skoro bowiem dany obiekt jest elementem jednego z nich wtedy i tylko wtedy, gdy jest elementem drugiego, to każdy element pierwszego jest też elementem drugiego. Przeto zbiór adwokatów jest nie tylko identyczny ze zbiorem mecenasów, ale także zawiera się w tym zbiorze. Zbiór adwokatów jest więc również podzbiorem zbioru mecenasów, który z kolei jest jego nadzbiorem.

Od tak szeroko pojętego stosunku zawierania się zbiorów odróżniamy stosunek właściwego zawierania się zbiorów nazywany też inkluzją właściwą i oznaczany symbolem „⊆”. Otóż

(3) Z ⊆ Y ≡ [/\_x(x ჎ Z → x ჎ Y) კ \/_x(x ∉ Z კ x ჎ Y)].

Innymi słowy, jeden zbiór właściwie zawiera się w drugim wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są łącznie dwa warunki: 1) każdy element pierwszego zbioru jest też elementem drugiego zbioru i 2) istnieje taki obiekt, który nie jest elementem pierwszego zbioru, ale jest elementem drugiego. Pierwszy zbiór nazywa się wtedy właściwym podzbiorem drugiego z nich, a drugi nazywa się właściwym nadzbiorem pierwszego. Stosunek właściwego zawierania się zbioru Z w zbiorze Y ilustruje następujący rysunek:

Jak widać, koło przedstawiające zbiór Z mieści się w kole przedstawiającym zbiór Y, ale nie odwrotnie. Łatwo zauważyć, że inkluzja właściwa zachodzi między zbiorem szczupaków a zbiorem ryb. Każdy szczupak jest bowiem rybą, a nadto istnieje taki obiekt - na przykład jakiś lin - który nie jest szczupakiem, ale jest rybą. Zbiór szczupaków jest więc właściwym podzbiorem zbioru ryb, który z kolei jest jego właściwym nadzbiorem. Podobnie, inkluzja właściwa zachodzi między zbiorem studentów pierwszego roku prawa a zbiorem studentów prawa. Każdy student pierwszego roku prawa jest bowiem studentem prawa, a nadto istnieje taki obiekt - na przykład jakiś student drugiego roku prawa - który też jest studentem prawa, chociaż nie jest studentem pierwszego roku prawa. Zbiór studentów pierwszego roku prawa jest więc właściwym podzbiorem zbioru studentów prawa. Drugi z tych zbiorów jest zaś właściwym nadzbiorem pierwszego z nich.

Między niektórymi zbiorami zachodzi stosunek krzyżowania się. Otóż

(4) Z krzyżuje się z Y ≡ [\/_x(x ჎ Z კ x ჎ Y) კ \/_x(x ჎ Z კ x ∉ Y) კ \/_x(x ∉ Z კ x ჎ Y)].

Innymi słowy, dwa zbiory krzyżują się wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki obiekt, który jest elementem każdego z tych [79/80] zbiorów i istnieje taki obiekt, który jest elementem pierwszego, a nie jest elementem drugiego zbioru i istnieje taki obiekt, który nie jest elementem pierwszego, ale jest elementem drugiego zbioru. Stosunek krzyżowania się dwóch zbiorów ilustruje następujący rysunek:

obiektu, który jednocześnie byłby miastem i studentem. Podobnie, zbiór aktów prawnych wyklucza się ze zbiorem liczb, gdyż żaden akt prawny nie jest liczbą.

Jak widać, koła przedstawiające oba zbiory częściowo zachodzą na siebie, a część każdego koła znajduje się poza drugim kołem. Zauważmy, że zbiór sportowców krzyżuje się; ze zbiorem studentów. Istnieją bowiem takie osoby, które są jednocześnie sportowcami i studentami, i istnieją takie osoby, które są sportowcami, ale nie są studentami, i istnieją takie osoby, które nie są sportowcami, lecz są studentami. Podobnie zbiór Polaków krzyżuje się ze zbiorem blondynów. Istnieją bowiem Polacy będący blondynami i istnieją Polacy nie będący blondynami oraz istnieją blondyni nie będący Polakami.

Wreszcie są i takie zbiory, które wykluczają się. Otóż

(5) Z wyklucza się z Y ≡ ~ \/_x(x ჎ Z კ x ჎ Y).

Innymi słowy, dwa zbiory wykluczają się wtedy i tylko wtedy, gdy nie mają one wspólnych elementów. Stosunek wykluczania się dwóch zbiorów ilustruje następujący rysunek:

Jak widać, każde z kół przedstawiających oba zbiory znajduje się na zewnątrz drugiego koła. Zauważmy, że zbiór miast i zbiór studentów wykluczają się wzajemnie. Nie ma bowiem takiego [80/81] obiektu, który jednocześnie byłby miastem i studentem. Podobnie, zbiór aktów prawnych wyklucza się ze zbiorem liczb, gdyż żaden akt prawny nie jest liczbą.

4. Działania na zbiorach

Na zbiorach dają się przeprowadzić pewne działania. Jednym z nich jest tworzenie sumy dwóch zbiorów oznaczanej symbolem „∪”. Otóż

(1) /\_x(x ჎ Z ∪ Y ≡ x ჎ Z ლ x ჎ Y).

Innymi słowy, dany obiekt jest elementem sumy dwóch zbiorów wtedy, gdy jest elementem chociaż jednego z tych zbiorów. Zatem suma dwóch zbiorów też jest zbiorem, a jej elementami są elementy zbiorów sumę tę tworzących. Tworzenie sumy zbiorów Z i Y ilustruje następujący rysunek:

Obszar zakreskowany stanowi właśnie sumę tych dwóch zbiorów. Na przykład, sumą zbioru sportowców i zbioru studentów jest zbiór, którego elementami są wszyscy sportowcy i wszyscy studenci. Podobnie, sumą zbioru piłek i zbioru rowerów jest zbiór, którego elementami są wszystkie piłki i wszystkie rowery.

Tworzy się także iloczyn dwóch zbiorów oznaczany symbolem „∩”. Otóż

(2) /\_x(x ჎ Z ∩ Y ≡ x ჎ Z კ x ჎ Y).

Innymi słowy, dany obiekt jest elementem iloczynu dwóch zbiorów wtedy, gdy jest elementem każdego z tych zbiorów. Tedy iloczyn dwóch zbiorów też jest zbiorem, a jego elementami są obiekty będące elementami jednocześnie obu zbiorów iloczyn ten [81/82] tworzących. Tworzenie iloczynu zbiorów Z i Y ilustruje następujący rysunek:

Obszar zakreskowany stanowi właśnie iloczyn tych dwóch zbiorów. Na przykład, iloczynem zbioru Polaków i zbioru blondynów jest zbiór, którego elementami są osoby będące jednocześnie Polakami i blondynami. Podobnie, iloczynem zbioru ptaków i zbioru wróbli jest zbiór, którego elementami są ptaki będące wróblami.

Tworzy się również różnicę dwóch zbiorów oznaczaną symbolem „-”. Otóż

(3) /\_x(x ჎ Z - Y ≡ x ჎ Z კ x ჏ Y).

Innymi słowy, obiekt jest elementem różnicy między jednym zbiorem a drugim zbiorem wtedy, gdy jest elementem pierwszego zbioru, a nie jest elementem drugiego zbioru. Przeto różnica zbiorów też jest zbiorem, a jej elementami są te elementy pierwszego zbioru, które nie są elementami drugiego z nich. Tworzenie różnicy dwóch zbiorów Z i Y ilustruje następujący rysunek:

Obszar zakreskowany stanowi właśnie różnicę tych dwóch zbiorów. Na przykład, różnicą zbioru studentów pierwszego roku prawa i zbioru palaczy papierosów jest zbiór, którego elementami są studenci pierwszego roku prawa nie będący palaczami papierosów. Podobnie, różnicą zbioru Polaków i zbioru Wielkopolan [82/83] jest zbiór, którego elementami są Polacy nie będący Wielkopolanami.

Mając dany zbiór pełny, oznaczany symbolem „U”, możemy tworzyć dopełnienie zbioru, który jest w nim zawarty. Dopełnienie zbioru Z oznacza się symbolem „Z'”. Otóż

(4) /\_x(x ჎ Z' ≡ x ჎ U კ x ჏ Y).

Innymi słowy, dany obiekt jest elementem dopełnienia zbioru Z wtedy, gdy jest on elementem zbioru pełnego U, a nie jest elementem zbioru Z. Tedy dopełnienie zbioru też jest zbiorem, a jego elementami są te elementy zbioru pełnego, które nie są elementami zbioru wyjściowego. Tworzenie dopełnienia zbioru Z ilustruje następujący rysunek:

Obszar zakreskowany stanowi właśnie dopełnienie zbioru Z. Na przykład, dopełnieniem zbioru aktów prawa karnego do zbioru pełnego, jakim jest zbiór wszystkich aktów prawnych, jest zbiór tych aktów prawnych, które nie są aktami prawa karnego. Z kolei dopełnieniem zbioru umów do tego samego zbioru pełnego jest zbiór tych aktów prawnych, które nie są umowami.

5. Twierdzenia rachunku zbiorów

Stosunki między zbiorami oraz działania na zbiorach analizuje się w ramach rachunku zbiorów stanowiącego podstawową część teorii mnogości. W rachunku zbiorów formułuje się też szereg twierdzeń o zbiorach. Poznamy teraz niektóre z nich. Pierwsze twierdzenie odnosi się do inkluzji między zbiorami i brzmi następująco:

(1) (Z ⊂ Y კ Y ⊂ X) → Z ⊂ X. [83/84]

Głosi ono, że - dla dowolnych trzech zbiorów - jeśli pierwszy z nich zawiera się w drugim, a drugi zawiera się w trzecim, to pierwszy zbiór też zawiera się w trzecim. Przykład: jeśli zbiór wróbli zawiera się w zbiorze ptaków, a zbiór ptaków zawiera się w zbiorze kręgowców, to zbiór wróbli zawiera się w zbiorze kręgowców. Podobnie, jeśli zbiór testamentów zawiera się w zbiorze aktów prawa cywilnego, a zbiór aktów prawa cywilnego zawiera się w zbiorze aktów prawnych, to zbiór testamentów zawiera się w zbiorze aktów prawnych.

Trzy kolejne twierdzenia odnoszą się do sumy zbiorów. Według pierwszego z nich

(2) Z ⊂ (Z ∪ Y).

Głosi ono, że każdy zbiór zawiera się w sumie powstałej z niego i dowolnego innego zbioru. Przykład: zbiór Wielkopolan zawiera się w sumie zbioru Wielkopolan i zbioru brunetów. Podobnie, zbiór gołębi zawiera się w sumie zbioru gołębi i zbioru jastrzębi.

Według drugiego z tych twierdzeń

(3) Z ∪ (Y ∪ X) = (Z ∪ Y) ∪ X.

Głosi ono, że - dla dowolnych trzech zbiorów - suma pierwszego i sumy drugiego oraz trzeciego z nich jest identyczna z sumą powstałą z sumy pierwszego i drugiego oraz trzeciego z nich. Twierdzenie to wskazuje, że kolejność operacji sumowania wielu zbiorów jest nieistotna. Przykład: suma powstała ze zbioru studentów oraz sumy zbioru sportowców i zbioru blondynów jest identyczna z sumą powstałą z sumy zbioru studentów i zbioru sportowców oraz ze zbioru blondynów. W obu przypadkach sumę tę stanowi bowiem zbiór obejmujący wszystkich studentów i wszystkich sportowców, i wszystkich blondynów. Podobnie, suma zbioru adwokatów i sumy zbioru sędziów oraz zbioru piłkarzy jest identyczna z sumą powstałą z sumy zbioru adwokatów i zbioru sędziów oraz zbioru piłkarzy. W obu przypadkach sumę tę stanowi bowiem zbiór obejmujący wszystkich adwokatów i wszystkich sędziów oraz wszystkich piłkarzy.

Według trzeciego z tych twierdzeń

(4) (Z ⊂ X კ Y ⊂ X) → (Z ∪ Y) ⊂ X.

Głosi ono, że - dla dowolnych trzech zbiorów - jeśli pierwszy z nich zawiera się w trzecim i drugi zawiera się w trzecim, to i suma pierwszego oraz drugiego zbioru zawiera się w trzecim. Przykład: jeżeli zbiór jaskółek zawiera się w zbiorze ptaków [84/85] i zbiór bocianów zawiera się w zbiorze ptaków, to i suma zbioru jaskółek oraz zbioru bocianów zawiera się w zbiorze ptaków. Podobnie, jeśli zbiór rozporządzeń zawiera się w zbiorze aktów prawnych i zbiór aktów prawa karnego zawiera się w zbiorze aktów prawnych, to i suma zbioru rozporządzeń oraz zbioru aktów prawa karnego zawiera się w zbiorze aktów prawnych.

Kolejne trzy twierdzenia odnoszą się do iloczynu zbiorów. Według pierwszego z nich

(5) (Z ∩ Y) ⊂ Z.

Głosi ono, że iloczyn dwóch dowolnych zbiorów zawiera się w pierwszym z nich. Dodajmy, że zawiera się także w drugim z nich. Przykład: iloczyn zbioru studentów i zbioru brunetów zawiera się w zbiorze studentów. Podobnie, iloczyn zbioru gmachów uniwersyteckich i zbioru budynków zawiera się w zbiorze gmachów uniwersyteckich.

Według drugiego z tych twierdzeń

(6) Z ∩ (Y ∩ X) = (Z ∩ Y) ∩ X.

Głosi ono, że - dla dowolnych trzech zbiorów - iloczyn pierwszego oraz iloczynu drugiego i trzeciego z nich jest identyczny z iloczynem powstałym z iloczynu pierwszego i drugiego z nich oraz trzeciego zbioru. Twierdzenie to wskazuje, że kolejność operacji tworzenia iloczynu wielu zbiorów jest nieistotna. Przykład: iloczyn zbioru prawników oraz iloczynu zbioru celników i zbioru kobiet jest identyczny z iloczynem iloczynu zbioru prawników i zbioru celników oraz zbioru kobiet. W obu przypadkach jest nim bowiem zbiór, do którego należą osoby będące jednocześnie prawnikami, celnikami i kobietami. Podobnie, iloczyn zbioru liczb naturalnych oraz iloczyn zbioru liczb parzystych i zbioru liczb podzielnych przez 5 jest identyczny z iloczynem iloczynu zbioru liczb naturalnych i zbioru liczb parzystych oraz zbioru liczb podzielnych przez 5. W obu przypadkach iloczynem tym jest bowiem zbiór tych naturalnych liczb parzystych, które są podzielne przez 5.

Według trzeciego z tych twierdzeń

(7) [(Z ⊂ Y) კ (Z ⊂ X)] → Z ⊂ (Y ∩ X). Głosi ono, że - dla dowolnych trzech zbiorów - jeśli pierwszy z nich zawiera się w drugim i pierwszy zawiera się w trzecim, to pierwszy zawiera się też w iloczynie drugiego zbioru z trzecim. Przykład: jeśli zbiór nietoperzy zawiera się w zbiorze ssaków i zawiera się w zbiorze zwierząt latających, to zbiór nietoperzy [85/86] zawiera się w zbiorze latających ssaków. Podobnie, jeżeli zbiór gwiazd zawiera się w zbiorze obiektów świecących i zawiera się w zbiorze ciał niebieskich, to zbiór gwiazd zawiera się w zbiorze świecących ciał niebieskich.

Dwa kolejne twierdzenia wskazują na związki między sumami i iloczynami zbiorów. Według pierwszego z nich

(8) Z ∩ (Y ∪ X) = (Z ∩ Y) ∪ (Z ∩ X).

Głosi ono, że - dla dowolnych trzech zbiorów - iloczyn pierwszego oraz sumy drugiego i trzeciego z nich jest identyczny z sumą iloczynu pierwszego i drugiego z nich oraz iloczynu pierwszego i trzeciego z nich. Przykład: iloczyn zbioru obiektów czerwonych oraz sumy zbioru tulipanów i zbioru róż jest identyczny z sumą iloczynu zbioru obiektów czerwonych i zbioru tulipanów oraz iloczynu zbioru obiektów czerwonych i zbioru róż. W obu przypadkach jest nim bowiem zbiór, do którego należą wszystkie czerwone tulipany i wszystkie czerwone róże. Podobnie, iloczyn zbioru prawników oraz sumy zbioru pływaków i zbioru łyżwiarzy jest identyczny z sumą iloczynu zbioru prawników i zbioru pływaków oraz iloczynu zbioru prawników i zbioru łyżwiarzy. W obu przypadkach jest nim bowiem zbiór, do którego należą wszyscy prawnicy będący jednocześnie pływakami lub łyżwiarzami.

Według drugiego z tych twierdzeń

(9) Z ∪ (Y ∩ X) = (Z ∪ Y) ∩ (Z ∪ X).

Głosi ono, że - dla dowolnych trzech zbiorów - suma pierwszego oraz iloczynu drugiego i trzeciego z nich jest identyczna z iloczynem sumy pierwszego i drugiego z nich oraz sumy pierwszego i trzeciego z nich. Przykład: suma zbioru śliwek oraz iloczynu zbioru obiektów zielonych i zbioru jabłek jest identyczna z iloczynem sumy zbioru śliwek i zbioru obiektów zielonych oraz sumy zbioru śliwek i zbioru jabłek. W obu przypadkach jest nim bowiem zbiór, do którego należą wszystkie śliwki oraz wszystkie zielone jabłka. Podobnie, suma zbioru notariuszy oraz iloczynu zbioru Wielkopolan i zbioru brunetów jest identyczna z iloczynem sumy zbioru notariuszy i zbioru Wielkopolan oraz sumy zbioru notariuszy i zbioru brunetów. W obu przypadkach jest nim bowiem zbiór, do którego należą wszyscy notariusze oraz wszyscy Wielkopolanie będący brunetami.

Kolejne dwa twierdzenia odnoszą się do różnicy zbiorów. Według pierwszego z nich

(10) Z - Y ⊂ Z.

Głosi ono, że różnica dwóch dowolnych zbiorów zawiera się w pierwszym z nich. Dodajmy, że nie zawiera się w drugim z nich. Przykład: różnica zbioru butów i zbioru kozaczków zawiera się w zbiorze butów. Podobnie różnica zbioru prawników i zbioru piłkarzy zawiera się w zbiorze prawników.

Według drugiego z tych twierdzeń

(11) Z ⊂ Y → (X - Y ⊂ X - Z).

Głosi ono, że - dla dowolnych trzech zbiorów - jeśli pierwszy z nich zawiera się w drugim, to różnica trzeciego i drugiego z nich zawiera się w różnicy trzeciego i pierwszego z nich. Przykład: jeżeli zbiór zajęcy zawiera się w zbiorze ssaków, to różnica zbioru kręgowców i zbioru ssaków zawiera się w różnicy zbioru kręgowców i zbioru zajęcy. Podobnie, jeśli zbiór prokuratorów zawiera się w zbiorze prawników, to różnica zbioru Wielkopolan i zbioru prawników zawiera się w różnicy zbioru Wielkopolan i zbioru prokuratorów.

Kolejne dwa twierdzenia wskazują na związki między sumami, iloczynami i różnicami zbiorów. Według pierwszego z nich

(12) Z - (Y ∪ X) = (Z - Y) ∩ (Z - X).

Głosi ono, że - dla dowolnych trzech zbiorów - różnica pierwszego oraz sumy drugiego i trzeciego z nich jest identyczna z iloczynem różnicy pierwszego i drugiego z nich oraz różnicy pierwszego i trzeciego z nich. Przykład: różnica zbioru ryb oraz sumy zbioru szczupaków i zbioru linów jest identyczna z iloczynem różnicy zbioru ryb i zbioru szczupaków oraz różnicy zbioru ryb i zbioru linów. W obu przypadkach jest nim bowiem zbiór, do którego należą wszystkie ryby nie będące szczupakami ani linami. Podobnie, różnica zbioru sportowców oraz sumy zbioru Polaków i zbioru łysych jest identyczna z iloczynem różnicy zbioru sportowców i zbioru Polaków oraz różnicy zbioru sportowców i zbioru łysych. W obu przypadkach jest nim bowiem zbiór, do którego należą wszyscy sportowcy nie będący Polakami ani nie będący łysymi.

Według drugiego z tych twierdzeń

(13) Z - (Y ∩ X) = (Z - Y) ∪ (Z - X).

Głosi ono, że - dla dowolnych trzech zbiorów - różnica pierwszego oraz iloczynu drugiego i trzeciego z nich jest identyczna z sumą różnicy pierwszego i drugiego z nich oraz różnicy pierwszego i trzeciego z nich. Przykład: różnica zbioru ludzi oraz iloczynu [87/88] zbioru białych i zbioru mężczyzn jest identyczna z sumą różnicy zbioru ludzi i zbioru białych oraz różnicy zbioru ludzi i zbioru mężczyzn. W obu przypadkach jest to bowiem zbiór, do którego należą wszyscy ludzie nie będący białymi mężczyznami. Podobnie, różnica zbioru obiektów wełnianych oraz iloczynu przedmiotów dziecięcych i zbioru swetrów jest identyczna z sumą różnicy zbioru obiektów wełnianych i zbioru przedmiotów dziecięcych oraz różnicy zbioru obiektów wełnianych i zbioru swetrów. W obu przypadkach jest to bowiem zbiór, do którego należą wszystkie obiekty wełniane nie będące dziecięcymi swetrami.

Kolejne dwa twierdzenia odnoszą się do dopełnienia zbioru. Wedle pierwszego z nich

(14) Z ∪ Z' = U.

Głosi ono, że suma dowolnego zbioru i jego dopełnienia jest identyczna ze zbiorem pełnym, czyli z przyjętym uniwersum. We wszystkich pozostałych przykładach jako zbiór pełny przyjmujemy zbiór aktów prawnych. Przykład: suma zbioru ustaw i dopełnienia zbioru ustaw jest identyczna ze zbiorem aktów prawnych. Podobnie suma zbioru umów i dopełnienia zbioru umów jest identyczna ze zbiorem aktów prawnych.

Według drugiego z tych twierdzeń

(15) Z ∩ Z' = ∅.

Głosi ono, że iloczyn dowolnego zbioru i jego dopełnienia jest identyczny ze zbiorem pustym. Przykład: iloczyn zbioru uchwał i dopełnienia zbioru uchwał jest identyczny ze zbiorem pustym. Podobnie, iloczyn zbioru dekretów i dopełnienia zbioru dekretów jest identyczny ze zbiorem pustym.

Wreszcie ostatnie dwa twierdzenia wskazują na związki między sumami, iloczynami i dopełnieniami zbiorów. Według pierwszego z nich

(16) (Z ∪ Y)' = Z' ∩ Y'.

Głosi ono, że dopełnienie sumy dwóch dowolnych zbiorów jest identyczne z iloczynem dopełnienia pierwszego zbioru i dopełnienia drugiego zbioru. Przykład: dopełnienie sumy zbioru rozporządzeń i zbioru zarządzeń jest identyczne z iloczynem dopełnienia zbioru rozporządzeń i dopełnienia zbioru zarządzeń. W obu przypadkach jest to bowiem zbiór, do którego należą wszystkie akty prawne nie będące rozporządzeniami ani zarządzeniami. Podobnie, dopełnienie sumy zbioru ugod i zbioru darowizn jest identyczne z iloczynem dopełnienia zbioru ugód [88/89] i dopełnienia zbioru darowizn. W obu przypadkach jest to bowiem zbiór, do którego należą wszystkie akty prawne nie będące ugodami ani darowiznami.

Według drugiego z tych twierdzeń

(17) (Z ∩ Y)' = Z' ∪ Y'.

Głosi ono, że dopełnienie iloczynu dwóch dowolnych zbiorów jest identyczne z sumą dopełnienia pierwszego zbioru i dopełnienia drugiego zbioru. Przykład: dopełnienie iloczynu zbioru decyzji i zbioru aktów organów samorządowych jest identyczne z sumą dopełnienia zbioru decyzji i dopełnienia zbioru aktów organów samorządowych. W obu przypadkach jest to bowiem zbiór, do którego należą wszystkie akty prawne nie będące decyzjami aktów organów samorządowych. Podobnie, dopełnienie iloczynu zbioru aktów prawa karnego i zbioru aktów prawa finansowego jest identyczne z sumą dopełnienia zbioru aktów prawa karnego i dopełnienia zbioru aktów prawa finansowego. W obu przypadkach jest to bowiem zbiór, do którego należą wszystkie akty prawne nie będące aktami karno-finansowymi.

6. Podział zbioru

W danym zbiorze możemy wyróżniać jego podzbiory. W zbiorze studentów pierwszego roku prawa możemy na przykład wyróżnić, jako jego podzbiory, zbiór pływaków, zbiór szachistów, zbiór blondynów, zbiór poznaniaków. Podobnie w zbiorze ptaków możemy wyróżnić takie podzbiory, jak zbiór wróbli, zbiór jaskółek i zbiór orłów. Jednakże w żadnym z powyższych dwóch przypadków zabieg wyróżniania podzbiorów danego zbioru nie jest jego podziałem.

Podziałem zbioru nazywamy tylko taki zabieg wyróżniania jego podzbiorów, który spełnia dwa wymogi, a mianowicie wymóg rozłączności i wymóg adekwatności. Zabieg wyróżniania podzbiorów danego zbioru spełnia wymóg rozłączności wtedy, gdy dowolne dwa wyróżnione podzbiory są wzajem rozłączne, to znaczy, wzajemnie wykluczają się. Z kolei zabieg wyróżniania podzbiorów danego zbioru spełnia wymóg adekwatności, zwany również wymogiem zupełności, wtedy gdy suma wszystkich [89/90] wyróżnionych podzbiorów jest identyczna ze zbiorem, z którego wyróżniono owe podzbiory.

Nie jest więc podziałem zbioru studentów pierwszego roku prawa wyróżnienie w nim wyżej wskazanych podzbiorów, gdyż nie spełnia ono wymogu rozłączności. Zbiór blondynów nie wyklucza się bowiem ze zbiorem poznaniaków, ponieważ wielu studentów pierwszego roku prawa to blondyni będący poznaniakami. Zbiór blondynów nie wyklucza się także ze zbiorem szachistów ani ze zbiorem pływaków. Także zbiór pływaków nie wyklucza się ze zbiorem szachistów. Wymóg rozłączności spełnia natomiast wyróżnienie w zbiorze ptaków wskazanych wyżej jego podzbiorów. Zbiory wróbli i jaskółek są bowiem wzajem rozłączne, jako że żaden wróbel nie jest jaskółką. Rozłączne są także zbiory wróbli i orłów oraz zbiory jaskółek i orłów. Jednakże i to wyróżnienie podzbiorów danego zbioru nie jest jego podziałem, gdyż nie spełnia ono wymogu adekwatności. Suma zbioru wróbli, zbioru jaskółek i zbioru orłów nie jest bowiem identyczna ze zbiorem ptaków. Do tego ostatniego należą przecież także wrony, szpaki, bociany itp.

Podziałem jest natomiast wyróżnienie w zbiorze ludzi zbioru mężczyzn oraz zbioru kobiet. Wyróżnienie takich podzbiorów danego zbioru spełnia wymóg rozłączności, gdyż żaden mężczyzna nie jest kobietą. Spełnia ono także wymóg adekwatności, bo suma zbioru mężczyzn i zbioru kobiet jest identyczna ze zbiorem ludzi. Podziałem jest także wyróżnienie w zbiorze kręgowców zbioru ryb, zbioru płazów, zbioru gadów, zbioru ptaków i zbioru ssaków. Wyróżnienie to spełnia wymóg rozłączności. Żadna ryba nie jest bowiem płazem ani gadem, ani ptakiem, ani też ssakiem. Żaden płaz nie jest też gadem ani ptakiem itd. Wyróżnienie to spełnia też wymóg adekwatności, gdyż suma wyróżnionych pięciu podzbiorów jest identyczna ze zbiorem kręgowców. Podziałem jest również wyróżnienie w zbiorze aktów prawnych zbioru umów i zbioru aktów prawnych nie będących umowami. Wyróżnienie to spełnia wymóg rozłączności, bo żaden akt prawny nie jest jednocześnie umową i aktem prawnym nie będącym umową. Spełnia on też wymóg adekwatności, bo suma zbioru umów i zbioru aktów prawnych nie będących umowami jest identyczna ze zbiorem wszystkich aktów prawnych.

Zbiór, z którego wyróżnia się podzbiory, dokonując jego podziału, nazywamy zbiorem dzielonym. Natomiast wyróżnione [90/91] z niego podzbiory nazywamy członami podziału. W pierwszym z omówionych wyżej przypadków zbiorem dzielonym jest zbiór ludzi, zaś członami podziału są zbiory mężczyzn i kobiet. W drugim przypadku zbiorem dzielonym jest zbiór kręgowców, zaś członami podziału są zbiory ryb, płazów, gadów, ptaków i ssa­ków. Wreszcie w trzecim przypadku zbiorem dzielonym jest zbiór aktów prawnych, a członami podziału są zbiór umów i zbiór aktów prawnych nie będących umowami.

Podział danego zbioru na nieskończenie wiele członów nazywamy podziałem nieskończonym. Na przykład, podział zbioru liczb naturalnych na zbiory kolejnych dziesiątek liczb naturalnych jest podziałem nieskończonym, bo mamy nieskończenie wiele członów tego podziału. Natomiast podział danego zbioru na skończenie wiele członów nazywamy podziałem skończonym. Wszystkie omówione wyżej podziały zbiorów są podziałami skończonymi. Podział skończony możemy zawsze przedstawić jako podział n-członowy. Na przykład, podział zbioru kręgowców na zbiory ryb, płazów, gadów, ptaków i ssaków jest podziałem 5-członowym. Z kolei podział zbioru generałów na zbiory generałów armii, generałów broni, generałów dywizji i generałów brygady jest podziałem 4-członowym. Podział zbioru przekroczeń prawa karnego na zbiory zbrodni, występków i wykroczeń jest podziałem 3-członowym. Wreszcie podział zbioru ludzi na zbiory kobiet i mężczyzn jest podziałem 2-członowym. Także 2-członowy jest podział aktów prawnych na zbiór umów i zbiór aktów prawnych nie będących umowami.

Ze względu na sposób przeprowadzania podziału odróżniamy podziały wedle pewnej zasady i podziały dychotomiczne. Zbiór generałów jest zbiorem obiektów posiadających cechę bycia generałem. Odmianami tej cechy są: cecha bycia generałem armii, cecha bycia generałem broni, cecha bycia generałem dywizji i cecha bycia generałem brygady. Zbiory generałów armii, generałów broni, generałów dywizji i generałów brygady wyróżniamy ze zbioru obiektów posiadających cechę bycia generałem ze względu właśnie na te cechy będące jej odmianami. Zasadą podziału jest tu więc stopień generalski, a sam powyższy podział jest podziałem wedle tej zasady. Podobnie, zbiór ludzi jest zbiorem obiektów posiadających cechę płci. Odmianami tej cechy są cecha bycia mężczyzną i cecha bycia kobietą. Zbiory mężczyzn i kobiet wyróżniamy ze zbioru obiektów posiadających cechę płci ze [91/92] względu na te właśnie cechy będące jej odmianami. Zasadą podziału jest tu więc płeć, a sam powyższy podział jest podziałem wedle tej zasady. Jak widać, podział wedle pewnej zasady polega na wyróżnieniu w zbiorze dzielonym członów zawierających elementy posiadające tę samą odmianę cechy będącej zasadą podziału.

Człony podziału przeprowadzonego wedle pewnej zasady nazywają się zbiorami współrzędnymi ze względu na tę zasadę. Zbiór generałów armii jest więc współrzędny ze zbiorem generałów broni ze względu na zasadę stopnia generalskiego. Ze względu na tę samą zasadę oba te zbiory są współrzędne ze zbiorem generałów dywizji, a także ze zbiorem generałów brygady. Z kolei zbiór mężczyzn jest współrzędny ze zbiorem kobiet ze względu na zasadę płci.

Podział wedle pewnej zasady zostaje przeprowadzony, gdy spełnione są łącznie trzy następujące warunki: 1) cecha stanowiąca zasadę podziału przysługuje wszystkim elementom zbioru dzielonego, 2) uwzględnione zostały wszystkie odmiany cechy będącej zasadą podziału, 3) żaden element zbioru dzielonego nie posiada dwóch odmian cechy będącej zasadą podziału. Pierwsze dwa warunki gwarantują spełnienie wymogu adekwatności. Jeżeli więc któryś z tych dwóch warunków nie zachodzi, to wymóg adekwatności nie jest spełniony, a w efekcie wyróżnianie podzbiorów danego zbioru nie jest jego podziałem. Przypuśćmy bowiem, że oprócz wskazanych wyżej cech mamy jeszcze cechę bycia generałem pułku, której nie uwzględniliśmy, wyróżniając podzbiory zbioru generałów. Zatem generałowie o tym właśnie stopniu nie będą elementami żadnego z wyróżnionych przez nas zbiorów. Przeto wyróżnienie to, jako nie spełniające wymogu adekwatności, nie będzie podziałem zbioru generałów. Przypuśćmy teraz, że wyróżniamy wskazane poprzednio zbiory nie w zbiorze generałów, ale w zbiorze oficerów mających stopień wyższy od pułkownika. Są wśród nich także marszałkowie. Nie należą oni jednak do żadnego z wyróżnionych przez nas zbiorów generałów. Zatem i to wyróżnienie, jako nie spełniające wymogu adekwatności, nie będzie podziałem zbioru oficerów mających stopień wyższy od pułkownika. Natomiast trzeci warunek gwarantuje spełnienie wymogu rozłączności. Jeśli więc warunek ten nie zachodzi, to wymóg rozłączności nie jest spełniony. Przypuśćmy obecnie, że niektórzy generałowie są zarówno generałami dywizji, jak i generałami broni. Zatem będą oni elementami zbioru generałów dywizji oraz elementami zbioru generałów broni. Tedy wyróżnienie poszczególnych podzbiorów generałów, jako nie [92/93] spełniające wymogu rozłączności, nie będzie podziałem interesującego nas tu zbioru.

W odróżnieniu od powyższych podziałów wedle pewnych zasad podział zbioru aktów prawnych na zbiór umów i zbiór aktów prawnych nie będących umowami jest podziałem dychotomicznym. Polega on na wyróżnianiu w zbiorze wszystkich aktów prawnych podzbioru tych spośród nich, które mają cechę bycia umowami, oraz tych, które owej cechy nie mają. Podziałem dychotomicznym jest również podział studentów pierwszego roku prawa na zbiór blondynów i tych, którzy nie są blondynami. Podziałem dychotomicznym jest także podział zbioru liczb na zbiór liczb parzystych i zbiór liczb, które tej cechy nie mają, a więc są nieparzyste. Jak widać, podział dychotomiczny polega na wyróżnieniu w zbiorze dzielonym członu składającego się z elementów posiadających określoną cechę i członu składającego się z pozostałych elementów, nie mających owej cechy. Podział dychotomiczny jest więc zawsze podziałem 2-członowym.

Jak widać, przy podziale dychotomicznym spełnienie wymogu adekwatności i rozłączności zagwarantowane jest przez samą logikę. Zgodnie bowiem z zasadą wyłączonego środka każdy element zbioru dzielonego posiada daną cechę lub też jej nie posiada. Przeto każdy element zbioru dzielonego należy do podzbioru składającego się z tych obiektów, które ową cechę posiadają lub też należy do podzbioru składającego się z tych elementów, które nie posiadają owej cechy. Wymóg adekwatności jest więc spełniony. Z kolei zgodnie z zasadą sprzeczności dla każdego elementu zbioru dzielonego nie jest tak, że posiada on i nie posiada danej cechy. Przeto żaden element zbioru dzielonego nie należy jednocześnie do podzbioru składającego się z obiektów posiadających daną cechę i do podzbioru składającego się z obiektów nie posiadających owej cechy. Wymóg rozłączności jest więc spełniony.

Natomiast przy podziale wedle pewnej zasady stwierdzenie, iż spełnione zostały wymogi adekwatności i rozłączności, wymaga niekiedy obszernych badań empirycznych. Na przykład, stwierdzenie, że wyróżnienie w zbiorze kręgowców zbiorów ryb, płazów, gadów, ptaków i ssaków jest jego podziałem, wymagało głębokich badań zoologicznych. Warto wiec wskazać, że gdy wiemy, iż w zbiorze dzielonym pozostały jeszcze elementy nie należące do żadnego z wyróżnionych w nim podzbiorów, to [93/94] możemy wyróżnić podzbiór, do którego będą należały te inne elementy, zapewniając tym samym spełnienie wymogu adekwatności. Przypuśćmy, że w zbiorze kręgowców zoologowie wyróżnili podzbiory ryb, ptaków i ssaków. Wiedzą oni, że do zbioru kręgowców należą jeszcze rozmaite obiekty, nie należące do żadnego z tamtych podzbiorów. Wystarczy więc wyróżnić podzbiór, do którego należeć będą te inne kręgowce, a wymóg adekwatności zostanie spełniony. Członami podziału będą wówczas zbiory ryb, ptaków, ssaków i zbiór innych kręgowców obejmujący cala resztę.

Niekiedy spełnienie wymogów rozłączności i adekwatności daje się zapewnić na innej jeszcze drodze. Gdy zbiorem dzielonym jest dostatecznie szeroki podzbiór jakiegoś zbioru już podzielonego, to zasadę podziału owego zbioru już podzielonego można przenieść na dzielony właśnie zbiór. Na przykład, zbiór kręgowców europejskich jest dostatecznie szerokim podzbiorem już podzielonego zbioru kręgowców. Zatem i ten zbiór można podzielić tak, jak jego nadzbiór, otrzymując w efekcie zbiory ryb europejskich, płazów europejskich, gadów europejskich, ptaków europejskich i ssaków europejskich.

Należy dodać, że niektóre podziały uważa się za naturalne z pewnego punktu widzenia, inne zaś za sztuczne z owego punktu widzenia. Podział uchodzi za naturalny, z danego punktu widzenia, gdy w poszczególnych jego członach znajdują się obiekty z tego punktu widzenia bardziej do siebie podobne niż obiekty należące do różnych członów. Podział uchodzi za sztuczny, z danego punktu widzenia, gdy w poszczególnych jego członach znajdują się obiekty z tego punktu widzenia mniej do siebie podobne niż obiekty należące do różnych członów. Na przykład, z punktu widzenia zoologii podział zbioru kręgowców na zbiory ryb, płazów, gadów, ptaków i ssaków uchodzi za podział naturalny. Natomiast z tego samego punktu widzenia podział zbioru kręgowców na zbiory kręgowców dzikich i kręgowców udomowionych uchodzi za podział sztuczny.

Każdy podział zbioru stanowi jego jednostopniową klasyfikację. Taką jednostopniową klasyfikacją zbioru ludzi jest więc jego podział na zbiór mężczyzn i zbiór kobiet. Stąd też zbiór dzielony nazywa się także zbiorem klasyfikowanym, zaś człony podziału [94/95] nazywa się członami klasyfikacji. Zbiór ludzi jest tu więc zbiorem klasyfikowanym, a zbiory mężczyzn i kobiet są tu członami klasyfikacji. Jeżeli każdy z członów jedno-stopniowej klasyfikacji poddamy podziałowi, to otrzymamy klasyfikację dwustopniową. Dzieląc na przykład zbiory mężczyzn i kobiet dychotomicznie na zbiory studentów i niestudentów, otrzymamy dwustopniową klasyfikację zbioru ludzi. Jeżeli każdy z członów dwustopniowej klasyfikacji poddamy podziałowi, to otrzymamy klasyfikację trójstopniową. Dzieląc na przykład zbiory studiujących mężczyzn, niestudiujących mężczyzn, studiujących kobiet i niestudiujących kobiet dychotomicznie na podzbiory brunetów i niebrunetów otrzymamy trójstopniową klasyfikację zbioru ludzi. W podobny sposób można przeprowadzić klasyfikację czwartego stopnia, piątego stopnia itd.

ZADANIA

1. Podaj po trzy przykłady: zbiorów pięcioelementowych, zbiorów dziesięcioelementowych, zbiorów dwunastoelementowych, zbiorów skończonych, mających ponad sto elementów, zbiorów nieskończonych, rodzin zbiorów.

2. Za pomocą trzech kół na jednym rysunku zilustruj stosunki między:

a) zbiorem zdań prawdziwych, zbiorem zdań złożonych, zbiorem zdań nie zawierających kwantyfikatorów,

b) zbiorem ssaków, zbiorem zwierząt żyjących w wodzie, zbiorem delfinów,

c) zbiorem predykatów jednoargumentowych, zbiorem wyrażeń, zbiorem predykatów dwuargumentowych,

d) zbiorem dni 1990 r., zbiorem tygodni 1990 r., zbiorem miesięcy 1990 r.,

e) zbiorem zbiorów jednoelementowych, zbiorem zbiorów dwuelementowych oraz zbiorów trójelementowych, zbiorem zbiorów trójelementowych oraz zbiorów czteroelementowych,

f) zbiorem podzbiorów dopełnienia zbioru studentów do zbioru ludzi, zbiorem podzbiorów zbioru brunetów, zbiorem podzbiorów zbioru łysych analfabetów.

3. Podaj przykłady takich trójek zbiorów, miedzy którymi zachodzą stosunki zilustrowane na następujących rysunkach: [95/96]

e)
f)

4. Na trzech odpowiednio ustawionych względem siebie kołach zaznacz sumy następujących zbiorów:

a) zbioru kobiet, zbioru studentów, zbioru sportowców,

b) zbioru wróbli, zbioru ptaków, zbioru kręgowców,

c) zbioru motyli, zbioru znaczków pocztowych, zbioru rzek,

d) zbioru przedszkolaków, zbioru kaliszan, zbioru studentów,

e) zbioru oficerów, zbioru kapitanów, zbioru majorów,

f) zbioru ryb, zbioru ssaków, zbioru małp.

5. Na trzech odpowiednio ustawionych względem siebie kołach zaznacz iloczyny następujących zbiorów:

a) zbioru lekarzy, zbioru sportowców, zbioru szatynów,

b) zbioru szczupaków, zbioru ryb, zbioru kręgowców,

c) zbioru domów, zbioru gór, zbioru miast,

d) zbioru Polaków, zbioru studentów, zbioru poznaniaków studiujących prawo,

e) zbioru Amerykanów, zbioru nowojorczyków, zbioru pływaków,

f) zbioru stołów, zbioru zdań atomowych, zbioru zdań prawdziwych.

6. Na dwóch odpowiednio ustawionych względem siebie kołach zaznacz różnice między:

a) zbiorem książek a zbiorem podręczników,

b) zbiorem zdań złożonych a zbiorem zdań fałszywych,

c) zbiorem koni a zbiorem słoni,

d) zbiorem funktorów a zbiorem wyrażeń,

e) zbiorem lekkoatletów a zbiorem filatelistów,

f) zbiorem kartofli a zbiorem ziemniaków,

7. Na trzech odpowiednio ustawionych względem siebie kołach zaznacz:

a) sumę różnicy między zbiorem studentów a zbiorem Wielkopolan oraz różnicy między zbiorem licealistów a zbiorem Wielkopolan,

b) dopełnienie (do zbioru przedmiotów materialnych) iloczynu zbioru prawników i zbioru poznaniaków. [96/97]

c) sumę iloczynu zbioru róż i zbioru żółtych kwiatów oraz iloczynu zbioru żółtych kwiatów i zbioru tulipanów,

d) różnicę między zbiorem studentów a iloczynem zbioru sportowców i zbioru siatkarzy,

e) dopełnienie (do zbioru przedmiotów materialnych) sumy zbioru krów i zbioru owiec,

f) iloczyn zbioru ptaków i różnicy między zbiorem kaczek a zbiorem cyranek.

8. Określ wartość logiczną następujących zdań:

a) iloczyn zbioru harcerek i zbioru łyżwiarek zawiera się w sumie zbioru łyżwiarek i zbioru harcerek,

b) zbiór zbiorów pustych jest zbiorem pustym,

c) Poznań jest elementem zbioru podzbiorów zbioru miast polskich,

d) zbiór medyków jest podzbiorem właściwym zbioru lekarzy,

e) zbiór dni tygodnia nie zawiera się w zbiorze zbiorów siedmioelementowych,

f) zbiór zbiorów gwiazd jest zbiorem jednoelementowym.

9. Uzupełnij poniższe wyrażenia tak, aby stały się one egzemplifikacjami określonych twierdzeń rachunku zbiorów. Wskaż, które twierdzenia egzemplifikują poszczególne uzupełnienia:

a) suma zbioru grzybów oraz sumy zbioru psów i zbioru jamników jest identyczna z.....

b) iloczyn zbioru inżynierów oraz iloczynu zbioru Niemców i zbioru tenisistów jest identyczny z.....

c) iloczyn zbioru brunetek oraz sumy zbioru Litwinek i zbioru Polek jest identyczny z.....

d) suma zbioru kwiatów oraz iloczynu zbioru much i zbioru gęsi jest identyczna z.....

e) różnica zbioru studentów oraz sumy zbioru studentów prawa i studentów historii jest identyczna z.....

f) dopełnienie (do zbioru ludzi) sumy zbioru Wielkopolan i zbioru studentów jest identyczne z.....

10. Podaj przykład:

a) dychotomicznego podziału zbioru samochodów,

b) podziału wedle pewnej zasady zbioru miast,

c) naturalnego z punktu widzenia botaniki podziału zbioru roślin,

d) sztucznego z punktu widzenia mechaniki podziału zbioru rowerów,

e) dwustopniowej klasyfikacji zbioru książek,

f) trójstopniowej klasyfikacji zbioru psów. [97/98]

IV. RELACJE

1. Cechy i relacje wieloczłonowe

Przedmiotem badań teorii mnogości są także szczególnego rodzaju twory zwane relacjami. Gdy Jan jest wyższy od Piotra, mówi się, że Jan pozostaje w relacji bycia wyższym od Piotra, albo też mówi się, że między Janem a Piotrem zachodzi relacja bycia wyższym. Mówi się też, że między Poznaniem a Śremem zachodzi relacja bycia większym, zaś między Kaliszem a Jarocinem zachodzi relacja bycia starszym. Mówi się również, że 9 pozostaje w relacji leżenia między 5 a 40, zaś Odra pozostaje w relacji oddzielania Polski od Niemiec.

Obiekty, między którymi zachodzi dana relacja nazywamy jej członami. Przeto Jan i Piotr są członami relacji bycia wyższym. Członami tej relacji są również Giewont i Gubałówka, a także Wieża Eiffla i Okrąglak. Z kolei Poznań i Śrem są członami relacji bycia większym, tak jak członami jej są również Poznań i Września oraz Wrocław i Gorzów, a także Francja i Belgia. Członami relacji leżenia między są zaś 9, 5 i 40, a również Austria, Niemcy i Włochy.

Jak widać, relacje różnią się co do ilości członów. Najprostsze są relacje jednoczłonowe, takie jak relacja bycia studentem, bycia miastem, bycia liczbą naturalną, a również relacja spacerowania, rozmyślania, świecenia itp. Można powiedzieć, że Andrzej pozostaje w relacji bycia studentem, Poznań jest w relacji bycia miastem, zaś Słońce jest w relacji świecenia. Nie należy jednak pytać względem kogo Andrzej pozostaje w relacji bycia studentem. Relacja ta nie zachodzi bowiem między dwoma członami, lecz zawsze ma tylko jeden człon. Oczywiście, jest wiele takich obiektów, które pozostają w relacji bycia studentem, jednakże w każdym przypadku relacja ta wiąże się tylko z jednym z nich. [98/99]

Zgrabniej jest więc powiedzieć, że Andrzej ma cechę bycia studentem, Poznań ma cechę bycia miastem, zaś Słońce ma cechę świecenia. Stąd też relacje jednoczłonowe nazywamy po prostu cechami.

W odróżnieniu od cech wszystkie pozostałe relacje są relacjami wieloczłonowymi. Są wśród nich relacje dwuczłonowe zachodzące zawsze między dwoma obiektami. Należą do nich na przykład relacja bycia wyższym, bycia starszym, bycia małżonkiem, lubienia, znania, sąsiadowania itd. Relacja bycia wyższym jest dwuczłonowa, bo zachodzi ona w każdym przypadku między tym, kto jest od kogoś wyższy oraz tym, od kogo ów pierwszy obiekt jest wyższy. Zachodzi ona na przykład między Janem a Piotrem. Wśród relacji wieloczłonowych są też relacje trójczłonowe zachodzące zawsze między trzema obiektami. Należą do nich na przykład relacja leżenia między i relacja oddzielania. Ta ostatnia zachodzi zawsze między tym obiektem, który oddziela oraz tymi obiektami, które są przezeń oddzielane. Na przykład, zachodzi ona między Odrą, Polską i Niemcami, gdyż pierwszy z tych obiektów oddziela dwa pozostałe. Wśród relacji wieloczłonowych są też relacje cztero- i więcej członowe zachodzące w każdym przypadku między stosowną ilością obiektów. Cztero-członową jest na przykład relacja pośredniczenia między podmiotami w określonej sprawie. Zachodzi ona zawsze między tym, który pośredniczy, tymi dwoma, między którymi ów pierwszy pośredniczy oraz tym, co do czego on pośredniczy. Zachodzi ona na przykład między pośrednikiem, kupującym, sprzedającym oraz nieruchomością stanowiącą przedmiot transakcji.

Łatwo zauważyć, że z każdą cechą wiąże się określony predykat jednoargumentowy. Andrzej ma cechę bycia studentem, bo oznaczający go termin jednostkowy tworzy z predykatem „być studentem” zdanie prawdziwe. Podobnie, z każdą relacją dwuczłonową wiąże się określony predykat dwuargumentowy. To, że Jan jest wyższy od Piotra opisujemy dołączając do predykatu „jest wyższy od” terminy jednostkowe oznaczające obu mężczyzn. Z kolei z każdą relacją trójczłonową wiąże się określony predykat trójargumentowy. Dołączając do predykatu „leży między...a” terminy jednostkowe „Poznań”, „Warszawa” i „Berlin” otrzymujemy zdanie opisujące zachodzenie rzeczonej relacji między owymi obiektami. Dla podkreślenia, że chodzi tutaj o relacje będziemy dalej w roli predykatów używać wyrażeń [99/100] „R”, „R¹”, „R²” itd. Dla uproszczenia będziemy też posługiwać się tymi wyrażeniami jako swoistymi zmiennymi, za które wolno wstawiać określenia dowolnych relacji bądź też określenia dowolnych relacji pewnego rodzaju, ilekroć będzie mowa o wszelkich relacjach bądź o wszelkich relacjach danego rodzaju. Dalej przedmiotem naszego zainteresowania będą wyłącznie relacje dwuczłonowe zwane odtąd po prostu relacjami. Przyjęło się zapisywać je w szczególny sposób, a mianowicie „aRb”, „xRy” itp. Tak też będziemy je zapisywać dalej.

2. Pole relacji

Dziedziną relacji R nazywamy zbiór wszystkich tych obiektów, które pozostają w relacji R do pewnych obiektów. Dziedzinę relacji R oznaczamy symbolem „D(R)”. Zatem

(1) /\ _x [x ∈D(R) ≡ \/_y(xRx)

Dziedziną relacji bycia mężem jest więc zbiór wszystkich żonatych mężczyzn. Innymi słowy, dany mężczyzna jest elementem dziedziny relacji bycia mężem wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka kobieta, której jest on mężem. Przeto Jakub jest elementem dziedziny relacji bycia mężem, gdy istnieje taka kobieta - powiedzmy, że jest nią Beata - której jest on mężem. Z kolei dziedziną relacji bycia większym jest zbiór wszystkich tych obiektów, które pozostają w tej relacji do innych obiektów. Innymi słowy, dziedziną relacji bycia większym jest zbiór wszystkich tych obiektów, które są od czegoś większe. Na przykład Warszawa należy do dziedziny relacji bycia większym, bo jest większa od Kołobrzegu. Również Poznań należy do dziedziny tej relacji, bo jest większy od Jarocina. Zauważmy, że także i Jarocin należy do dziedziny tej relacji, bo z kolei jest on większy od Dolska. Elementami tego zbioru są również 7 i Jowisz. Pierwszy z tych obiektów jest bowiem większy od 3, a drugi jest większy od Merkurego. Elementami dziedziny wpadania do są zaś, między innymi, Soła, Skawa, Warta i Odra. Pierwsza i druga rzeka wpadają bowiem do Wisły, Warta wpada do Odry, a ta wpada do Bałtyku. [100/101]

Natomiast przeciwdziedziną relacji R nazywamy zbiór wszystkich tych obiektów, do których pewne obiekty pozostają w relacji R. Przeciwdziedzinę relacji R oznaczamy symbolem „Ď(R)”. Zatem

(2) /\_x[x ∈Ď(R) ≡ \/_y(xRx)

Przeciwdziedziną relacji bycia mężem jest tedy zbiór wszystkich zamężnych kobiet. Innymi słowy, dana kobieta jest elementem przeciwdziedziny relacji bycia mężem wtedy, gdy istnieje taki mężczyzna, który jest jej mężem. Zatem Beata jest elementem przeciwdziedziny tej relacji, gdyż istnieje taki mężczyzna - Jakub - który właśnie jest jej mężem. Z kolei przeciwdziedziną relacji bycia większym jest zbiór wszystkich tych obiektów, do których pozostają w tej relacji jakieś obiekty. Innymi słowy, przeciwdziedziną relacji bycia większym jest zbiór wszystkich tych obiektów, od których coś jest większe. Na przykład Kołobrzeg należy do przeciwdziedziny relacji bycia większym, bo większa od niego jest Warszawa. Jednakże również i Warszawa należy do przeciwdziedziny tej relacji, bo większy od niej jest na przykład Londyn. Elementami tego zbioru są również liczba 3 i planeta Merkury. Od pierwszego z tych obiektów większa jest bowiem liczba 7, a od drugiego większa jest planeta Jowisz. Elementami przeciwdziedziny relacji wpadania do są zaś, między innymi, Wisła, Odra i Bałtyk. Do Wisły wpada bowiem Soła, do Odry wpada Warta, a do Bałtyku wpada Odra. Elementem tej przeciwdziedziny jest również Warta, bo wpada do niej na przykład Prosna.

Jak widać, dziedziny i przeciwdziedziny poszczególnych relacji pozostają do siebie w rozmaitych stosunkach. Są takie relacje, których dziedziny wykluczają się z ich przeciwdziedzinami. Na przykład, relacja bycia autorem wyklucza się z jej przeciwdziedziną. Dziedzinę tej relacji stanowi bowiem zbiór osób będących autorami dzieł. Jej przeciwdziedziną jest natomiast zbiór obiektów, które mają swoich autorów, czyli właśnie zbiór dzieł. Ponieważ żaden autor nie jest dziełem, ani też żadne dzieło nie jest autorem, przeto oba wskazane wyżej zbiory wykluczają się.

Są jednak i takie relacje, których dziedziny krzyżują się z ich przeciwdziedzinami. Na przykład, dziedzina relacji kochania krzyżuje się z jej przeciwdziedziną. Do dziedziny tej relacji należą bowiem te osoby, które kogoś kochają. Do jej przeciwdziedziny [101/102] należą natomiast te osoby, które są przez kogoś kochane. Jak wiadomo, niektórzy kochają innych i sami też są kochani. Zatem należą oni zarówno do dziedziny, jak i przeciwdziedziny tej relacji. Pewne osoby kochają innych, ale same nie są przez nikogo kochane. Osoby te należą do dziedziny relacji kochania, a nie należą do przeciwdziedziny tej relacji. Jeszcze inne osoby nikogo nie kochają, lecz same są przez kogoś kochane. Te osoby z kolei nie należą do dziedziny relacji kochania, ale należą do jej przeciwdziedziny.

Są również i takie relacje, których dziedziny zawierają się w ich przeciwdziedzinach. Na przykład, dziedzina relacji odpowiedzialności zawiera się w jej przeciwdziedzinie. Do dziedziny tej relacji należą bowiem podmioty za kogoś odpowiedzialne. Do jej przeciwdziedziny należą natomiast podmioty, za które ktoś odpowiada. Otóż każda osoba odpowiedzialna za kogoś odpowiada też za siebie. Tedy każda osoba odpowiedzialna za kogoś jest jednocześnie osobą, za którą ktoś - a mianowicie ona sama - odpowiada. Zatem każdy element dziedziny tej relacji jest również elementem jej przeciwdziedziny. Jednakże są i takie podmioty, które nie odpowiadają ani za siebie, ani za kogoś innego, a za które odpowiadają inni. Podmioty te nie należą więc do dziedziny analizowanej tu relacji, należą natomiast do jej przeciwdziedziny. Zatem dziedzina relacji odpowiedzialności jest podzbiorem właściwym jej przeciwdziedziny. Możemy też powiedzieć, że przeciwdziedzina tej relacji jest nadzbiorem właściwym jej dziedziny.

Są też i takie relacje, których przeciwdziedziny zawierają się w ich dziedzinach. Na przykład, przeciwdziedzina relacji bycia postrzeganym zawiera się w dziedzinie tej relacji. Do jej dziedziny należą bowiem postrzegane obiekty. Do jej przeciwdziedziny należą natomiast postrzegające podmioty. Otóż każdy postrzegający podmiot postrzega również i siebie, a więc jest także postrzeganym obiektem. Tym samym, każdy element przeciwdziedziny tej relacji jest również elementem jej dziedziny. Do tego ostatniego zbioru należą nadto i takie obiekty, które będąc postrzeganymi same niczego nie postrzegają. Obiekty te są więc elementami dziedziny relacji bycia postrzeganym, a nie są elementami jej przeciwdziedziny. W efekcie dziedzina tej relacji jest nadzbiorem właściwym jej przeciwdziedziny. Możemy też powiedzieć, [102/103] że przeciwdziedzina tej relacji jest podzbiorem właściwym jej dziedziny.

Są wreszcie i takie relacje, których dziedziny są identyczne z ich przeciwdziedzinami. Na przykład, dziedzina relacji kuzynostwa jest identyczna z jej przeciwdziedzina. Dziedzinę tej relacji stanowi bowiem zbiór osób będących czyimiś kuzynami. Do jej przeciwdziedziny należy natomiast ten, kto ma kuzyna. Kto jednak jest czyimś kuzynem, ten ma w tamtej osobie swego kuzyna. Zatem każdy element dziedziny tej relacji jest też elementem jej przeciwdziedziny. Kto zaś ma kuzyna, ten sam również jest jego kuzynem. Przeto każdy element przeciwdziedziny tej relacji jest też elementem jej dziedziny. Oba te zbiory są więc identyczne.

Sumę dziedziny i przeciwdziedziny relacji R nazywamy polem relacji R. Zbiór ten oznaczamy symbolem „P(R)”. Zatem

(3) /\ _x [x ∈P(R) ≡ x ∈D(R) ∨ x ∈Ď(R)]

Polem relacji bycia mężem jest więc zbiór wszystkich osób będących czyimiś małżonkami. Tedy jego elementami są wszyscy żonaci mężczyźni i wszystkie zamężne kobiety. Ci pierwsi należą do pola owej relacji, bo są elementami jej dziedziny. Te drugie należą do pola tej relacji, bo są elementami jej przeciwdziedziny. Z kolei polem relacji bycia autorem jest zbiór, do którego należą wszyscy autorzy i wszystkie ich dzieła. Każdy autor jest elementem pola tej relacji, ponieważ należy do jej dziedziny. Natomiast każde dzieło jest elementem pola tej relacji, gdyż należy do jej przeciwdziedziny. Polem relacji kochania jest zaś zbiór, obejmujący wszystkich tych, którzy kogoś kochają oraz wszystkich tych, którzy są przez kogoś kochani. Ci pierwsi należą do pola owej relacji, bo są elementami jej dziedziny. Ci drudzy należą do tego zbioru, bo są elementami przeciwdziedziny owej relacji.

3. Relacje zwrotne, niezwrotne i przeciwzwrotne

Obecnie zajmiemy się szczególnymi rodzajami relacji dwuczłonowych. W pierwszej kolejności poznamy relacje zwrotne. Otóż relacja jest zwrotna, gdy każdy obiekt pozostaje w niej do samego siebie. A więc [103/104]

(1) Relacja R jest zwrotna ≡ /\ _x (xRx).

Na przykład, relacja podobieństwa jest zwrotna, bo każdy obiekt jest podobny do samego siebie. Trzeba podkreślić, że relacje zwrotne są relacjami dwuczłonowymi. Dany obiekt występuje tu w podwójnej roli, jako przedmiot pozostający w tej relacji do czegoś i jako przedmiot, do którego coś pozostaje w tej relacji. Dany obiekt występuje tu więc zarówno jako element dziedziny, jak i jako element przeciwdziedziny owej relacji. Gdy na przykład Leszek jest podobny do Leszka, to osoba ta występuje tu jako podobna do kogoś i jako ta, do której ktoś jest podobny. Leszek jest tu jednym i drugim członem tej relacji. Dodajmy, że nie jest wykluczone, iż relacja zwrotna zachodzi również między dwoma różnymi obiektami. Dla jej zwrotności jest to fakt obojętny. Relacja jest bowiem zwrotna, gdy zachodzi między każdym obiektem a nim samym, co nie wyklucza jej zachodzenia także między dwoma różnymi obiektami. Na przykład, nie podważa zwrotności relacji podobieństwa to, że Leszek jest podobny do Franka. Dla jej zwrotności istotne jest to, że Leszek jest podobny do Leszka, a Franek jest podobny do Franka.

Tak ogólna koncepcja relacji zwrotnej jest jednak badawczo niezbyt przydatna. O wiele przydatniejsza jest koncepcja relacji zwrotnej w określonym zbiorze. Otóż dana relacja jest zwrotna w określonym zbiorze, gdy każdy element tego zbioru pozostaje w niej do samego siebie. A więc relacja R jest zwrotna w zbiorze Z wtedy i tylko wtedy, gdy /\ _x(x ∈Z → xRx). Jak widać, precyzacja relacji zwrotnej w danym zbiorze wymaga posłużenia się implikacją. W jej poprzedniku stwierdza się, że obiekt x należy do zbioru Z, a w jej następniku konstatuje się, że ów x pozostaje w relacji R do samego siebie. Duży kwantyfikator wskazuje, że chodzi tu o każdego x-a. Powyższy zapis można uprościć, posługując się kwantyfikatorem ograniczonym. Zamiast więc najpierw stawiać duży kwantyfikator, wskazujący że chodzi o każdego x-a, a następnie w poprzedniku formułować warunek ograniczający wymóg ogólności jedynie do elementów zbioru Z, można to ograniczenie wprowadzić już do samego kwantyfikatora. Zaznacza się w nim, że chodzi wprawdzie o każdy obiekt, ale tylko z tych, które należą do danego zbioru. Duży kwantyfikator odnoszący się do zmiennej x, a ograniczony jedynie do elementów zbioru [104/105] Z zapisujemy następująco „/\_x∈Z”. Warto dodać, że mały kwantyfikator odnoszący się do zmiennej x, a ograniczony do elementów zbioru Z zapisujemy następująco „\/_x∈Z”. Pozwala to stwierdzić, że

(2) Relacja R jest zwrotna w zbiorze Z ≡ /\ _x∈Z (xRx).

Warunkiem niezbędnym i wystarczającym zwrotności relacji R w zbiorze Z jest więc pozostawanie w tej relacji do samego siebie każdego elementu rzeczonego zbioru. Nie jest przeto istotne, czy elementy owego zbioru pozostają w tej relacji do innych jego elementów. Nie jest też istotne, czy obiekty nie należące do tego zbioru pozostają w owej relacji do siebie bądź do innych obiektów.

Relacja bycia równym wzrostem jest zwrotna w zbiorze studentów pierwszego roku prawa. Każdy student tego roku jest bowiem równy wzrostem z samym sobą. Oczywiście, wielu studentów pierwszego roku prawa pozostaje w tej relacji do swoich kolegów z roku. Także osoby nie studiujące prawa są sobie równe wzrostem i są równe wzrostem z innymi osobami. Nie jest to jednak istotne dla zwrotności wskazanej tu relacji w podanym wyżej zbiorze. Również relacja znania jest zwrotna w zbiorze studentów pierwszego roku prawa, bo każda z osób studiujących na tym roku zna samą siebie. Z kolei relacja bycia podzielnym przez jest zwrotna w zbiorze dodatnich liczb naturalnych, gdyż każda dodatnia liczba naturalna jest podzielna przez samą siebie.

Zauważmy, że dana relacja może być zwrotna w kilku zbiorach. Może też być zwrotna w jednym zbiorze, a nie być zwrotna w innym zbiorze. Na przykład, relacja bycia równym wzrostem jest także zwrotna w zbiorze Wielkopolan i jest zwrotna w zbiorze obejmującym wszystkich ludzi. Z kolei relacja znania jest zwrotna w zbiorze obejmującym wszystkich studentów, ale nie jest zwrotna w zbiorze wszystkich ludzi. Dwudniowy Marek nie zna przecież samego siebie. Natomiast relacja bycia podzielnym przez nie jest zwrotna w zbiorze studentów pierwszego roku prawa. Żadna z tych osób nie jest przecież podzielna przez samą siebie. Relacja bycia podzielnym przez nie jest też zwrotna w zbiorze wszystkich liczb naturalnych, bo O nie dzieli się przez siebie. [105/106]

Każda relacja, która nie jest zwrotna w danym zbiorze jest w tym zbiorze relacją niezwrotną. Zatem

(3) Relacja R jest niezwrotna w zbiorze Z ≡ ~ /\ _x∈Z(xRx)

Innymi słowy, relacja R jest niezwrotna w zbiorze Z wtedy, gdy nie jest tak, że każdy element tego zbioru pozostaje w niej do samego siebie. A więc, relacja jest niezwrotna w danym zbiorze, gdy przynajmniej jeden element tego zbioru nie pozostaje w niej do samego siebie. Oczywiście, relacja jest niezwrotna w danym zbiorze także i wtedy, gdy żaden jego element nie pozostaje w niej do samego siebie.

Na przykład, relacja utrzymywania jest niezwrotna w zbiorze Polaków, bo nie jest tak, że każdy Polak utrzymuje się sam. Wprawdzie wielu Polaków utrzymuje się samych, ale są i tacy Polacy, którzy pozostają na utrzymaniu innych osób. Podobnie, relacja chwalenia jest niezwrotna w zbiorze studentów pierwszego roku prawa. Nie jest bowiem tak, że każdy student tego roku chwali samego siebie. Niektórzy studenci pozostają w tej relacji do siebie samych, niektórzy zaś do siebie samych w tej relacji nie pozostają. Również relacja bycia starszym jest niezwrotna w zbiorze studentów pierwszego roku prawa, gdyż nie jest tak, że każdy student tego roku jest starszy od samego siebie. Wręcz odwrotnie, żaden student nie jest starszy od siebie samego, co przesądza o niezwrotności wskazanej relacji w owym zbiorze.

Łatwo zauważyć, że każda relacja jest zwrotna albo też niezwrotna w danym zbiorze. Jeśli bowiem każdy jego element pozostaje w niej do samego siebie, to jest ona zwrotna. Jeśli zaś chociaż jeden jego element nie pozostaje w niej do samego siebie, to jest ona w tym zbiorze niezwrotna. Na przykład, relacja bycia równym wzrostem, relacja znania oraz relacja bycia równosilnym są zwrotne w zbiorze studentów pierwszego roku prawa. Natomiast relacja utrzymywania, relacja chwalenia i relacja bycia starszym są w tym zbiorze niezwrotne. Z kolei relacje bycia równociężkim, bycia równosprawnym i posiadania tej samej grupy krwi są zwrotne w zbiorze niemowlaków. Natomiast relacje znania, oceniania i utrzymywania są w tym zbiorze niezwrotne.

Szczególną odmianę relacji niezwrotnych stanowią relacje przeciwzwrotne. Otóż

(4) Relacja R jest przeciwzwrotna w zbiorze Z ≡ /\ _x∈Z ~ (xRx)

[106/107]

Innymi słowy, relacja R jest przeciwzwrotna w zbiorze Z wtedy, gdy żaden element tego zbioru nie pozostaje w niej do samego siebie. Od razu widać, że każda relacja przeciwzwrotna w danym zbiorze jest też niezwrotna w tym zbiorze. Skoro bowiem żaden element owego zbioru nie pozostaje w niej do samego siebie, to i jakiś element tego zbioru nie pozostaje w niej do samego siebie. Tym samym relacja ta jest w danym zbiorze niezwrotna.

Na przykład, relacja bycia szybszym jest przeciwzwrotna w zbiorze studentów pierwszego roku prawa. Żaden student tego roku nie jest bowiem szybszy od samego siebie. Podobnie, relacja bycia większym jest przeciwzwrotna w zbiorze liczb naturalnych, bo żadna liczba naturalna nie jest od siebie większa. Także relacja bycia ojcem jest przeciwzwrotna w zbiorze ludzi, gdyż żaden człowiek nie jest swoim ojcem. Oczywiście, wszystkie te relacje są też w owych zbiorach niezwrotne.

Jednakże niektóre relacje niezwrotne w określonych zbiorach nie są w nich relacjami przeciwzwrotnymi. Jeżeli pewne elementy danego zbioru pozostają w danej relacji do siebie samych, a inne nie pozostają w owej relacji do siebie samych, to relacja ta jest w tym zbiorze niezwrotna, ale nie jest w nim przeciwzwrotna. Na przykład, relacja bycia zadowolonym z jest niezwrotna w zbiorze ludzi, ale nie jest w tym zbiorze przeciwzwrotna. Pewni ludzie nie są bowiem z siebie zadowoleni, lecz inni są z siebie zadowoleni. Podobnie, relacja utrzymywania jest niezwrotna w zbiorze studentów, ale nie jest w tym zbiorze przeciwzwrotna. Niektórzy studenci nie są bowiem przez siebie utrzymywani, lecz jednak niektórzy z nich utrzymują się sami.

Warto zauważyć, że pewne relacje w jednych zbiorach są przeciwzwrotne, a w innych nie są przeciwzwrotne. Na przykład, relacja oświetlania jest przeciwzwrotna w zbiorze planet, bo żadna planeta nie oświetla się sama. Natomiast relacja ta nie jest przeciwzwrotna w zbiorze wszystkich ciał niebieskich, bo niektóre ciała niebieskie, a mianowicie gwiazdy, oświetlają się same. Podobnie, relacja rządzenia jest przeciwzwrotna w zbiorze szeregowych żołnierzy, bo żaden szeregowy żołnierz nie rządzi sobą samym. Natomiast relacja ta nie jest przeciwzwrotna w zbiorze organizacji, bo niektóre z nich są samorządne. Trzeba wskazać, że są i takie relacje, które w pewnych zbiorach są zwrotne, w innych są niezwrotne, ale nie przeciwzwrotne, a w jeszcze innych są właśnie przeciwzwrotne. Na przykład, relacja mycia jest [107/108] zwrotna w zbiorze dorosłych, zdrowych ludzi, bo każdy taki człowiek myje się sam. Relacja ta jest niezwrotna, ale nie przeciwzwrotna, w zbiorze przedszkolaków, bo niektórzy z nich myją się już sami, a niektórzy są myci przez rodziców. Relacja ta jest natomiast przeciwzwrotna w zbiorze niemowlaków, bo żadne z nich nie myje się samo. Podobnie, relacja znania jest zwrotna w zbiorze studentów, niezwrotna, ale nie przeciwzwrotna, w zbiorze ludzi, zaś przeciwzwrotna w zbiorze kamieni.

4. Relacje symetryczne, niesymetryczne i przeciwsymetryczne

Patrząc na relacje z nieco innego punktu widzenia, możemy wyróżnić wśród nich relacje symetryczne w danych zbiorach. Otóż

(1) Relacja R jest symetryczna w zbiorze Z ≡ /\ _x∈Z /\ _y∈Z (xRy → yRx).

Innymi słowy, relacja R jest symetryczna w zbiorze Z wtedy, gdy zachodząc między dwoma dowolnymi elementami x oraz y tego zbioru zachodzi też między elementem y oraz elementem x. Swobodnie mówiąc, relacja jest symetryczna w danym zbiorze, gdy zachodzenie jej w jednym kierunku przesądza o zachodzeniu jej w drugim kierunku. Należy podkreślić, że dla symetryczności relacji w danym zbiorze nie jest konieczne, aby zachodziła ona między wszelkimi dwoma jego elementami. Może ona zachodzić między pewnymi jego elementami, a nie zachodzić między jakimiś innymi jego elementami. O jej symetryczności przesądza natomiast to, że zachodząc między pierwszym a drugim elementem danego zbioru zachodzi też między drugim a pierwszym z nich.

Na przykład relacja sąsiedztwa jest symetryczna w zbiorze państw. Jeśli bowiem jakieś państwo sąsiaduje z drugim państwem, to owo drugie państwo sąsiaduje też z pierwszym. Podobnie, relacja kuzynostwa jest symetryczna w zbiorze ludzi, bo jeśli Edek jest kuzynem Szymka, to i Szymek jest kuzynem Edka. Także relacja przystawania jest symetryczna w zbiorze trójkątów, bo jeśli jeden trójkąt przystaje do drugiego, to ów drugi trójkąt przystaje też do pierwszego z nich. [108/109]

Warto zauważyć, że określona relacja może być symetryczna w kilku zbiorach. Może też być symetryczna w pewnych zbiorach, a nie być symetryczna w innych. Na przykład relacja sąsiedztwa jest symetryczna nie tylko w zbiorze państw, ale także w zbiorze ludzi, bo jeśli Zbyszek jest sąsiadem Grzesia, to i Grześ jest sąsiadem Zbyszka. Z kolei relacja bycia równociężkim jest symetryczna w zbiorze ludzi i w zbiorze kamieni, a także w zbiorze samochodów, bo jeśli dany samochód jest równociężki z drugim, to ten drugi jest równociężki z pierwszym. Natomiast relacja braterstwa jest symetryczna w zbiorze mężczyzn, ale nie jest symetryczna w zbiorze ludzi. Jeśli bowiem Piotr jest bratem Czesia, to i Czesiek jest bratem Piotra. Jeśli natomiast Filip jest bratem Ani, to Ania nie jest jednak bratem Filipa, lecz jest jego siostrą.

Zauważmy, że niektóre relacje symetryczne w danym zbiorze są też w tym zbiorze zwrotne. Na przykład relacja bycia równosilnym jest symetryczna i zwrotna w zbiorze studentów. Z kolei pewne relacje symetryczne w danym zbiorze są w tym zbiorze przeciwzwrotne. Na przykład, relacja kuzynostwa jest symetryczna i przeciwzwrotna w zbiorze ludzi. Są wreszcie i takie relacje symetryczne w danym zbiorze, które są w nim niezwrotne, ale nie przeciwzwrotne. Na przykład relacja partnerstwa jest symetryczna w zbiorze graczy, a jednocześnie jest to relacja w tym zbiorze niezwrotna, chociaż nie jest w nim przeciwzwrotna. Jeśli bowiem 4 osoby grają w brydża, to żadna z nich nie jest swoim partnerem. Jeśli natomiast tylko dwie osoby grają w brydża, to każda z nich jednocześnie partneruje samej sobie.

Każda relacja, która nie jest symetryczna w danym zbiorze, jest w tym zbiorze relacją niesymetryczną. A więc

(2) Relacja R jest niesymetryczna w zbiorze Z ≡ ~/\ _x∈Z /\ _y∈Z(xRy → yRx).

Innymi słowy, relacja R jest niesymetryczna w zbiorze Z wtedy, gdy nie jest tak, że zachodząc między dwoma dowolnymi elementami x oraz y tego zbioru zachodzi też między elementem y oraz elementem x. Swobodnie mówiąc, relacja jest niesymetryczna w danym zbiorze, gdy nie jest tak, że zachodzenie jej w jednym kierunku przesądza o zachodzeniu jej w odwrotnym kierunku. Relacja jest więc niesymetryczna w danym zbiorze, gdy są w nim przynajmniej dwa takie elementy, między którymi [109/110] relacja ta zachodzi w jednym kierunku, a nie zachodzi w odwrotnym kierunku. Inaczej mówiąc, relacja jest niesymetryczna w danym zbiorze, gdy są w nim przynajmniej dwa takie elementy, że pierwszy z nich pozostaje w owej relacji do drugiego, ale drugi nie pozostaje w niej do pierwszego. Oczywiście, relacja jest niesymetryczna w danym zbiorze również i wtedy, gdy wszelkie jego dwa elementy tym się charakteryzują, że gdy zachodzi ona między pierwszym i drugim z nich, to nie zachodzi między drugim a pierwszym. Dodajmy, że relacje niesymetryczne nazywa się też nonsymetrycznymi.

Przykładem interesującej nas tu relacji jest relacja lubienia w zbiorze studentów pierwszego roku prawa. Jak wiadomo, nie jest tak, że dla dowolnych dwóch studentów tego roku, jeśli pierwszy z nich lubi drugiego, to i drugi lubi pierwszego. Wprawdzie jest wielu takich studentów, między którymi relacja lubienia zachodzi w obu kierunkach, ale są i tacy, między którymi ta relacja zachodzi tylko w jednym kierunku, bo pierwszy z nich lubi drugiego, ale drugi nie lubi pierwszego. Podobnie, relacja znania jest niesymetryczna w zbiorze ludzi. Wprawdzie Bogdan zna swego kolegę Jurka, a ten zna Bogdana, ale studiujący na UAM Wiesiek zna rektora UAM, który jednak nie zna Wiesia. Również relacja bycia większym jest niesymetryczna w zbiorze miast. Nie jest bowiem tak, że gdy pierwsze miasto jest większe od drugiego, to owo drugie miasto jest większe od pierwszego. Wręcz odwrotnie, wszelkie dwa miasta to znamionuje, że gdy pierwsze z nich jest większe od drugiego, to drugie nie jest większe od pierwszego.

Łatwo zauważyć, że każda relacja jest symetryczna albo niesymetryczna w danym zbiorze. Jeśli wszelkie dwa elementy zbioru charakteryzuje to, że dana relacja zachodzi między nimi w jednym kierunku tylko wtedy, gdy zachodzi ona między nimi w drugim kierunku, to jest ona w tym zbiorze relacją symetryczną. Jeśli natomiast warunek powyższy nie jest spełniony, to owa relacja jest w tym zbiorze niesymetryczna. Na przykład, relacja bycia równostarym, relacja kuzynostwa oraz relacja sąsiedztwa są symetryczne w zbiorze studentów. Natomiast relacja znania, relacja lubienia oraz relacja braterstwa są w tym zbiorze niesymetryczne. Z kolei relacje bycia równostarym, znania i braterstwa są symetryczne w zbiorze piłkarzy jednej drużyny. Natomiast [110/111] relacje lubienia, zazdroszczenia i bycia wyższym są w tym zbiorze niesymetryczne.

Zauważmy, że niektóre relacje niesymetryczne, w danym zbiorze są też w tym zbiorze zwrotne. Na przykład, relacja znania jest niesymetryczna i zwrotna w zbiorze studentów prawa. Z kolei pewne relacje niesymetryczne w danym zbiorze są w tym zbiorze przeciwzwrotne. Na przykład, relacja braterstwa jest niesymetryczna i i przeciwzwrotna w zbiorze ludzi. Są wreszcie i takie relacje niesymetryczne w danym zbiorze, które są w nim niezwrotne, ale nie przeciwzwrotne. Na przykład relacja oceniania jest niesymetryczna i niezwrotna w zbiorze przedszkolaków.

Szczególną odmianę relacji niesymetrycznych stanowią relacje przeciwsymetryczne, zwane też relacjami asymetrycznymi. Otóż

(3) Relacja R jest przeciwsymetryczna w zbiorze Z ≡ /\ _x∈Z /\ _y∈Z (xRy → ~yRx).

Innymi słowy, relacja R jest przeciwsymetryczna w zbiorze Z wtedy, gdy zachodząc między dwoma dowolnymi elementami x oraz y tego zbioru nie zachodzi między elementem y oraz elementem x. Zatem relacja jest przeciwsymetryczna w danym zbiorze, gdy - swobodnie mówiąc - zachodzenie jej w jednym kierunku wyklucza zachodzenie jej w odwrotnym kierunku. Od razu widać, że każda relacja przeciwsymetryczna w danym zbiorze jest też niesymetryczna w tym zbiorze. Skoro bowiem wszelkie dwa elementy danego zbioru tym się charakteryzują, że gdy zachodzi ona między nimi w jednym kierunku, to nie zachodzi w drugim kierunku, to nie jest tak, że zachodząc między nimi w jednym kierunku zachodzi też między nimi w drugim kierunku. Przeto relacja ta jest w danym zbiorze niesymetryczna.

Przykładem omawianej tu relacji jest relacja bycia wyższym w zbiorze studentów pierwszego roku prawa, bo gdy jakiś student tego roku jest wyższy od drugiego, to ów drugi student nie jest wyższy od pierwszego. Podobnie, relacja starszeństwa jest przeciwsymetryczna w zbiorze ludzi, bo gdy ktoś jest starszy od drugiego człowieka, to ten drugi nie jest starszy od pierwszego. Także relacja bycia większym jest przeciwsymetryczna w zbiorze miast, bo gdy jakieś miasto jest większe od drugiego, to owo drugie miasto nie jest większe od pierwszego. Oczywiście, wszystkie te relacje są też w owych zbiorach niesymetryczne. [111/112]

Jednakże niektóre relacje niesymetryczne w pewnych zbiorach nie są w nich relacjami przeciwsymetrycznymi. Jeśli w danym zbiorze znajdują się zarówno takie dwa elementy, między którymi dana relacja zachodzi w obu kierunkach, jak i takie dwa elementy, między którymi zachodzi ona w jednym kierunku, a nie zachodzi w drugim, to relacja ta jest w danym zbiorze niesymetryczna, ale nie jest przeciwsymetryczna. Na przykład, relacja lubienia jest niesymetryczna w zbiorze studentów, ale nie jest w nim przeciwsymetryczna. Podobnie, relacja znania jest niesymetryczna w zbiorze ludzi, ale nie jest w tym zbiorze przeciwsymetryczna.

Zauważmy, ze pewne relacje w jednych zbiorach są przeciwsymetryczne a w innych nie są przeciwsymetryczne. Na przykład, relacja zabijania jest przeciwsymetryczna w zbiorze ryb. Natomiast relacja ta nie jest przeciwsymetryczna w zbiorze ludzi, bo zdarza się niekiedy, że dwie osoby zabijają się wzajemnie. Podobnie, relacja pozywania jest przeciwsymetryczna w zbiorze stron procesów o naruszenie posiadania, bo tam wytoczenie powództwa wzajemnego nie jest dopuszczalne. Natomiast relacja ta nie jest przeciwsymetryczna w zbiorze stron wszystkich procesów cywilnych, bo częstokroć strony pozywają się wzajemnie. Zauważmy, że są i takie relacje, które w pewnych zbiorach są symetryczne, w innych są niesymetryczne, ale nie przeciwsymetryczne, a w jeszcze innych są właśnie przeciwsymetryczne. Na przykład, relacja trzymanie jest symetryczna w zbiorze osób tańczących walca, bo tam partner trzyma swoją partnerkę, a ona trzyma swego partnera. Relacja ta jest niesymetryczna, ale nie przeciwsymetryczna, w zbiorze spacerowiczów. Spacerujące parki trzymają się bowiem za ręce, zaś matki spacerujące z małymi dziećmi często trzymają je, chroniąc przed upadkiem, ale same nie są przez nie trzymane. Relacja ta jest natomiast przeciwsymetryczna w zbiorze dzieci bawiących się w pociąg, bo tam każde trzyma tylko tego, kto stoi przed nim.

Zauważmy, że każda relacja przeciwsymetryczna w danym zbiorze jest też w nim przeciwzwrotna. Aby to unaocznić przyjmijmy, że relacja R jest przeciwsymetryczna w zbiorze Z. Przeto dla wszystkich x, y należących do Z: (xRy) → ~(yRx). Przypuśćmy, że obiekt a należy do zbioru Z. Za zmienne „x” i „y” wolno wstawiać dowolne terminy jednostkowe. Wolno więc za obie te zmienne wstawić termin jednostkowy „a”. Prowadzi to do [112/113] następującego stwierdzenia: (aRa) → ~(aRa). Hipotetycznie przyjmiemy, że obiekt a pozostaje w relacji R do samego siebie, czyli (aRa). Skoro jednak (aRa) oraz [(aRa) → ~(aRa)], zatem ~(aRa). W konsekwencji byłoby jednocześnie (aRa) oraz ~(aRa), co oczywiście stanowiłoby sprzeczność. Wskazuje to, że obiekt a nie pozostaje w relacji R do samego siebie. Podobne rozumowanie można przeprowadzić odnośnie dowolnego elementu zbioru Z. Tedy żaden z nich nie pozostaje w owej relacji do samego siebie, czyli relacja R jest przeciwzwrotna w zbiorze Z. Na przykład relacja starszeństwa jest przeciwsymetryczna, a więc i przeciwzwrotna w zbiorze studentów prawa. Podobnie, relacja większości jest przeciwsymetryczna, a więc i przeciwzwrotna w zbiorze państw.

5. Relacje przechodnie, nieprzechodnie i przeciwprzechodnie

Patrząc na relacje z jeszcze innego punktu widzenia, możemy wyróżnić wśród nich relacje przechodnie w określonych zbiorach. Otóż

(1) Relacja R jest przechodnia w zbiorze Z ≡ /\ _x∈Z /\ _y∈Z /\ _z∈Z (xRy ∧ yRz → xRz).

Innymi słowy, relacja R jest przechodnia w zbiorze Z wtedy, gdy dla wszelkich jego trzech elementów, ilekroć zachodzi ona między pierwszym a drugim z nich i zachodzi między drugim a trzecim z nich, to zachodzi też między pierwszym a trzecim z nich. Trzeba podkreślić, że relacje przechodnie w danych zbiorach są relacjami dwuczłonowymi, bo w każdym wypadku zachodzą między dwoma obiektami. Relacje przechodnie nazywa się też relacjami tranzytywnymi.

Przykładem takiej relacji jest relacja starszeństwa w zbiorze ludzi. Gdy Marian jest starszy od Tomka, a Tomek jest starszy od Romka, to Marian jest też starszy od Romka. Podobnie, relacja wyższości jest przechodnia w zbiorze budynków. Jeśli bowiem pierwszy budynek jest wyższy od drugiego, a drugi jest wyższy od trzeciego, to ten pierwszy jest też wyższy od trzeciego. Także [113/114] relacja bycia cięższym jest przechodnia w zbiorze kamieni, bo gdy pierwszy z nich jest cięższy od drugiego, a drugi jest cięższy od trzeciego, to ów pierwszy kamień jest też cięższy od trzeciego.

Warto zauważyć, że dana relacja może być przechodnia w kilku zbiorach. Może też być przechodnia w pewnych zbiorach, a nie być przechodnia w innych. Na przykład relacja starszeństwa jest przechodnia nie tylko w zbiorze ludzi, ale także w zbiorze samochodów oraz w zbiorze książek. Podobnie relacja bycia większym jest przechodnia w zbiorze liczb, w zbiorze jezior i w zbiorze koni. Natomiast relacja podległości jest przechodnia w zbiorze żołnierzy, ale nie jest przechodnia w zbiorze feudałów średniowiecznych. Jeśli bowiem kapral podlega porucznikowi, a ten podlega majorowi, to kapral też podlega majorowi. Natomiast rycerz podległy hrabiemu, który podlegał księciu, sam nie podlegał księciu.

Zauważmy, że niektóre relacje są w pewnych zbiorach jednocześnie przechodnie i zwrotne. Inne są w pewnych zbiorach jednocześnie przechodnie i przeciwzwrotne. Jeszcze inne są w pewnych zbiorach jednocześnie przechodnie i niezwrotne, ale nie przeciwzwrotne. Zauważmy też, że niektóre relacje są w pewnych zbiorach jednocześnie przechodnie i symetryczne. Inne są w pewnych zbiorach jednocześnie przechodnie i przeciwsymetryczne. Jeszcze inne są w pewnych zbiorach jednocześnie przechodnie i niesymetryczne, ale nie przeciwsymetryczne. Na przykład relacja wyższości jest w zbiorze ludzi jednocześnie przechodnia, przeciwzwrotna i przeciwsymetryczna. Natomiast relacja bycia niemniejszym jest w zbiorze jezior jednocześnie przechodnia, zwrotna i niesymetryczna.

Każda relacja, która nie jest przechodnia w danym zbiorze jest w tym zbiorze relacją nieprzechodnią, czyli nontranzytywną. Zatem

(2) Relacja R jest nieprzechodnią w zbiorze Z ≡ ~/\ _x∈Z /\ _y∈Z /\ _z∈Z (xRy ∧ yRz → xRz).

Innymi słowy, relacja R jest nieprzechodnią w zbiorze Z wtedy, gdy nie jest tak, że ilekroć zachodzi ona między dowolnymi dwoma elementami i zachodzi między tymże drugim a dowolnym trzecim jego elementem, to zachodzi ona też między owym pierwszym a tym trzecim jego elementem. Relacja jest więc nieprzechodnią w danym zbiorze, gdy są w nim przynajmniej trzy [114/115] takie elementy, z których pierwszy pozostaje w tej relacji do drugiego, drugi do trzeciego, ale pierwszy nie pozostaje w niej do trzeciego. Oczywiście relacja jest nieprzechodnią w danym zbiorze również i wtedy, gdy wszelkie jego trzy elementy znamionuje to, że ilekroć zachodzi ona między pierwszym a drugim i między drugim a trzecim, to nie zachodzi między pierwszym i trzecim z nich.

Przykładem omawianej tu relacji jest relacja sąsiedztwa w zbiorze państw. Jak wiadomo, Francja sąsiaduje ze Szwajcarią, ta z Włochami, a Francja też sąsiaduje z Włochami. Natomiast Rosja sąsiaduje z Polską, ta sąsiaduje z Niemcami, ale Rosja nie sąsiaduje z Niemcami. Podobnie relacja kuzynostwa jest nieprzechodnią w zbiorze ludzi, bo dzieci trzech braci są swoimi kuzynami, ale kuzyn kogoś ze strony matki nie jest kuzynem jego kuzyna ze strony ojca. Również relacja macierzyństwa jest nieprzechodnią w zbiorze ludzi. Nie jest bowiem tak, że jeśli Ala jest matką Zosi, a Zosia jest matką Janki, to Ala jest matką Janki. W tym przypadku Ala jest babcią Janki.

Łatwo zauważyć, że każda relacja jest przechodnia albo nieprzechodnią w danym zbiorze. Jeśli więc wszystkie trzy elementy zbioru charakteryzuje to, że dana relacja, zachodząc między pierwszym a drugim z nich i drugim a trzecim, zachodzi też między pierwszym a trzecim z nich, to jest ona w tym zbiorze przechodnia. Jeśli natomiast powyższy warunek nie jest spełniony, to relacja ta jest w owym zbiorze nieprzechodnią. Na przykład relacja wyższości, relacja starszeństwa i relacja równociężkości są przechodnie w zbiorze studentów. Natomiast relacje znania, lubienia i przyjaźni są w tym zbiorze nieprzechodnie.

Zauważmy, że niektóre relacje są w pewnych zbiorach jednocześnie nieprzechodnie i zwrotne. Inne są w pewnych zbiorach jednocześnie nieprzechodnie i przeciwzwrotne. Jeszcze inne są w pewnych zbiorach nieprzechodnie i niezwrotne, ale nie przeciwzwrotne. Zauważmy też, że niektóre relacje są w pewnych zbiorach jednocześnie nieprzechodnie i symetryczne. Inne są w pewnych zbiorach jednocześnie nieprzechodnie i przeciwsymetryczne. Jeszcze inne są w pewnych zbiorach jednocześnie nieprzechodnie i niesymetryczne, ale nie przeciwsymetryczne. Na przykład, relacja sąsiadowania jest w zbiorze państw jednocześnie nieprzechodnią, przeciwzwrotna i symetryczna. Natomiast relacja [115/116] znania jest w zbiorze studentów jednocześnie nieprzechodnia, zwrotna i niesymetryczna.

Szczególną odmianę relacji nieprzechodnich stanowią relacje przeciwprzechodnie, zwane też relacjami atranzytywnymi. Otóż

(3) Relacja R jest przeciwprzechodnia w zbiorze Z ≡ /\ _x∈Z /\ _y∈Z /\ _z∈Z (xRy ∧ yRz → ~ xRz).

Innymi słowy, relacja R jest przeciwprzechodnia w zbiorze Z wtedy, gdy dla wszystkich jego trzech elementów, ilekroć zachodzi ona między pierwszym a drugim z nich i zachodzi między drugim a trzecim z nich, to nie zachodzi między pierwszym a trzecim z nich. Na przykład, relacja ojcostwa jest przeciwprzechodnia w zbiorze ludzi, bo gdy Kazimierz jest ojcem Stefana, a Stefan jest ojcem Czesia, to Kazimierz nie jest ojcem Czesia. Podobnie, relacja bezpośredniego zwierzchnictwa jest przeciwprzechodnia w zbiorze żołnierzy. Bezpośredni zwierzchnik bezpośredniego zwierzchnika danego żołnierza nie jest bowiem jego bezpośrednim zwierzchnikiem.

Od razu widać, że każda relacja przeciwprzechodnia w danym zbiorze jest też w nim nieprzechodnia. Skoro bowiem wszelkie jego trzy elementy znamionuje to, że gdy pierwszy z nich pozostaje w tej relacji do drugiego, a drugi do trzeciego, to pierwszy nie pozostaje w tej relacji do trzeciego, to nie jest tak, że gdy pierwszy pozostaje w tej relacji do drugiego, a drugi do trzeciego, to pierwszy pozostaje w tej relacji do trzeciego. Jednakże niektóre relacje nieprzechodnie w określonych zbiorach nie są w nich relacjami przeciwprzechodnimi. Jeśli w danym zbiorze znajdują się zarówno trzy takie elementy, z których pierwszy pozostaje w danej relacji do drugiego, drugi do trzeciego i pierwszy do trzeciego, jak i trzy takie elementy, z których pierwszy pozostaje w tej relacji do drugiego, drugi do trzeciego, a pierwszy nie pozostaje w tej relacji do trzeciego, to relacja ta jest w owym zbiorze nieprzechodnia, ale nie jest w nim przeciwprzechodnia. Na przykład, relacja kuzynostwa jest w zbiorze ludzi nieprzechodnia, ale nie jest w tym zbiorze przeciwprzechodnia.

Należy wskazać, że pewne relacje w jednych zbiorach są przeciwprzechodnie, a w innych nie są przeciwprzechodnie. Na przykład relacja sąsiadowania jest przeciwprzechodnia w zbiorze stacji jednej linii kolejowej, ale nie jest przeciwprzechodnia w zbiorze działek rekreacyjnych wydzielonych na określonym [116/117] terenie. Są i takie relacje, które w pewnych zbiorach są przechodnie, w innych są nieprzechodnie, ale nie przeciwprzechodnie, a w jeszcze innych są właśnie przeciwprzechodnie. Na przykład, relacja kontaktowania się jest przechodnia w zbiorze piłkarzy jednej drużyny. Relacja ta jest nieprzechodnia, ale nie przeciwprzechodnia w zbiorze studentów pierwszego roku prawa. Natomiast jest ona przeciwprzechodnia w zbiorze członków konspiracyjnej organizacji, w której każdy kontaktuje się tylko ze swoim bezpośrednim zwierzchnikiem i bezpośrednim podwładnym.

Zauważmy, że każda relacja przeciwprzechodnia w danym zbiorze jest też w nim przeciwzwrotna. Aby to unaocznić przyjmijmy, że relacja R jest przeciwprzechodnia w zbiorze Z. Przeto dla wszystkich x, y, z należących do Z: (xRy ∧ yRz) → ~(xRz). Przypuśćmy, że obiekt a należy do zbioru Z. Za zmienne „x,” „y” i „z” wolno wstawiać dowolne terminy jednostkowe. Wolno więc za każdą z tych zmiennych wstawić termin jednostkowy „a”. Prowadzi to do następującego stwierdzenia: (aRa ∧ aRa) → ~(aRa). Przyjmijmy hipotetycznie, że obiekt a pozostaje w relacji R do samego siebie, czyli (aRa). Skoro jednak (aRa) oraz [(aRa ∧ aRa) → ~(aRa)], zatem ~(aRa). W konsekwencji byłoby jednocześnie (aRa) oraz ~(aRa), co - oczywiście - stanowiłoby sprzeczność. Wskazuje to, że obiekt a nie pozostaje w relacji R do samego siebie. Podobne rozumowanie można przeprowadzić odnośnie dowolnego elementu zbioru Z. Tedy żaden z nich nie pozostaje w owej relacji do samego siebie, czyli relacja R jest przeciwzwrotna w zbiorze Z.

Zauważmy też, że niektóre relacje są w pewnych zbiorach jednocześnie przeciwprzechodnie i symetryczne. Inne są w pewnych zbiorach jednocześnie przeciwprzechodnie i przeciwsymetryczne. Jeszcze inne są w pewnych zbiorach jednocześnie przeciwprzechodnie i niesymetryczne, ale nie przeciwsymetryczne. Na przykład relacja sąsiadowania jest w zbiorze stacji jednej linii kolejowej jednocześnie przeciwprzechodnia, przeciwzwrotna i symetryczna. Natomiast relacja ojcostwa jest w zbiorze ludzi jednocześnie przeciwprzechodnia, przeciwzwrotna i przeciwsymetryczna. Wreszcie relacja trzymania jest w zbiorze osób tworzących koło, z których co drugi trzyma oburącz partnera z prawej strony, a co drugi trzyma jedną ręką partnera z prawej [117/118] strony, a drugą ręką partnera z lewej strony, jednocześnie przeciwprzechodnia, przeciwzwrotna i niesymetryczna, ale nie przeciwsymetryczna.

6. Konwers i iloczyn względny relacji

Między pewnymi relacjami zachodzą szczególne związki. Mianowicie

(1) Relacja R, jest konwersem relacji R₂ ≡ /\_x /\_y (xR₁y ≡ yR₂x).

Innymi słowy, relacja R₁ jest konwersem relacji R₂ wtedy, gdy dla dowolnych dwóch elementów relacja R₁ zachodzi między pierwszym a drugim z nich wtedy i tylko wtedy, gdy relacja R₂ zachodzi między drugim a pierwszym z nich.

Swobodnie mówiąc, konwersem danej relacji jest taka relacja, która zachodzi między dwoma dowolnymi obiektami w jednym kierunku wtedy tylko, gdy relacja wyjściowa zachodzi między tymi obiektami w odwrotnym kierunku. Relację stanowiącą konwers relacji R oznaczamy symbolem „Ř”.

Jako przykład niech posłuży relacja wyższości. Jej konwersem jest relacja niższości, bo Franek jest niższy od Antka tylko wtedy, gdy Antek jest wyższy od Franka. Podobnie konwersem relacji bycia dziadkiem jest relacja bycia wnukiem, bo Bartek jest wnukiem Leona wtedy tylko, gdy Leon jest dziadkiem Bartka. Z kolei konwersem relacji lubienia jest relacja bycia lubianym, bo Wanda jest lubiana przez Marię wtedy tylko, gdy Maria lubi Wandę. Łatwo spostrzec, że relacje symetryczne same są swoimi konwersami. Relacja taka zachodzi bowiem między pierwszym a drugim obiektem wtedy, gdy zachodzi między drugim a pierwszym obiektem. Konwersem relacji kuzynostwa jest więc ta sama relacja kuzynostwa, a konwersem relacji bycia równociężkim jest ta sama relacja bycia równociężkim.

Ponieważ konwers danej relacji zachodzi między tymi samymi obiektami, co owa relacja - tyle że w odwrotnym kierunku - dlatego dziedziną konwersu owej relacji jest jej przeciwdziedzina, [118/119] zaś jego przeciwdziedzina jest jej dziedzina. Zatem pole danej relacji jest identyczne z polem jej konwersu. Skoro więc relacja bycia żoną jest konwersem relacji bycia mężem, tedy dziedziną pierwszej z nich jest przeciwdziedzina drugiej. Przeto dziedziną relacji bycia żoną jest zbiór zamężnych kobiet stanowiący przeciwdziedzinę relacji bycia mężem. Z tego samego powodu przeciwdziedzina pierwszej z tych relacji jest dziedzina drugiej. Przeciwdziedzina relacji bycia żoną jest więc zbiór żonatych mężczyzn stanowiący dziedzinę relacji bycia mężem. W rezultacie polem każdej z tych relacji jest zbiór obejmujący wszystkich żonatych mężczyzn i wszystkie zamężne kobiety.

Swoiście powiązane są też relacje tworzące iloczyn względny. Otóż

(2) Relacja R₁ jest iloczynem względnym relacji R₂ i R₃ ≡ /\_x /\_y [xR₁y ≡ \/_z(xR₂z ∧ zR₃y)]

Innymi słowy, relacja R₁ jest iloczynem względnym relacji R₂ i R₃ wtedy, gdy zachodzi ona między jednym a drugim obiektem tylko, gdy istnieje taki przedmiot, że pierwszy obiekt pozostaje w relacji R₂ do tego przedmiotu, a przedmiot ten pozostaje w relacji R₃ do drugiego obiektu. Swobodnie mówiąc, relacja będąca iloczynem względnym dwóch innych relacji łączy bezpośrednio dwa obiekty wtedy, gdy tamte relacje łączą je pośrednio, poprzez przedmiot występujący jednocześnie jako człon każdej z nich.

Jako przykład niech posłuży relacja bycia stryjkiem, która jest iloczynem względnym relacji braterstwa i relacji ojcostwa. Włodek jest bowiem stryjkiem Krzysia wtedy, gdy istnieje osoba - powiedzmy Adam - taka, że Włodek jest bratem Adama, zaś Adam jest ojcem Krzysia. Z kolei relacja bycia zięciem jest iloczynem względnym relacji bycia mężem i relacji bycia córką. Zygmunt jest bowiem zięciem Heleny wtedy, gdy istnieje osoba - powiedzmy Danusia - taka, że Zygmunt jest mężem Danusi, a Danusia jest córką Heleny. Wreszcie, relacja bycia synową jest iloczynem względnym relacji bycia żoną i relacji bycia synem. Zosia jest bowiem synową Grażyny wtedy, gdy istnieje ktoś -powiedzmy Jurek - taki, że Zosia jest żoną Jurka, a Jurek jest synem Grażyny. [119/120]

7. Relacje równościowe

Relacją równościową w zbiorze nazywamy taką relację, która jest w tym zbiorze jednocześnie zwrotna, symetryczna i przechodnia. Czasami relację taką nazywa się też relacją równoważnościową w danym zbiorze. Relacja równościowa w określonym zbiorze zachodzi między tymi jego elementami, które są pod pewnym względem sobie równe. Na przykład, relacja bycia równowysokim jest równościowa w zbiorze studentów pierwszego roku prawa, gdyż jest w tym zbiorze jednocześnie zwrotna, symetryczna i przechodnia. Zachodzi ona między tymi studentami owego roku, którzy są sobie równi wzrostem. Podobnie relacja równociężkości jest równościowa w zbiorze studentów pierwszego roku prawa, bo jest w tym zbiorze jednocześnie zwrotna, symetryczna i przechodnia. Zachodzi ona między tymi elementami rzeczonego zbioru, które mają równy ciężar. Także relacja bycia równostarym jest równościowa w zbiorze ludzi, bo jest w tym zbiorze jednocześnie zwrotna, symetryczna i przechodnia. Zachodzi ona między tymi ludźmi, którzy są równi wiekiem.

Przyjmijmy, że relacja R jest równościowa w zbiorze Z, do którego należy element x. Zbiór wszystkich tych elementów zbioru Z, które pozostają w relacji R do x-a nazywamy klasą abstrakcji od x-a w zbiorze Z, ze względu na relację R i oznaczamy symbolem „[x]_R,Z”. Na przykład, klasę abstrakcji od Jana w zbiorze studentów pierwszego roku prawa, ze względu na relację równociężkości, stanowi zbiór obejmujący wszystkich tych studentów pierwszego roku prawa, których ciężar równy jest ciężarowi Jana. Podobnie, klasę abstrakcji od Pawła w zbiorze ludzi, ze względu na relację bycia równostarym, stanowi zbiór obejmujący tych wszystkich ludzi, którzy są równostarzy z Pawłem.

Przypuśćmy, że mierzący 182 cm Wojtek jest studentem pierwszego roku prawa. Do klasy abstrakcji od Wojtka w zbiorze studentów pierwszego roku prawa, ze względu na relację bycia równowysokim, należą wszyscy ci, którzy są tak wysocy jak Wojtek, a więc mierzą 182 cm. Jeżeli nikt inny na tym roku nie jest równowysoki z Wojtkiem, to owa klasa abstrakcji jest jednoelementowa, a jej jedynym elementem jest właśnie Wojtek. Jeśli jeszcze 15 osób mierzy tyle co Wojtek, to owa klasa [120/121] abstrakcji ma - łącznie z Wojtkiem - 16 elementów. Przypuśćmy, że studiujący na pierwszym roku prawa Marcin mierzy 175 cm. Nie należy on zatem do powyższej klasy abstrakcji, ale należy do klasy abstrakcji od Marcina w zbiorze studentów pierwszego roku prawa, ze względu na relację bycia równowysokim. Do tej klasy abstrakcji należą ci studenci pierwszego roku prawa, którzy - podobnie jak Marcin - mierzą 175 cm. Mierząca 158 cm Grażyna, która również jest studentką pierwszego roku prawa, nie należy do żadnej z powyższych dwóch klas abstrakcji. Należy ona natomiast do klasy abstrakcji od Grażyny w zbiorze studentów pierwszego roku prawa, ze względu na relację bycia równowysokim, do której to klasy należą wszyscy ci studenci owego roku, którzy mierzą 158 cm. Z kolei mierzący 182 cm Janusz należy do pierwszej ze wskazanych klas abstrakcji. Przeto każdy student pierwszego roku prawa należy do jednego z tak utworzonych zbiorów. Łatwo zauważyć, że dwie klasy abstrakcji wykluczają się, zaś suma ich wszystkich jest identyczna ze zbiorem studentów pierwszego roku prawa. Zatem owe klasy abstrakcji stanowią podział rzeczonego zbioru. Relacja bycia równowysokim wyznacza więc podział studentów pierwszego roku prawa na wskazane klasy abstrakcji. Dodajmy, że każda relacja równościowa w danym zbiorze wyznacza jego podział na utworzone od niej klasy abstrakcji. Tedy podział zbioru studentów pierwszego roku prawa wyznacza także równościowa w nim relacja równociężkości. Oczywiście podział wyznaczony przez tę relację różni się od podziału owego zbioru wyznaczonego przez relację bycia równowysokim.

8. Relacje porządkujące

Wyróżnimy jeszcze pewną odmianę relacji, a mianowicie relacje spójne w określonych zbiorach. Otóż (1) Relacja R jest spójna w zbiorze

Z ≡ /\ _x /\ _y(x ≠ y → xRy ∨ yRx).

Innymi słowy, relacja R jest spójna w zbiorze Z wtedy, gdy zachodzi ona między wszelkimi dwoma różnymi jego elementami. Swobodnie mówiąc, relacja jest spójna w danym zbiorze wtedy, [121/122] gdy z wszelkich dwóch różnych jego elementów pierwszy pozostaje w niej do drugiego lub też drugi pozostaje w niej do pierwszego. Na przykład, relacja większości jest spójna w zbiorze liczb naturalnych, bo z dwóch różnych liczb naturalnych pierwsza jest większa od drugiej lub druga jest większa od pierwszej. Podobnie relacja znania jest spójna w małej grupie ćwiczeniowej, bo z dwóch jej członków pierwszy zna drugiego lub drugi zna pierwszego. Zazwyczaj zresztą znają się oni wzajemnie.

Relacją liniowo porządkującą zbiór nazywamy relację, która jest w tym zbiorze jednocześnie spójna, przechodnia i przeciwsymetryczna. Często też nazywa się ją po prostu relacją porządkującą ów zbiór. Pozwala ona bowiem ustawić wszystkie elementy tego zbioru w jeden szereg tak, że na każdym miejscu tego szeregu znajduje się tylko jeden jego element. Na przykład, relacja większości jest spójna, przechodnia i przeciwsymetryczna w zbiorze liczb naturalnych. Przeto jest ona relacją porządkującą ów zbiór, bo pozwala ustawić wszystkie jego elementy jeden za drugim w kolejności 0, l, 2, 3, 4 itd.

Przyjmijmy, że relacja bycia inteligentniejszym jest spójna w zbiorze studentów pierwszego roku prawa. Jeśli więc Bogdan i Andrzej są studentami tego roku, to Bogdan jest inteligentniejszy od Andrzeja lub Andrzej jest inteligentniejszy od Bogdana. Wykluczone jest, aby obaj byli równointeligentni. Relacja ta jest też przechodnia i przeciwzwrotna w tym zbiorze. Wykażemy, że pozwala ona liniowo uporządkować ten zbiór. Przypuśćmy, że Bogdan jest inteligentniejszy od Andrzeja. Ponieważ relacja ta jest przeciwsymetryczna, dlatego Andrzej nie jest inteligentniejszy od Bogdana. Powstaje zatem szereg Bogdan, Andrzej. Skoro relacja ta jest spójna, to zachodzi też - w jedną albo drugą stronę - między Andrzejem a studiującą na pierwszym roku prawa Jolą. Przypuśćmy, że Andrzej jest inteligentniejszy od Joli. Tedy Jola nie jest inteligentniejsza od Andrzeja, bo relacja ta jest przeciwsymetryczna. Skoro Bogdan jest inteligentniejszy od Andrzeja, który jest inteligentniejszy od Joli, to i Bogdan jest inteligentniejszy od Joli, bo relacja ta jest przechodnia. Powstaje zatem następujący szereg: Bogdan, Andrzej, Jola. Do osób tych pozostaje też w rzeczonej relacji studiujący na pierwszym roku prawa Marcin, bo jest to relacja spójna. Przypuśćmy, że Bogdan jest inteligentniejszy od Marcina, a ten jest inteligentniejszy od Andrzeja. Przeto Marcin nie jest inteligentniejszy od Bogdana, [122/123] ani Andrzej nie jest inteligentniejszy od Marcina, bo relacja ta jest przeciwsymetryczna. Skoro jednak Marcin jest inteligentniejszy od Andrzeja, który jest inteligentniejszy od Joli, to i Marcin jest inteligentniejszy od Joli, bo relacja ta jest przechodnia. Powstaje zatem szereg: Bogdan, Marcin, Andrzej, Jola. Do osób tych pozostaje też w rzeczonej relacji studiująca na pierwszym roku prawa Marta, bo jest to relacja spójna. Przypuśćmy, że Marta jest inteligentniejsza od Bogdana. Zatem Bogdan nie jest inteligentniejszy od Marty, bo relacja ta jest przeciwsymetryczna. Skoro zaś Marta jest inteligentniejsza od Bogdana, który jest inteligentniejszy od Marcina, to i Marta jest inteligentniejsza od Marcina, bo jest to relacja przechodnia. Z tego samego powodu Marta jest też inteligentniejsza od Andrzeja i Joli. Powstaje zatem następujący szereg: Marta, Bogdan, Marcin, Andrzej, Jola. Dołączając kolejnych studentów pierwszego roku prawa, można ich ustawić w jeden szereg od najinteligentniejszego poczynając, a na najmniej inteligentnym kończąc.

9. Funkcje

Rozważmy relację obywatelstwa. Jej dziedzinę stanowi zbiór wszystkich ludzi, bo te właśnie obiekty są obywatelami. Natomiast jej przeciwdziedzinę stanowi zbiór państw, bo relacja obywatelstwa zachodzi między ludźmi a państwami. Jak wiadomo, w każdym państwie jest wielu obywateli. Zatem z każdym elementem przeciwdziedziny połączonych jest tą relacją wiele elementów dziedziny. Zdarzają się też ludzie, którzy mają podwójne, a nawet potrójne obywatelstwo. Przeto niektóre elementy dziedziny pozostają w tej relacji jednocześnie do kilku elementów przeciwdziedziny. Taka relacja nie jest funkcją.

Rozważmy teraz relację bycia jednoosobowym portretem, czyli portretem przedstawiającym tylko jedną osobę. Jej dziedzinę stanowi zbiór takich portretów. Z kolei jej przeciwdziedziną jest zbiór tak sportretowanych osób. Jak wiadomo, niektóre osoby są przedstawione na kilku takich portretach. Zatem z niektórymi elementami przeciwdziedziny połączonych jest tą relacją kilka elementów dziedziny. Jednakże na każdym jednoosobowym portrecie [123/124] przedstawiona jest tylko jedna osoba. Przypuśćmy bowiem, że jakiś obraz jest jednoosobowym portretem Stanisława Augusta Poniatowskiego i jednoosobowym portretem ostatniego króla Polski. Wskazuje to jedynie, że Stanisław August Poniatowski jest tą samą osobą co ostatni król Polski. Zatem każdy element dziedziny jest połączony tą relacją tylko z jednym elementem przeciwdziedziny. Relacja dwuczłonowa o tej właściwości jest funkcją jednoargumentową. A więc

(1) Dwuczłonowa relacja R jest funkcją jednoargumentową

Innymi słowy, dwuczłonowa relacja R jest funkcją jednoargumentową, gdy każdy element jej dziedziny pozostaje w niej do jednego tylko elementu przeciwdziedziny. Jeśli bowiem jakikolwiek element jej dziedziny pozostaje w tej relacji do dwóch elementów przeciwdziedziny, to owe dwa elementy okazują się identyczne. Do oznaczania funkcji, w tym funkcji jednoargumentowych, używamy wyrażeń: „f”, „g”, „h” „f₁”, „f₂”, „g₁”, „g₂”, „f'”„f''”, „g'”, itd. Zamiast pisać „xRy” piszemy „y = f(x)”. Dziedzinę dwuczłonowej relacji będącej jednoargumentową funkcją nazywamy zbiorem argumentów funkcji, zaś przeciwdziedzinę takiej relacji nazywamy zbiorem wartości danej funkcji. Jednoargumentową funkcja przyporządkowuje więc każdemu swemu argumentowi jego jedną wartość. Relacje, będąc funkcjami, nazywa się też relacjami jednoznacznymi.

Przykładem funkcji jednoargumentowej jest wskazana wyżej relacja bycia jednoosobowym portretem. Zbiorem jej argumentów jest zbiór wszystkich jednoosobowych portretów, zaś zbiorem jej wartości jest zbiór tak sportretowanych osób. Każdemu argumentowi, czyli każdemu takiemu portretowi, przyporządkowana jest przez ową funkcję jego wartość, którą jest sportretowany na nim człowiek. Innym przykładem funkcji jednoargumentowej jest relacja zachodząca między ludźmi a ich matkami. Do zbioru argumentów tej funkcji należy każdy człowiek. Natomiast zbiór jej wartości tworzą kobiety będące matkami. Funkcja ta przyporządkowuje każdemu człowiekowi jego matkę, co można zapisać następująco „y = matka(x)”. Funkcją jednoargumentową jest też relacja zachodząca między liczbami a ich drugimi potęgami. Zbiorem argumentów tej funkcji jest zbiór [124/125] liczb rzeczywistych, zaś zbiór jej wartości tworzą liczby będące drugimi potęgami liczb rzeczywistych. Funkcja ta przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej jej drugą potęgę, co zapisujemy następująco „y = x²”.

Powyższe określenie można uogólnić wskazując, że funkcjami są także pewne relacje trój- i więcej członowe. Relacje trójczłonowe są przy tym funkcjami dwuargumentowymi, relacje czteroczłonowe są funkcjami trój argumentowymi itd. Upraszczając nieco zagadnienie, możemy powiedzieć, że relacja n+1-członowa jest n-argumentową funkcją wtedy, gdy każdej stosownie dobranej n-tce argumentów przyporządkowuje jedną wartość. Przykładem funkcji dwuargumentowej jest relacja dodawania, która dowolnym dwóm liczbom przyporządkowuje trzecią liczbę jako ich sumę, co zapisujemy następująco „z = x + y”. Innym przykładem funkcji dwuargumentowej jest relacja mnożenia, która dowolnym dwóm liczbom przyporządkowuje trzecią jako ich iloczyn, co zapisujemy następująco „z = x · y”. Ogólnie, funkcje dwuargumentowe zapisujemy następująco „z = f(x,y)”. Z kolei funkcje trój argumentowe zapisujemy następująco „y = f(x_1,x₂,x₃)”. Według powyższej metody możemy zapisywać funkcje o dowolnie wielkiej liczbie argumentów.

Rozważmy jeszcze relację bycia mężem. Przypomnijmy, że dziedziną jej jest zbiór żonatych mężczyzn, zaś przeciwdziedziną jest zbiór zamężnych kobiet. Ponieważ każdemu elementowi dziedziny przyporządkowany jest tylko jeden element przeciwdziedziny, dlatego relacja ta jest funkcją. Jej argumentami są żonaci mężczyźni, zaś wartościami ich żony. Będąc funkcją, relacja ta jest więc relacją jednoznaczną. Zauważmy jednak, że zarówno z każdym żonatym mężczyzną związana jest tylko jedna kobieta jako jego żona, jak i z każdą zamężną kobietą związany jest tylko jeden mężczyzna jako jej mąż. Innymi słowy, zarówno każdy element dziedziny pozostaje w tej relacji tylko do jednego elementu przeciwdziedziny, jak i do każdego elementu przeciwdziedziny pozostaje w tej relacji tylko jeden element dziedziny. Jeszcze inaczej mówiąc, każdemu argumentowi przyporządkowana jest inna wartość. Relację o takiej własności nazywamy relacją jedno-jednoznaczną. Nazywa się ją też funkcją jednoznaczną albo funkcją różnowartościową. [125/126]

ZADANIA

1. Określ dziedzinę, przeciwdziedzinę i pole następujących relacji: bycia dziadkiem, posiadania, implikowania, bycia wynalazcą, identyczności, zaufania.

2. Wskaż, która z następujących relacji jest zwrotna, która jest niezwrotna, ale nie przeciwzwrotna, a która jest przeciwzwrotna: sprzeczności (w zbiorze zdań), głosowania na (w zbiorze Polaków uprawnionych do głosowania), egzaminowania (w zbiorze społeczności akademickiej), bycia podzbiorem (w zbiorze zbiorów jednoelementowych), bycia równokolorowym (w zbiorze kwiatów), uśmiercania (w zbiorze ludzi).

3. Wskaż, która z następujących relacji jest symetryczna, która jest niesymetryczna, ale nie przeciwsymetryczna, a która jest przeciwsymetryczna: równoważności (w zbiorze zdań), okrążania (w zbiorze ciał niebieskich), łączenia się (w zbiorze spółdzielni), krzyżowania (w zbiorze zbiorów pięcioelementowych), obmawiania (w zbiorze ludzi).

4. Wskaż, która z następujących relacji jest przechodnia, która jest nieprzechodnia, ale nie przeciwprzechodnia, a która jest przeciwprzechodnia: wykluczania się (w zbiorze zbiorów dwuelementowych), bycia następcą (w zbiorze królów Polski), bycia powinowatym (w zbiorze ludzi), bycia wierzycielem (w zbiorze osób prawnych), bycia babcią (w zbiorze ludzi), zawierania większej ilości negacji (w zbiorze zdań).

5. Mając na uwadze znane ci rodzaje relacji zakwalifikuj następujące relacje: bycia podwójną negacją (w zbiorze zdań), bycia równoszybkim (w zbiorze samochodów), dręczenia (w zbiorze ludzi), implikowania (w zbiorze zdań), bycia pojętniejszym (w zbiorze psów), bycia pełnomocnikiem procesowym (w zbiorze osób występujących w procesach cywilnych).

6. Podaj konwersy następujących relacji: bycia nadzbiorem właściwym, bycia sprzecznym z, implikowania, kochania, bycia podziwianym, sąsiadowania.

7. Wskaż, jakich relacji iloczynami względnymi są następujące relacje: bycia teściem, bycia ciocią, bycia stryjenką, bycia wujenką, bycia bratową, bycia szwagrem.

8. Pośród następujących relacji wskaż relacje równościowe: równoważności (w zbiorze zdań), posiadania tej samej grupy krwi (w zbiorze ludzi), dowodzenia (w zbiorze żołnierzy), identyczności (w zbiorze liczb), bycia silniejszym (w zbiorze atletów), podpowiadania (w zbiorze studentów zdających egzamin pisemny).

9. Pośród następujących relacji wskaż relacje liniowo porządkujące: starszeństwa stopniem (w zbiorze żołnierzy), bycia dłużnikiem (w zbiorze spółek), wyższości (w zbiorze koszykarzy jednej drużyny), naśladowania (w zbiorze artystów), bycia większym (w zbiorze państw europejskich), znania (w zbiorze mieszkańców jednej kamienicy).

10. Wskaż, które z następujących relacji są funkcjami:

a) relacja zachodząca między x i y wtedy i tylko, gdy y jest jedynym spadkobiercą x-a, [126/127]

b) relacja zachodząca między x i y wtedy i tylko, gdy y jest dowodem osobistym x-a,

c) relacja zachodząca miedzy x i y wtedy i tylko, gdy y jest silniejszy od x-a,

d) relacja zachodząca między x i y wtedy i tylko, gdy y jest kierownicą x-a,

e) relacja zachodząca między x i y wtedy i tylko, gdy y jest pradziadkiem x-a,

f) relacja zachodząca miedzy x i y wtedy i tylko, gdy y jest prezydentem x-a.

14

---