1. Wstęp teoretyczny.

a). Drgania oscylatora harmonicznego.

Jeżeli punkt materialny porusza się ruchem okresowym tam i z powrotem po tej samej drodze, to ruch taki nazywamy drgającym. Przemieszczenie cząstki w takim ruchu można zawsze opisać przy pomocy funkcji sinus i cosinus. Ponieważ te dwie funkcje nazywamy harmonicznymi, to ruch opisany przez te funkcje często nazywany jest ruchem harmonicznym. Ruch harmoniczny opisany zostanie na przykładzie układu masa - sprężyna, którego schemat znajduje się na rysunku poniżej (rys. 1). Pierwsze omówione zostaną drgania niegasnące.

Rysunek 1. Układ masa sprężyna jako przykład oscylatora harmonicznego.

- drgania niegasnące to drgania, w których pomijane są wszelkie siły oporu, przeciwstawiające się ruchowi. W przypadku poniższego układu zakłada się że na masę nie działa żadna siła tarcia pomiędzy nią a podłożem. Stąd ciało takie, o masie m, przyczepione do idealnej sprężyny o współczynniku sprężystości k i mogące się poruszać po doskonale gładkiej poziomej powierzchni, jest przykładem oscylatora harmonicznego prostego. W układzie tym jeżeli ciało jest wychylone w lewo to działa na niego siła zgodna z równaniem F = -kx, gdzie x jest wartością wychylenia ciała z położenia równowagi.⁽⁾ Jeżeli ciało to znajduje się po przeciwnej stronie położenia równowagi to siła, jaka działa na nie ma taką samą wartość, lecz przeciwny zwrot. Stosując drugą zasadę dynamiki Newton'a, że F = ma otrzymujemy: -kx = ma

wiedząc, że przyspieszenie a jest drugą pochodną przesunięcia x względem czasu t mamy:

md²x/dt² +kx = 0; a dzieląc przez m otrzymujemy:

d²x/dt² + (k/m) x = 0; k/m = ω_o²

d²x/dt² + ω_o²x = 0; (1) gdzie ω jest częstością kołową wyrażaną w [rad/sek].

Powyższe równanie jest równaniem ruchu oscylatora harmonicznego prostego. Jego rozwiązaniem jest właśnie funkcja harmoniczna, która jest zarówno okresowa jak i ograniczona.

x = A cos(ωt +ϕ) (2)

gdzie A jest amplitudą drgań, czyli maksymalnym wychyleniem ciała z położenia równowagi, natomiast ϕ to tzw. przesunięcie fazowe stanowiące o tym, czy ruch ciała rozpoczął się od położenia „zerowego”, czy też jakiegoś dowolnie innego.

- ruch tłumiony - to taki ruch, w którym oprócz siły sprężystości (w układzie takim jak poprzednio) istnieje także siła tłumienia (np. tarcia) opisana zależnością F_t = h dx/dt.

Układ z siłą tłumiącą musi spełniać równanie:

m d²x/dt² + b dx/dt + k/m x = 0 ; dzieląc to prze masę otrzymujemy:

d²x/dt² +2β dx/dt + ω_o²x = 0 (3) ; gdzie 2β jest stałą tłumienia równą : 2β = b/m.

Rozwiązaniem tego równania jest następująca funkcja:

x = A₀e^-βtcos (ωt + ϕ) (4)

Amplitudę tego typu drgań stanowi wyrażenie A = A_oe^-βt ; gdzie A_o jest amplitudą początkową. Widać, że amplituda wypadkowa A maleje z upływem czasu.

-drgania wymuszone to drgania w układzie, w którym oprócz drgań własnych ciała wywoływane są także drgania przez siłę wymuszającą F_w = F₀ cos Ωt. Ruch drgający wymuszony opisuje równanie:

m d²x/dt² + b dx/dt + kx = F₀ cos Ωt

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja: x = F₀/G sin (Ωt - ϕ); gdzie G² = m²(Ω² - ω²) + b²ω²

natomiast ϕ= arc cos (bΩ/G)

Widać, że układ taki drga z częstotliwością siły wymuszającej oraz, że ruch ten nie jest już ruchem tłumionym. Ponadto z rozwiązania równania różniczkowego wynika, że gdy częstość kołowa siły wymuszającej przybliża się do wartości częstości drgań własnych ω, to amplituda gwałtownie rośnie (współczynnik G dąży do zera).

b). Wahadła jako przykład ruchu harmonicznego.

- wahadło matematyczne:

Taką nazwę nosi wahadło grawitacyjne, w którym punkt materialny P zawieszony jest na długiej, cienkiej nierozciągliwej nici. Wahadło te, (schemat na rysunku 2.), wykonuje wahania dookoła najniżej położonego punktu O, zwanego środkiem wahań.

Rysunek 2. Wahadło matematyczne. Amplituda wahań OA jest, dla jasności rysunku, przesadnie wielka. Należy ją sobie wyobrazić znacznie mniejszą

Jeżeli wahadło to wykonuje tylko bardzo niewielkie wahnięcia, to wychylenie OP = x punktu można uważać w przybliżeniu za odcinek linii prostej. Aby znaleźć przyspieszenie punktu P w jego ruchu wzdłuż łuku AOB i z powrotem, należy jego przyspieszenie grawitacyjne g rozłożyć na dwie składowe: jedną styczną a do łuku, a więc prostopadłą do nici l, drugą b wzdłuż nici. Ta druga składowa nie ma w ruchu najmniejszego udziału; pozostaje tylko pierwsza.. Wyznaczamy ją rzutując wektor g na kierunek stycznej. Jeśli α oznacza kąt wychylenia nici, to kąt pomiędzy g i dodatnim kierunkiem stycznej (dla rosnącego α) jest 90⁰ + α, zatem:

a = g cos (90⁰ + α) = -g cos(90⁰ - α) = -g sin α

Zakładają, że wychylenie wahadła nie przekracza kilku stopni, wówczas z dużym przybliżeniem sin α ≈ α, a że w mierze łukowej α = x/l, gdzie l jest długością nici, przeto sin α ≈ x/l.

Zatem :

a = -gx/l (5)

Przy bardzo małych wychyleniach wahadła można uznać, że tor AOB punktu P jest bardzo podobny do ruchu harmonicznego prostego. Więcej: powyższy wzór mówi, że przyspieszenie w ruchu wahadłowym jest proporcjonalne do wychylenia x punktu z położenia równowagi i że stale jest skierowane ku temu punktowi.

Musimy więc uznać, że prawo rządzące ruchem wahadłowym jest identyczne z prawem rządzącym ruchem harmonicznym prostym, który wyraża wzór (1). Porównując współczynniki we wzorach (1) i (5) widzimy, że:

ω² = g/l

Ponieważ wiadomo, że ω = 2π/T to możemy obliczyć okres T wahadła:

(6)

- wahadło fizyczne

Dowolne ciało sztywne powieszone tak, że może wahać się dookoła pewnej osi przechodzącej przez to ciało, nazywamy wahadłem fizycznym. Na rysunku poniżej (rys.3) przedstawione jest ciało o nieregularnym kształcie, które może obracać się dookoła poziomej osi przechodzącej przez punkt P. Zostało ono odchylone z położenia równowagi o kąt θ. Położenie równowagi to takie, w którym środek masy ciała C leży na linii pionowej przechodzącej przez P.

Rysunek 2. Wahadło fizyczne.

Oznaczenia dalszych wielkości są następujące:

d - odległość między osią obrotu przechodzącą przez punkt P a środkiem masy C;

I - moment bezwładności ciała względem osi obrotu

M - masa ciała

τ - przywracający równowagę moment siły przy kątowym przemieszczeniu θ

τ = -Mgdsinθ

ponieważ D = Mgd (moment kierujący lub współczynnik proporcjonalności) to:

τ = -Dθ

jest także: τ = Id²θ/dt² = Iα;

tak, że d²θ/dt² = τ/I = -D/Iθ

stąd wzór na okres drgań wahadła fizycznego przy małych amplitudach jest następujący:

(7)

- długość zredukowana wahadła fizycznego:

Wspomagając się rysunkiem (3) widzimy, że wahadło obraca się wokół punktu P. Jego okres jest dany wzorem (7) . Ten sam okres T będzie miało wahadło matematyczne o długości l = I/md (8); bowiem wówczas:

Wyrażenie (8) nosi nazwę długości zredukowanej wahadła fizycznego. Ponieważ według twierdzenia Steinera jest:

I = d² m + I_s gdzie I_s jest momentem bezwładności ciała względem jego środka ciężkości.

Wówczas długość zredukowana wahadła wyniesie : l = d + I_s/md (9)

c). Środek wahań. Wahadło rewersyjne.

Według rozważań w poprzednim punkcie, okres wahadła fizycznego grawitacyjnego wyraża się takim samym wzorem jak i okres wahadła matematycznego. W płaszczyźnie wahań, na przedłużeniu linii OS leży więc punkt O' odległy od O o l, który waha się tak, jak gdyby O' byłby punktem wahadła matematycznego o długości OO' = l. Punkt O' nazywa się środkiem wahań wahadła fizycznego grawitacyjnego. Na podstawie wzoru (9) łatwo wywnioskować, że dla każdej osi O₁, O₂, itd. odległej od środka ciężkości S o tę samą odległość d i równoległej do osi O, okres wahadła jest ten sam (rys.4).

Rysunek 4. Dla wszystkich osi O, O₁, O₂, itd. , leżących na pobocznicy walca W o promieniu d okres drgań wahadła fizycznego grawitacyjnego jest ten sam. O', O₁', O₂', ..., - odpowiednie środki wahań.

Środek wahań O' posiada interesującą właściwość wzajemności względem punktu O leżącego na osi obrotu w płaszczyźnie wahań. Mianowicie, jeśli oś obrotu przeprowadzić równolegle do niej samej, przez środek wahań O' , to powstałe w ten sposób wahadło będzie miało środek wahań w punkcie O, leżącym na dawnej osi obrotu, zaś okres tego „odwróconego” wahadła będzie identyczny z okresem wahadła dawnej osi w punkcie O. Oto prosty dowód tego twierdzenia. Wahadło odwrócone, o osi w punkcie O' ma okres T' wyrażony wzorem:

gdzie I', moment bezwładności względem osi O' (równoległej do dawnej osi O) wyraża się wzorem:

I' - d^'2m + I_s

W obu tych wzorach d' = l-d oznacza daną odległość punktu O' od S, nieznane jest natomiast położenie punktu O zakładając: O'O = x mamy więc:

;

gdzie x = d' + I_s/md'

Ze wzoru (9) mamy że: l - d = I_s/ md

a ponieważ l - d = d', przeto d' = I_s/md lub I_s/md' = d

Podstawiwszy to ostatnie wyrażenie do wzoru na x, otrzymamy: x = d' + d = l - d +d = l

a zatem środek wahań wahadła odwróconego leży teraz na dawnej osi w punkcie O. Wobec tego, że x = l, otrzymujemy od razu: T' = T

Rysunek 5. Wahadło rewersyjne

Na tej zasadzie oparta jest bardzo dokładna metoda pomiary przyspieszenia ziemskiego g, polegająca na zastosowaniu tzw. ”wahadła rewersyjnego”, czyli odwracalnego. Wahadło rewersyjne (przedst. na rys. 5) składa się z pręta, na którym osadzone są dwie stałe osie w postaci pryzmatów (O i O'), zwróconych ostrzami ku sobie. W wahadle tym osie znajdują się w pozycji stałej, natomiast zmieniać można położenie jego środka ciężkości przez przesuwanie dwóch mas M₁ i M₂. Przy odpowiednio dobranym położeniu obu mas okresu wahań dookoła osi O i O' są jednakowe. Wówczas odległość OO' ostrzy obu pryzmatów jest długością zredukowaną l wahadła rewersyjnego.

d). przyspieszenie ziemskie i jego zależność od odległości od środka Ziemi i współrzędnych geograficznych.

Ziemia, jak wiemy, znajduje się w ruchu obrotowym dookoła własnej osi. Okres obrotu wynosi T = 24 godziny. Rozpatrując ciało o masie m, znajdujące się na równiku, wiemy, że bierze ono udział w ruchu obrotowym Ziemi, wskutek czego działa na niego siła odśrodkowa

gdzie R oznacza promień koła równikowego. Zatem ciężar ciała P jest różnicą dwóch sił: siły P_o, z jaką Ziemia przyciąga ciało, oraz siły odśrodkowej F_o:

P = P_o - F_o

Gdyby Ziemia nie obracała się, siła odśrodkowa równała by się zeru i było by P = P_o, tzn. ciężar ciała byłby większy o F_o aniżeli w rzeczywistości.

Dzieląc równanie na siły przez masę otrzymamy równanie na przyspieszenie: g = g_o - 4π²R/T²

gdzie g_o oznacza przyspieszenie ziemskie, w wypadku gdyby Ziemia była nieruchoma.

Przyspieszenie odśrodkowe na równiku wynosi 3,4 cm/s². W innych szerokościach geograficznych ciało obraca się po kołach równoleżnikowych, których promień r jest zawsze mniejszy od R. Wobec tego i siła odśrodkowa jest odpowiednio mniejsza aż wreszcie na biegunach siła odśrodkowa a z nią przyspieszenie odśrodkowe znikają; zatem g = g₀. Wynika stąd, że przyspieszenie ziemskie na równiku powinno być o 3,4 cm/s² większe od przyspieszenia ziemskiego na biegunie. Tymczasem pomiary dają odmienne rezultaty. Mianowicie, na biegunach mamy g₀ = 983 cm/s², zaś na równiku g = 978 cm/s². Jak widzimy róznica wynosi 5 cm/s². Przyczyna różnicy pozostałych 1,6 cm/s² leży w spłaszczeniu Ziemi. Osie Ziemi pozostają bowiem do siebie w stosunku 1/ 300. W przybliżeniu Ziemię można uważać za elipsoidę obrotową.

Zatem siła przyciągania ciała przez Ziemię, a wraz z nią przyspieszenie grawitacyjne, musi być nieco większe na równiku. Stąd pochodzi owa dodatkowa różnica 1,6 cm/s² na niekorzyść równika.

2. Cel ćwiczenia.

Celem ćwiczenia było wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła rewersyjnego.

3. Przebieg ćwiczenia.

Aby prawidłowo przeprowadzić ćwiczenie należało kolejno:

1. Ruchomą soczewkę wahadła rewersyjnego ustawić w niewielkiej odległości od jednego z ostrzy wahadła i odczytać jej położenie a przy pomocy katetometru.

2. Elektronicznym sekundomierzem zmierzyć czas trwania 30-tu okresów wahań t_A i t_B dla dwóch zawieszeń A i B wahadła. Przed pomiarami zwrócić uwagę, aby pręt wahadła znajdował się w położeniu symetrycznym względem strumienia świetlnego, padającego na fotoelement sekundomierza.

3. Zmieniać położenie ruchomej soczewki od ostrza A do B np. co 10 cm i przy każdym ustawieniu mierzyć czasy t_A i t_B.

4. Sporządzić na papierze milimetrowym wykres T_A ,T_B = f(a). Punkty przecięcia się krzywych na wykresie pozwalają znaleźć wartość okresu T spełniającego warunek:

T = T_A = T_B

Wartość okresu T można sprawdzić doświadczalnie, ustawiając ruchomą soczewkę w odpowiednich, odczytanych z wykresu położeniach.

5. Zmierzyć katetometrem odległość między ostrzami wahadła, która dla okresu wahań T jest długością zredukowaną l_o.

6. Obliczyć przyspieszenie ziemskie g ze wzoru:

(10)

4.Tabela pomiarowa.

Tabela pomiarowa dołączona jest na osobnej kartce do sprawozdania.

L.p.	Położenie soczewki A[cm]	Zawieszenie A		Zawieszenie B		Długość zredukowana l [m.]	Przysp. Ziemskie g [m/s^2 ]
				Czas ta [s]	Okres Ta [s]			Czas tb [s]	Okres Tb [s]
1	18,4	55,03	1,834	56,43	1,881			0,844 ±0,001m	10,084 ±0,083 m/s^2
2	29,1	54,57	1,819	54,59	1,819
3	37,1	54,36	1,812	53,95	1,798
4	46,8	54,25	1,808	53,51	1,783
5	57,3	54,21	1,807	53,54	1,784
6	67,5	54,33	1,811	53,91	1,797
7	77,2	54,57	1,819	54,48	1,816
8	87,1	54,86	1,828	55,36	1,845

Okres T_a jest to 1/30 część czasu t_a podobnie uczyniłem z T_b

a) odczytanie wartości z wykresu

Dla otrzymanych wyników w przypadku zawieszenia A oraz dla zawieszenia B otrzymuję dwa wykresy.

Wartość okresu wahań średnia dla dwóch przecięć odczytana z wykresu :

2. obliczenia przyspieszenia ziemskiego

Długość zredukowaną obliczyłem przy użyciu katatometru mierząc dolną i górną wartość

l_o - długość zredukowana

1m.=100cm=1000mm

1mm=0.1cm=0.001m

Podstawiając do wzoru na przyspieszenie ziemskie otrzymuję:

3. obliczanie błędu pomiaru

Błąd pomiaru `g' obliczam przy wykorzystaniu metody pochodnej logarytmicznej

Δl= 1mm

30*ΔT= ± 0,2s

ΔT=0,2s/30=0,00(6)s

błąd względny mierzonych wielkości :

-długości

-okresu

błąd względny wyniku :

δ_g=δ_l+2δ_T=0,11%+2*0,36%

δ_g=0,83%

Δg=δ_g*g=0,83%*10,048=0.083m/s²

ostateczny wynik przyspieszenia ziemskiego wynosi :

g=(10,048
0,083)[m/s²]

5 Wnioski

Po wykonaniu ćwiczenia można zaobserwować iż otrzymany wynik przyspieszenia ziemskiego nie odbiega adbiega zbyt wiele od wartości jaka jest powszechnie przyjęta tj. 9,81m/s². Różnice mogą wynikać min od położenia geograficznego ,wysokości nad poziomem morza i od lokalnych warunków. A także w wyniku powstałych błędów. Błędy zaliczają się do statystycznych ponieważ :

1. obliczona wartość okresu obarczona jest niedokładnością ΔT=±0,2/30s wynikająca z: małej wprawy wykonujących cwiczenie, nieznajomości pracy urządzenia pomiarowego , czyli momentu rozpoczęcia naliczania czasu i jego zakończenia

2. wartość długości zredukowanej l₀ obarczona jest odchyłką Δl=±1mm wynikająca z niedokładności urządzeń pomiarowych

3. na błąd miały wpływ również czynniki zewnętrzne :

-temperatura

-połorzenia geograicznego

4. odczytane wyniki naniesione na wykres nie przecięły się w tym samym punkcie co jest wynikiem powyższych czynników.

Położenie równowagi to takie, w którym sprężyna nie działa żadną siłą na ciało (na rysunku ciało o masie m znajduje się właśnie w takim położeniu, oznaczonym linią pionową 0-0)

1

---