3. Kład odcinka

Zadanie:

Znaleźć długość odcinka AB nierównoległego do żadnej z rzutni. Zadanie rozwiązać metodą kładu płaszczyzny rzutującej (rys. 5.5, 5.6).

Kład polega na obrocie płaszczyzny względem prostej (zwanej osią kładu) leżącej w tej płaszczyźnie, tak by płaszczyzna ta stała się równoległa do jednej z rzutni. W przypadku, gdy płaszczyzna jest płaszczyzną rzutującą, osią kładu jest zazwyczaj krawędź przecięcia płaszczyzny z rzutnią, a płaszczyzna obracana jest o kąt 90°, tak by nałożyła się na rzutnię.

Rozwiązanie zadania:

1. Przez odcinek AB prowadzimy płaszczyznę pionowo rzutującą μ.

2. Osią kładu będzie krawędź przecięcia płaszczyzny z rzutnią, a jednocześnie rzut pionowy płaszczyzny, prosta μ^II przechodząca przez punkty A^II i B^II.

3. Prowadzimy odnoszące z punktów A^II i B^II prostopadle do osi kładu μ^II.

4. Na odnoszących odmierzamy głębokości (współrzędne y) punktów A i B, czyli odległości poziomych rzutów tych punktów A^I i B^I od osi x₁₂, otrzymując punkty A⁰ i B⁰.

5. Długość odcinka A⁰B⁰.jest równa długości odcinka AB.

Rys. 5.5

Rys. 5.6

4. Przekrój stożka obrotowego płaszczyzną pionowo rzutującą

Zadanie:

Stożek obrotowy o wierzchołku w punkcie W i poziomej podstawie kołowej o środku w punkcie S przecięto płaszczyzną pionowo rzutującą α przechodzącą przez punkty K i L (rys. 5.7, 5.8). Wykreślić rzuty (poziomy, pionowy i boczny) bryły powstałej po odrzuceniu części stożka znajdującej się nad płaszczyzną przekroju, wykonać rozwinięcie jej powierzchni bocznej oraz znaleźć wielkość rzeczywistą przekroju stożka metodą kładu płaszczyzny.

Rozwiązanie zadania:

1. Płaszczyzna równoległa do płaszczyzny przekroju i przechodząca przez wierzchołek stożka nie przecina stożka, więc przekrój jest elipsą, której rzutem pionowym jest odcinek A^IIB^II. Punkty A^II i B^II znajdujemy na przecięciu konturu stożka z rzutem płaszczyzny siecznej α^II. Odcinek AB jest osią wielką elipsy.

2. Znajdujemy środek O osi AB i jednocześnie środek elipsy. Rzut pionowy środka elipsy pokrywa się z rzutem pionowym osi małej elipsy (CD): O^II = C^II = D^II.

3. Na wysokości punktu O prowadzimy równoleżnik powierzchni stożkowej, będący przekrojem stożka płaszczyzną równoległą do rzutni poziomej. Jest to okrąg, którego środkiem jest punkt leżący na osi stożka na tej samej wysokości, co punkt O.

Rys. 5.7

4. Znajdujemy końce osi małej elipsy, punkty C i D. Ich rzuty poziome leżą na rzucie poziomym równoleżnika i na odnoszącej poprowadzonej przez O^II.

5. Rzuty boczne wyznaczamy z zależności: O^IC^I = O^IIIC^III i O^ID^I = O^IIID^III.

6. Kreślimy (metodą siatkową) rzuty przekroju stożka.

7. W rzucie bocznym zaznaczamy punkty styczności rzutu przekroju do konturu stożka: P^III i Q^III. Rzuty pionowe tych punktów (P^II i Q^II) leżą na przecięciu rzutu pionowego konturu bocznego (pokrywającego się z rzutem osi stożka) z rzutem pionowym płaszczyzny α.

8. Rozwinięciem powierzchni bocznej stożka obrotowego jest wycinek koła, którego promień równa się tworzącej stożka, a długość łuku równa się obwodowi podstawy. Przybliżamy stożek wpisanym w niego ostrosłupem. W omawianym przypadku jest to ostrosłup o podstawie dwunastokąta foremnego. Dla wykreślenia rozwinięcia dzielimy okrąg podstawy stożka (w rzucie poziomym) na 12 równych części, a powstałe na skutek podziału łuki zastępujemy odcinkami (cięciwami). Z uwagi na to, że bryła jest symetryczna względem płaszczyzny równoległej do rzutni pionowej i przechodzącej przez oś stożka, wystarczy wykreślić rozwinięcie połowy jej powierzchni bocznej.

9. Rysujemy łuk okręgu o promieniu równym tworzącej (odcinek W^II1^II lub W^II7^II) i odmierzamy na nim (w rozpatrywanym przypadku sześciokrotnie) cięciwę powstałą w wyniku podziału podstawy (promień r₁₂).

Rys. 5.8

10. Nanosimy na rozwinięciu tworzące stożka i odmierzamy na nich rzeczywiste wielkości odległości punktów przekroju od wierzchołka lub podstawy. Wielkości te otrzymamy obracając tworzące względem osi stożka, tak by po obrocie stały się równoległe do rzutni pionowej. Tworzącą W2 obracamy tak, że punkt 2 pokryje się z punktem 1 (lub 7). Wtedy punkt 2^* zajmie położenie 2^*₀ na tworzącej W1. Odcinek W^II2^*₀^II jest równy długości odcinka W2^*. Odmierzamy go na rozwinięciu na tworzącej W2 od punktu W. Analogicznie postępujemy z tworzącymi od W3 do W6. Tworzących W1 i W7 nie trzeba obracać, ponieważ zajmują one położenie równoległe do π₂, a odcinki W^IIA^II i W^IIB^II są równe wielkościom rzeczywistym odcinków WA i WB.

11. Wykonujemy kład płaszczyzny przekroju α na rzutnię pionową (osią kładu jest krawędź przecięcia płaszczyzny z rzutnią), zaznaczając punkty: A⁰, B⁰, C⁰, D⁰ i O⁰ (patrz: Przykład 5.4). Łącząc odpowiednie punkty otrzymujemy kłady osi wielkiej i osi małej elipsy będącej przekrojem stożka. Elipsę wykreślamy metodą siatkową.

12. Na zakończenie linią ciągłą grubą kreślimy te kontury (w rzutach i na rozwinięciu), które zostają po odrzuceniu części stożka znajdującej się nad płaszczyzną sieczną.

5. Przekrój stożka nieobrotowego płaszczyzną pionowo rzutującą

Zadanie:

Stożek nieobrotowy o wierzchołku w punkcie W i poziomej podstawie kołowej o środku w punkcie S przecięto płaszczyzną pionowo rzutującą α przechodzącą przez punkty K i L (rys. 5.9, 5.10). Wykreślić rzuty (poziomy i pionowy) bryły powstałej po odrzuceniu części stożka znajdującej się nad płaszczyzną przekroju, oraz wykonać rozwinięcie jej powierzchni bocznej.

Rozwiązanie zadania:

1. Przekrojem stożka jest elipsa, której rzutem pionowym jest odcinek A^IIB^II. Jest to jednocześnie rzut osi wielkiej elipsy AB. Punkty A^II i B^II znajdujemy na przecięciu konturu stożka z rzutem płaszczyzny siecznej α^II. Wierzchołek A leży już poza stożkiem, na przedłużeniu jego tworzącej.

2. Znajdujemy środek O odcinka AB będący środkiem elipsy. Rzut pionowy osi małej CD pokrywa się z rzutem środka elipsy (O^II = C^II = D^II).

3. Rzuty poziome punktów C i D wyznaczamy prowadząc przez nie tworzące WM i WN. Na rzutach poziomych tych tworzących: W^IM^I i W^IN^I leżą punkty C^I i D^I. Oś małą elipsy można wyznaczyć również stosując metodę opisaną w Przykładzie 5.5, omawiającym przekrój stożka obrotowego. Podobnie, metodę opisaną powyżej można zastosować w przypadku stożka obrotowego.

4. Wyznaczamy punkty styczności elipsy do konturu stożka w rzucie poziomym: P i Q. Są nimi punkty przebicia płaszczyzny α przez tworzące WR i WT, których rzuty poziome: W^IR^I i W^IT^I tworzą kontur stożka. Po wykreśleniu rzutów pionowych tworzących WR i WT znajdujemy rzuty pionowe punktów P i Q (P^II i Q^II zaznaczamy na przecięciu α^II z W^IIR^II i W^IIT^II). Rzuty poziome P^I i Q^I otrzymujemy przez odrzutowanie.

5. Wykreślamy (metodą siatkową) elipsę będącą przekrojem stożka. Należy pamiętać że w omawianym przypadku nie cała elipsa jest przekrojem stożka, gdyż jej część przechodząca przez punkty E, A i F znajduje się poza stożkiem. Odcinek EF jest krawędzią przecięcia podstawy stożka płaszczyzną α. Rzuty pionowe punktów E i F (E^II i F^II) znajdziemy na przecięciu α^II z rzutem pionowym podstawy stożka, zaś rzuty poziome E^I i F^I otrzymamy przez odrzutowanie. Rysujemy całą elipsę, ale na rysunku pogrubiamy kontury tylko tej części stożka, która znajduje się pod płaszczyzną sieczną.

6. Rozwinięcie powierzchni bocznej stożka wykonujemy podobnie jak w poprzednim zadaniu, poprzez aproksymację stożka wpisanym w niego ostrosłupem. Jednak technika wykonania jest w obydwu przypadkach odmienna. Wynika to z tego, że w stożku obrotowym wszystkie tworzące mają jednakową długość, a w nieobrotowym są różnej długości. Dlatego trzeba wyznaczyć długość każdej tworzącej osobno. Podstawę stożka dzielimy na pewną liczbę równych części (w przykładzie: na 12), a powstałe na skutek podziału łuki zastępujemy odcinkami (cięciwami). Z uwagi na to, że bryła jest symetryczna względem płaszczyzny równoległej do rzutni pionowej i przechodzącej przez oś stożka, wystarczy wykreślić rozwinięcie połowy jej powierzchni bocznej. Punkty podziału oznaczamy kolejnymi liczbami: 1, 2, ... 7.

Rys. 5.9

7. Wyznaczamy długości tworzących: W2, W3, ... W6, obracając je dookoła osi pionowej przechodzącej przez punkt W tak, by stały się równoległe do rzutni pionowej. Punkty 2, 3, ... 6 zajmą położenie: 2₀, 3₀, ... 6₀. Tworzących W1 i W7 obracać nie trzeba, gdyż i tak są one równoległe do rzutni pionowej, więc ich rzuty pionowe: W^II1^II i W^II7^II są przedstawione w wielkości rzeczywistej. Rzuty pionowe obróconych tworzących: W^II2₀^II, W^II3₀^II, ... W^II6₀^II, również są pokazane w wielkości rzeczywistej. Razem z tworzącymi obracają się ich punkty wspólne z płaszczyzną α (2^*, 3^*, ... 6^*), zajmując położenie: 2^*₀, 3^*₀, ... 6^*₀.

8. Rozwinięcie powierzchni bocznej stożka rysujemy budując kolejno trójkąty: W12, W23, itd.

9. Na tworzących W1, W2, ... W7 odmierzamy rzeczywiste wielkości odcinków: WA, W2^*, ... W6^*, WB lub: 1A, 22^*, itd.

10. Na rozwinięciu podstawy stożka (krzywa przechodząca przez punkty: 1, 2, ... 7) zaznaczamy punkt F, kreśląc łuk środku w punkcie 1 i promieniu równym cięciwie 1^IF^I.

11. Na zakończenie linią grubą zaznaczamy na rozwinięciu obszar odpowiadający powierzchni bocznej rysowanej bryły.

Rys. 5.10

38

Politechnika Łódzka, Katedra Konstrukcji Precyzyjnych

37

Materiały pomocnicze do Geometrii Wykreślnej

---