Literatura

1. „Ekonometria” pod redakcją M. Gruszczyńskiego, M. Podgórskiej; SGH 2002

2. „Ekonometria” A. Welfe; PWE 2003

3. „Ekonometria” W. Sadowski; WSH

4. „Zarys metod ekonometrii” zbiór zadań E. Nowak; PWN 1998

5. „Wielorównaniowe modele ekonometryczne” J. B. Gajda; PWN

6. „Ekonometria” G. C. Chow PWN 1995

7. „Econemetrics Models and Economic Forecast” R. S. Pindyck, D. L. Rubinfield; McGraw-Hill 1998

Wykład 1-2

Termin ekonometria używany jest w polskiej literaturze w dwóch znaczeniach. W szerszym znaczeniu jako zespół metod matematycznych i statystycznych stosowanych do badań ekonomicznych. W węższym znaczeniu oznacza specyficzne metody statystyczne stosowane w badaniach nieeksperymentalnych.

Ekonometria zajmuje się badaniem - mierzeniem danych ekonomicznych, badaniem obserwacji empirycznych za pomocą statystycznych metod estymacji i testowania hipotez.

Badania empiryczne i teoretyczne wzajemnie się uzupełniają. Analizy teoretyczne poddawane są weryfikacji przy pomocy danych empirycznych. Z drugiej strony do badań statystycznych potrzebne są wskazówki płynące z teorii ekonomicznych.

Podstawowym obiektem rozpatrywanym w ekonometrii jest model ekonometryczny czyli formalny zapis procesu lub zjawiska ekonomicznego. Tym formalnym zapisem jest równanie lub zespół równań wiążących rozważane zmienne.

Równanie zbudowane jest: ze zmiennych objaśnianych, objaśniających o ustalonej treści ekonomicznej; parametrów strukturalnych; składniku losowym o nieustalonej treści ekonomicznej; związku funkcyjnego łączącego te wszystkie wielkości.

Zmienna to coś co może się zmieniać, przyjmować różne wartości. Zmienne często występujące w rozważaniach ekonomicznych to: praca, zysk, koszt, dochód narodowy, import, export…

Klasyfikacja zmiennych występujących w modelu ekonometrycznym.

1. Ze względu na źródło zmienności:

1. Zmienne endogeniczne (bieżące i opóźnione, generowane od wewnątrz), zmienne określane (wyjaśniane) na podstawie modelu;

2. Zmienne egzogeniczne (bieżące i opóźnione, generowane z zewnątrz), wartości tych zmiennych są dane, ustalone. Zmienne nie wyjaśniane przez model.

2. Ze względu na rolę pełnioną przez zmienne w modelu:

1. Zmienne objaśniane;

2. Zmienne objaśniające.

Klasyfikacja modeli ekonometrycznych

1. Ze względu na liczbę równań

1. Modele jednorównaniowe

2. Modele wielorównaniowe

2. Ze względu na postać analityczną równań

1. Modele liniowe

2. Modele nieliniowe sprowadzalne do postaci liniowej - takie, które po przekształceniu przybierają postać liniową:

3. Modele nieliniowe i niesprowadzalne do postaci liniowej

3. Ze względu na rolę odgrywaną przez czas

1. Modele statyczne - prezentujące dane przekrojowe, dane z jednego okresu czasu

2. Modele dynamiczne - prezentujące zjawisko w czasie, szeregi czasowe

1. Model trendu

2. Model autoregresyjny

4. Ze względu na poznawcze cechy modelu.

1. Modele przyczynowo-skutkowe

2. Modele symptomatyczne

3. Modele trendu

5. Według charakteru powiązań między zmiennymi

1. Modele proste

2. Modele rekurencyjne

3. Modele o równaniach współzależnych.

6. Jeżeli za punkt odniesienia przyjmiemy cel budowy modelu to możemy wyróżnić:

1. Modele opisowe - budowane w celach poznawczych, głównie do celów opisowych bądź weryfikacji stawianych hipotez ekonomicznych;

2. Modele optymalizacyjne - klasyczne zagadnienie optymalizacji produkcji, zagadnienie diety;

3. Modele bilansowe - zagadnienia nakładów i wyników produkcji.

7. Możemy klasyfikować modele ze względu na występowanie w modelu wielkości losowej:

1. Modele deterministyczne - modele optymalizacyjne, modele bilansowe;

2. Modele stochastyczne - modele opisowe zjawisk gospodarczych.

8. Często stosuje się też podział modeli ze względu na zjawiska opisywane zmiennymi objaśnianymi:

1. Modele makroekonomiczne;

2. Modele mikroekonomiczne;

3. Branżowe

4. Regionalne

5. Gospodarki narodowej;

6. Handlu zagranicznego, itp…

Proces budowy modelu ekonometrycznego.

W pierwszym etapie ustalana jest mierzalna zmienna endogeniczna Y (objaśniana). Na podstawie uznawanej teorii ekonomicznej lub na podstawie zebranego materiału empirycznego formułuje się hipotezę, co do postaci modelu, zbioru zmiennych objaśniających X={X₁, X₂,… X_m} i zależności między zmiennymi występującymi w modelu. Tak, więc model matematyczny badanego zjawiska, czyli równanie lub układ równań wiążących rozważane przez nas zmienne są wynikiem merytorycznej analizy rozważanego zjawiska.

Zmienne mierzalne, niemierzalne, dostępne, niedostępne. Dane statystyczne: szereg czasowy, dane przekrojowe.

Przy braku teorii ekonomicznej wybieramy jako zmienne objaśniające te, które są silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą i słabo skorelowane między sobą oraz mają związek ekonomiczny ze zmienną objaśnianą.

Y = f (X₁, X₂,… X_n, )

W drugim etapie zbieramy dane empiryczne, na podstawie których będziemy chcieli wyznaczyć parametry modelu i estymujemy wartości parametrów modelu.

W trzecim etapie weryfikujemy poprawność naszego modelu na podstawie nowych danych empirycznych.

W czwartym etapie stosujemy zbudowany i zweryfikowany model do celów do jakich był budowany.

Zweryfikowany model może być wykorzystywany do:

1. Badania ilościowych związków między badanymi zmiennymi objaśnianymi, a zmiennymi objaśniającymi;

2. Do prognoz;

3. Do poszukiwania optymalnych decyzji, itp. …

Dobór zmiennych objaśniających w modelu liniowym

Y = ₀ + ₁X₁ + ₂X₂ + … + _nX_n + 

Chcemy by zmienne objaśniające miały następujące własności:

1. miały wystarczająco dużą zmienność;

2. były silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą;

3. były słabo skorelowane między sobą;

4. były silnie skorelowane ze zmiennymi nie występującymi w modelu, które reprezentują.

Niech y będzie wektorem obserwacji zmiennej objaśnianej, X rozszerzoną macierzą obserwacji zmiennych objaśniających X₁, X₂,… X_n . Dokonano m obserwacji:

Eliminowanie zmiennych quasi-stałych

Miarą poziomu zmienności zmiennej jest następujący współczynnik zmienności:

gdzie

średnia arytmetyczna zmiennej X_i

odchylenie standardowe zmiennej X_t

Ustalana jest pewna wartość krytyczna ^*. Jeśli v_i ≤ v^* to uznajemy zmienną za quasi-stałą i eliminujemy ze zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających.

Przykład 1

Budujemy liniowy model ekonometryczny. Jako wartość krytyczną dla współczynnika zmienności przyjmujemy v^* = 0,15.

Rok	Y	X1	X2	X3	X4
1993	12	6	11	5	35
1994	12	8	14	4	35
1995	15	10	15	5	38
1996	14	10	16	5	40
1997	16	8	18	4	41
1998	18	10	20	8	42
1999	17	12	19	6	42
2000	19	10	20	8	43
2001	20	12	15	7	44
2002	20	14	22	8	40
X^śri	E(X)	10,0	17,0	6,0	40,0
Si	S(X)	2,19	3,19	1,55	2,97
i	v(X)	0,22	0,19	0,26	0,07

Zmienna X₄ jako quasi-stała musi być odrzucona.

Obliczenia do przykładu 1:

	X4	X4-X^śr4	(X4-X^śr4)^2
	35	-5	25
	35	-5	25
	38	-2	4
	40	0	0
	41	1	1
	42	2	4
	42	2	4
	43	3	9
	44	4	16
	40	0	0
suma	400		88
X^śr4	40		8,8	Var(X4)
			2,97	S4

Wektor i macierz współczynników korelacji

Ocenę siły liniowej zależności między zmienną objaśnianą Y a zmiennymi objaśniającymi X_i dokonujemy przy pomocy współczynnika korelacji r_i :

Ocenę siły liniowej zależności między zmiennymi objaśniającymi X_i X_j dokonujemy przy pomocy współczynnika korelacji r_ij :

Współczynniki te przedstawiamy odpowiednio w postaci wektora i macierzy :

Przykład 2 (cd przykładu 1)

Obliczmy r₄:

	Y	X4	Y-Y^śr	X4-X^śr4	(Y-Y^ś^r)(X4-X^śr4)	(Y-Y^śr)^2	(X4-X^śr4)^2
	12	35	-4,3	-5	21,5	18,49	25
	12	35	-4,3	-5	21,5	18,49	25
	15	38	-1,3	-2	2,6	1,69	4
	14	40	-2,3	0	0	5,29	0
	16	41	-0,3	1	-0,3	0,09	1
	18	42	1,7	2	3,4	2,89	4
	17	42	0,7	2	1,4	0,49	4
	19	43	2,7	3	8,1	7,29	9
	20	44	3,7	4	14,8	13,69	16
	20	40	3,7	0	0	13,69	0
suma	163	400			73	82,1	88
średnia	16,3	40					7224,8	iloczyn
				r4	0,86		85,00	pierwiastek

Obliczmy r₁₄ :

	X1	X4	X1-X^śr1	X4-X^śr4	(X1-X^śr1)(X4-X^śr4)	(X1-X^śr1)^2	(X4-X^śr4)^2
	6	35	-4	-5	20	16	25
	8	35	-2	-5	10	4	25
	10	38	0	-2	0	0	4
	10	40	0	0	0	0	0
	8	41	-2	1	-2	4	1
	10	42	0	2	0	0	4
	12	42	2	2	4	4	4
	10	43	0	3	0	0	9
	12	44	2	4	8	4	16
	14	40	4	0	0	16	0
suma	100	400			40	48	88
średnia	10	40			pierwiastek	6,93	9,38
						iloczyn	64,99
						r14	0,62

Metoda analizy współczynników korelacji

W tej metodzie wybieramy zmienne objaśniające silnie skorelowane z ze zmienną objaśnianą, a słabo skorelowane między sobą. Do analizy używamy wektora R₀ i macierzy R.

Dla danego poziomu istotności γ oraz (m-2) stopni swobody, gdzie m to ilość obserwacji wyznacza się krytyczną wartość współczynnika korelacji r^* :

Ekonometra może sam arbitralnie ustalić wartość krytyczną r^*.

Procedura ustalania zmiennych objaśniających wygląda następująco:

1. Ze zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających usuwa się wszystkie dla których | r_i | ≤ r^* uznając, że są za mało skorelowane ze zmienną objaśnianą

2. Z pozostałych zmiennych wybranych do objaśniania wybieramy X_i tą, która ma największą korelację ze zmienną objaśnianą | r_i | = max { |r_k| ; k = 1, 2,… m}

3. Eliminujemy teraz wszystkie zmienne X_j, które są zbyt mocno skorelowane z wybraną zmienną X_i , tzn te dla których zachodzi |r_ij| > r^* .

Postępowanie opisane w punktach 1, 2, 3 powtarzamy aż do wyczerpania wszystkich potencjalnych zmiennych objaśniających.

Przykład 4 (Nowak str 19)

Chcemy wyjaśnić wielkość spożycia mięsa przy pomocy z spożycia innych produktów:

Y - spożycie mięsa - zmienna objaśniana

X₁ - artykuły zbożowe, X₂ - ziemniaki, X₃ - warzywa, X₄ - owoce, X₅ - tłuszcze, X₆ - ryby, X₇ - mleko, X₈ - jajka.

Na podstawie danych statystycznych z 28 krajów obliczono odpowiednie korelacje:

	-0,59			1	-0,09	0,35	-0,17	-0,26	-0,40	-0,16	-0,55
	-0,06			-0,09	1	-0,06	-0,38	0,00	0,15	0,22	0,11
	0,08			0,35	-0,06	1	0,33	-0,11	-0,20	-0,45	-0,02
R0 =	0,13		R =	-0,17	-0,38	0,33	1	0,20	-0,07	-0,44	0,07
	0,54			-0,26	0,00	-0,11	0,20	1	0,22	0,17	-0,11
	-0,15			-0,40	0,15	-0,20	-0,07	0,22	1	-0,19	0,47
	-0,10			-0,16	0,22	-0,45	-0,44	0,17	-0,19	1	0,05
	0,72			-0,55	0,11	-0,02	0,07	-0,11	0,47	0,05	1

Z tablic testu t-Studenta dla poziomu istotności γ = 0,10 oraz dla (m-2) = 26 stopni swobody odczytujemy wartość krytyczną t_{0,1 ; 26} = 1,706.

Następnie obliczamy wartość krytyczną współczynnika korelacji:

Eliminujemy najpierw wszystkie zmienne zbyt słabo skorelowane ze zmienną objaśnianą, czyli zmienne X₂, X₃, X₄, X₆, X₇.

Z pozostałych wybieramy pierwszą zmienną objaśniającą czyli najsilniej skorelowaną ze zmienną objaśnianą. Wybieramy X₈.

Eliminujemy teraz zmienne X zbyt silnie skorelowane ze zmienną X₈ czyli spełniające |r_8j|>0,317. Wyeliminowana zostaje X₁. Jako druga zmienna objaśniająca zostaje przyjęta X₅.

Ostatecznie przyjmujemy dwie zmienne objaśniające: X₅, X₈.

Y = ₀ + ₁X₅ + ₂X₈ +  .

Dobór zmiennych objaśniających (metoda Helwiga)

Ilość zmiennych objaśniających nie może być zbyt duża. Musimy mieć kryterium według którego będziemy je wybierać.

Przypuśćmy, że zmienne X₁, X₂, … X_n są kandydatkami na zmienne objaśniające. Wybierzemy te zmienne, które mają największą pojemność informacyjną.

Niech r_ij oznacza współczynnik korelacji liniowej Perasona między zmiennymi X_i , X_j ; r_j zaś między X_j , Y.

Niech S oznacza podzbiór zbioru {1, 2, … n}

Oznaczenie

- indywidualna pojemność informacyjna nośnika X_j , j należy do S:

- integralna pojemność informacyjna podzbioru S:

Przykład 3

Dla zmiennej objaśnianej Y wybrano dwie zmienne objaśniające X₁, X₂ .

Wyliczone zostały dla nich macierze współczynników korelacji:

Wybrać optymalny w sensie Hellwiga zbiór zmiennych objaśniających.

H₁ = h₁₁ = 0,49 = (0,7)²/ 1 ;

H₂ = h₂₂ = 0,25 = (0,5)²/ 1 ;

h_{1,2}1 = ( 0,49 ) / (1 + 0,1 ) = 0,445

h_{1,2}2 = ( 0,25 ) / (1 + 0,1 ) = 0,227

H_{1,2} = h_{1,2}1 + h_{1,2}2 = 0,672

W rozważanym przypadku optymalnym w sensie Hellwiga jest zbiór { X₁ , X₂ } jako zbiór objaśniający.

Wykład 3

Szacowanie parametrów modelu liniowego z jedną zmienną objaśniającą

Zajmujemy się modelem: Y = ₀ + ₁X + .

Chcemy oszacować parametry modelu: y^ = a₀ + a₁x .

Szacujemy metodą najmniejszych kwadratów, czyli chcemy minimalizować sumę kwadratów odchyleń zaobserwowanych wielkości:

e_t = y_t - y^_t , t=1, 2, … m

odchylenie wartości teoretycznej od wartości empirycznej

Minimalizujemy wielkość: e₁² + e₂² + … + e_m² .

Czyli minimalizujemy:

(y₁ - y^{^}₁)² + (y₂ - y^{^}₂)² + … + (y_m - y^{^}_m)² .

lub

(y₁ - a₀ - a₁x₁)² + (y₂ - a₀ - a₁x₂)² + … + (y_m - a₀ - a₁x_m)² .

Minimum szukamy traktując powyższe wyrażenie jako funkcję zmiennej a. Minimum funkcji jest osiągane w miejscu zerowania się pochodnej.

Równoważne wyrażenia na wartości parametrów a₀, a₁ :

Używając zapisu wektorowego a = [a₀ a₁]^T dostajemy:

a = (X^TX)^-1X^Ty

Ocenę wariancji S_e² oraz odchylenia standardowego S_e odchyleń losowych modelu liniowego z jedną zmienną wyjaśniająca dostajemy ze wzoru:

Ocenę standardowego błędu S(a₀) i S(a₁) oszacowania parametrów strukturalnych dostajemy ze wzorów:

Współczynnik zbieżności ² , determinacji R² i współczynnik korelacji wielorakiej R

gdzie:

² - współczynnik zbieżności, zachodzi: 0≤ ² ≤1

R² - współczynnik determinacji, zachodzi: 0≤ R² ≤1

R - współczynnik korelacji wielorakiej, zachodzi: 0≤ R ≤1 ,

R - macierz współczynników korelacji zmiennych niezależnych X,

W macierz wsp. korelacji zmiennych Y, X określona następująco:

,

det(H) to wyznacznik macierzy H .

Możemy podać postać macierzy W:

Współczynnik zbieżności ² określa jaka część zmiennej objaśnianej jest spowodowana przez czynnik losowy.

Współczynnik determinacji R² określa jaka część zmiennej objaśnianej jest wyjaśniona przez model.

Współczynnik korelacji wielorakiej R jest miarą związku liniowego zmiennej objaśnianej Y ze zmiennymi objaśniającymi X₁ , X₂ , … X_n .

Współczynnik korelacji wielorakiej może być używany do wyboru zestawu zmiennych objaśniających z zestawów o takiej samej liczności.

Przykład 1 (Nowak str 28)

Budujemy liniowy model ekonometryczny opisujący Y wartość sprzedaży przedsiębiorstwa. Zmienne objaśniające wybieramy spośród:

X₁ - zatrudnienia, X₂ - ilości towaru, X₃ - średniej ceny, X₄ - miernika wielkości przedsiębiorstwa.

Zadanie 1: dla zmiennej objaśnianej Y i zmiennych objaśniających Y, X₁, X₂, X₃, X₄ obliczyć współczynniki:

1. zbieżności ² ,

2. determinacji R²

3. korelacji wielorakiej R.

;

det(R) = 0,187; det(W) = 0,034;

.

Zadanie 2: za pomocą współczynnika korelacji wielorakiej wybrać najlepszy zespół dwóch zmiennych objaśniających.

Ilość wszystkich dwuelementowych zbiorów zmiennych objaśniających to
.

Wypiszmy te zbiory: {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}. Wykonajmy obliczenia współczynnika korelacji wielorakiej R_{i,j} kolejno dla każdego z podzbiorów.

{1,2}:

det(R_{1,2}) = 1∙1 - 0,8∙0,8 = 1 - 0,640 = 0,360 ;

det(W_{1,2}) = 1∙ (1∙1 - 0,8∙0,8) - 0,7∙ (0,7∙1 - 0,9∙0,8) + 0,9∙ (0,7∙0,8 - 0,9∙1) = 0,068 ;

{1,3}:

det(R_{1,3}) = 1∙1 - 0,2∙0,2 = 1 - 0,040 = 0,960 ;

det(W_{1,3}) = 1∙ (1∙1 - 0,2∙0,2) - 0,7∙ (0,7∙1 - 0,1∙0,2) + 0,1∙ (0,7∙0,2 - 0,1∙1) = 0,488 ;

{1,4}:

{2,3}:

{2,4}:

{3,4}:

Największy współczynnik korelacji wielorakiej wynosi 0,90014 i osiągany jest dla zmiennych objaśniających X₂, X₄.

Wykład 4

Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów (KMNK)

Rozważamy model liniowy:

y = ₀ + ₁x₁ + ₂x₂ + … + _nx_n + 

oraz związek między obserwacjami w modelu:

y_i = ₀ + ₁x_i1 + ₂x_i2 + … + _nx_in + _i ; i = 1, 2, …, m.

lub w postaci macierzowej: Y = X +  .

;
;
;
;

Założenia klasycznej metody najmniejszych kwadratów.

1. Zmienne objaśniające i składniki losowe są niezależne.

1. Zmienne objaśniające są nielosowe.

2. E(_i ) = 0 , i = 1, 2, …, m - wartości oczekiwane składników losowych są równe zero.

3. D²(_i ) = σ² , i = 1, 2, …, m - wariancje składników losowych są równe (homoskedastyczność).

4. _i , _j są niezależne, i,j = 1, 2, …, m; j ≠ j.

5. _i ma rozkład normalny N(0,σ²).

6. Liczebność próby jest większa niż liczba szacowanych parametrów, m > n+1.

7. Zmienne objaśniające są liniowo niezależne.

Estymacja parametrów modelu z wieloma zmiennymi objaśniającymi metodą najmniejszych kwadratów.

Podobnie jak w przypadku modelu z jedną zmienną objaśniającą, szukamy estymatorów minimalizujących sumę kwadratów odchyleń: e₁² + e₂² + … + e_m² .

Czyli minimalizujemy:

(y₁ - y^{^}₁)² + (y₂ - y^{^}₂)² + … + (y_m - y^{^}_m)² .

lub

Podobnie jak w przypadku jednej zmiennej objaśniającej korzystamy z warunku koniecznego na minimum lokalne - zerowania się pochodnych cząstkowych:

Podobnie jak w przypadku jednej zmiennej objaśniającej obliczając pochodne dostajemy układ równań normalnych:

… …

Rozwiązując układ równań normalnych ze względu na a dostajemy w postaci macierzowej:

a = (X^TX)^-1X^TY

Przypomnienie z zakresu algebry liniowej

Wyznacznik macierzy 2x2 det(A) = ad - bc;

		a	b
A=		c	d

Przykład:

det(A) = 4∙3 - 2∙5 = 12 - 10 = 2;

		4	2
A=		5	3

Wyznacznik macierzy nxn det(A) = a₁₁ det(A₁₁) - a₁₂ det(A₁₂) - … -+ a_1n det(A_1n) ;

Gdzie A_ij - macierz (n-1)x(n-1) otrzymana z macierz A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

		a11	a12		a1n
A=		a21	a22
		a2n			ann

Przykład

		0	1	2
A=		1	2	1
		2	1	0

det(A) = 0∙(2∙0 - 1∙1) - 1∙(1∙0 - 1∙2) + 2∙(1∙1 - 2∙2) = 0 + 2 - 6 = -4 .

Macierz odwrotna do macierzy A, to taka macierz A^-1 , że: AA^-1 = A^-1A = I

Macierz odwrotna istnieje jeśli det(A) ≠ 0.

Macierz odwrotna do macierzy A^-1 = [b_ij] gdzie b_ij = (+-)det(A_ji)/ det(A)

Przykład

		4	2
A=		5	3

det(A) = 2

		4	5					3/2	-2/2
A^T =		2	3			A^-1 =		-5/2	4/2

Przykład

		0	1	2
A=		1	2	1
		2	1	0

det(A) = -4 .

		0	1	2					0,25	-0,5	0,75
A^T=		1	2	1			A^-1=		-0,5	1	-0,5
		2	1	0					0,75	-0,5	0,25

Przykład (4.1 Borkowski, Dudek, Szczesny)

Nr obserwacji	yi	xi1	xi2
1	1	1	0
2	2	0	1
3	3	0	0
4	4	0	-1
5	5	-1	1
6	6	1	-1
7	7	1	0
8	10	-1	1
9	-2	-1	-1
10	8	0	0

		1					1	1	0
		2					1	0	1
		3					1	0	0					1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
Y=		4			X=		1	0	-1			X^T=		1	0	0	0	-1	1	1	-1	-1	0
		5					1	-1	1					0	1	0	-1	1	-1	0	1	-1	0
		6					1	1	-1
		7					1	1	0					10	0	0
		10					1	-1	1			X^TX=		0	6	-2
		-2					1	-1	-1					0	-2	6
		8					1	0	0

Ponieważ det(X^TX) = 10∙(6∙6 - (-2)∙(-2)) = 10∙(36 - 4) = 320 , istnieje (X^TX)^-1.

		0,1	0	0					44					4,40
(X^TX)^-1=		0	0,1875	0,0625			X^TY=		1			(X^TX)^-1X^TY=		0,75
		0	0,0625	0,1875					9					1,75

Zatem model z oszacowanymi parametrami ma postać: y^_i = 4,4 + 0,75∙x_i1 + 1,75∙x_i2 .

Dla modelu z jedną zmienną objaśniającą wyznaczanie oszacowań parametrów strukturalnych wzorami macierzowymi i wzorami bezpośrednimi z poprzedniego wykładu daje oczywiście takie same wyniki.

Przykład (4.2 BDS)

Y^T=		150	250	300	350	400	380	450	400
X^T=		200	300	400	400	500	500	600	700

Wyznaczyć oszacowanie parametrów modelu dwoma metodami.

Ocenę wariancji S_e² oraz odchylenia standardowego S_e odchyleń losowych modelu liniowego dostajemy ze wzoru:

Ocenę wariancji S²(a_i) oraz odchylenia standardowego S(a_i) odchyleń losowych modelu liniowego dostajemy przy pomocy macierzy D²(a) wariancji i kowariancji ocen parametrów strukturalnych:

D²(a) = S_e² (X^T X)^-1 .

Elementy leżące na przekątnej macierzy D²(a) to oceny wariancji S²(a_i) odchyleń losowych parametrów strukturalnych

Przykład 4.1 cd

Obliczenia wariancji i standardowych błędów odchyleń parametrów strukturalnych.

Nr	yi	xi1	xi2	y^^i	ei	e^2i
1	1	1	0	5,15	-4,15	17,22
2	2	0	1	6,15	-4,15	17,22
3	3	0	0	4,40	-1,40	1,96
4	4	0	-1	2,65	1,35	1,82
5	5	-1	1	5,40	-0,40	0,16
6	6	1	-1	3,40	2,60	6,76
7	7	1	0	5,15	1,85	3,42
8	10	-1	1	5,40	4,60	21,16
9	-2	-1	-1	1,90	-3,90	15,21
10	8	0	0	4,40	3,60	12,96
					suma	97,90
		stopni swobody				7
					S^2e	13,986
					Se	3,740

Czyli:

S(a₀) =1,183 ;

S(a₁) =1,619 ;

S(a₂) =1,619 ;

Zatem model z oszacowanymi parametrami oraz ocenę błędów standardowych ma postać:

y^_i = 4,4 + 0,75∙x_i1 + 1,75∙x_i2 .

y^i =	4,4	+	0,75	*	xi1	+	1,75	*	xi2
	(1,18)		(1,62)				(1,62)

Wykład 4-5

Dopasowanie modelu do danych empirycznych

Jedna zmienna objaśniająca

Estymatory a₀, a₁ parametrów strukturalnych ₀, ₁ są zmiennymi losowymi. Przy klasycznych założeniach metody najmniejszych kwadratów estymatory te są:

• liniowe ze względu zmienne zależne, ( są postaci c₀ + c₁y₁ +…+ c­_my_m );

• nieobciążone, ( Ea_i = _i );

• efektywne, (nieobciążone z minimalną wariancją);

• zgodne, (stochastycznie zbieżne do szacowanego parametru).

Liniowy model ekonometryczny to odpowiednik modelu regresji występującego w statystyce. W języku modelu regresji:

y - zmienna zależna to regresant,

x - zmienna niezależna to regresor,

­₁ - to współczynnik regresji.

Wykresy:

1. regresji w populacji E(y) = ₀ + ₁x (regresji I rodzaju),

2. regresji w próbie y^{^} = a₀ + a₁x (regresji II rodzaju).

Kryterium doboru estymatorów a₀, a₁ była minimalizacja kwadratów odchyleń SSE = e₁²+e₂²+…+e_m². Wielkość SSE może być uznana za miarę „dopasowania” linii regresji do punktów empirycznych. Ta miara jednak ma wadę, jest zależna od użytej jednostki. Przeskalowanie zmienia jej wielkość.

Współczynnik zmienności losowej: W_e = S_e / y_śr .

Współczynnik zmienności losowej informuje jaki procent ze średniej zmiennej objaśnianej modelu stanowi odchylenie standardowe reszt. Mała wartość współczynnika W_e świadczy o dobrym dopasowaniu. Jaka wartość jest mała? Z góry (przed wykonaniem obliczeń) ustalamy wartość krytyczną W^* współczynnika zmienności losowej. Jeśli W_e ≤ W^* to uznajemy, że model jest dobrze dopasowany do danych empirycznych. Jeśli W_e > W^* to uznajemy, że model nie jest dobrze dopasowany do danych empirycznych.

Dekompozycja wariancji zmiennej objaśnianej

Odchylenie zmiennej objaśnianej y_i od wartości średniej y_śr możemy przedstawić jako sumę odchylenia wartości teoretycznej od wartości średniej ( y^{^}_i - y_śr ) i reszty e_i = ( y_i - y^{^}_i )

( y_i - y_śr ) = ( y_i - y^{^}_i ) + ( y^{^}_i - y_śr )

( y_i - y_śr ) = ( y^{^}_i - y_śr ) + e_i

( y_i - y_śr )² = ( y^{^}_i - y_śr )² + e_i² + 2( y^{^}_i - y_śr )e_i

Sumę kwadratów odchyleń przedstawiamy jako:

Na podstawie założeń przyjętych w metodzie najmniejszych kwadratów, z układu równań normalnych zachodzi:

skąd

Wprowadzając oznaczenia:

Dostajemy: SST = SSR + SSE dzieląc obie strony równania przez SST dostajemy:

( SSR / SST ) = R² nazywamy współczynnikiem determinacji,

( SSE / SST ) = ² nazywamy współczynnikiem zbieżności,

Zachodzi: 0 ≤ R² ≤ 1 ; 0 ≤ ² ≤ 1 ; R² + ² = 1 .

Nie można określić jaka wartość dla R² jest dużą wartością.

Uwaga!

Współczynnik R² można zawsze obliczyć, jednak jego interpretacja jako część wariancji zmiennej niezależnej wyjaśnionej przez wariancję zmiennej zależnej może być stosowana gdy:

1. zmienne x , y w populacji generalnej są powiązane liniową zależnością

2. parametry równania estymowane są metodą najmniejszych kwadratów

3. w modelu występuje wyraz wolny

Przedziały ufności

Znamy a₀ , a₁ oszacowania dla ₀ , ₁. Znamy też oszacowania wariancji S²(a₀) , S²(a₁).

Wiemy, że ustandaryzowane zmienne losowe a₀ , a₁ mają rozkład t-Studenta z (m-2) stopniami swobody.

Wiemy więc również, że zachodzą nierówności:

;

Przekształcając powyższe równania dostajemy przedziały ufności na poziomie istotności :

a₀ - t_(m-2), S(a₀) ≤ ₀ ≤ a₀ + t_(m-2), S(a₀) ; a₁ - t_(m-2), S(a₁) ≤ ₁ ≤ a₁ + t_(m-2), S(a₁)

Testowanie hipotez o istotności

Przy założeniach klasycznej metody najmniejszych kwadratów możemy testować, czy występuje związek między zmienną objaśnianą Y i zmienną objaśniającą X. Brak związku między zmiennymi X, Y w tym wypadku to brak zależności liniowej, czyli równość ₁ = 0.

Testujemy hipotezy:

H₀ : ₁ = 0 ;

H₁ : ₁ ≠ 0 ;

Hipotezy możemy weryfikować na dwa sposoby:

1. Jeśli hipoteza H₀ jest prawdziwa to wariancja zmiennej Y nie może być wyjaśniana przez wariancję zmiennej X zaś statystyka

ma rozkład F_1,(m-2) (rozkład Fishera-Snedecora o 1 i (m-2) stopniach swobody).

Przedział ufności na poziomie istotności  ma postać:

P( (R²(m-2) / (1-R²) ) ≤ F_1,(m-2), ) = 1 - 

Jeśli
to odrzucamy hipotezę H₀.

2. Jeśli hipoteza H₀ jest prawdziwa to statystyka

ma rozkład t-Studenta z (m-2) stopniami swobody.

Przedział ufności na poziomie istotności  ma postać:

P( -t_(m-2), ≤ ( a₁ / S(a₁) ) ≤ t_(m-2), ) = 1 - 

Jeśli
to odrzucamy hipotezę H₀.

Dopasowanie modelu do danych empirycznych

Wiele zmiennych objaśniających

Estymatory a₀, a₁,…, a_n parametrów strukturalnych ₀, ₁,…, _n są zmiennymi losowymi. Przy klasycznych założeniach metody najmniejszych kwadratów estymatory te są:

• liniowe ze względu zmienne zależne, ( są postaci c₀ + c₁y₁ +…+ c­_my_m );

• nieobciążone, ( Ea_i = _i );

• efektywne, (estymator nieobciążony z minimalną wariancją);

• zgodne, ( stochastycznie zbieżny do szacowanego parametru).

Liniowy model ekonometryczny to odpowiednik modelu regresji występującego w statystyce. W języku modelu regresji:

y - zmienna zależna to regresant,

x_i - zmienna niezależna to regresor,

­_i - to współczynnik regresji.

Kryterium doboru estymatorów a₀, a₁,…, a_n była minimalizacja kwadratów odchyleń:

SSE = e₁²+e₂²+…+e_m².

y - zmienna zależna - regresant,

x_i - zmienna niezależna - regresor,

­_i - to współczynnik regresji.

Współczynnik zmienności losowej: W_e = S_e / y_śr .

Dekompozycja wariancji zmiennej objaśnianej

Przedziały ufności

Znamy a₀, a₁,…, a_n oszacowania dla ₀, ₁,… _n. Znamy też oszacowania wariancji S²(a₀), S²(a₁),…, S²(a_n).

Wiemy, że ustandaryzowane zmienne losowe a_i mają rozkład t-Studenta z (m-n-1) stopniami swobody.

Wiemy więc również, że zachodzą nierówności:

;

Przekształcając powyższe równania dostajemy przedziały ufności na poziomie istotności :

a_i - t_(m-n-1), S(a_i) ≤ _i ≤ a_i + t_(m-n-1), S(a_i);

Testowanie hipotez

Przy założeniach klasycznej metody najmniejszych kwadratów możemy testować, czy występuje związek między zmienną objaśnianą Y i zespołem zmiennych objaśniających X₁, X₂,…, X_n. Brak związku między Y i wszystkimi zmiennymi X₁, X₂,…, X_n , czyli równość ₁ = 0, ₂ = 0,…, _n = 0.

Testujemy hipotezy:

H₀ : ₁ = ₂ =…=_n = 0 ;

H₁ : ₁ ≠ 0 lub ₂ ≠ 0 lub … lub _n ≠ 0 .

Jeśli hipoteza H₀ jest prawdziwa to statystyka

ma rozkład F_n,(m-n-1) (rozkład Fishera-Snedecora o (n) i (m-n-1) stopniach swobody).

Przedział ufności dla statystyki na poziomie istotności  ma postać, F^* wartość krytyczna :

P( [R²(m-n-1)] / [(1-R²)n] ) ≤ F^* ) = 1 - 

Jeśli
to odrzucamy hipotezę H₀.

Przy założeniach klasycznej metody najmniejszych kwadratów możemy testować, czy występuje związek między zmienną objaśnianą Y i zespołem zmienną objaśniającą X_i. Brak związku między Y i zmienną X_i czyli równość _i = 0.

H₀ : _i = 0 ;

H₁ : _i ≠ 0.

Jeśli hipoteza H₀ jest prawdziwa to statystyka

ma rozkład t-Studenta z (m-n-1) stopniami swobody.

Przedział ufności na poziomie istotności  ma postać:

P( -t_(m-n-1), ≤ ( a_i / S(a_i) ) ≤ t_(m-n-1), ) = 1 - 

Jeśli
to odrzucamy hipotezę H₀.

Wartość p ( p-value).

Dla ustalonej wartości w statystyki W wylicza się prawdopodobieństwo p obszaru krytycznego:

p = P( W należy do obszru krytycznego wyznaczonego przez w)

Tak wyliczoną wielkość nazywamy wartością p.

Dla ustalonej (wyliczonej) wartości F statystyki F-Fishera Snedecora z (n) i (m-n-1) stopniami swobody wylicza się prawdopodobieństwo p obszaru krytycznego wyznaczonego przez F:

p = P( F_n,(m-n-1) > F )

Tak wyliczoną wielkość nazywamy wartością p. Jeśli p <  to odrzucamy hipotezę zerową H₀. Jeśli p ≥  to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀.

Dla ustalonej (wyliczonej) wartości t statystyki t-Studenta z (m-n-1) stopniami swobody wylicza się prawdopodobieństwo p obszaru krytycznego wyznaczonego przez t:

p = P( |t_m-n-1| > |t| )

Tak wyliczoną wielkość nazywamy wartością p. Jeśli p <  to odrzucamy hipotezę zerową H₀. Jeśli p ≥  to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀.

Przykład 1 (Borkowski przykład 4.12 i następne)

Zbudowany został model spożycia mięsa:

y^{^}_i = 33,22 + 0,34 x_i1 - 1,90 x_i2 `

gdzie:

y_i - roczne spożycie mięsa wieprzowego w kg na osobę,

x_i1 - roczny dochód w tys. zł na osobę,

x_i2 - roczne spożycie ryb w kg na osobę,

i = 1, 2, …, 20.

	1,11078	-0,02912	-0,04371
(X^TX)^-1 =	-0,02912	0,00092	0,00059
	-0,04371	0,00059	0,00494

S_e = 2,85477

A więc

	9,05252	-0,23730	-0,35622
D^2(a) =	-0,23730	0,00747	0,00484
	-0,35622	0,00484	0,04027

Skąd obliczamy S(a_i)

	3,00874
S(a) =		0,08641
			0,20068

I model zapisujemy w postaci:

y^^i =	33,22	+ 0,34xi1	- 1,90xi2
	[3,01]	[0,09]	[0,20]

Używając statystyki F testujemy hipotezę H₀ przeciwko hipotezie H₁:

H₀ : ₁ = ₂ = 0 ;

H₁ : ₁ ≠ 0 lub ₂ ≠ 0.

		df	SS/df	F	p
SSR	1 110,48	2	555,24	68,13	7,63·10^-9
SSE	138,54	17	8,15
SST	1 249,03	19

Wykonujemy jedno ze spostrzeżeń:

Wartość F^* = 3,59 (odczytujemy z tablic) , a więc odrzucamy hipotezę H₀ .

Wartość p < 0,05 , a więc odrzucamy hipotezę H₀ .

Wartość krytyczna statystyki t-Studenta na poziomie istotności  = 0,05 i dla (20-2-1) = 17 swobody wynosi t^* = 2,110. Przedziały ufności dla parametrów strukturalnych są więc postaci:

₀ : (33,22 - 2,110 · 3,01 , 33,22 + 2,110 · 3,01) = ( 26,87 , 39,57)

₁ : (0,34 - 2,110 · 0,09 , 0,34 + 2,110 · 0,09) = ( 0,16 , 0,52)

₂ : (-1,90 - 2,110 · 0,20 , -1,90 + 2,110 · 0,20) = ( -2,32 , -1,48)

Możemy więc sądzić, że z prawdopodobieństwem 0,95 :

Przedział ( 26,87 , 39,57) zawiera prawdziwą wartość ₀ ;

Przedział ( 0,16 , 0,52) zawiera prawdziwą wartość ₁ ;

Przedział ( -2,32 , -1,48) zawiera prawdziwą wartość ₂ ;

Wyznaczamy wartości statystyki t-Studenta dla parametrów strukturalnych:

₀ : t = 33,22 / 3,01 = 11,04 ; |11,04| > 2,110 ; p = 0,000000004 ;

₁ : t = 0,34 / 0,09 = 3,78 ; |3,78| > 2,110 ; p = 0,001160000 ;

₂ : t = -1,90 / 0,20= -9,50 ; |-9,50| > 2,110 ; p = 0,000000034 ;

Ponieważ we wszystkich przypadkach wartość bezwzględna statystyki t-Studenta jest większa od wartości krytycznej, odrzucamy hipotezę o nieistotności każdego z parametrów.

Zamiast porównywać wartość t z wartością krytyczną t* , możemy sprawdzić czy wartość p >  , czyli w naszym przypadku czy p > 0,05.

Ekonometria I Eko I W1 .doc

25 / 11

---