Teoria mnogości

Przedmiotem teorii mnogości jest zbiór nieskończony. Jaki byłby stosunek pomiędzy pojęciem zbioru nieskończonego, którego teorią mamy się zajmować, a zbiorem skończonym? Czy ten zbiór skończony jest na tyle dobrym przedmiotem, że możemy się nim zajmować i czynić uogólnienia w kierunku dotarcia do pojęcia zbioru nieskończonego? Czy może odwrotnie, może mamy mieć pojęcie zbioru nieskończonego, a to co skończone potrafimy na tym tle powiedzieć będzie tylko egzemplifikacją tego wszystkiego, czyli unaocznieniem bliższym nam sercu, bo bardziej wyobrażalnym, bardziej bliskim. Z pojęciem zbiór są kłopoty jeśli idzie o ustalenie elementów tego zbioru, gdy odwołujemy się nawet do zbiorów skończonych.

Jeżeli byśmy pytali o ilość elementów nawet w zbiorach skończonych możemy mieć problem.

1. TWÓRCA TEORII MNOGOŚCI

Twórcą teorii mnogości był jeden człowiek (rzadko w historii nauki się zdarza żeby twórcą całej teorii był jeden człowiek), choć był tragicznym twórcą tej teorii: tragizm uczonego, który w momencie kiedy całą teorię miał gotową dowiaduje się, że jego teoria tak naprawdę nadaje się do kosza ze względów poznawczych, ponieważ odkryto w niej liczne antynomie, a jeśli są antynomie (czyli wśród tez można udowodnić dwa wyrażenia sprzeczne), to od strony poznawczej jest to teoria bezwartościowa.

Teoria mnogości, czyli teoria zbiorów nieskończonych odpowiednio pojętych. Twórcą jest Georg Cantor (niemiec) urodzony 3 marca 1845 roku w Petersburgu, zmarł 6 stycznia 1918 roku. Biografowie Cantora określają go, że był matematykiem, filozofem, a nade wszystko twórcą teorii mnogości. W latach 1872 - 1913 był profesorem matematyki Uniwersytetu w Halle. Stworzona przez niego dyscyplina wpłynęła na rozwój całej matematyki, a zwłaszcza na badanie logicznych i filozoficznych jej podstaw, dlatego teoria mnogości bywa nazywana podstawami matematyki, a niektórzy mówią, że jest to swoista ontologia matematyki, traktując to o czym mówi teoria mnogości jako swoisty świat matematyczny. Zasługą Cantora jest ustalenie podstawowych definicji, podanie wszystkich ważnych twierdzeń oraz systematyczne (uporządkowane) badanie ogólnych własności zbiorów nieskończonych. O Cantorze mówi się również, że był filozofem, ponieważ biografowie podkreślają, że w swojej bibliotece miał dzieła wszystkich klasyków filozofii, ważne jest, że wykładał filozofię. Filozoficzny aspekt idei Cantora tkwi w przyjęciu nieskończoności rozumianej aktualnie, była to nowość w stosunku do dominującego przekonania (wywodzącego się od Arystotelesa) rozumienia nieskończoności potencjalnie. Przyjęcie nieskończoności aktualnej w matematyce było dla Cantora przyjęciem istnienia nieskończoności aktualnej w ogóle. Jednak nieskończoność w matematyce nie jest nieskończonością w ogóle. Problem nieskończoności został w matematyce odkryty, odsłonięty stosunkowo późno, w tedy gdy wprowadzono pojęcie granicy, czyli w matematyce nowożytnej. O nieskończoności zaś mówiło się w filozofii, od czasów mniej więcej Arystotelesa dominowało pojęcie nieskończoności potencjalnej i nagle okazało się, że o nieskończoności można mówić również w matematyce. To był ten punkt czasowy niezwykle owocny w dokonaniach, jednocześnie odsłaniający nową problematykę, że o nieskończoności można mówić w matematyce nie tylko jako o nieskończoności pewnego powiększania, pomniejszania, czy wyczerpywania zbioru, ale także jako o rezultacie. To był przełom na miarę rewolucji w pewnym myśleniu i pewnym podejściu. Złączenie podejścia do pojęcia zbiór i podejścia do pojęcia nieskończoności daje nowe pojęcie „zbiór nieskończony”.

Bóg dla Cantora jest absolutną nieskończonością a życie pozagrobowe sposobem obiektywnego istnienia nieskończoności aktualnej. Jego poglądy w sferze teologicznej i religijnej uformowały się pod wpływem Arystotelesa, Platona i scholastyków.

W rozwoju teorii mnogości i jej zastosowań niezwykłą rolę odegrała warszawska szkoła matematyczna.

2. PLAN WYKŁADÓW

1. Wstępna charakterystyka teorii mnogości (wstęp formalny)

1. pojęcie zbioru i próby jego określenia;

2. problem nieskończoności (aktualnej i potencjalnej);

3. 3 antynomie teorii mnogości i sposoby ich usuwania;

4. aksjomatyczne systemy teorii mnogości;

2. Wprowadzenie treściowe do teorii mnogości

1. podstawowe pojęcia, tj.: para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, funkcje, obrazy i przeciwobrazy zbiorów wyznaczonych przez funkcje;

2. sumy i iloczyny nieskończonego ciągu zbiorów;

3. produkt uogólniony;

3. Teoria mocy zbiorów - ilościowa charakterystyka

1. równoliczność zbiorów, pojęcie liczby kardynalnej;

2. definicja zbiorów skończonych, przeliczalnych, nieprzeliczalnych;

3. działania na liczbach kardynalnych, ich podstawowe własności;

4. nierówności między liczbami kardynalnymi;

4. Teoria zbiorów uporządkowanych (teoria porządku)

1. zbiory uporządkowane: uwyraźnienie elementów maksymalnych i minimalnych, największych, najmniejszych i kresów (górnych i dolnych);

2. zbiory liniowo uporządkowane: uporządkowanie gęste i ciągłe, podobieństwo zbiorów liniowo uporządkowanych, typy porządkowe Ω, Ф, Ч, działania na typach porządkowych;

3. zbiory dobrze uporządkowane: pojecie liczby porządkowej, alefy i hipoteza continuum;

I.1. POJĘCIE ZBIÓR

Prekursorzy teorii mnogości:

Bernard Bolzano (1781 - 1848) - radykalnie krytykował Kanta, nawiązywał zaś do metafizyki Leibniza. Przezwyciężył psychologizm w matematyce i logice: odróżnił przedstawienia i sądzenia od przedstawień w sobie i sądów w sobie; odróżnił również przekonania od prawd w sobie. Matematykę uważał za naukę ściśle pojęciową związaną z filozofią. Zapoczątkował zainteresowanie logików podstawami matematyki. Szereg pomysłów z teorii mnogości znajdujemy już u Bolzano, takie jak np.: pojęcie kontinuum, pojęcie funkcji odpowiednio rozumianej, ale też zastosowanie do twierdzenia o wzajemnie jednoznacznym przyporządkowaniu elementów zbioru nieskończonego i jego podzbioru. Od Bolzany zaczyna się również podejście zbliżone do podejścia Cantora, czyli zwrócenie uwagi na nieskończoność aktualną.

Bolzano nawiązywał do metafizyki Leibniza, do pewnego sposobu rozumienia zbioru przez Leibniza nawiązywał też sam Cantor, czyli w poglądach pewnych Leibniza prekursor i twórca spotkali się.

Rozumienie pojęcia zbiór przez Leibniza.

Leibniz (1646 - 1716) - jego prace odgrywają istotną rolę w historii pojęcia „zbiór”. Odróżnia intensjonalną i ekstensjonalną (zakresową) interpretację zdań kategorycznych. (komentarz: logika Arystotelesa jest logiką na zakresach pojęć, dlatego nazywana jest logiką nazw. Ponieważ wyrosła z filozofii, więc dominowało podejście treściowe, dlatego że tak rozumuje się w filozofii. Długie wieki musiały upłynąć żeby dojść do tego, że logika Arystotelesa jest logiką ekstensjonalną.) Interpretując ekstensjonalnie logikę Arystotelesa stworzył rachunek zbiorów przypominający późniejszą algebrę logiki.

Określenie zbioru znajdujące się u Leibniza, które stało się punktem wyjścia przedaksjomatycznej teorii mnogości Cantora: „Niech wolno będzie dowolnie wiele rzeczy rozważać naraz i traktować je jako całość, wówczas gdy mając ich danych ilekolwiek, nawet w ilości nieskończonej, da się o nich pomyśleć coś, co jest prawdziwe o nich wszystkich.”

Określenie pojęcia zbiór u Cantora: „Przez zbiór rozumiem każdą wielość, która da się pomyśleć jako jedność, tzn. każdy ogół określonych elementów, który można za pomocą jakiegoś prawa powiązać [myślowo] w całość.”

Wiele jest podobieństw miedzy sformułowaniem Leibniza, a sposobem rozumienia pojecia zbiór przez Cantora, z tym, że o ile u Leibniza jest wymienione „nawet w ilości nieskończonej”, u Cantora nie ma obecnego słowa „nieskończoność”. Ważne jest podobieństwo co do sposobu traktowania, że „ilekolwiek by nie było” u Leibniza, a u Cantora: „każdą wielość”, czyli w „każdą” mieści się przypuszczenie, że także ową nieskończoną (jako dopowiedzenie). Ważne jest, że „każdy ogół określonych elementów”, czyli że zbiór jako jedność (całość) wyznaczają jego elementy. Pytanie o elementy to pytanie jednocześnie o ową jedność i całość. Jakoś powiązane są te elementy i Cantor o tym mówi: „za pomocą jakiegoś prawa”. „Coś”, „jakieś”, „każdą” to wszystko są miejsca w których tak naprawdę w języku potocznym rozpoznajemy obecność zmiennych i coś co jest niedookreślone. Niedookreślenia to były „furtki” przez które przemycane były antynomie (np. „jakiegoś prawa”, czyli każde z praw może wyznaczać ów zbiór, ową jedność tych elementów które to prawo spełniają). Cantor o tym nie wiedział, ale inni trudząc się nad analizą punktu wyjścia teorii mnogości Cantora doszukiwali się w jego założeniach źródeł antynomii.

Jedną z trudności z określeniem zbioru to trudność określenia elementów zbioru, trudność pierwotniejsza w stosunku do samego zbioru. Proszę sobie wyobrazić nazwy nieostre i pytanie o ich zakres: łysy [czy taki który ma 10 włosów jest łysy, czy ktoś kto nie miałby żadnego? Jeśli tego nie określimy to jest to nazwa nieostra, trzeba dodatkowych kryteriów ustalających ten zakres], młody, chwila czasowa [np. słowo „teraz”], słowo „dom” [pałac? chatka w lesie?], bez dodatkowych kryteriów samo określenie nie wyznacza nam w sposób jednoznaczny elementów należących do zakresów tych nazw, pojęć, tzn. do pewnych zbiorów.

np. zbiór wierszy opublikowanych w Polsce (między poezją a proza istnieje wiele postaci pośrednich: proza rytmiczna, wiersz biały);

Przykład na trudności z określeniem elementów zbioru:

- liczba liter występujących w pierwszym wierszu „Pana Tadeusza”

możemy mieć trudności z określeniem tego „n”, nie wiemy co rozumiemy przez „liczbę liter”

2 możliwości rozumienia „n”:

1. łączna liczba liter (wszystkie znaki drukarskie) = 35

2. liczba różnych liter (bez powtarzających się) = 18

Kolejna trudność sięgająca głębszych przyczyn przy określeniu elementów zbioru.

Wydaje się, że jest prawie regułą, że same zbiory nie są swoimi elementami.

np. zbiór wszystkich liczb naturalnych nie jest liczbą naturalną;

zbiór wszystkich trójkątów nie jest trójkątem;

zbiór wszystkich miast nie jest miastem.

Są jednak takie zbiory, które same siebie zawierają jako jeden ze swoich elementów, np. zbiór pojęć abstrakcyjnych jest pojęciem abstrakcyjnym; np. „golić się czy nie golić”: pewnemu żołnierzowi wydano rozkaz, aby golił tych i tylko tych żołnierzy swojego plutonu, którzy nie golą się sami. Powstało pytanie: jak ów żołnierz ma postąpić ze sobą, wszak jest członkiem tego plutonu. Jeśli będzie golił się sam to należy go zaliczyć do tej grupy żołnierzy, którzy golą się sami, a tych ten żołnierz nie ma prawa golić. Po drugie: jeśli natomiast nie będzie się golił sam to należy go zaliczyć do tej grupy żołnierzy, którzy sami się nie golą, a wówczas zgodnie z otrzymanym poleceniem powinien siebie golić. Ma się golić, czy nie golić? Należy do którego ze zbioru?

Te trudności odsłaniają że określenie pojęcia zbiór Cantora nie jest definicją pojęcia zbiór, lecz próbą określenia w punkcie wyjścia („roboczym pojęciem zbiór” dla teorii mnogości Cantora), z powodu niedookreśleń.

Spośród bardzo licznych bliskoznaczników słowa „zbiór” występujących w języku potocznym wydaje się że wyróżnić się dają dwa:

1. zbiór w sensie dystrybutywnym (abstrakcyjny) - przedmiot zawsze abstrakcyjny, teorią takiego zbioru jest teoria mnogości, więc mówi się, że jest to zbiór teoriomnogościowy;

2. zbiór w sensie kolektywnym - obiekt przestrzenny (przedmiot zmysłowo postrzegany), czyli zbiór mereologiczny gdyż teoria mereologii Leśniewskiego jest jego teorią;

Zbiór w sensie dystrybutywnym	Zbiór w sensie kolektywnym
Przedmiot abstrakcyjny	Obiekt przestrzenny
Zbiór teoriomnogościowy	Zbiór mereologiczny
Relacja pierwotna
„należy do” - relacja bycia elementem np. właściwości: przeciwzwrotna - (dla dowolnego x elementu pola tej relacji nie prawda, że x pozostaje w relacji R do samego siebie), (element nie jest swoim własnym elementem, lecz elementem zbioru) np. relacja bycia dzieckiem (nie jest się swoim dzieckiem), relacja bycia mniejszym (2 nie jest mniejsze od 2) nieprzechodnia - są takie przedmioty dla których dana relacja może być przechodnia i są takie dla których może być nieprzechodnia np. relacja bycia bratem, gdy x = z; relacja oceny postępowania	„bycia częścią” - ogniwo łańcucha jest częścią łańcucha, pryzma piasku, stos kamieni, własności: - zwrotna - (dla każdego pola tej relacji w którym ona zachodzi dla dowolnego elementu tego pola każdy element pozostaje w tej relacji do samego siebie) np. równość w zbiorze liczbowym, identyczność, równoległość w zbiorze prostych - przechodnia - np. implikacja (związek pomiędzy zdaniami który jest przechodni), identyczność, równość w zbiorze odcinków, starszeństwo
Jest zawsze obiektem abstrakcyjnym, który istnieje niezależnie od sposobu istnienia jego elementów	Sposób istnienia tego zbioru jest taki sam jak sposób istnienia jego części, składników. Wszystkie składniki mogą istnieć w ten sam sposób: Zb. W sensie kolektywnym jest przedmiotem konkretnym, gdy jego części również są konkretne (łańcuch, gdy jego części również są konkretne); jest przedmiotem idealnym o ile składa się z obiektów o takim samym sposobie istnienia. Niewiadomo co począć ze zbiorami mieszanymi, gdy ich składniki istnieją w sposób różny. Wydaje się, że sama niesprzeczność nie jest warunkiem wystarczającym ich istnienia.
Stosunek do zbioru pustego
Istnieje zbiór pusty , ponieważ zbiór w sensie dystrybutywnym jest przedmiotem abstrakcyjnym. Zbiór pusty to zbiór do którego nie należą żadne elementy. Zbiór pusty istnieje i jest jeden.	Nie ma kolektywnego odpowiednika zbioru pustego. Nie istnieje zbiór pusty w sensie kolektywnym, ponieważ jest przedmiotem

Radykalny formalizm - istnieć w matematyce to być niesprzecznym (stanowisko w filozofii matematyki)

I.2 PROBLEM NIESKOŃCZONOŚCI

Czy możliwa jest wspólna teoria nieskończoności taka która by się nadawała dla filozofii i dla matematyki? Jest to kluczowe zagadnienie dla filozofów, ponieważ problem nieskończoności tak naprawdę jest problemem ontologicznym, a zatem trzeba się przyjrzeć temu co wzięło później udział (temu pojęciu, terminowi) w kontakcie z pojęciem zbiór (w sensie dystrybutywnym) tworzy przedmiot teorii mnogości - zbiór nieskończony.

Wniknięcie w pojęcie nieskończoności, zwrócenie się do filozofii, bo tam od samych początków się ono pojawiło, tam było opracowywane i spróbujemy odpowiedzieć czy takie pojęcie jest przydatne dla konstrukcji przedmiotu teorii mnogości - zbiór (w sensie dystrybutywnym) nieskończony. Jak nieskończony? Jak on istnieje jako nieskończony?

Deklaratywna odpowiedź od Cantora: nieskończoność istniejąca aktualnie. Jakie są inne podejścia? Jak odróżnić ową aktualizację nieskończoności od nieskończoności potencjalnej (to co wiemy z filozofii, metafizyki)?

Jak było w matematyce i w teorii mnogości jak to pojęcie znalazło sobie prawo obywatelstwa, to spróbujemy wydobyć w głównych liniach, które odegrały rolę w historii także matematyki i teorii mnogości. Najpierw zwrócenie uwagi na te paradoksy które w starożytności wydobyły na światło dzienne sam problem nieskończoności. Paradoksy brzmią dla nas wesoło i śmiesznie i dziwimy się, że stanowiły taki problem, trud, a mimo to dziś próbuje się w nowoczesnej wersji te paradoksy na nowo przybliżyć.

Grecy stanęli wobec pojęcia nieskończoności z powodu tych paradoksów kłopotliwych, które są przypisywane Zenonowi z Elei (V wiek przed Ch.). Dwa przykładowe paradoksy:

Wyścig Achillesa - najszybszego biegacza starożytnego świata i żółwia - żółw porusza się dużo wolniej niż człowiek, więc pozwala mu się wyruszyć z pewną przewagą nad herosem, kiedy więc Achilles dobiegnie do miejsca z którego wystartował żółw zwierzę zdąży przejść pewną odległość, gdy Achilles będzie ją pokonywał, żółw znowu przesunie się kawałek i tak w nieskończoność. Czyli to posuwanie się żółwia, któremu pozwolono wystartować jako pierwszemu wydaje się i dlatego konkludował Zenon z Elei, że szybki Achilles nigdy nie dogoni wolnego żółwia. Ponieważ w momencie gdy Achilles znajdzie się w miejscu w którym przed chwilą był żółw, to żółwia już tam nie będzie. Zatem wniosek (teoretyczny): ruch jest niemożliwy przy założeniu, że czas i przestrzeń można w nieskończoność dzielić na coraz mniejsze kawałki (jest to główne źródło paradoksu). „W nieskończoność dzielić” - wykonywać czynność, która się nigdy nie skończy.

Paradoks dychotomii - nie możemy opuścić pokoju w którym się znajdujemy. Rozważania Zenona dotyczyły próby pokazania, że tak naprawdę musimy najpierw przejść połowę drogi do drzwi, potem połowę pozostałej odległości, następnie połowę drogi od miejsca w którym się znajdujemy, itd. Nawet stawiając nieskończoną liczbę kroków z których każdy jest o połowę mniejszy od poprzedniego, nigdy nie dojdziemy do drzwi. Ważne spostrzeżenie: nawet nieskończenie wiele kroków może czasami prowadzić do otrzymania skończonej, całkowitej odległości. Całkowita droga będzie równa dwukrotności pierwszego kroku.

Ten paradoks posłużył Zenonowi do postawienia tezy, że przy założeniu nieskończonej podzielności czasu i przestrzeni ruch w ogóle nie może się zacząć. Stąd nie opuścimy pokoju. Był to paradoks podobny do paradoksu lecącej strzały

W starożytności była znana tzw. metoda wyczerpywania, która podejmowała próbę objęcia wspólnym namysłem tych paradoksalnych sytuacji. Metoda wyczerpywania, czyli metoda polegająca na dzieleniu figur na dużą liczbę prostych figur lub brył i obliczaniu ich sumy. Ta metoda doprowadziła do wprowadzenia przez Eudoksosa z Knidos (uczeń Platona) do pojęcia nieskończoności potencjalnej. Nieskończoność potencjalna umożliwiła rozwinięcie pojęcia granicy i w XIX wieku była podstawą do oparcia teorii rachunku różniczkowego i całkowego na solidnym fundamencie. Sto lat później Archimedes posługiwał się nieskończonością potencjalną do określenia pól i objętości z wykorzystaniem wielkości nieskończenie małych.

Nieskończoność u Filozofów Jońskich to był tzw. apeiron i to nie była metoda wyczerpywania, to był po prostu pierwiastek potencjalny, z którego wszystko się wywodzi. Czyli apeiron od filozofów jońskich można by traktować jako nieskończoność materialną.

U Pitagorejczyków była to nieskończoność aproksymatywna, brała się z rozważań proporcji, harmonii, czyli u Pitagorejczyków była metoda wyczerpywania, która miała umożliwić kwadraturę koła, trysekcję kąta, czyli te proste czynności które w starożytności zajmowały matematyków. Ponieważ zauważono, że liczb które można przyporządkować odcinkom konstruowanych figur jest nieskończenie wiele (i to był problem).

Platon uważał, że jakiś pierwiastek nieskończoności trzeba przyjąć, aby można było to co skończone zanurzyć w tym nieograniczonym, ale co to za „jakiś pierwiastek”, jakiej natury to nie precyzował.

Arystoteles jako pierwszy próbował dać dobre określenie nieskończoności, oparte na głębokiej analizie tego pojęcia. U Arystotelesa wszystko się brało z głębokiej analizy rzeczywistości, którą traktował jako rzeczywistość dynamiczną. A zatem źródłem propozycji odpowiedzi i podania jakiegoś określenia nieskończoności było zwrócenie uwagi na dynamikę rzeczywistości. Aby tę dynamikę rzeczywistości wyjaśnić przyjął dwa czynniki: aktualny i potencjalny, i on przewija się w różnych odmianach złożeń bytowych lub innych.

Arystoteles odróżnił

nieskończoność potencjalną w działaniu (w metodzie wyczerpywania: przeliczyć, podzielić) - nie da się coś wyczerpać, do końca zliczyć, dlatego jest niewykończona czynność, jest to pewien typ nieograniczoności;

nieskończoność aktualna (rzeczywista, właściwa) - czyli taka wielkość, iż wyklucza wszelkie powiększanie, a jeśli nie wyklucza to znaczy, że jest potencjalna.

Świat jest aktualnie skończony, a tylko potencjalnie nieskończony; czas podobnie. Wykluczył nieskończoność aktualną (!!!), wykluczał granicę poza którą już nie można powiększać.

Arystoteles nieskończoności potencjalnej przypisywał różne znaczenia (w III księdze „Fizyki”):

1. to, co z natury swej nie może być prześledzone;

2. to, co może być w prawdzie śledzone, ale proces ten nie da się doprowadzić do końca;

3. to, co z trudem tylko da się prześledzić;

4. to, co z natury swej może być przedmiotem badania, lecz dokładnie nie da się prześledzić albo nie ma końca;

5. może być nieskończone to wszystko, co powstaje przez dodawanie (czynność) albo przez podział, albo na skutek obu tych czynności razem;

Są to ustalenia Arystotelesa od strony jego ontologii, filozofii dotyczące nieskończoności potencjalnej.

Co Arystoteles mówił na temat zbioru nieskończonego?

nieskończony jest taki zbiór do którego można ciągle dobierać z zewnątrz jakiś nowy element. To zaś, co nie ma już nic na zewnątrz jest skończone i zupełnie zamknięte.

U Arystotelesa zbiór jest nieskończony, gdy jest nieskończony potencjalnie, czyli gdy istnieje możliwość ciągłego powiększania zasobu jego elementów, czyli coś co może być ciągle dobierane z zewnątrz jest nowym elementem.

Możność powiększania przez dobieranie coraz to nowych elementów wskazuje na rozumienie przez Arystotelesa zbioru nieskończonego, który istnieje tak jak nieskończoność potencjalna, czyli czynnościowe podejście do nieskończoności w odniesieniu także do zbioru poprzez możliwość ciągłego jego uzupełniania.

Zatem nieskończoność typu matematycznego jest potraktowana jako proces niewyczerpanego powiększania oraz jako czynność nigdy nie kończąca się wyliczania elementów zbioru (np. próba wyliczenia elementów zbioru liczb naturalnych).

Według Arystotelesa tak rozumiany zbiór istnieje tylko potencjalnie, istota tego zbioru tkwi w jego: potencjalności, nieograniczoności, nie posiadaniu kresu, niewykończoności, możliwości ciągłego uzupełniania. Zatem jedynie zbiorom skończonym (niepowiększalnym, wykończonym) można przyznać istnienie aktualne.

Jako pierwszy na nieskończoność aktualną zwrócił uwagę Galileusz (1564 - 1642) w swoich rozmowach przeszedł od nieskończoności potencjalnej (tej ze starożytności) do nieskończoności aktualnej, znalazł bowiem wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między liczbami naturalnymi a ich kwadratami. „Musimy uznać, że kwadratów jest tyle samo co wszystkich liczb naturalnych. Wynika stąd, że nieskończony zbiór liczb całkowitych dodatnich (czyli naturalnych) jest równy pod względem liczebności nieskończonemu zbiorowi ich kwadratów, który jest jego podzbiorem właściwym.” By pokazać odpowiedniość możemy zapisać:

To stwierdzenie, choć bardzo konkretne, jest bardzo bliskie nowoczesnej definicji zbioru nieskończonego w sensie Dedekinda przyjętym w teorii mnogości.

Drugi przykład, który koresponduje z spostrzeżeniem Galileusza, nazwany jest Hotelem Hilberta (matematyk, który żył w XX w. (1862-1943). Jest to hotel o nieskończonej ilości pokoi. W tym hotelu znajduje się komplet gości, wszystkie pokoje są zajęte i teraz pojawia się problem: jak przyjąć następnego gościa, który się nagle pojawi.

Pierwszy pomysł: przenieść gościa z pokoju nr.1 do pokoju nr.2 .Później przenieść gościa z pokoju nr.2 do pokoju nr.3. No i tak dalej kontynuować to przenoszenie, ponieważ jest nieskończenie wiele pokoi, więc można przenieść wszystkich gości, a numer 1 się zwolni dla gościa, który się właśnie pojawił. Zaczynamy przenoszenie od 1 do 2 z 2 do 3 i tak dalej, pierwszy pokój zostaje wolny, ponieważ jest nieskończenie wiele pokoi.

Drugi pomysł jest pomysłem według Galileusza: możemy zapełnić nieskończenie wiele pokoi ,nie tylko jeden. On zaczyna od 2, gościa z pokoju nr.2 do pokoju nr.4 gościa z pokoju nr.3 do nr.9 i tak dalej. Jest tu jednak połączenie nieskończoności potencjalnej i aktualnej.

Dotykamy tu:

*dyskretny rodzaj nieskończoności - jest to ten rodzaj, przy którym mówi się, że zbiory są nieskończone, ale przeliczalne.

*Drugi typ nieskończoności związany z liczeniem, który przy zbiorze nieskończonym sprawia trudność to jest continuum. O nim się nie mówi, że zbiór jest nieskończony, ale przeliczalny, powie się o nim: zbiór jest nieskończony, nieprzeliczalny. Nie da się ustalić w taki sposób, by można jego elementy przypisywać zbiory naturalne.

Drugi prekursor Bolzano (1781-1848) - dyskutował z Kantem, chciał rozwiązać paradoksy nieskończoności, ale ich nie rozwiązał, natomiast analizując te paradoksy wskazał na ich naturę. Udzielił odpowiedzi na pytanie, w czym tkwi paradoksalność używania nieskończoności: „zbiór nieskończony jest to wielość, która jest większa od dowolnej wielkości skończonej, a więc każda skończona mnogość stanowi jej część.”( dziś z trudem tym zwrotem moglibyśmy się posługiwać).

Dlaczego dyskutował z Kantem? „ Kant w filozofii orzekł że świat ma granice czasowe i przestrzenne, a umysł ujmuje tylko to skończone, bo świat jest skończony w czasie, a zatem skończoność przypisywał naturze człowieka, wobec tego naturalny człowiek nie może posługiwać się nieskończonością”. To stanowisko Kanta odegrało wpływ na matematykę.

Kryzys teorii mnogości nie był jedynym kryzysem w matematyce. Drugim z kryzysów było odkrycie przez Gaus'a geometrii nieeuklidesowych. Odkrył, że postulat Euklidesa o równoległych, w którym jest mowa, że dwie proste równoległe nie przecinają się, jest dopowiedzenie, że mogą się one przeciąć w nieskończoności. Nie opublikował swojego odkrycia, bojąc się przeciwstawić obowiązującym poglądom.

Pyt. Czy można zaproponować łączną teorię nieskończoności, pojętej zarówno filozoficznie jak i matematycznie? Jeśli się da, to w jaki sposób?

Cantor głosił tezę radykalną, że istnieje nieskończoność aktualna w postaci zbioru nieskończonego, choć nie odcinał się również od traktowania nieskończoności jako pewien proces, zwłaszcza wtedy gdy pojawiło się pojęcie granicy ,wtedy wyraźnie było widać że ciąg jest zbieżny, wtedy gdy zmierza do jakiejś granicy. To zmierzanie jest jakimś odsłonięciem procesu. Ponieważ wtedy uważano, że podstawowym pojęciem dla matematyki jest pojęcie funkcji , poza funkcję jeszcze nie sięgano, nie stawiano pytań o coś bardziej podstawowego. Na temat zbioru jeszcze nie uświadamiano sobie, że to pojęcie występuje w definicji funkcji, albo uważano, że funkcja, rozumiana jako pewna odpowiedniość, jest tym pojęciem podstawowym. Teoria relacji pojawiła się znacznie później. Dlatego trudno było wtedy uświadomić sobie czym jest ta funkcja, ta odpowiedniość, rozumiano ją wówczas jako pewne przyporządkowywanie.

Dubois Reymonds rozważał nieskończoność w związku z pojęciem funkcji i dostrzegł pewne różnice, odróżniał:

• zbiór nieskończony - wtedy kiedy było można było by powiedzieć że dotyka nieskończoności aktualnej;

• zbiór nieograniczony - wtedy kiedy było można było by powiedzieć że dotyka nieskończoności potencjalnej, czyli była nieskończona operacja, której wynikiem był zbiór nieskończony Czyli nieskończona operacja, to była by nieskończoność potencjalna i nieskończony zbiór jako wynik tej operacji.

To odróżnienie było o tyle płodne, że doprowadziło do ukształtowania się dwóch tendencji. Pierwsza tendencja była empirystyczna, druga była nazwana konwencjonalizmem.

EMPIRYSTYZM	KONWENCJONALIZM
rzeczywistość nie jest nieskończona aktualnie, ale operacje mogą iść w nieskończoność.	jest to podejście aprioryczne
Ta tendencja zamieniła się w kierunek intuicjonistyczny, który stał się pewnym kierunkiem filozofii matematyki. zwolennicy tej teorii głosili: nie można posługiwać się nieskończonością aktualną, przyjmują tylko nieskończoność operacyjną np. nieskończoność liczenia, widoczny jest radykalizm. Mówią tak: skoro nieskończoność operacyjna, czyli ta nieskończoność liczenia, dlatego istnieje tylko nieskończoność zbioru liczb naturalnych. Ponieważ za ich pomocą liczymy. Przy czym nieskończoność zbioru liczb naturalnych i przydatność liczb naturalnych do liczenia przyjmują wszyscy, w tym nie ma różnicy, tu jest pewna zgoda. Różnica jest w tym „tylko”.	do tego podejścia zaliczylibyśmy również inny kierunek filozofii matematyki, tzw. formalizm (który ma różne wersje i postaci), najbardziej radykalna wersja pochodzi od Dawida Poincaré, ale można też wymienić Helmholtz'a, Dedekind'a.

Dedekind - zdefiniował liczbę. Twierdził że, może być nieskończoność aktualna, ale trzeba ją ograniczyć aksjomatycznie, aby nie prowadziła do antynomii. Jest to pewna propozycja tego, co dzisiaj nazywa się definiowaniem przez postulaty znaczeniowe, czyli apriorycznie ustalić pojęcie oraz warunki posługiwania się tym pojęciem, aby nie prowadziło do antynomii.

Jeśli zatem zbiór nieskończony określimy jako równoliczny ze swoją częścią właściwą, to nie dajemy odpowiedzi na pytanie „co to jest nieskończoność”. Nie ujawniamy istoty nieskończoności. W matematyce nieskończoność jest uwikłana w pojęcie zbioru nieskończonego i ustala się warunki rozumienia tego zbioru, tak jak u Cantora, jako wyniku pewnej operacji, czyli zbiór nieskończony aktualnie. Natomiast nie odpowiada się na pytanie o istotę nieskończoności, wobec tego nie udziela się odpowiedzi na poziomie filozoficznym. Bo pytanie o istotę nieskończoności jest właśnie pytaniem filozoficznym.

Jest to istotny punkt do przybliżenia się do odpowiedzi na pytanie czy możliwa jest wspólna teoria?

W filozofii przyjmuje się nieskończoność dla Absolutu, wszystko jedno jak pojętego, wyraźnie czy nie wyraźnie. Absolutu pisanego nawet mała literą .

Hegel przyjmuje nieskończoność dla Absolutu Ducha, wszystko jedno jak tego Ducha pojmuje. Marksiści mówią, że materia jest skończona co do swojej postaci, ale nieskończona dla sił twórczych, inaczej nie ewoluowało by z niej wszystko, czyli jest nieskończona w swej dynamice, nie musi być nieskończona pod każdym względem. Jest to typ nieskończoności doskonałościowej .

Gdy idzie o trwanie czasowe trzeba ujmować ilościowo, i dlatego należy się posługiwać jakąś teorią mnogości.

Jeśli zaś weźmiemy istnienie samo w sobie (tak możemy przecież rozumieć Absolut ) i jeśli istnienie samo w sobie jest typem doskonałości, to nie można go sformalizować, bo przy podejściu formalistycznym nieskończoność jest wynikiem. W teorii mnogości nieskończoność jest punktem wyjścia.

A zatem krótko mówiąc, w metafizyce idzie o nieograniczenie w istnieniu, czyli w doskonałości, a nie o zbiory nieskończone czegoś. A zatem nie ma jednej koncepcji nieskończoności, która nadawała by się dla matematyki i filozofii razem, ponieważ odróżnia się nieskończoność doskonałościową (jakościową) - metafizyczna nieograniczoność w istnieniu, albo ilościową - w sensie jakiejś teorii mnogości.

A zatem przedmiotem teorii mnogości, jako punktu wyjścia jest zbiór nieskończony, pojęty dystrybutywnie jako przedmiot abstrakcyjny i zbiór dystrybutywnie pojęty, który jest nieskończony aktualnie.

Co doprowadziło do tak klarownego stanowiska?

Otóż naczelna zasada teorii mnogości może być sformułowana następująco:

„elementami zbioru N-ów są N-y i tylko N-y”.

Czyli:

• każdy element zbioru N-ów jest N-em,

i że

• każde N jest elementem zbioru N-ów.

Czyli można ją zapisać tak:

„jeżeli jakieś x jest elementem zbioru N-ów, to x jest N-em”

oraz

„jeżeli x jest N-em, to x należy do zbioru N-ów”.

Jest to tzw. warunek konieczny i wystarczający konstrukcji zbioru N - ów (czyli zbioru czegoś). A zatem te dwa kresy warunkowe można zapisać tak:

X∈ zbioru N-ów
X jest N-em,

a zatem

X jest N-em ≡ X∈ zbioru N-ów (implikacja prawdziwa obie strony).

Rozważanie obok N-ów także zbioru N-ów, mówi się że jest ważnym aktem abstrakcji w teorii mnogości jak i w myśleniu potocznym. Obok kolorowych rzeczy mówimy o kolorach, obok zielonych rzeczy mówimy o zieleni, jako o własności przysługujących zielonym rzeczom i to był punkt wyjścia myślenia Cantorowskiego.

Wobec tego w analogiczny sposób do naczelnej zasady teorii mnogości można mówić że:

x przysługuje zieleń jako własność
x jest zielone.

Niektórzy zwracają uwagę że metafizyczna koncepcja świata idei Platona, była pierwszą próbą wyjaśnienia tego rodzaju aktów abstrakcji .

Zgodnie z ta naczelna zasadą, co do której nie mamy wątpliwości, definiujemy kasę R, która jest rodziną zbiorów wszystkich i tylko tych zbiorów, które nie są swoimi elementami. Pojawia się pierwsze groźne słowo, że jest to antynomia, tzw. zbiorów normalnych np. zbiór miast nie jest miastem. Jeśli teraz zgodnie z tą zasadą, co do której nie mieliśmy wątpliwości, na przykładzie zielonych rzeczy:

A - zmienna

R - stała

DEF. stałej: A jest elementem rodziny zbiorów, o której mówimy
nie prawda, że A jest swoim elementem, czyli jest to klasa zbiorów, które nie są swoimi elementami.

lub

Większość zbiorów to takie zbiory: np. liczby 2,3,5 są elementami zbioru liczb naturalnych, ale zbiór liczb naturalnych N nie jest elementem zbioru liczb naturalnych. W sformułowaniu antynomii nie zakładamy, że istnieją zbiory które są i które nie są swoimi elementami.

Dokonując w tej definicji podstawienia za zmienną A stałej R otrzymujemy równoważność, którą oznaczymy sobie jako α.

( czyt. R jest elementem R ≡ gdy nie prawda że R jest elementem R)

Zmienna A jest zmienną wolną, więc można dokonać prawidłowego podstawienia. Za zmienną A podstawiamy stałą R i jest to równoważność, która nosi nazwę antynomii Russella, dlatego pojawia się tutaj symbol R od jego nazwiska . Na podstawie tej równoważności α można udowodnić dwa wyrażenia sprzeczne które są zarówno po lewej jak i po prawej stronie, czyli rozumiemy antynomie jako dowód dwóch wyrażeń sprzecznych ma gruncie jakiegoś systemu.

Dowód wyrażenia, że R jest swoim własnym elementem, jest to dowód nie wprost, więc przyjmijmy, że R nie jest swoim własnym elementem - jako założenie dowodu nie wprost.

Ponieważ przyjmujemy
, czyli równoważność
, w 1. mamy prawą stronę równoważności, zatem w 2. możemy napisać, że R jest elementem R, na podstawie reguły odrywania dla równoważności (
), reguła odrywania dla równoważności jest taka, że jeśli mamy równoważność oraz jedną z jej stron, to można uznać drugą stronę.

Dowód I -

1.
z.d.n.

2.
ROE:
ROEϕ≡ψ ϕ≡ψ

sprzeczność: 1, 2

Dowód II -

1.
z.d.n.

2.
ROE:

sprzeczność: 1, 2

W dowodzie nie korzystamy z twierdzeń teorii mnogości tylko z definicji klasy R . Wobec tego równoważność α jest nie do przyjęcia , stwierdza bowiem że obie strony tej równoważności są albo prawdziwe albo prawdziwe. Bo jeśli ją przyjmujemy to równoważność jest prawdziwa, wtedy gdy po obydwu stronach jest ta sama wartość logiczna, czyli obie strony muszą być prawdziwe albo fałszywe.

1) Jeżeli obie strony są prawdziwe, to R jest i zarazem nie jest zbiorem normalnym

2) Jeżeli obie strony są fałszywe, to R nie jest ani zbiorem normalnym, ani zbiorem nienormalnym

Zatem błąd musi tkwić gdzieś w założeniach wyjściowych, których na pierwszy rzut oka w ogóle nie dostrzegliśmy, bo zgodziliśmy się z naczelną zasadą mnogości, nie budziła naszego żadnego sprzeciwu. Była to zasada którą przyjął Cantor, ta antynomia została zakomunikowana przez Russella i zakwestionowała całą teorię mnogości.

WNIOSEK: zbiór zbiorów nie jest zbiorem , czyli taki był punkt wyjścia z jakimiś ukrytymi założeniami, które nie odsłoniły się bardzo klarownie, że prowadzą do takich absurdalnych wniosków, zatem trzeba było zawrócić do początku i przebadać wszystkie założenia.

Co tak naprawdę tkwiło w tych założeniach?

Jeśli wnioski dadzą się sformułować absurdalnie bądź antynomialnie, to trzeba wrócić do początku i szukać źródła tej antynomii.

Dopowiedzenia na temat antynomii, tak żebyśmy sobie bardziej uświadomili gdzie jest źródło tych antynomii, na przykładzie antynomii Russella, która najprościej dała się zapisać i rzeczywiście w sposób jasny i pokazać, że prowadzi do dowodu dwóch wyrażeń sprzecznych (bo w logice tak rozumiemy antynomie, że nie są to zwyczajne paradoksy językowe, gry bądź zabawy logiczne, tylko faktyczna możliwość udowodnienia dwóch wyrażeń sprzecznych, a więc sprzeczność najklarowniejsza, tu nie wchodzą w grę poglądy cudze, dywagacje tylko faktycznie dowód, który to pokazuje).

Antynomia Russell'a była sformułowana w 1903 roku (niektórzy uważają, że w 1902 roku), była najbardziej znana i odegrała rolę przy uświadomieniu sobie, że rzeczywiście coś niewłaściwego jest w podstawach teorii mnogości.

Wcześniej znane były inne antynomie:

• Pierwszą i najwcześniej odkrytą antynomią była antynomia Burali - Fortiego (1897 rok) była to antynomia zbioru wszystkich liczb porządkowych, znana była już Cantorowi w 1895 roku;

• Antynomia zbioru wszystkich zbiorów, znana była Cantorowi w 1899 roku. Ale odkryta i opublikowana została przez Russell'a w 1901 roku. Ta antynomia i jej analiza doprowadziła do odkrycia antynomii, która nosi imię Russell'a (antynomia klasy Russell'owskiej, czyli antynomia zbioru zbiorów, które nie są swoimi elementami, zwana inaczej antynomią klas normalnych, albo antynomia zbiorów normalnych).

Skoro przedmiotem teorii mnogości miał być zbiór nieskończony, wszystko jedno czy aktualnie pojęty, czy nie; to jednak zbiór „wszystkich” przy nieskończonym zbiorze to zaczyna troszkę iskrzyć (?). czyli gdzieś tutaj prawdopodobnie było źródło konstrukcji antynomialnych. Czyli w tym zagarnianiu zbyt wielu, w tym bogactwie elementów, które próbowano uwzględnić. Taka jest pierwsza intuicja, że trzeba przebadać podstawy, bo przy zbiorze nieskończonym, można, czy nie można wziąć pod uwagę owych „wszystkich”.

Co Russell po analizie i po zaproponowaniu definicji klas normalnych zakomunikował Frege'mu w liście. W 1879 roku Frege miał już prawie kompletny system aksjomatyczny rachunku zdań, to był pierwszy aksjomatyczny system klasycznego rachunku zdań i pierwsze wykorzystanie metody aksjomatycznej w sposób wyraźny. Frege pisze w posłowiu do drugiego tomu swego głównego dzieła „Grunde der zetze at arytmetic”: „Nic chyba bardziej niepożądanego nie może wydarzyć się uczonemu, niż to, że po ukończeniu dzieła zostanie wstrząśnięta jedna z podstaw jego konstrukcji. (Frege pisze o sobie) Znalazłem się w takim położeniu na skutek listu Pana Bertrand'a Russell'a, gdy druk tego tomu zbliżał się ku końcowi. Jest pociechą w nieszczęściu, że ma się towarzyszy niedoli. Ta pociecha, jeśli to pociecha, mnie także przypadło w udziale, bo wszyscy, którzy posługiwali się w swoich dowodach zakresami pojęć, klasami, zbiorami, znajdują się w tym samym położeniu co ja.” (wyjaśnienie: można wprost nie odwoływać się do teorii mnogości, ale jeżeli bierzemy pojęcia ogólne, to czy chcemy czy nie chcemy przywoływać teorię mnogości musimy mieć jakieś pojęcie zbioru - zbioru nieskończonego, czyli zakładamy w gruncie rzeczy jakąś teorie mnogości, czy taką z antynomiami w których nic nie jest pewne, bo wszystko sprzeczne, więc można dowolne wyrażenia, a zatem również fałszywe, wyprowadzić z tej teorii. To zachwiało w ogóle nauką, bo odsłoniło, że coś jest nieprecyzyjne, niedopracowane.)

W dowodzie sprzeczności związanej z pojęciem zbioru zbiorów, które nie są swoimi elementami, czyli klasy Russell'owskiej, nie korzysta się z żadnych innych twierdzeń teorii mnogości, a tylko z definicji tych zbiorów. To znaczy: skoro przyjęto tylko intuicyjne pojęcie, a zatem jako pojęcie pierwotne miano prawo przyjąć bez definicji, ale w tych intuicjach zagarnięto zbyt wiele. I być może nie uświadomiono sobie co w tych intuicjach tak naprawdę jest. Wobec tego nie mogło ulegać wątpliwości, że sprzeczność na którą natrafiono leży u samych podstaw teorii zbiorów, a nie jest związana z dowodem jakiś specjalnych twierdzeń tej teorii. Dla jej usunięcia nie mogą, więc wystarczyć żadne próby modyfikacji tych lub innych twierdzeń teorii zbiorów, lecz przebudowanie jej podstaw. Dlatego sformułowanie teorii Russell'a zmusiła logików i matematyków do szukania sposobów usunięcia antynomii teorii mnogości i logiki, ponieważ miała ona swoje bardzo istotne przełożenie dla jednych i drugich. Jeśli dla matematyki, to cała matematyka klasyczna i wszystko co później wiązało się z językiem matematycznego przyrodoznawstwa, czyli te kręgi rozszerzały się coraz bardziej.

Do czego doprowadziły te analizy? Doprowadziły do stwierdzenia: że źródłem Cantorowskiej antynomii klasycznej teorii mnogości, było równoczesne przyjęcie dwóch założeń:

1. zasady, że dla każdego warunku sensownego (w sensie syntaktycznym, czyli poprawnie zbudowanego) istnieje zbiór złożony z tych i tylko tych elementów, które ten warunek spełniają

- warunek sensowny, forma zdaniowa o jednej zmiennej wolnej
, w której nie występuje zmienna wolna
.

Tę zasadę nazwano tzw. aksjomatem definicyjnym albo komprehenzji.

Dlaczego „tak zwany”? Ponieważ nie był to system aksjomatyczny, więc nie było prawa nazywać tej zasady aksjomatem. Teoria mnogości Cantora była konstruowana jako zbiór pewnych tez odnoszących się do zbiorów nieskończonych. Jeśli nazwano go aksjomatem, to z tego powodu, że stanowiła punkt wyjścia.

Jeżeli przedmiotem teorii mnogości Cantorowskiej było pojęcie zbioru nieskończonego, to było to pojęcie pierwotne, czyli takie które przyjmujemy bez definicji i dopiero cała teoria staje się niejako przybliżeniem sposobu rozumienia tego głównego pojęcia. Wiec jest to takie potoczne nazwanie tej zasady aksjomatem.

W aksjomatycznych systemach ten tzw. aksjomat definicyjny w takiej postaci nigdzie nie jest przyjmowany, jest poprawiony.

2. uznano za sensowne wyrażenia o postaci:

oraz

Jak uniknięto antynomii?

Skoro były dwa źródła, wobec tego zaproponowano dwa sposoby unikania antynomii.

1. ograniczenie sensowności wyrażeń (ustosunkowanie się do drugiego założenia) - sposób ten był chronologicznie pierwotniejszy z propozycji pozytywnych unikania antynomii, to zaowocowało teorią typów logicznych Russell'a;

2. ograniczenie tzw. aksjomatu definicyjnego - aksjomatyczne systemy teorii mnogości, m.in. system Ernesta Zermeli

Odkryto, dzięki tym ujawnionym założeniom, że antynomiotwórcze okazały się:

• intuicyjne pojęcie zbioru (
  ,
  )

• przynależność przedmiotu (ogólnie rozumianego) do zbioru, ze względu na sensowność wyrażeń, czyli ze względu na relację „
  ”;

Precyzja tych pojęć w różny sposób zaowocowała otrzymaniem różnych systemów teorii zbiorów. Różnych, czyli: kolektywnych, mereologia, zbiór dystrybutywny i teoria mnogości, i różnie pojęta nieskończoność, co daje wielkie bogactwo, a również w ramach tak pojętej teorii mnogości także różne. Pewien wspólny zasób twierdzeń i pojęć, ale nie pokrywają się całkowicie.

Teoria typów Russell'a

Teoria typów logicznych odwołuje się do podziału przedmiotów na:

• indywidua

• zbiory indywiduów

• rodziny zbiorów indywiduów, itp.

Własności tego podziału:

1. elementami zbioru dowolnego typu mogą być tylko przedmioty typu o jeden niższego;

2. zbiór pełny dowolnego typu, z wyjątkiem typu pierwszego, jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru pełnego typu o jeden niższego;

Mówimy o zbiorze pewnego typu, nie ma pojęcia „zbiór” po prostu, jest pojecie zbioru określonego typu.

Dygresja, która może przybliży nam troszkę myślenie na ten temat:

Zbiory często utożsamiane są z cechami, własnościami pewnych przedmiotów. Dlatego autorzy odwołują się tutaj do podziału przedmiotów. W tym sensie, że zwrot „przedmiot należy do pewnego zbioru”, jest równoznaczny z powiedzeniem, że „przedmiot ten ma odpowiednią cechę”. Np. zwrot „
jest elementem zbioru przedmiotów białych”, jest równoznaczny ze zwrotem „
ma cechę białości”.

W tedy też indywidua traktujemy jako przedmioty, które mają cechy, ale same nie są cechami. Zbiory indywiduów traktujemy jako cechy takich przedmiotów. Rodziny zbiorów indywiduów traktujemy jako cechy takich cech, itp., itd.

Cechy mogą z kolei posiadać pewne inne cechy, np. powiedzenie, że „pewna cecha jest mało prawdopodobna”, zawiera zwrot „mało prawdopodobna”, to małe prawdopodobieństwo jest cechą cech.

Tak rozumiane zbiory, gdy należą do różnych typów logicznych, są istotnie różnymi przedmiotami. Żadne indywiduum nie może być identyczne z żadnym zbiorem, bo indywidua są przedmiotami, które mają cechy, ale same nie są cechami. Interpretacja zbioru jako cech, jest więc zgodna z teorią typów logicznych. Jednak nasuwa pewne trudności.

W teorii typów logicznych została napisana słynna praca Tarskiego „Pojecie prawdy w naukach dedukcyjnych”.

Teoria typów przetrwała do lat 50-tych, a później została, jako niezbyt dogodna ponieważ za każdym razem trzeba ów typ podawać i z nim się liczyć, została wyparta przez aksjomatyczne teorie mnogości.

Ontologiczna hierarchia typów logicznych:

• Przedmioty typu zerowego: indywidua - przedmioty nie będące zbiorami (nie mają elementów, dlatego typ zerowy, ponieważ nie ma możliwości użycia „
  ”, który konstytuuje zbiór);

• Przedmioty typu pierwszego: zbiory indywiduów;

• Przedmioty typu drugiego: zbiory zbiorów indywiduów, itp.

Elementami zbiorów typu n+1 są przedmioty typu n-tego.

Uwaga: nie można mówić o zbiorze
jako o jednym zbiorze, ani o zbiorze pełnym (w sensie uniwersalnym, czyli obejmującym wszystko), ale o zbiorze
określonego typu n-tego i odpowiednio o zbiorze pełnym określonego typu n-tego. Czyli każdy poziom, oprócz zerowego, jest uzupełniony odpowiednio zbiorem pustym i zbiorem pełnym określonego typu. Czyli nie ma jednego zbioru uniwersalnego, ani jednego zbioru pustego, nie są to stałe w teorii typów.

Skoro w teorii typów zostało dokonane ograniczenie sensowności wyrażeń, to tzw. aksjomat komprehenzji został zachowany, tylko przy tych warunkach określających na nowo sensowność wyrażeń musi być zapisany. Zatem został zmodyfikowany.

Tzw. aksjomat definicyjny w teorii typów:

- symbol dla typu zbioru, którego typu elementów pokazujemy

Ontologiczna hierarchia typów logicznych to tort, w którym warstwy są wyraźnie oddzielone

Odkryto antynomie.

Próbowano zbadać powody tych antynomii i ustalono, że są dwa powody:

1. wyrażenia, które Russell wydobył poprzez sformułowanie swojej antynomii, czyli uznanie za poprawne syntaktycznie wyrażenia
   oraz
   

2. tzw. aksjomat komprehenzji, który mówił, że każdy warunek sensowny
   wyznacza zbiór przedmiotów, które go spełniają; problem polega na tym, że nie ma wyznaczonego zbioru x-ów które spełniają ten warunek

skoro odkryto dwa źródła antynomii, to próbowano ograniczyć jedno i próbowano ograniczyć drugie:

1. ograniczenie sensowności wyrażeń prowadziło do teorii typów i rygorystycznej hierarchii ontologicznej zbiorów, z której usunięto zbiory mieszane i jednocześnie wprowadzono restrykcyjnie indeksowanie, czyli tzw. typizację (wieloznaczność typikalną);

2. aksjomatyczne systemy teorii mnogości, które dopuszczały zbiory mieszane, ale poza systemem zostawiały zbiory antynomialne, czyli te maksymalnie bogate, które wprowadzały sprzeczność do systemu;

2) Metoda aksjomatyczna

W 1879 Frege zaproponował, jako pierwszy, aksjomatyczny system klasycznego rachunku zdań, czyli system który był uporządkowany i w którym bardzo wyraźnie były wskazane początki teorii (czyli zdania bazowe, naczelne przesłanki klasycznego rachunku zdań). Ta metoda była znana przed antynomią Russella, tylko nie wiedziano, że nadaje się do wykorzystania by uchronić się od antynomii. Metoda aksjomatyczna bazuje na przyjęciu bardzo klarownych założeń, a skoro kłopot był w założeniach, wobec tego zwrócono się z nadzieją do metody aksjomatycznej.

Pierwszym który zaproponował ograniczenie tzw. aksjomatu komprehenzji był Ernest Zermelo (1871 - 1953). Reforma Zermeli polegała na tym, że pozwalało się tworzyć zbiory z elementów spełniających dowolne własności
, ale nie z dowolnych elementów, lecz z elementów należących już do jakichś istniejących zbiorów.

Metoda aksjomatyczna przyjmuje bez definicji pojęcie pierwotne. Dla teorii mnogości takim przyjętym bez definicji pojęciem pierwotnym jest pojecie zbiór w sensie dystrybutywnym. Zbiór wszystkich aksjomatów, stanowi definicję znaczeniową przez postulaty pojęcia pierwotnego.

Główna myślą Zermeli było: można tworzyć zbiory elementów, spełniających jakąś własność, ale jako podzbiory istniejących już zbiorów.

Zagwarantowane jest podłoże dla formy, która o tych własnościach mówi.

Problem tego istnienia jest problemem rozstrzygającym sprawę trudności antynomialnych.

To było poprawienie założenia głównego (fundamentu).

Konsekwencje:

Usunął z rozważań teorii mnogości te zbiory, które były antynomialne, czyli zbiory maksymalnie bogate (np. zbiór wszystkich zbiorów, zbiór wszystkich liczb kardynalnych, zbiór wszystkich liczb porządkowych itd.). Pojawia się problem: który zbiór jest maksymalnie bogaty i który powinien zostać usunięty z systemu, a który jest dobrym zbiorem, który nadaje się do rozważań. Ustawienie tej furtki jest problematyczne, tak do końca nie potrafimy wskazać miejsca w którym ta bariera powinna się znaleźć.

Na gruncie aksjomatycznych systemów teorii mnogości nie otrzymujemy antynomii, lecz tylko dowody twierdzeń mówiących o nieistnieniu zbiorów antynomialnych (maksymalnie bogatych). A zatem w ramach aksjomatycznych systemów teorii mnogości dowodzi się twierdzenia, że np. nie istnieje zbiór uniwersalny, nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów... itd.

Są różne systemy aksjomatyczne teorii mnogości, pierwszy wywodzi się od Zermeli, (system Z - od nazwiska twórcy), który był poprawiany przez Frenkla i otrzymał sygnaturę Z-F, a następnie był jeszcze poprawiany i uzupełniany przez Skolema: ZFS. Są to systemy pozostające w nurcie Zermelowskim.

Drugim ważnym nurtem były systemy wywodzące się od Bernaisse'a. Dlaczego powstał ten drugi system? Uczony nie godzi się tak łatwo z tym że coś zostaje poza zakresem jego zainteresowań, czy nie dałoby się mimo wszystko włączyć tych maksymalnie bogatych zbiorów do rozważań, ale w sposób bezpieczny. Skoro zostały poza systemem: zbiór uniwersalny, zbiór wszystkich zbiorów, wobec tego zadano pytanie jak rozszerzyć systemy nurtu Zermelowskiego, aby zająć się także tymi zbiorami maksymalnie bogatymi. Bernaisse taki pomysł zgłosił.

Konstrukcja systemu (język, kłopoty z konstrukcją tego systemu, aksjomaty):

System Zermeli

• system Z dopuszcza mówienie o indywiduach (czyli przedmiotach, które nie są zbiorami), tzn. przyjmuje się, że zmienne systemu z kategorii składniowej nazw przebiegają zarówno zbiory jak i indywidua

• oprócz zmiennych do tej samej kategorii składniowej należą stałe denotujące zbiory, takie jak np. stała Ø - która denotuje zbiór pusty;

• terminem pierwotnym jest stała
  (epsilon teoriomnogościowy), która jest funktorem zdaniotwórczym od dwóch argumentów nazwowych; określa relację miedzy elementem a zbiorem do którego ten element przynależy

• do symboli systemu należą również funktory prawdziwościowe oraz kwantyfikatory (jest to system nadbudowany nad klasyczną logiką) - pełnią funkcję stałych logicznych tego systemu;

• wyrażenia
  i
  należą do wyrażeń sensownych systemu (syntaktycznie poprawnych);

• znak identyczności definiuje się:

- definicja Leibniziańsko- Russlowska

• w systemie ZF i ZFS przyjmuje się tzw. aksjomat ekstensjonalności:
  ,

który możliwy jest do przyjęcia tylko dlatego, że w tych systemach zmienne systemu reprezentują tylko nazwy zbiorów - nie mówią o indywiduach;

Pewne konieczne uzupełnienia:

Mowa jest w systemie Z zarówno o indywiduach jak i o zbiorach, co jest kolejna trudnością.

W systemie Z zmienne
i
mogą być indywiduami, tzn. przedmiotami, które nie są zbiorami, jest prawdą, że
(jeśli x było by indywiduum to z nie może być jego elementem, bo indywidua nie mają elementów, z definicji) oraz
, a to są wyrażenia które w tym aksjomacie ekstensjonalności występują, po obydwu stronach tej równoważności. W związku z tym wtedy aksjomat ekstensjonalności prowadziłby do wniosku, że
; a więc że dwa dowolne indywidua są identyczne (a tak być nie może).

Kolejna próba która nakazała poprawienie systemu Z, dla uniknięcia tego, aksjomat ekstensjonalności wprowadza się w postaci:

czytamy: Z(x) - x jest zbiorem, a zatem Z jest predykatem gwarantującym, że to co po prawej stronie będzie zbiorem.

Aksjomat zostaje poszerzony o dodatkowe założenia o tych zbiorach, w związku z tym w systemie Z należy wprowadzić definicję predykatu
:

Dlatego, że jest to zapis za długi wprowadzamy zamiast warunku o postaci
, przyjmujemy w systemie ograniczenie: że zmienne
przebiegają indywidua, a zmienne
przebiegają tylko zbiory. Ze względu na odniesienia semantyczne mówimy o zmiennych dwóch kształtów. Natomiast zmienne obu kształtów są zmiennymi tej samej kategorii składniowej - są nazwami.

W ten sposób pozbywamy się konieczności poprzedzania każdej formuły dodatkowym wskazaniem i odróżnianiem zbiorów od indywiduów.

AKSJOMATY systemu ZF i ZFS:

Czyli systemów pozostających w nurcie Zermelowskim, mowa jest o zbiorach, zmienne również mogą przebiegać indywidua.

1. AKSJOMAT EKSTENSJONALNOŚCI

Zbiory złożone z tych samych elementów są identyczne. O równości lub różności dwóch zbiorów stanowią ich elementy.

Ponieważ w poprzedniku implikacji widzimy równoważność (Zbiory A oraz B są złożone z tych samych elementów, wypowiedziane jest przez równoważność), wobec tego możemy powiedzieć: jeśli elementy się pokrywają to zbiory są identyczne. Zbiory równozakresowe są identyczne.

Równozakresowe, czyli bierzemy pod uwagę tylko zakresy tych nazw, czyli zbiory;

2. WARUNKOWE AKSJOMATY O ISTNIENIU ZBIORÓW

Warunkowe aksjomaty o istnieniu wykazują, że istnieją zbiory nowe (czyli obszerniejsze) przy założeniu, że pewne przedmioty już istnieją i są zbiorami.

1. AKSJOMAT PARY (pary nieuporządkowanej)

Dla dowolnych przedmiotów
istnieje zbiór o elementach
.

Aksjomat pary gwarantuje istnienie pewnego zbioru o elementach
. Aksjomat ekstensjonalności pozwala udowodnić, że istnieje dokładnie jeden taki zbiór i jest to para nieuporządkowana.

, czyli para nieuporządkowana o elementach
, np.
.

„wtedy gdy
” - na podstawie tego aksjomatu otrzymuje się twierdzenie o istnieniu zbioru jednoelementowego, gdy
jest dowolnym przedmiotem.

Czyli aksjomat pary nieuporządkowanej pozwala mówić również o zbiorze jednoelementowym, czyli o mniejszym od tego którego istnienie on gwarantuje.

Jednak ten aksjomat pozwala skonstruować tylko zbiór dwuelementowy, a zbioru trójelementowego, czy więcej elementowego na podstawie tych dwóch pierwszych aksjomatów nie możemy skonstruować.

2. AKSJOMAT SUMY

- rodzina zbiorów, czyli sama jest zbiorem i każdy element tej rodziny jest zbiorem.

Dla każdej rodziny zbiorów
istnieje zbiór złożony z tych i tylko tych przedmiotów, które należą do jakiegoś zbioru rodziny
.

Na podstawie tego aksjomatu mamy definicje sumy rodziny zbiorów:

- suma rodziny zbiorów

Suma dwóch zbiorów
(z algebry zbiorów) jest szczególnym przypadkiem rodziny zbiorów złożonej z dwóch zbiorów:
. W myśl aksjomatu ekstensjonalności istnieje tylko jeden taki zbiór, zwany sumą rodziny zbiorów K. Czyli jest jednoznaczność wyniku.

Aksjomaty pary i sumy pozwalają udowodnić istnienie zbioru złożonego z trzech, czterech lub dowolnej, ale skończonej ilości elementów.

np. aksjomat pary pozwala dowieść:

,

,

- jest rodziną zbiorów, zgodnie z aksjomatem sumy istnieje zbiór B będący sumą zbiorów rodziny K.

3. AKSJOMAT ZBIORU POTĘGOWEGO (aksjomat zbioru podzbiorów)

Dla każdego zbioru
istnieje rodzina zbiorów, której elementami są wszystkie podzbiory zbioru
.

Na podstawie aksjomatu ekstensjonalności możemy powiedzieć, że jest jeden taki zbiór:

DEF.

- rodzina zbiorów, zbiór potęgowy (zbiór wszystkich podzbiorów zbioru
)

Aksjomaty par, sumy i zbioru potęgowego pozwalają konstruować nowe, coraz większe zbiory, czyli zbiory o większej ilości elementów.

3. AKSJOMAT WYRÓŻNIANIA (schemat aksjomatów)

Ograniczenie tzw. aksjomatu definicyjnego poprzez wprowadzenie aksjomatu wyróżniania.

Świadome ograniczenie konstruowania coraz to większych zbiorów, jest to schemat aksjomatów. Obecność tego aksjomatu w takiej wersji powoduje, że jest nieskończenie wiele takich wyrażeń, nieskończenie wiele aksjomatów. W związku z tym mówi się, że cała aksjomatyka ze względu na to, że ten aksjomat jest schematem wszystkich aksjomatów, jest nieskończona.

- forma zdaniowa o jednej zmiennej x , ten warunek podpowiada nam, że można za pomocą tej formy można opisać wiele własności.

Operując terminami matematyki można opisać wiele różnych własności, które kryją się pod formą
.

np.1. posługując się mnożeniem i zbiorem liczb
, można zdefiniować dzielenie bez reszty wśród liczb naturalnych

-
jest dzielnikiem liczby
w zbiorze liczb naturalnych

np.2. można określić własność parzystości i własność dzielenia przez 3.

jest liczbą naturalną parzystą
(gdy 2 jest dzielnikiem liczby naturalnej
)

jest liczbą pierwszą

Tym własnościom odpowiadają w zbiorze liczb naturalnych odpowiednie podzbiory: zbiór liczb parzystych, zbiór liczb podzielnych przez 3 i zbiór liczb pierwszych. Są to zbiory, które są wyróżnione jako podzbiory, w zbiorze liczb naturalnych.

Można by przypuszczać, że każda własność dająca się opisać słowami określa pewien zbiór wszystkich tych przedmiotów, które mają tę własność.

To było główne założenie ukryte teorii mnogości Cantora, które potem nazwano założeniem definicyjnym.

Różnica polega na dodaniu zbioru, który stanowi podłoże dla tej własności (po prawej stronie obok warunku opisującego owe własności). Sens intuicyjny aksjomatu wyróżniania podzbioru w jakimś zbiorze.

Zatem, że punkt wyjścia Cantorowskiej teorii mnogości prowadzi do sprzeczności, został poprawiony przez wprowadzenie tego świadomego ograniczenia. Wobec tego obecnie przyjmuje się założenie nieco słabsze.

Zamiast mówić, że każda własność określa zbiór przedmiotów mających tę własność (tzw. aksjomat definicyjny), mówimy: że jeśli mamy pewien zbiór, to każda własność dająca się zapisać w języku matematyki wyróżnia w zbiorze A, pewien podzbiór B, złożony z tych i tylko tych elementów zbioru A, które tę własność spełniają.

Aksjomat pary, sumy i zbioru potęgowego pozwalają konstruować coraz to większe zbiory, natomiast aksjomat wyróżniania świadomie te możliwość ogranicza. Ponieważ on zezwala na wyróżnienie podzbioru, który nie może mieć więcej elementów od zbioru A, może mieć co najwyżej tyle co zbiór A. Aksjomat wyróżniania nie daje możliwości tworzenia coraz to większych zbiorów, jest zaporą przeciw tworzeniu zbiorów antynomialnych.

4. AKSJOMAT NIESKOŃCZONOŚCI

Istnieje rodzina zbiorów do których należy zbiór pusty i taka, że jeśli zbiór A jest jej elementem to jej elementem jest również suma
(zbiór mający swój jedyny element, którym jest zbiór
).

Ten aksjomat gwarantuje, że istnieje przynajmniej jeden zbiór mający nieskończenie wiele elementów.

elementami K są zbiory, które tworzą następujący ciąg:

,
,
,
...

Zbiór pojawia się na poziomie wyższym niż jego elementy. Zbiór pojawia się później niż jego elementy, elementy są wcześniejsze. Każdy wyraz tego ciągu zbiorów jest zbiorem, którego elementami są wszystkie poprzedzające go wyrazy tego ciągu zbiorów i jest różny od każdego z nich. Zbiór nieutożsamiany jest ze swoimi elementami, elementy konstytuują zbiór. To sformułowanie pochodzi od J. von Neumann'a.

W teorii mnogości można zbudować arytmetykę liczb naturalnych, bądź arytmetykę liczb wymiernych, aby budować aksjomaty arytmetyki musi być zagwarantowane istnienie choć jednego zbioru nieskończonego. To stwierdzenie określa niezbędność tego aksjomatu. Bez tego aksjomatu nie można zbudować arytmetyki liczb naturalnych. Teoria mnogości była by jako język matematyki bezużyteczna.

5. AKSJOMAT WYBORU

Jest to aksjomat dyskutowany, podobnie jak aksjomat o prostych równoległych w geometrii. Kwestionowanie aksjomatu wyboru powoduje, że niektórzy przyjmują teorię mnogości bez tego aksjomatu. Aksjomat wyboru jest jedynym aksjomatem teorii mnogości, który postuluje istnienie pewnego zbioru bez podania metody jego konstrukcji (określenia), tzn. że jest on nieefektywny.

Udowodnione zostały 2 twierdzenia o tym aksjomacie:

• Gödel (1940): podał dowód niesprzeczności tego aksjomatu z innymi aksjomatami.

• P. Cohen (1963): udowodnił twierdzenie o niezależności tego aksjomatu od pozostałych.

Dla każdej rodziny zbiorów niepustych i wzajemnie rozłącznych istnieje zbiór, który ma dokładnie jeden element wspólny z każdym zbiorem tej rodziny.

Aksjomat wyboru mówi, że dla tej rodziny o tych własnościach, że jest to rodzina zbiorów niepustych i wzajemnie rozłącznych (czyli parami rozłącznych) istnieje zbiór złożony z elementów wybranych po dokładnie jednym z każdego zbioru tej rodziny.

Zbiór cech byłby zbiorem reprezentantów, zawierającym po jednym reprezentancie z każdego zbioru rodziny K - nazywa się go czasem klasą wyboru.

Pojawia się problem wyboru tych reprezentantów.

W 1890 roku Peano zwrócił uwagę, że nie należy wybierać elementów w nieskończonej ilości, bez podania prawa tych wyborów, a to ma miejsce w przypadku tego aksjomatu, dlatego nie powinny dziwić dyskusje wokół tego aksjomatu. I to nie tylko dyskusje dotyczące tego, że nie potrafimy wskazać takiego zbioru, to po co w ogóle mowa o jego istnieniu? Obok tego tzw. nieefektywnego dowodu istnienia, który jest pierwszą opozycją wobec aksjomatu wyboru, drugim motywem jest: dowodzi się twierdzeń (w szczególności pewnych twierdzeń geometrycznych) nie intuicyjnych.

Najbardziej znane jest twierdzenie Banacha - Tarskiego, to twierdzenie jest twierdzeniem o paradoksalnym rozkładzie kuli.

Sens tego twierdzenia: wnętrze kuli bez środka daje się podzielić na takie dwie części, że z każdej z nich można przez podział na skończoną liczbę części i dokonanie odpowiednich obrotów złożyć kulę bez środka identyczną z kulą wyjściową. Czyli z jednej kuli możemy złożyć dwie kule.

To twierdzenie o paradoksalnym rozkładzie kuli jest twierdzeniem nie intuicyjnym.

Te dwa przykłady są najlepszą ilustracją aby ową opozycję wobec aksjomatu wyboru sobie przybliżyć.

Warto zauważyć, że konstrukcja zbioru wykonywana na podstawie: aksjomatu sumy, zbioru potęgowego oraz aksjomatu wyróżniania są jednoznaczne. Natomiast aksjomat wyboru nie wyznacza jednoznacznie zbioru, którego istnienie stwierdza. Niejednoznacznie, czyli dla danej rodziny K złożonej ze zbiorów niepustych i rozłącznych istnieje na ogół wiele zbiorów C, realizujących tezę aksjomatu wyboru.

Uwaga metodologiczna:

Systemy dedukcyjne, ze względu na charakter aksjomatów, można podzielić zasadniczo na 2 typy:

1. aksjomaty w pełni charakteryzują daną teorię, tzn. stanowią definicję pojęć pierwotnych tej teorii, np. teoria grup;

2. aksjomaty wyrażają jedynie pewne własności pojęć pierwotnych teorii, w tym przypadku celem teorii jest pewna systematyzacja intuicyjnego pojęcia, większość teorii dedukcyjnych jest tego typu.

Aksjomaty teorii mnogości, dotychczas podane, nie charakteryzują w pełni intuicyjnej treści pojęcia zbioru. W konsekwencji nic więc dziwnego, że pewne intuicyjnie oczywiste własności nie dają się z tych aksjomatów wyprowadzić. Przykładem jest własność dla której scharakteryzowania przyjmuje się w niektórych wykładach teorii mnogości tak zwany AKSJOMAT REGULARNOŚCI, zwany też aksjomatem ufundowania.

K jest niepustą rodziną zbiorów, to istnieje taki element w tej rodzinie zbiorów, który jest zbiorem, że iloczyn (czyli część wspólna) tego zbioru i tej rodziny, jest zbiorem pustym. Element ten czyli zbiór A, będący elementem tej niepustej rodziny, jest taki, że .....(jakiś warunek), że ten warunek jest spełniony nazywamy warunkiem minimalnym dla rodziny K.

Właściwie niewiadomo o jakiej własności jest mowa, dopuki nie napiszemy tego co wynika z tego aksjomatu.

Z aksjomatu tego wynika, że A nie jest swoim własnym elementem (i to dla dowolnego A). Skoro jest elementem, a z tą rodziną nie ma nic wspólnego, bo iloczyn jest zbiorem pustym, ale nie jest też swoim własnym elementem. Nie może też być tak, że A jest elementem B i B jest elementem A, czyli nie ma cyklów żadnej długości, nie ma zapętleń. A, zatem proces konstruowania zbioru nie może być nigdy definitywnie zakończony. Wszystkie przedmioty (zbiory) tworzą niczym nieograniczoną hierarchię coraz obszerniejszych poziomów. Tę hierarchię nazywano hierarchią teoriomnogościową. Tę hierarchię teoriomnogościową odkryli von Neumman (1929) i Zermelo (1930).

Ontologiczna hierarchia teoriomnogościowa:

0. indywidua i zbiór pusty - czyli przedmioty które nie mają elementów;

1. wszystkie przedmioty z poziomu (0) i wszystkie zbiory tych przedmiotów (m.in. zbiór nieskończony);

2. wszystkie przedmioty leżące na poziomach niższych - (0), (1) - oraz wszystkie zbiory tych przedmiotów, itd.

Zatem zbiór przedmiotów pojawia się zawsze na poziomie wyższym, niż pojawiły się jego elementy. Mając tą hierarchię ontologiczną przedmiotów teoriomnogościowych aksjomat regularności zostaje wyjaśniony. Istotnie element rodziny zbiorów nie ma nic wspólnego z rodziną zbiorów nic wspólnego, ponieważ iloczyn jest faktycznie pusty, bo rodzina zbiorów pojawia się po raz pierwszy na poziomie wyższym niż jego elementy.

Zwróćmy uwagę na różnicę która występuje w teorii typów, tam każdy poziom w ontologicznej hierarchii miał indeks, który był indeksem typu, przedmioty musiały być jednego typu na każdym poziomie. Tutaj każdy następny poziom zawiera wszystkie poprzednie, a ponadto zbiory, które po raz pierwszy się pojawiają - zbiory tych przedmiotów. Natomiast w teorii typów były wyraźnie odróżnione warstwy i charakter przedmiotów był jednego rodzaju. Tutaj na każdym poziomie są poziomy wcześniejsze. Jest odmienność tej hierarchii.

System Z wyróżniliśmy ze względu na kłopoty natury syntaktycznej, ponieważ trzeba byłoby wprowadzić osobny predykat bycia zbiorem, bo jedna litera oznaczała zarówno indywidua jak i przedmioty, które są zbiorami, stąd był kłopotliwy w zapisie.

Wobec antynomii systemy Zermelowskie zajęły stanowisko, że należy wprowadzić aksjomat wyróżniania poprawiający jedno z głównych założeń teorii mnogości Cantora, czyli tzw. aksjomat komprehenzji.

Innym nurtem systemów aksjomatycznych są systemy Bernaysa. Bernays w 1930 roku sformułował swój system i opublikował w 7 częściach w 1937 roku.

W 1940 roku Kurt Gödel podał uproszczoną aksjomatykę dla tego systemu. Zaś główna idea pochodzi od Johna von Neumman'a. Dlatego te systemy na ogół noszą sygnaturę NBG, przy czym litera B od nazwiska Bernaysa po środku pokazuje, że są to systemy pozostające w nurcie Bernaysowskim.

Systemy Bernaysowskie są rozszerzeniem systemów Zermelowskich, czyli zarówno ZF, jak i ZFS. Twierdzenia o zbiorach zachowują się takie jak w ZFS, zatem główny zrąb twierdzeń teoriomnogościowych dotyczący zbiorów jest taki sam zarówno w systemach aksjomatycznych Zermelowskich, jak i w systemach Bernaysowskich.

Rozszerzenie w systemach Bernaysowskich polega na wprowadzeniu do systemu zbiorów antynomialnych, które zostały poza systemem w systemach Zermelowskich. Uczony zwykle nie godzi się na taką sytuację i stawia dalej pytania: czy faktycznie nie ma takich czynności nauko twórczych, które pozwoliłyby zająć się tym co pozostało poza systemem. Co należy zrobić, żeby nie tracić niż z niesprzeczności dotychczasowej teorii dopuścić do rozważań te bogate zbiory. Nie można dopuścić tak prosto, bo wprowadzi się antynomię, więc jaki zabieg się czyni? Te zbiory antynomialne nazywa się klasami. Zatem odróżnia się w systemach Bernaysowskich pojęcie zbioru od pojęcia klasy. Wobec tego zamiast antynomii otrzymuje się dowody twierdzeń, że odpowiednie klasy nie są zbiorami. Odpowiednie klasy, czyli te które byłyby bogatymi zbiorami - nie są zbiorami. Wobec tego główny zrąb twierdzeń dotyczących zbiorów we wszystkich systemach aksjomatycznych zarówno jednego jak i drugiego nurtu jest wspólny, ale u Bernaysa, ponadto są twierdzenia dotyczące klas, które nie są zbiorami, bo wprowadzałyby antynomie.

Odróżnia się w systemach Bernaysa pojecie zbioru i pojecie klasy. Do klas zalicza się zbiory obszerne, antynomialne, nie mieszczące się w systemach Zermelowskich. Gdybyśmy zakresowo potraktowali te dwa pojęcia (terminy) moglibyśmy powiedzieć, że:

Prosta konsekwencja na poziomie teorii: wszystkie twierdzenia dotyczące zbiorów są wspólne, zarówno dla systemów Zermelowskich, jak i systemów Bernaysowskich. Natomiast wszystkie systemy Brenaysowskie są rozszerzeniem systemów Zermelowskich. Co widać na zakresowym zilustrowaniu tego pierwotnego odróżnienia, że oprócz twierdzeń o zbiorach, w systemach Bernaysowskich, są twierdzenia o klasach.

Zbiorem jest klasa X, która jest elementem jakiejś innej klasy Y.

Gdy duże litery zarezerwujemy, jako zmienne systemu reprezentujące nazwę dowolnych klas, czyli X, Y, Z są nazwami dowolnych klas. Otrzymujemy definicję:

Klasa X jest zbiorem wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje klasa Y, że X jest elementem Y.

Zatem każdy zbiór jest klasą, ale nie każda klasa jest zbiorem (antynomialne klasy nie są zbiorami). Czyli wspólny zrąb twierdzeń o zbiorach jest dla wszystkich systemów aksjomatycznych.

Uwagi:

System Bernaysa jest też teorią pierwszego rzędu (czyli elementarną), podobnie jak wszystkie Zermelowskie, czyli jeden rodzaj zmiennych.

(epsilon) jest nadal stałą i jest funktorem zdaniotwórczym od dwóch argumentów nazwowych

System Bernaysa jest skończenie aksjomatyzowalny. To jest różnica w stosunku do systemów Zermelowskich, które były nieskończenie aksjomatyzowalne (ponieważ aksjomat wyróżniania był tym aksjomatem, który wprowadzał nieskończoną ilość aksjomatów, bo był schematem nieskończonej ilości aksjomatów).

Antynomiom zapobiega się nie przez niedopuszczenie bardzo obszernych zbiorów, ale przez odebranie im możliwości bycia elementem, bo są klasami, które nie mogą być elementem jakiejś innej klasy, zgodnie z definicją zbioru.

Zbiory mogą być elementami innych zbiorów, klasy nie.

Modyfikacja tzw. aksjomatu komprehenzji: we wszystkich systemach aksjomatycznych we wszystko jedno którym nurcie następuje ograniczenie tzw. aksjomatu komprehenzji. Przez ograniczenie nie otrzymuje się antynomii ale dowody pewnych twierdzeń.

Tzw. Aksjomat komprehenzji nie jest aksjomatem w żadnym systemie teorii mnogości i dlatego jest „tzw.”, nazwa aksjomat jest zwyczajowym podkreśleniem, że był to punkt wyjścia u Cantora, czyli intuicja związana z pojęciem zbiór.

w systemach Z, ZF, ZFS zamiast tzw. aksjomatu komprehenzji mamy aksjomat wyróżniania:

modyfikacja polega na dodaniu podłoża z którego pobieramy te przedmioty i pytamy czy spełniają tę formę

w systemach Bernaysa

Zatem klasa Russellowska (czyli zbiór normalny), u Cantora było możliwe do wprowadzenia przez tzw. aksjomat koprehenzji. Klasa Russellowska była to definicja
.

A jest klasą normalną wtedy i tylko wtedy, gdy nie prawda, że A jest swoim własnym elementem.

Czyli R, ze względu na to, że jest mowa o systemach Bernaysa mówimy o klasie, ponieważ gdy wszystkie te zbiory anynomialne u Zermeli nie wchodzą do systemu, są poza systemem, a jeżeli w ogóle o nich mówimy to tylko na poziomie systemów Bernaysowskich, to należy stosować odróżnienie: zbiór i klasa.

Zatem w systemach ZF, ZFS nie mamy antynomii, bo taka definicja nie da się na gruncie aksjomatu wyróżniania nie da się zastosować i dzięki.

Otrzymujemy, że
,

stad wynika, że
,

czyli zamiast antynomii otrzymuje się dowody twierdzeń, że pewne zbiory nie istnieją, np. zbiór uniwersalny, zbiór wszystkich zbiorów itd. Nie ma możliwości skonstruowania pewnych zbiorów na gruncie systemów Zermelowskich, gdyż ogranicza tę możliwość aksjomat wyróżniania.

U Bernaysa po wprowadzeniu modyfikacji tzw. aksjomatu komprehenzji:

Dowodzi się tezy, że
, czyli zamiast antynomii w systemach Bernaysa otrzymuje się dowody twierdzeń, że odpowiednie klasy nie są zbiorami, czyli, że klasa Russellowska nie jest zbiorem.

Obok tych systemów aksjomatycznych są inne systemy aksjomatyczne, np. są dwa systemy Quina: NF, ML - od pierwszych liter tytułów dzieł, w których on zaproponował te systemy.

W pewnym sensie te systemy są obok, nie są w dalszym ciągu. Systemy Bernaysa są faktycznym rozszerzeniem systemów Zermelowskich, czyli są w ciągu coraz obszerniejszych systemów. Natomiast systemy Quina są obok, to nie jest kolejne rozszerzenie, tylko są to inne systemy i dlatego mówi się o nich, że są to systemy pośrednie, pomiędzy ujęciami aksjomatycznymi a teorią typów.

Mówi się czasem jeszcze o systemach Morse'a.

Wielu uczonych nie pogodziło się z utratą teorii Cantora. Wielu uczonych próbowało na różne sposoby docierać do tych początków, które były odpowiedzialne i do intuicji.

Wskazówka metodologiczna: przy każdym rozeznawaniu na ogół bada się początek i koniec - konsekwencje.

Zebranie myśli: ;)

Odkryto antynomie.

Próbowano zbadać powody tych antynomii i ustalono, że są dwa powody:

1. wyrażenia, które Russell wydobył poprzez sformułowanie swojej antynomii, czyli uznanie za poprawne syntaktycznie wyrażenia
   oraz
   

2. tzw. aksjomat komprehenzji, który mówił, że każdy warunek sensowny
   wyznacza zbiór przedmiotów, które go spełniają;

skoro odkryto dwa źródła antynomii, to próbowano ograniczyć jedno i próbowano ograniczyć drugie:

1. ograniczenie sensowności wyrażeń prowadziło do teorii typów i rygorystycznej hierarchii ontologicznej zbiorów, z której usunięto zbiory mieszane i jednocześnie wprowadzono restrykcyjnie indeksowanie, czyli tzw. typizację (wieloznaczność typikalną);

2. aksjomatyczne systemy teorii mnogości, które dopuszczały zbiory mieszane, ale poza systemem zostawiały zbiory antynomialne, czyli te maksymalnie bogate, które wprowadzały sprzeczność do systemu;

antynomie rozumiemy ściśle, czyli jako dowód dwóch wyrażeń sprzecznych na gruncie danego systemu. Wobec tego jeśli nie ma antynomii, tzn. że nie ma tych zbiorów które za antynomie były odpowiedzialne, czyli musi być dowód, że ich nie ma. Czyli, że system jest tak skonstruowany, że nie dopuszcza twierdzeń o tych bogatych zbiorach.

38

zbiór

klasa

---