TEORIA PORTFELOWA (Markowitz) - zajmuje się inwestowaniem w akcje co najmniej 2 spółek w taki sposób aby osiągnąć korzyść z jednoczesnego zmniejszenia ryzyka i zwiększenia stopy zwrotu

Stopa zwrotu portfela
, gdzie: w_i - udział danej akcji w portfelu, Ri - stopa zwrotu danej akcji. Rp - średnia ważona stóp zwrotu poszczególnych akcji wchodzących w skład portfela, gdzie wagami są udziały tych akcji w portfelu. Ryzyko portfela akcji (mierzone odchyleniem standardowym) - nie jest średnią ważoną odchyleń standardowych poszczególnych akcji ponieważ występuje korelacja stóp zwrotu akcji wchodzących w skład portfela. Ryzyko portfela złożonego z 2 akcji: Vp = Sp² = w₁²s₁² + w₂²s₂² + 2w₁s₁w₂s₂ξ₁₂

Vp - wariancja portfela, s₁, s₂ - odchylenie standardowe oczekiwanej stopy zwrotu pierwszej i drugiej akcji, ξ₁₂ - współczynnik korelacji stóp zwrotu pierwszej i drugiej akcji - mierzy zależność liniową stopy zwrotu 2 akcji. Może przyjmować wartości z przedziału [-1 ; 1]. Znak przed wartością współczynnika korelacji wskazuje na kierunek powiązań stóp zwrotu dwóch akcji. Ujemny wskaźnik mówi, że wzrost jednej akcji powoduje spadek drugiej. Wartość bezwzględna współczynnika wskazuje na siłę powiązań stóp zwrotu 2 akcji. Jeżeli współczynnik korelacji jest równy 1 to nie można stworzyć portfela o zerowym ryzyku (odchylenie standardowe portfela nigdy nie będzie równe 0).

* portfel złożony z 2 akcji w tzw. krótkiej sprzedaży: krotka sprzedaż polega na sprzedaży pożyczonych akcji z zamiarem ich późniejszego odkupienia i zwrócenia. Udział akcji w portfelu dla którego dokonuje się krótkiej sprzedaży jest liczbą ujemną (suma udziału zawsze = 1).

* portfel złożony z akcji oraz instrumentów wolnych od ryzyka (bony skarbowe - ich stopa rentowności zwana jest stopą wolną od ryzyka)

Stopa zwrotu takiego portfela: Rp = wfRf+ (1 - wf) * Re, gdzie: wf - udział w portfelu instrumentu wolnego od ryzyka, Rf - stopa wolna od ryzka (stopa rentowności bonu akarbowego) Re - stopa zwrotu akcji

Ryzyko takiego portfela mierzone jest odchyleniem standardowym: Sp = (1 - wf)*Se, gdzie: wf - udział w portfelu instrumentu wolnego od ryzyka, Se - odchylenie standardowe oczekiwanej stopy zwrotu akcji

TEORIA UŻYTECZNOŚCI: Zakłada ona, że dla każdego inwestora pieniądze mają pewną wartość użytkową. Każda dodatkowa wartość pieniężna przynosi jej właścicielowi wzrost wartości użytkowej, która dla indywidualnej osoby kształtuje się zgodnie z zasadą malejącej krańcowej użyteczności dochodu, co oznacza, iż kolejne przyrosty zasobów pieniądza w coraz mniejszym stopniu zwiększają użyteczność całkowitą. Należy zatem maksymalizować użyteczność, która będzie uwzględniać także skłonność inwestora do ryzyka, a więc jego zachowanie się w sytuacji występowania ryzyka np. inwestycji kapitałowych. Kryterium jest maksymalizacja oczekiwanej użyteczności, którą obliczamy ze wzoru: E(W)=∑p_i*W_i gdzie: W_i-użyteczność i-tego wariantu; E(W)-wartość oczekiwana użyteczności; p_i-prawdopodobieństwo wystąpienia i-tego wariantu.

MODEL JEDNOWSKAŹNIKOWY W. Sharpe'a: tzw. model jednoindeksowy, jest to rozwinięcie klasycznej teorii Markowitza. W modelu tym uzależnia się stopę zysku od działania jednego czynnika, który można określić jako czynnik giełdy rynku. Takim czynnikiem jest indeks giełdowy, który w sposób syntetyczny opisuje sytuację na rynku. Indeks giełdowy może być uważany jako przeciętna akcja, której cena zmienia na każdej sesji, a co za tym idzie możemy dla niej wyznaczyć stopę zysku za pomocą wzoru: R_i=α_i+β_iR_M+u_i gdzie: R_i-stopa zysku i-tej akcji; R_M-stopa zysku indeksu giełdowego; α_i , β_i-parametry równania; u_i-składnik losowy dla i-tej akcji (uwzględnia wpływ innych czynników oddziałujących na daną akcję oprócz indeksu giełdowego). Współczynnik beta (β)-pokazuje o ile procent przeciętnie wzrośnie stopa zysku i-tej akcji, jeżeli stopa zysku indeksu giełdowego wzrośnie o jednostkę, czyli o 1%. Oznacza on zatem stopień wrażliwości danej akcji na zmiany stopy indeksu giełdowego (czynnika rynkowego). β_i=(σ_i/σ_M)*ρ_iM gdzie: ρ_iM-wsp. Korelacji midyz sotp yzsku i-tej akcji a stop zysku indeksu giełdowego; σ_i-ryzyko i-tej akcji; σ_M-ryzyko indeksu giełdowego. β<0-stopa zysku danej akcji zmienia się w przeciwnym kierunku niż stopa zysku indeksu giełdowego, β=0-stopa zysku akcji nie jest nie jest zależna od zmian indeksu (np. obligacje rządowe), 0<β<1-stopa zysku akcji w niewielkim stopniu zależy od zmian zachodzących na giełdzie (akcja defensywna), β=1-stopa zwrotu akcji podlega takim samym zmianom jak indeks giełdowy, β>1-stopa zwrotu akcji zmienia się szybciej niż stopa zysku indeksu giełdowego (akcja agresywna). Parametr α-jest to czynnik stały równania wyrażający oczekiwaną części zysku niezależną od indeksu giełdowego. Ogólne rówanie: R_i=α_i+β_i1I₁+β_i2I₂+…+β_iKI_K+u_i gdzie: I_K-k-ty czynnik wpływający na stopę zysku i-tej akcji.

MODEL WYCENY AKTYWÓW KAPITAŁOWYCH (CAPM): tzw. model równowagi rynku kapitałowego. Jest to model pozwalający zobrazować zależność między ponoszonym ryzykiem systematycznym inaczej nazywanym rynkowym lub niedywersyfikowalnym, a oczekiwaną stopą zwrotu. Model CAPM wykorzystywany jest w liczeniu kosztu kapitału własnego, do oceny efektywności inwestycyjnej funduszy zbiorowego, badania stopnia efektywności rynku giełdowego itp. W modelu tym podstawowymi parametrami każdego portfela wyst. na rynku kapitałowym są: oczekiwana stopa zysku i ryzyko, z tym że jako miarę ryzyka wykorzystuje się współczynnik beta. Założenia: 1)brak kosztów transakcyjnych oraz opodatkowania dochodów z przeprowadzanych transakcji, 2)występujące na rynku aktywa można dzielić na mniejsze części (pap. wart. mają idealną płynność), co oznacza że można inwestować każdą sumę w zależności od stanu bogactwa, 3)ceny na giełdzie zależą jedynie od działalności wszystkich inwestorów a nie każdego indywidualnie, 4)inwestorzy podejmują decyzje o budowie portfela indywidualnie w oparciu o oczekiwaną stopę zysku i ryzyko, 5)na rynku istnieją pap. wart. nie obarczone ryzykiem, 6)wszystkie aktywa są rynkowe, można je sprzedać i kupić na rynku. Model CAPM ma dwie postacie: 1)linia rynku kapitałowego (CML)-przedstawia zależność między ryzykiem a stopą zwrotu portfela: R=R_F+((R_M-R_F)/σ_M)*σ. 2)linia rynku pap. wart. (SML)-przedstawia zależność pomiędzy współczynnikiem beta (miara ryzyka) a stopą zwrotu portfela: R=R_F+(R_M-R_F)*β gdzie: R-stopa zysku portfela lub pap. wart.; R_F-stopa zysku wolna od ryzyka; R_M-stopa zysku portfela rynkowego; β-wsp. beta.

Rynek derywatów - rynek, na którym obraca się instrumentami pochodnymi. Funkcje: 1)zabezpiecza przed różnymi rodzajami ryzyka 2)umożliwia osiąganie ponadprzeciętnych dochodów przez inwestorów 3)umożliwia osiąganie pożądanej struktury dochodów inwestorów. Instrument pochodny - instrument, którego cena uzależniona jest od ceny innego instrumentu (tzw. bazowego). Instrumenty rynku derywatów: *kontrakty terminowe futures - umowa zobowiązująca dwie strony kontraktu do zawarcia w przyszłości transakcji kupna - sprzedaży, wystandaryzowanej wielkości instrumentu bazowego i wystandaryzowanym terminie i po z góry określonej cenie (cena rozliczeniowa). Są to kontrakty giełdowe. Są wystandaryzowane (giełda określa wielkość instrumentu bazowego oraz termin wykonania kontaktu). Kontrakty te zobowiązane są do wniesienia określonej kwoty na tzw. rachunek zabezpieczający. Ma też miejsce w przypadku tych kontraktów codzienne rozliczanie depozytów rozliczających. 99% kontraktów futures wykonuje się w terminie ich wykonania za pomocą tzw. transakcji różnicowej, która polega na zawarciu drugiego kontraktu przez strony identycznego jak wcześniej zawarty lecz przeciwnego z punktu widzenia zaangażowania rynkowego stron kontraktu. W tym przypadku zysk lub strata stron wynika z różnicy między ceną rozliczenia pierwszego i drugiego kontraktu. Około 1% przypadku rozliczeń tych kontraktów następuje poprzez fizyczną dostawę instrumentu bazowego. W kontraktach futures występuje zjawisko dźwigni finansowej (wpłacając stosunkowo niewielką kwotę na rachunek zabezpieczający można osiągnąć ponadprzeciętne zyski lub straty. Teoretycznie potencjalny zysk lub strata są nieograniczone w kontaktach futures). Instrumentami bazowymi w kontraktach futures mogą być wszystkie instrumenty giełdowe (akcje, waluty obce). *kontrakty terminowe forward - umowa zobowiązująca dwie strony kontraktu do zawarcia w przyszłości transakcji kupna sprzedaży określonej wielkości instrumentu bazowego w określonym terminie i po z góry określonej cenie (cena rozliczeniowa). Są to kontrakty pozagiełdowe. Określone są mianem „.... made” - uszyte na miarę, bo strony ustalają wszelkie cechy tego kontraktu w zależności od potrzeb. Nie ma w tych kontraktach depozytów zabezpieczających, wykorzystywane są w terminie ich wykonania za pomocą fizycznej dostawy instrumentu bazowego. Kontrakty te najczęściej zawierane są w cenach zabezpieczających. Potencjalny zysk lub strata są nieograniczone. Instrumentami bazowymi mogą być wszystkie instrumenty giełdowe. *opcje - wyróżniamy 2 rodzaje: 1)opcje kupna - jej nabywca posiada prawo do zakupu instrumentu bazowego w określonym terminie w przyszłości i po z góry określonej cenie, natomiast wystawca opcji kupna ma obowiązek sprzedaży instrumentu bazowego w określonym terminie w przyszłości i po z góry określonej cenie 2)opcje sprzedaży - jej nabywca posiada prawo do sprzedaży instrumentu bazowego w określonym terminie w przyszłości i po z góry określonej cenie, natomiast wystawca opcji kupna ma obowiązek kupna instrumentu bazowego w określonym terminie w przyszłości i po z góry określonej cenie. Cena po której kupuje się i sprzedaje instrument bazowy w opcji to cena wykonania. Termin wygaśnięcia opcji to termin po upływie którego opcja traci ważność. To czy opcja będzie wykonana czy nie zależy od porównania ceny wykonania z ceną instrumentu bazowego na rynku w terminie wygaśnięcia opcji. Nabywca opcji w momencie jej zakupu płaci wystawcy cenę opcji (premia). c.w. - cena wykonania, c.b. - cena instrumentu bazowego. 1) c.w. > c.b.: a)opcja kupna - opcja kupna nie będzie wykonana, przypadek ten określa się mianem opcja nie jest w cenie, opcja jest niepieniężna - „out of the money” b)opcja sprzedaży - opcja będzie wykonana, opcja jest w cenie, jest pieniężna - „in the money” 2) c.w. < c.b.: a)opcja kupna - opcja będzie wykonana, opcja jest w cenie, jest pieniężna - „in the money” b)opcja sprzedaży - opcja kupna nie będzie wykonana, przypadek ten określa się mianem opcja nie jest w cenie, opcja jest niepieniężna - „out of the money” 3) c.w. = c.b.: a)opcja kupna i b)opcja sprzedaży - opcja może być wykonana lub opcja może być niewykonana, opcja jest po cenie, „at the money”

Potencjalny zysk nabywcy opcji jest teoretycznie nieograniczony, a maksymalna strata jest równa zapłaconej premii. Natomiast maksymalny zysk wystawcy opcji jest równy otrzymanej premii a potencjalna strata teoretycznie nieograniczona. Podział opcji: 1)termin wykonana: a)europejskie - może być wykonana jedynie w dniu będącym terminem jej wygaśnięcia b)amerykańskie - może być wykonana w całym okresie aż do terminu wygaśnięcia włącznie 2)standaryzacja: a)giełdowe - są wystandaryzowane podobnie jak kontrakty futures. Depozyt zabezpieczający wpłaca tylko wystawca opcji. Instrumentami bazowymi mogą być te same instrumenty co w kontraktach futures. b)pozagiełdowe - nie są wystandaryzowane podobnie jak kontrakty forward. Instrumentami bazowymi mogą być te same instrumenty co w kontraktach forward. *swapy - instrumenty pozagiełdowe. Wyróżnia się 2 rodzaje: 1)procentowe - polegają na wymianie między dwiema stronami płatności kalkulowanych na podstawie różnych stóp % (następuje wymiana płatności o stałym oprocentowaniu na płatności o zmiennym oprocentowaniu i na odwrót lub płatności o zmiennej stopie % na płatności o innej zmiennej stopie %. 2)walutowe - polegają na wymianie między dwiema stronami płatności denominowanych w różnych walutach.

INWESTOWANIE W OBLIGACJE O STAŁYM OPROCENTOWANU I ZEROKUPONOWE. Cena brudna - cena, którą płaci się przy zakupie obligacji. Składa się z ceny czystej oraz odsetek, które narosły od ostatniej płatności. Cena czysta - kurs obligacji. Podaje się go jako procent wartości nominalnej obligacji. Wyceny obligacji dokonuje się w celu określenia czy rynek poprawnie wycenił obligację, czy nie. Jeśli cena otrzymana z wyceny obligacji jest niższa od jej wartości rynkowej to obligacja jest przeszacowana przez rynek i należy ją sprzedać. Jeśli natomiast cena otrzymana z wyceny jest wyższa od jej wartości rynkowej to obligacja jest niedoszacowana i należy ją kupić. Jeśli cena wyceny jest równa cenie rynkowej to rynek jest efektywny. Wyceny obligacji dokonuje się wtedy, gdy rynek jest nieefektywny, czyli nie wycenia poprawnie obligacji. *Wycena obligacji o stałym oprocentowaniu:
.

P - cena obligacji, Ct - dochód z tytułu posiadania obligacji w okresie t, r - stopa % będąca wymaganą stopą zwrotu inwestora, t - okres otrzymywania dochodów z tytułu posiadania obligacji. * Wycena obligacji zerokuponowych: , P - cena obligacji, FV - wartość nominalna obligacji, r - stopa % będąca wymaganą stopa zwrotu inwestora, n - okres pozostający do terminu wykupu obligacji. Kiedy rynek jest efektywny, to obligacji się nie wycenia lecz oblicza się zrealizowaną stopę dochodu inwestora, która nosi nazwę „stopa dochodu w okresie do wykupu” (YTM - Yield To Maturity). Stopa YTM - stopa zwrotu z inwestycji polegającej na zakupie obligacji aż do terminu jej wykupu oraz reinwestowaniu odsetek z tytułu posiadania obligacji wg stopy YTM. Stopa YTM dla obligacji o stałym oprocentowaniu:
.

Stopa YTM dla obligacji zerokuponowych:
. Zależność między stopą YTM a ceną obligacji - zależność jest odwrotnie proporcjonalna:

Ryzyko inwestowania w obligacje: 1)ryzyko niedotrzymana warunków - prawdopodobieństwo, że emitent obligacji nie wywiąże się ze swoich zobowiązań (nie wykupi obligacji w terminie lub nie będzie płacił w terminie odsetek z tytułu posiadania obligacji). Miarą ryzyka niedotrzymania warunków jest rating. AAA - najlepsza ocena ratingowa; C lub D - najgorsza ocena ratingowa w zależności od agencji ratingowej, B+, B- - bardziej szczegółowa ocena. Rating polega na przyznaniu oceny ratingowej przez instytucję ratingową emitentowi obligacji. Ocena ta wskazuje na poziom ryzyka niedotrzymania warunków związanego z emitentem obligacji. Ocena ta polega na kombinacji liter, ewentualnie liter i znaków, które określają poziom tego ryzyka. Skarb Państwa w Polsce ma ocenę ratingową BB+ (niewielkie ryzyko). Przedsiębiorstwo z Polski nie może otrzymać wyższej oceny niż SP. Aby zminimalizować ryzyko niedotrzymania warunków należy inwestować w obligacje SP. 2)ryzyko stopy %: a)ryzyko zmiany ceny (ryzyko okresu posiadania obligacji) - prawdopodobieństwo osiągnięcia dochodów wyższych lub niższych niż oczekiwane w sytuacji, gdy zmieni się rynkowa stopa % i w ślad za tym cena obligacji w momencie jej sprzedaży na rynku wtórnym przed terminem jej wykupu. Wzrost rynkowej stopy % prowadzi do spadku ceny obligacji o stałym % i na odwrót. Aby uniknąć ryzyka zmiany ceny należy przetrzymać obligację do terminu jej wykupu. b)ryzyko reinwestowania - prawdopodobieństwo osiągnięcia innej stopy dochodu niż oczekiwana w wyniku zmiany rynkowe stopy %, która prowadzi do zmiany stopy reinwestowania dochodów z tytułu posiadania obligacji. Aby uniknąć ryzyka reinwestowania należy inwestować w obligacje zerokuponowe. Ryzyko stopy % - ryzyko spekulacyjne (osiągniemy stratę lub wyższy dochód). Ryzyko czyste - możemy ponieść tylko stratę (bez zysków)

Miary ryzyka stopy %:

1)duracja obligacji - średnia ważona okresów (lat) otrzymywania dochodów z tytułu posiadania obligacji, gdzie wagami są wartości bieżące tych dochodów. Duracja to inaczej średni termin wykupu obligacji lub czas trwania obligacji. Durację mierzy się w latach. Dla obligacji o stałym % duracja jest niższa niż okres pozostający do terminu jej wykupu, natomiast duracja obligacji zerokuponowych jest równa terminowi wykupu obligacji.

* wzór na durację obligacji o stałym %:

Duracja określa redukcję cen obligacji na zmianę rynkowej stopy %. Im wyższa duracja tym, wyższa ryzyko stopy % (bardziej ryzykowne są obligacje zerokuponowe)

Własności duracji: 1)im wyższe oprocentowanie obligacji tym niższa duracja 2)im wyższa stopa dochodu obligacji tym niższa duracja 3)im dłuższy okres do terminu wykupu obligacji tym wyższa duracja

2) zmodyfikowana duracja - określa reakcje ceny obligacji na zmianę rynkowej stopy %. Zmodyfikowana duracja dla wszystkich obligacji jest zawsze niższa niż czas pozostający do terminu wykupu obligacji

* wzór na zmodyfikowaną durację (dla wszystkich obligacji): MD = D / (1 + YTM)

Im wyższa zmodyfikowana duracja tym wyższe ryzyko stopy %.

3) wypukłość obligacji - wskazuje na reakcję ceny obligacji na zmianę rynkowej stopy %. Wyraża się ją w latach podniesionych do kwadratu.

* wzór na wypukłość obligacji o stałym %:

* wzór na wypukłość obligacji zerokuponowych:

Im większa wypukłość obligacji tym wyższe ryzyko stopy %.

Z dwóch obligacji o tej samej stopie dochodu i tej samej duracji należy wybrać tę, która ma większą wypukłość.

INWESTOWANIE W AKCJE.

A. Wycena akcji.

I)analiza techniczna - zakłada, że o cenie akcji decyduje podaż i popyt a inwestor poprzez umiejętne dopasowanie transakcji kupna i sprzedaży może osiągnąć ponadprzeciętne zyski. Analiza techniczna opiera się na 3 założeniach: 1)zmiany popytu i podaży na rynku akcji znajdują odzwierciedlenie w ich cenach 2)zmiany cen akcji podlegają utrzymującym się przez dłuższy czas trendom 3)procesy zachodzące na rynku ulegają powtórzeniu. Analiza techniczna wykorzystuje 2 grupy narzędzi: 1)formacje techniczne - pewne graficzne wzorce kształtowania się cen akcji w przeszłości 2)wskaźniki techniczne - są to proste wskaźniki, które charakteryzują stan rynku akcji i pozwalają na jego prognozę w najbliższej przyszłości. Dodatkowe narzędzia: 1)linia trendu - wyznacza się ją poprzez połączenie górnych punktów zwrotnych formacji technicznej przy trendzie spadkowym oraz dolnych punktów zwrotnych przy trendzie rosnącym.

Łączy się co najmniej 3 punkty zwrotne. Trend podkreśla długookresowe zmiany sytuacji na rynku. 2)kanał trendu (trendowy) - granice, w których poruszają się ceny akcji w czasie 3)lina wsparcia - linia dolnego ograniczenia kanału trendowego, równoległa do osi x 4)linia oporu - linia górnego ograniczenia kanału trendowego, równoległa do osi y. Wskaźniki techniczne: 1)wskaźnik szybkości zmian ROC - informuje o szybkości zmian kursu akcji i jest jednym z pierwszych sygnałów zapowiadających zmianę trendu. Służy do określenia poziomu wykupienia lub wyprzedaży rynku. 2)wskaźnik relatywnej siły RSI - określa czy rynek jest wykupiony czy wyprzedany. Może on przyjmować wartości z zakresu od 0 do 100. wartości wskaźnika na poziomie 70-80 świadczy o rynku wykupionym, wartość 20-30 o rynku wyprzedanym. Rynek wykupiony oznacza, że siła popytu słabnie co prowadzi do spadku cen akcji. Rynek wyprzedany oznacza, że siła podaży słabnie, co oznacza wzrost kursów akcji. 3)oscylator średnich kursów MACD - różnica między szybką i wolną średnią ruchomą. Jeśli średnia ruchoma szybka jest wyższa od średniej ruchomej wolnej, to oznacza wzrost cen akcji na giełdzie i jest to sygnał do kupna akcji. Natomiast gdy średnia ruchoma szybka jest niższa od średniej ruchomej wolnej, to oznacza spadek cen akcji i jest to sygnał do sprzedaży akcji.

II. analiza fundamentalna - opiera się na fundamentach, tzn. zakłada się, że im lepsza kondycja emitenta akcji tym wartość akcji jest wyższa i tym jest ona atrakcyjniejsza dla inwestora. Etapy analizy fundamentalnej: 1) analiza makroekonomiczna - dokonuje się ogólnej oceny inwestowania na danym rynku. Atrakcyjność ta zależy od sytuacji gospodarczej kraju, prowadzonej polityki gospodarczej 2)analiza sektorowa - inwestor dokonuje na tym etapie oceny atrakcyjności inwestowania w spółki, które należą do sektora gospodarki 3)analiza sytuacyjna spółki - ocenia się aspekty pozafinansowe spółki, którą wybraliśmy: jakość kadry zarządzającej, strategia spółki, prowadzony marketing 4)analiza finansowa spółki - ocenia się kondycję finansową spółki z pomocą analizy wskaźnikowej. Wykorzystuje się wskaźniki płynności, zadłużenia, obsługi zadłużenia, rentowności, obrotowości, wartości rynkowej 5)wycena akcji - można dokonać w oparciu np. o model Gordona - Shapira wg wzoru: P = D1 / (r - g), gdzie: P - cena akcji, r - wymagana stopa zwrotu inwestora, g - stopa zwrotu dywidendy, D1 - dywidenda otrzymana w okresie posiadania akcji.

B. Ryzyko inwestowania w akcje - inwestor przed podjęciem decyzji o zakupie akcji musi oszacować ryzyko i dochód związany z taką inwestycją. Oczekiwane ryzyko - mierzy się oczekiwaną wariancją lub oczekiwanym odchyleniem standardowym. Oczekiwaną wariancję można oszacować: 1)wykorzystując dane pochodzące z przeszłości:
, gdzie: V - oczekiwana wariancja, Rt - zrealizowana stopa zwrotu z inwestycji w okresie t, R - oczekiwana stopa zwrotu z inwestycji, n - liczba stóp zwrotu wykorzystywanych do oszacowania wariancji. 2)wykorzystując rachunek prawdopodobieństwa:
, gdzie: V - wariancja oczekiwana, pi - prawdopodobieństwo wystąpienia stopy zwrotu Ri, R - oczekiwana stopa zwrotu.

Odchylenie standardowe:

Oczekiwany dochód z inwestycji można oszacować: 1) na podstawie danych pochodzących z przeszłości:
2) wykorzystując rachunek prawdopodobieństwa:

---