Model jednowskaźnikowy Sharpe'a.

Model rynku kapitałowego - CAPM (Capital Asset Pricing Model - Model

wyceny aktywów kapitałowych).

Model APT (Arbitrage Pricing Theory - Teoria aritrażu cenowego).

Model jednowskaźnikowy Sharpe'a.

Model jednowskaźnkowy stanowi uproszczenie klasycznej teorii portfela

przedstawionej na poprzednich zajęciach. Opiera się on na założeniu, że kształtowanie się

stóp zwrotu akcji jest zdeterminowane czynnikiem, który odzwierciedla zmiany na rynku

kapitałowym. Na wielu giełdach zaobserwowano, że stopy zwrotu z konkretnej akcji są

powiązane ze stopą zwrotu indeksu giełdy, zwanego wskaźnikiem rynku i

odzwierciedlającego ogólną sytuację na giełdzie.

I.

Linia charakterystyczna papieru wartościowego (Security Characteristic Line).

Zależność stopy zwrotu akcji od stopy zwrotu indeksu giełdy (będącej tu

odpowiednikiem portfela rynkowego) określa następujące równanie regresji liniowej:

i

M

i

i

i

e

R

R

+

+

=

*

β

α

(1)

gdzie: R

i

- stopa zwrotu i-tej akcji; R

M

- stopa zwrotu indeksu rynku; α

i

,β

i

-

współczynniki równania; e

i

- składnik losowy równania.

W powyższym równaniu regresji zmienną objaśnianą jest stopa zwrotu akcji, a

zmienną objaśniającą stopa zwrotu wskaźnika rynku. Równanie regresji po jego oszacowaniu

jest nazywane linią charakterystyczną papieru wartościowego (security characteristic line).

Najważniejszy w nim jest współczynnik β

i

zwany współczynnikiem beta. Wskazuje on, o ile

procent w przybliżeniu wzrośnie stopa zwrotu akcji, gdy stopa zwrotu indeksu giełdy

wzrośnie o 1 procent.

Zaznaczając na wykresie punkty oznaczające stopę zwrotu z danej akcji w danym

okresie i stopę zwrotu z indeksu rynku w tym samym okresie możemy wyznaczyć

hipotetyczną prostą, będącą linią regresji, która będzie linią charakterystyczną akcji (rys. 1).

Rys. nr 1.

Linia charakterystyczna akcji.

R

i

R

M

*

* *

*

*

* *

*

*

* *

*

*

Page 2

MODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO

FINANSE II

2

Do oszacowania linii charakterystycznej akcji stosuje się metodę najmniejszych

kwadratów (MNK), która polega na minimalizacji następującego wyrażenia:

2

1

)

*

(

Mt

i

i

it

n

t

R

R

β

α

−

−

∑

=

(2)

gdzie: R

it

- stopa zwrotu i-tej akcji w t-tym okresie; R

Mt

- stopa zwrotu wskaźnika

rynku w t-tym okresie.

Wyrażenie powyższe oznacza sumę kwadratów różnic między wartościami stóp

zwrotu akcji, a hipotetycznymi wartościami obliczonymi na podstawie linii regresji. Po

rozwiązaniu powyższego zadania minimalizacji otrzymujemy następujące wzory:

∑

∑

=

=

−

−

−

=

n

t

M

Mt

n

t

M

Mt

i

it

i

R

R

R

R

R

R

1

2

1

)

(

)

(*

)

(

β

(3)

M

i

i

i

R

R

*

β

α

−

=

(4)

gdzie: n- liczba okresów z których pochodzą informacje;

i

R - średnia arytmetyczna

stóp zwrotu z i-tej akcji;

M

R - średnia arytmetyczna stóp zwrotu wskaźnika rynku;

Na podstawie oszacowanej linii charakterystycznej akcji można wyznaczyć również

wariancję wskaźnika rynku i składnika losowego:

1

)

(

2

1

2

−

−

=

∑

=

n

R

R

s

M

Mt

n

t

M

(5)

1

)

*

(

2

1

2

−

−

−

=

∑

=

n

R

R

se

M

i

i

it

n

t

i

β

α

(6)

gdzie:

2

M

s - wariancja stopy zwrotu indeksu rynku;

2

i

se - wariancja składnika

losowego.

Model jednowskaźnikowy jest uproszczeniem klasycznej teorii portfela . Uproszczenie

to spowodowane jest faktem, że do zastosowania teorii portfela niezbędna jest znajomość

współczynników korelacji stóp zwrotu wszystkich par akcji, co może być pracochłonne. W

modelu jednowskaźnikowym zachodzą następujące zależności:

M

i

i

i

R

R

*

β

α

+

=

(7)

Page 3

MODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO

FINANSE II

3

2

2

2

2

*

i

M

i

i

se

s

s

+

=

β

(8)

j

i

M

j

i

ij

s

s

s

*

*

*

2

β

β

ρ

=

(9)

Musimy jednak pamiętać, że wzór wyznaczający s

i

2

jest tylko wzorem przybliżonym

wyznaczającym ryzyko całkowite akcji, które dokładnie zostanie omówione na kolejnych

stronach.

Zaznaczmy jeszcze, że współczynnik beta wiąże ryzyko całkowite akcji z ryzykiem

portfela rynkowego w następujący sposób:

M

iM

i

i

s

s

ρ

β

*

=

(10)

gdzie: ρ

im

- współczynnik korelacji stopy zwrotu akcji i stopy zwrotu portfela

rynkowego.

II.

Współczynnik beta (beta coefficient).

Współczynnik beta akcji wskazuje, w jakim stopniu stopa zwrotu akcji reaguje na

zmiany stopy zwrotu wskaźnika rynku, czyli na zmiany zachodzące na rynku. Może on

przyjmować różne wartości:

• β

i

= 0 - stopa zwrotu i-tej akcji nie reaguje na zmiany na rynku; wobec tego papier

wartościowy wolny jest od ryzyka rynku.

• 0 < β

i

< 1 - stopa zwrotu i-tej akcji w małym stopniu reaguje na zmiany

zachodzące na rynku; akcja taka jest nazywana defensywną.

• β

i

= 1 - stopa zwrotu i-tego papieru wartościowego zmienia się w takim samym

stopniu jak stopa zwrotu rynku; w szczególności, portfel rynkowy ma

współczynnik beta równy 1.

• β

i

> 1 - stopa zwrotu i-tej akcji w większym stopniu reaguje na zmiany

zachodzące na rynku; taka akcja jest nazywana agresywną.

• β

i

< 0 - oznacza, że stopa zwrotu reaguje na zmiany odwrotnie niż rynek; jest to

stosunkowo rzadki przypadek, choć bardzo pożądany, jeśli spodziewany jest

spadek stóp zwrotu większości akcji na rynku.

III.

Ryzyko rynkowe, a ryzyko specyficzne akcji.

Ryzyko całkowite akcji (s

i

2

) jest sumą dwóch składników. Pierwszy składnik jest to

ryzyko systematyczne, inaczej zwane rynkowym. Zależy od ryzyka wskaźnika rynku oraz od

współczynnika beta, który również świadczy o ryzyku rynku, gdyż odzwierciedla powiązanie

stopy zwrotu akcji ze stopą zwrotu portfela rynkowego. Z kolei drugi składnik, będący

wariancją składnika losowego, odzwierciedla ryzyko specyficzne związane z daną akcją.

Duży udział ryzyka systematycznego w ogólnym ryzyku akcji wskazuje, że ogólne ryzyko

związane z sytuacją na rynku ma duży wpływ na ryzyko akcji.

Page 4

MODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO

FINANSE II

4

Pojęcie ryzyka systematycznego i ryzyka specyficznego ma bezpośredni związek z

dywersyfikacją portfela. Jak wiadomo, dywersyfikacja portfela może prowadzić do znacznej

redukcji ryzyka tego portfela. Jednak ryzyko to nie może być w całości wyeliminowane.

Umiejętna dywersyfikacja portfela prowadzi do wyeliminowania ryzyka specyficznego akcji

wchodzących w skład portfela. Jednak pozostaje jeszcze ryzyko rynku, które występuje w

mniejszym lub większym stopniu we wszystkich akcjach i którego nie można wyeliminować.

Wraz ze zwiększaniem liczby akcji w portfelu zmniejszamy udział ryzyka specyficznego w

ryzyku całkowitym, co ilustruje rysunek 2.

Rys. nr 2.

Ryzyko całkowite, a rozmiar portfela.

Współczynnik beta może być odniesiony nie tylko do pojedynczej akcji, ale również

do portfela akcji, gdzie stosuje się następujący wzór:

∑

=

=

n

i

i

i

p

w

1

*

β

β

(11)

Model rynku kapitałowego- CAPM (Capital Asset Pricing Model).

Najpopularniejszym modelem rynku kapitałowego jest CAPM. Twórcami tego

modelu byli: William Sharpe, John Lintner i Jan Mossin. Podstawą tego modelu są dwie

zależności:

• linia rynku kapitałowego (Capital Market Line)

p

M

f

M

f

p

s

s

R

R

R

R

*)

(

−

+

=

(12)

•

linia rynku papierów wartościowych (Security Market Line)

)

(*

f

M

i

f

i

R

R

R

R

−

+

=

β

(13)

gdzie:

f

M

R

R −

- premia za ryzyko.

Podstawową różnicą pomiędzy obu liniami jest to, że CML dotyczy tylko portfeli

efektywnych, a SML dotyczy wszystkich portfeli, w tym również pojedynczych papierów

wartościowych, na rynku będącym w równowadze.

σ

i

n -liczba losowo wybranych

akcji w portfelu

Ryzyko specyficzne

(niesystematyczne)

Ryzyko systematyczne

(rynkowe)

Page 5

MODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO

FINANSE II

5

I.

Założenia modelu CAPM.

Model CAPM oparty jest na następujących założeniach:

• decyzje zakupu portfela podejmowane przez inwestorów dotyczą jednego okresu.

• użyteczność inwestora jest całkowicie zdeterminowana oczekiwaną stopą zwrotu i

ryzykiem posiadanego portfela.

• istnieje papier wartościowy wolny od ryzyka, który może być nabywany przez

inwestorów. Jego stopa zwrotu jest to stopa zwrotu wolna od ryzyka. Istnieje

nieograniczona możliwość udzielania bądź zaciągania kredytu przy stopie wolnej

od ryzyka

• ceny równowagi istnieją tylko wtedy, gdy nie ma transakcji spekulacyjnych. Jest

to możliwe wtedy, gdy wszyscy uczestnicy rynku dysponują tymi samymi

informacjami - mają oni te same oczekiwania co do przyszłych wartości stóp

zwrotu i ryzyka papierów wartościowych.

• występuje krótka sprzedaż akcji

• koszty transakcji są zerowe.

• nie są płacone podatki z tytułu posiadania papierów wartościowych.

• papiery wartościowe mogą być dzielone w dowolny sposób.

• transakcje pojedynczego inwestora nie mają wpływu na cenę papieru

wartościowego.

II.

Charakterystyka modelu.

W modelu CAPM kluczowe znaczenie posiada portfel rynkowy. Jest to portfel, który

składa się z wszystkich akcji i innych papierów wartościowych o dodatnim ryzyku

występujących na rynku, przy czym udziały poszczególnych akcji w tym portfelu są równe

udziałom tych akcji w rynku.

Pierwszą zależnością w CAPM jest CML, dotycząca wyłącznie portfeli efektywnych.

Z wzoru na CML wynika, że stopa zwrotu portfela efektywnego jest sumą dwóch składników:

• Stopy zwrotu wolnej od ryzyka, którą można interpretować jako „cenę czasu”,

gdyż jest to wymagana przez inwestora stopa zwrotu rekompensująca rezygnację z

bieżącej konsumpcji.

• Iloczynu

p

M

f

M

s

s

R

R

*)

(

−

, gdzie

)

(

M

f

M

s

R

R −

jest to premia za ryzyko, czyli

dodatkowy procent stopy zwrotu, jaki można uzyskać za zwiększenie ryzyka o

jednostkę. Jest to zatem cena jednostki ryzyka. Z kolei

S

p

jest to ryzyko portfela

efektywnego. Wynika z tego, że linia rynku kapitałowego może być

zinterpretowana następująco:

Stopa zwrotu portfela efektywnego = cena czasu + cena jednostki ryzyka * wielkość

ryzyka portfela efektywnego

Z kolei linia rynku papierów wartościowych (SML) dotyczy dowolnych portfeli, a

zatem również pojedynczych papierów wartościowych. Oczekiwana stopa zwrotu takiego

portfela jest także sumą dwóch składników:

• Stopy zwrotu wolnej od ryzyka, a więc „ceny czasu”,

• Drugi składnik jest to cena ryzyka. Jest to bowiem iloczyn wielkości ryzyka

systematycznego danego portfela, mierzonego współczynnikiem beta, oraz premii

Page 6

MODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO

FINANSE II

6

za ryzyko, będącej różnicą między stopą zwrotu portfela rynkowego i stopą zwrotu

wolną od ryzyka.

Spójrzmy na kilka wersji SML w zależności od danej wartości współczynnika beta:

• β =1, wówczas R=R

M

(czyli na SML leży również portfel rynkowy);

• β=0, wówczas R = R

f

(czyli na SML leży portfel zawierający instrumenty wolne

od ryzyka);

• β > 1 (portfel agresywny), wówczas R > R

M

;

• 0 < β < 1 (portfel defensywny), wówczas R

f

< R < R

M

;

• β < 0 , wówczas R < R

f

;

Na podstawie SML można wyznaczyć współczynnik alfa (nie należy go mylić z

współczynnikiem alfa linii charakterystycznej akcji). Jest on określony następująco:

))

(*

(

f

M

f

R

R

R

R

−

+

−

=

β

α

(14)

gdzie: R - oczekiwana stopa zwrotu portfela ( np. oszacowana za pomocą analizy

fundamentalnej).

Współczynnik alfa jest nadwyżką oczekiwanej stopy zwrotu nad oczekiwaną stopa

zwrotu na rynku znajdującym się w równowadze. Jeśli akcja leży na SML to współczynnik

alfa równy jest zero. Możemy go także wyznaczyć dla portfeli akcji:

∑

=

=

n

i

i

i

p

w

1

*

α

α

(15)

Interpretację graficzną SML przedstawiam na poniższym rysunku (rys. 3).

Rysunek nr 3.

Linia rynku papierów wartościowych.

Na rysunku na osi odciętych zaznaczone są współczynniki beta portfeli, a na osi

rzędnych oczekiwane stopy zwrotu portfeli. Zaznaczone tam są różne portfele i linia SML. Na

SML znajduje się sześć portfeli. Portfel F zawiera tylko instrumenty wolne od ryzyka. Portfel

M jest to portfel rynkowy. Portfel A jest to portfel defensywny, a portfel D jest to portfel

agresywny. Oba portfele leżą na SML, z czego wynika że rynki dla tych portfeli są w

równowadze, a same portfele są dobrze wycenione. Pojęcie „dobrze wyceniony” odnosi się

R

*

M

F

0

1

β

*

A

*

D

*

C

*

C'

*

B

*

B'

Page 7

MODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO

FINANSE II

7

do SML (czyli do CAPM) i oznacza, że oczekiwana stopa zwrotu tych portfeli jest taka sama

jak większości portfeli o tym samym współczynniku beta.

Na rysunku zaznaczone są również dwa portfele, które nie leżą na SML. Portfel B leży

powyżej SML. Współczynnik alfa tego portfela jest dodatni. Oznacza to, że odpowiada mu

wyższa oczekiwana stopa zwrotu niż portfelowi B', który ma ten sam współczynnik beta, ale

leży na SML (czyli jest dobrze wyceniony). Portfel B jest niedoszacowany, lub inaczej

niedowartościowany. Staje się on dla inwestorów atrakcyjny, co powoduje wzrost popytu na

portfel B i wzrost jego ceny, a w związku z tym spadek jego oczekiwanej stopy zwrotu. Te

działania doprowadzą do równowagi i portfel B stanie się portfelem B', czyli znajdzie się na

linii SML.

Z kolei portfel C leży poniżej SML. Współczynnik alfa tego portfela jest ujemny.

Oznacza to, że odpowiada mu niższa oczekiwana stopa zwrotu niż portfelowi C', który ma

ten sam współczynnik beta, ale leży na SML (czyli jest dobrze wyceniony). Portfel C jest

przeszacowany, lub inaczej przewartościowany. Staje się on dla inwestora nieatrakcyjny, więc

będzie on się starał dokonać jego sprzedaży (również krótkiej). Spowoduje to zwiększoną

podaż portfela C, spadek jego ceny, a w związku z tym wzrost jego oczekiwanej stopy

zwrotu. Te działania doprowadzą do równowagi i portfel C stanie się portfelem C', czyli

znajdzie się na linii SML.

W rzeczywistości oczywiście nigdy nie jest tak, że wszystkie portfele leżą na SML.

Równowaga jest procesem dynamicznym i większość portfeli jest niedoszacowana lub

przeszacowana.

Zobaczmy na koniec następującą zależność. Po podstawieniu do linii SML wzoru

M

iM

i

i

s

s

ρ

β

*

=

, otrzymujemy w odniesieniu do portfela leżącego na SML:

iM

i

M

f

M

f

i

s

s

R

R

R

R

ρ

*

*

−

+

=

(16)

Widzimy, że jeśli ρ

im

= 1, to powyższe równanie staje się równaniem CML. Oznacza

to, że portfel efektywny w równowadze i portfel rynkowy mają współczynnik korelacji stóp

zwrotu równy 1. Dla tych dwóch portfeli zmiany stóp zwrotu są proporcjonalne.

---