Twierdzenie o zastępczym Napięciowym Źródle Energii (NZE):

- Twierdzenie Thevenina

 

Twierdzenie to mówi, że:

 

Dowolny dwójnik SL jest równoważny zaciskowo NZE={u₀, R_w}, którego parametry to:

u₀         - napięcie jałowe ( i  0 ) na zaciskach dwójnika;

R_w          - rezystancja wewnętrzna dwójnika.

 

Graficzne przedstawienie twierdzenia:

 

 

 

Twierdzenie o zastępczym Prądowym Źródle Energii (PZE):

- Twierdzenie Nortona

 

Twierdzenie to mówi, że:

 

Dowolny dwójnik SL jest równoważny zaciskowo PZE={j_z, G_w}, którego parametry to:

j_z          - prąd zwarcia ( u  0 ) zacisków dwójnika,

G_w       - konduktancja wewnętrzna dwójnika.

 

Graficzne przedstawienie twierdzenia:

 

 

 

Przykład 1

Stosując twierdzenie o Thevenina, wyznaczyć natężenie prądu płynącego w rezystorze R₂

   

Obliczenie napięcia jałowego E₀:

 

       

 

Obliczenie rezystancji wewnętrznej R_w:

 

 

Obliczenie natężenia prądu I₂:

 

 

 

 

Przykład 2

Dla jakiej wartości współczynnika wzmocnienia k₀ ZNSN rezystancja wewnętrzna R_w=R₀

Napięcie jałowe:	Prąd zwarcia: ,
Rezystancja zastępcza:    Współczynnik wzmocnienia:

 

 

 

 

Przykład 3

Zastąpić dwójnik A-B PZE („nortonowskim źródłem energii”)

	Napięcie jałowe:
	Prąd zwarcia:
Konduktancja wzierna:	Prądowe Źródło Energii:

 

 

         

 

Metoda napięć węzłowych (MNW) polega na utworzeniu równań obwodu w

następujących trzech krokach:

1. Wyróżniamy w obwodzie jeden z węzłów zwany węzłem masy.

Dla wszystkich pozostałych węzłów zapisujemy równania

pierwszego postulatu Kirchhoffa.

2. Korzystając z równań opisujących elementy zawarte w

gałęziach obwodu eliminujemy z równań pierwszego postulatu

Kirchhoffa prądy gałęziowe.

3. Z tak otrzymanych równań, korzystając z drugiego postulatu

Kirchhoffa, eliminujemy napięcia gałęziowe przez napięcia

węzłowe.

Wykonanie ostatniego kroku jest możliwe tylko wtedy, gdy graf

analizowanego obwodu jest spójny.

Stosując metodę napięć węzłowych do obwodu o w węzłach otrzymuje się

układ w-1 równań liniowych z w-1 niewiadomymi, którymi są

napięcia węzłowe obwodu.

Zbudowane tą drogą równania można przedstawić w zapisie macierzowym,

co najlepiej prześledzić na przykładach.

Przykład

Zapisać równania MNW dla obwodu o schemacie pokazanym na rysunku

Macierz Konduktancji Węzłowych

			W1	W2	W3
		W1	G1 + G5	- G5	- G1
Gw	=	W2	- G5	G4 + G5	0
		W3	- G1	0	G1 + G6

 

Wektor Autonomicznych Wymuszeń Oczkowych

Wektor Sterowanych Wymuszeń Węzłowych

 

 

 

Równania MNW

 

G_wU_w - J_s = J_w

 

	W1	W2	W3
W1	G1 + G5	- G5	- G1		V1		J1 + G1E1
W2	- G5	G4 + G5	+ g		V2	=	0
W3	- G1	0	G1 + G6 - g		V3		- G1E1

 

 

V1
V2	=
V3

 

 

1. Sygnał okresowy.

 

Sygnał y= y(t)  , określony dla t  (-, +), jest sygnałem okresowym, o okresie T, jeżeli:

 

 

Jeżeli liczba T jest okresem sygnału y = y(t), to każda liczb kT, gdzie k  N, jest również okresem

sygnału. Najmniejszą wartość okresu T, która spełnia aksjomat definicji nazywamy okresem właściwym.

Sygnał okresowy o okresie: T, jest całkowicie określony, jeżeli jest znany jego przebieg w dowolnym

przedziale: t₀ £ t < t₀ + T, o długości T.

 

2. Parametry sygnału okresowego y(t).

 

Współczynnik odkształcenia ( współczynnik zawartości pierwszej harmonicznej )

 

 

Współczynnik zawartości k-tej ( k= 2, 3, …) harmonicznej

 

 

Współczynnik zawartości harmonicznych

 

 

Współczynnik szczytu

 

 

Współczynnik kształtu

 

3. Widmo sygnału okresowego.

 

Widmo sygnału okresowego jest jednym z podstawowych pojęć teorii sygnałów.

 

Widmo zespolone (WZ):

 

Widmem zespolonym (widmem Fouriera, widmem) sygnału okresowego y(t) nazywamy ciąg zespolony:

 współczynników rozwinięcia sygnału y(t) w ZSF.

 

Widmo zespolone stanowi podstawową charakterystykę sygnału okresowego w dziedzinie częstotliwości.

Jeśli znany jest okres T sygnału y(t), to widmo zespolone zawiera pełną informację o tym sygnale.

 

Przykład Jakie jest widmo zespolone prądu i(t) w obwodzie prostownika jednopołówkowego ?

 

 

Widmo amplitudowe i fazowe sygnału okresowego:

 

Widmem amplitudowym ( WA ) sygnału okresowego y(t) nazywamy ciąg rzeczywisty:
 modułów współczynników rozwinięcia sygnału y(t) w ZSF.

 

Widmem fazowym ( WF ) sygnału okresowego y(t) nazywamy ciąg rzeczywisty:

faz współczynników rozwinięcia sygnału y(t) w ZSF.

 

Przykład: Jakie jest WA oraz WF prądu i(t) w obwodzie prostownika jednopołówkowego ?

        

1. Trygonometryczny szereg Fouriera.

 

Szereg Fouriera sygnału w przedziale skończonym

Założenie:

Sygnał y= y(t) , jest określony prawie wszędzie w domkniętym przedziale < t₀ t₀+T > i jest całkowalny w tym przedziale.

Trygonometrycznym szeregiem Fouriera ( szeregiem Fouriera ) sygnału y(t) w przedziale < t₀ t₀+T > nazywamy szereg:

gdzie
, współczynniki szeregu są określone wzorami Eulera - Fouriera:

                        - średnia y(t) za czas T;

    - średnia ważona y(t) za czas T;

      - średnia ważona y(t) za czas T;

Twierdzenie DIRICHLETA

Jeśli sygnał y= y(t)  określony prawie wszędzie w przedziale < t₀ t₀+T > jest:

      przedziałami monotoniczny w przedziale ( t₀ t₀+T );

      ciągły w przedziale ( t₀ t₀+T ), z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju ( skoków );

to w każdym punkcie t( t₀ t₀+T ), w którym sygnał y= y(t) jest ciągły, zachodzi równość:

Uwaga: W punktach t nieciągłości pierwszego rodzaju zachodzi:

 

 

 

2. Szereg Fouriera sygnału okresowego ( SF ).

 

Jeśli sygnał y= y(t) jest rozwijalny w szereg Fouriera w przedziale < t₀ t₀+T > i y(t) jest sygnałem okresowym o okresie T, to równość:

zachodzi prawie wszędzie w przedziale t(-, +).

 

 

 

 

Twierdzenie

 

Jeśli sygnał okresowy y= y(t)  o okresie T określony prawie wszędzie i całkowalny w dowolnym przedziale o długości T jest w przedziale (-, +):

1.      przedziałami monotoniczny;

2.      ciągły, z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju ( skoków );

to jest on rozwijalny w szereg Fouriera, tzn. prawie wszędzie zachodzi równość:

gdzie
, współczynniki szeregu są określone wzorami Eulera - Fouriera:

                                   - średnia y(t) za okres T;

 

   - średnia ważona y(t) za okres T;

 

      - średnia ważona y(t) za okres T.

Jednofunkcyjny zapis szeregu Fouriera sygnału okresowego

 

Dla każdej liczby k= 1, 2, … zachodzi:

gdzie:
,   
,    
.

 

gdzie: Y₀= a₀.

Każdy sygnał okresowy y(t) o okresie T jest sumą sygnału stałego Y₀ ( składowa stała sygnału - wartość średnia za okres ) i, w ogólnym przypadku, nieskończenie wielu sygnałów sinusoidalnych ( składowych harmonicznych ) o pulsacjach k₀, będących wielokrotnościami pulsacji podstawowej
, oraz o amplitudach Y_mk i fazach początkowych _k.  Pierwsza składowa harmoniczna Y_m1cos(₀t + ₁) nazywa się składową podstawową sygnału y(t).

 

 

 

 

3. Typy symetrii sygnałów.

 

      Jeśli y(t)= y(-t)          - funkcja parzysta, to b_k= 0 dla k= 1,2,3…

 

      Jeśli y(t)= - y(-t)       - funkcja nieparzysta, to a₀= 0 i a_k= 0 dla k= 1,2,3…

      Jeśli y(t)= - y(t+T/2) - funkcja antysymetryczna, to szereg Fouriera zawiera tylko składowe harmoniczne o pulsacjach będące nieparzystymi wielokrotnościami pulsacji podstawowej ₀

 

 

 

Zespolony szereg Fouriera ( ZSF )

Wzory Eulera:

 

 

 

przy czym:
    lub inaczej  
 

 

   

 

 

 

 

4. Interpretacja wyrazów zespolonego szeregu Fouriera.

 

 

 

 

5. Związki między współczynnikami SF i ZSF.

 

 

SF → ZSF

 

ZSF → SF

 

 

 

6. Wybrane twierdzenia dla ZSF.

 

Założenie: sygnały, o tej samej pulsacji
, x(t), y(t)   mają WZ {x_k}, {y_k}.

      TW o liniowości:                  

 

 

      TW o zmianie skali (podobieństwie):

 

 

      TW o przesunięciu w dziedzinie czasu:

 

      TW o przesunięciu w dziedzinie częstotliwości:

 

      TW o różniczkowaniu:

 

      TW o całkowaniu:

 

      TW o iloczynie:

 

Przykład 1

 

Rozłożyć w szereg Fouriera prąd w obwodzie prostownika jednopołówkowego pokazanego na rysunku.

 

 

 

 

 

_gdzie:

 

Przykład 2

Przedstawić prąd z poprzedniego przykładu w postaci zespolonego szeregu Fouriera

 

 

Przykład 3

 

Jakie jest widmo zespolone prądu i(t) w obwodzie prostownika jednopołówkowego ?

 

 

 

Przykład 4

 

Jakie jest widmo amplitudowe (WA) oraz  widmo fazowe (WF)  prądu i(t) w obwodzie prostownika jednopołówkowego ?

         

Stan nieustalony powstaje w układzie bezpośrednio po chwili t = 0,

w której włączono pobudzenie lub (mówiąc ogólnie) nastąpiła skokowa

zmiana w obwodzie. Stan nieustalony trwa tak długo, jak długo nie są

pomijalne efekty wywołane zmianą w obwodzie. Efekty stanu nieustalonego

są reprezentowane przez składową przejściową. Jeżeli dany układ możemy

opisać za pomocą równania różniczkowego liniowego niejednorodnego,

to jego rozwiązanie jest sumą dwóch rozwiązań:

- rozwiązania ogólnego równania różniczkowego jednorodnego

- rozwiązania szczególnego równania różniczkowego niejednorodnego

Składowa przejściowa jest reprezentowana przez rozwiązanie ogólne

równania jednorodnego. Stan nieustalony jest stanem dynamicznym.

Stany dynamiczne w obwodzie SLS są związane z zaistnieniem komutacji.

Analiza stanu nieustalonego metodą klasyczną, tzn. poprzez rozwiązywanie

równań różniczkowych jest dość uciążliwa. Z pomocą przychodzi metoda

operatorowa (przekształcenie Laplace'a).

STANY DYNAMICZNE W OBWODZIE

 

Komutacja - to jakakolwiek zmiana czegokolwiek w obwodzie !

- Zwarcie lub rozwarcie gałęzi;

- Włączenie ( wyłączenie ) autonomicznego napięciowego ( prądowego ) źródła energii;

- Zmiana parametrów własnych lub wzajemnych gałęzi ;

- itd.

 

 

Definicja: Funkcja Heaviside'a ( skok jednostkowy, funkcja jednostkowa)

 

 

Pseudo Funkcja impulsowa - Delta Dirac'a δ(t)

 

 

Prawo Komutacji

 

Element R - możliwa skokowa zmiana napięcia i prądu;

Element L - musi być zachowana ciągłość prądu (strumienia skojarzonego)

Dowód ( przez negację ):

 

Zał. - w chwili komutacji t = 0 następuje skokowa zmiana prądu płynącego w elemencie L:

 

 

Energia zgromadzona w elemencie L w chwili komutacji:

Moc chwilowa przetwarzania energii w elemencie L w chwili komutacji:

qed.

 

 

 

Element C -  musi być zachowana ciągłość napięcia ( ładunku ).

 

 

Prawo komutacji dla niezdegenerowanych obwodów SLS

iL(0-)  iL(0+)

uC(0-)  uC(0+)

Jeśli znamy wartości prądów i napięć bezpośrednio przed komutacją,

to znamy je także bezpośrednio po komutacji.

Degeneracje w obwodach SLS

są to obwody w których występują:

-   Oczka pojemnościowe ( OC );

-   Pęki indukcyjne ( PL )

i mogące generować odpowiedzi zawierające delty Dirac'a.

 

 

 

 

 

 

 

 

Prawa komutacji dla zdegenerowanych obwodów SLS

iL(0-) → iL(0+)

uC(0-) → uC(0+)

Jeśli znamy wartości prądów i napięć bezpośrednio przed komutacją,

to musimy wyliczyć ich wartości bezpośrednio po komutacji.

Rząd obwodu SLS: r = ( nC - nOC ) + ( nL - nPL)

Modele elementów konserwatywnych

 

 

 

 

 

T→0-	T→0+	t→ + 
		UWAGA !!! Jeśli wszystkie wymuszenia są postaci: w(t)= A1(t) i w obwodzie nie powstaną drgania samowzbudne.
		UWAGA !!! Jeśli wszystkie wymuszenia są postaci: w(t)= A1(t) i w obwodzie nie powstaną drgania samowzbudne.

 

Przekształcenie Laplace'a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Twierdzenia

 

   O Liniowości

Jeśli  L[f₁(t)]= F₁(s)  oraz  L[f₂(t)]= F₂(s) , to dla

dowolnych liczb k₁, k₂:

 

 

L[k₁ f₁(t) + k₂ f₂(t)] = k₁F₁(s) + k₂F₂(s)

 

 

   O Zmianie Skali ( o podobieństwie )

Jeśli  L[f(t)]= F(s)   oraz   aR⁺, to :

	f(t)1(t)		f(t-)1(t-)

 

L[f(at)] = a^-1F(a^-1 s)

ၴ

 

 

   O Przesunięciu w Dziedzinie Czasu

 

       Jeśli  L[f (t)]= F (s) , to dla   ≥ 0 :

 

L[f(t - ) 1(t - )] = e^-s F(s)

 

 

            

 

 

 

 

   O Przesunięciu w Dziedzinie Transformat

 

       Jeśli  L[f (t) 1(t)]= F (s) , to dla  Z:

 

 

L[e^-t f(t) 1(t)] = F( s +  )

 

 

 

e^-^^t f(t) 1(t)

f(t)1(t)

            

 

 

 

 

   O Transformacie Pochodnej

 

      Jeśli f(t) i f (1)(t) są L - transformowalne, to:

 

L[f  ⁽¹⁾(t)]= s F(s)  -  f(0₊)

 

i ogólnie:

 

 

 

   O Transformacie Całki

 

        Jeśli  L[f (t)]= F (s) , to:

 

 

 

 

   O Różniczkowaniu Transformaty

 

        Jeśli  L[f (t)]= F (s) , to:

 

 

i ogólnie:

 

 

 

   O Granicy Transformaty w Nieskończoności

 

      Jeśli  L[f (t)]= F (s) , to:

 

 

 

 

   O Wartościach Granicznych

 

      Jeśli  L[f (t)]= F (s) oraz

a) istnieje granica
, to:

 

 

 

b) istnieje granica
, to:

  

 

 

 

 

 

 

 

 

Tabela podstawowych transformat Laplace'a

f(t) - oryginał	Wykres f(t)	F(s) - transf.	Wykres F(s) Moduł Argument
δ(t)		1
1(t)
1(t)
sin t 1(t)
cos t 1(t)
t^n 1(t)			patrz wyżej            patrz wyżej
(1- e^-a^t) 1(t)

 

 

 

ROZKŁAD WŁAŚCIWEJ FUNKCJI WYMIERNEJ

NA UŁAMKI PROSTE

 

               (1)

 

Przypadek 1

Pierwiastki wielomianu M(s) są pojedyncze (różne)

 

                         (2)

 

przy czym: 

Wielomian M(s) ma: m₁ - pierwiastków rzeczywistych:  {₁, ₂, ..., _m1};

                                  m₂ - pierwiastków zespolonych:     {-₁j₁, -₂j₂, ..., -_m2j_m2};  

 

                          (3)

 

przy czym:

Pary transformat:

 

     

 

Oryginał:

 

    (4)

 

Przypadek 2

Wielomian M(s) ma pierwiastki wielokrotne.

 

    r - krotny pierwiastek rzeczywisty:     s_k = -_k

 

  ( s + _k )^r  => 

 

 

    r - krotny pierwiastek zespolony: s_k = -_k  j_k

 

       (s² + p_ks + q_k)^r  = [(s +_k)²+_k²]^r  => 

 

Przykład 1

 

W pokazanym na rysunku obwodzie SLS nie jest zgromadzona energia. W chwili t = 0 zostaje włączone autonomiczne źródło napięcia stałego. Wyznaczyć wartości początkowe prądów i napięć oraz ich pochodnych. Dane: E, R1, R2, L, C.

 

 

 

Bezpośrednio PRZED komutacją ( włączeniem źródła e(t) ):

 

e(0-)= 0 [V];

i(0-)= iC(0-)= iRL(0-)= 0 [A];

u1(0-)= uC(0-)= uR(0-)= uL(0-)= 0 [V];

 

Bezpośrednio PO komutacji ( włączeniu źródła e(t) ):

 

 

Prądy:                 i(0+)= iC(0+)= G1E

iRL(0+)= 0

Napięcia:             u1(0+)= R1 i(0+)= R1 G1E = E

 

u2(0+)= R2 iRL(0+)= R2 0= 0

 

 

UL(0+)= Uc(0+) - U2(0+)= 0

Pochodne:

                                                  → 

 

                      →

 

u_L(0₊) = u_C(0₊) - u₂(0₊)

 

 

  →

 

 

     →  

 

     → 

 

 

Przykład   2

 

Obwód SLS pokazany na rysunku znajduje się w stanie ustalonym. W chwili t= 0 zamknięto wyłącznik W. Wyznaczyć wartości początkowe prądów.

Dane: u(t)= E 1(t), R1, R2, L, C1, C2.

 

 

 

Stan ustalony - przed komutacją:

;     

Ładunki w kondensatorach połączonych szeregowo: 

,    

 

Po komutacji:

 

 

 

 

;

;  

;

 

 

 

 

 

 

Przykłady zastosowania twierdzeń Laplace'a

 

1).

 

z tw. OTC    

 

2).

     z tw. OPwDT     

 

3).

       

z tw. OPwDT

 

 

4).

     z tw. OTP

 

 

 

 

Przykłady rozkładu funkcji

 

1).     
   

 

=>    ₁= 0,  ₂= -2,  ₃= -5

 

A_k= F(s)(s-_k)|_s=k     =>  A₁= +3,

                                                                   A₂= +4,

                                     A₃= -6

               

f(t) = (3 + 4e^-2t -6e^-5t) 1(t)

 

 

2).

 

 

 

f(t)= [2e^-3t - (1+10t)e^-5t] 1(t)

 

3).  

 

         A₁ = + 1;

         A₂ = - (1+j)/2;

        ( B₂ = - 1, C₂ = 1 => D₂ = 1 ;  )

f(t) = 1 - e^-2t(cos 3t - sin 3t ) =

        = 1 -
e^(-2+3j)t -
e^(-2-3j)t

 

 

 

 

 

 

---