Politechnika Częstochowska

Wydział Elektryczny

Katedra Elektrotechniki

Zakład Elektrotechniki

Laboratorium Elektrotechniki Teoretycznej

Stany nieustalone

Częstochowa 2004

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z przebiegami prądów i napięć po załączeniu napięcia stałego oraz po zwarciu gałęzi RL, RC i RLC, a także z przebiegiem procesu przejściowego na płaszczyźnie fazowej.

2. Wiadomości podstawowe

2.1. Zagadnienia ogólne

Stan nieustalony - stan przejściowy między dwoma ustalonymi stanami obwodu, spowodowany zmianą struktury lub parametrów obwodu.

Stan obwodu opisany jest układem równań różniczkowych. W przypadku obwodu liniowego, stacjonarnego, o parametrach skupionych są to równania różniczkowe zwyczajne liniowe o stałych współczynnikach, które można sprowadzić do jednego równania różniczkowego. Rząd najwyższej pochodnej występującej w tym równaniu nazywa się rzędem obwodu.
W przypadku obwodów elektrycznych rząd obwodu jest równy sumarycznej ilości cewek
i kondensatorów występujących w obwodzie.

Liniowe równanie różniczkowe zwyczajne posiada nieskończenie wiele rozwiązań. To, które z nich jest realizowane w rzeczywistości, zależy od warunków początkowych. W odniesieniu do liniowych obwodów elektrycznych warunki początkowe wynikają z tzw. warunków komutacji, które z kolei wynikają z żądania, aby zmiana energii w danym elemencie układu nie odbywała się skokowo (gdyż wymagałoby to nieskończenie wielkiej mocy, czego w rzeczywistości się nie obserwuje). Dla każdej cewki (liniowej i niesprzężonej z inną) spełniony jest warunek ciągłości prądu, a dla każdego kondensatora - warunek ciągłości napięcia, tzn. wartości te nie mogą nigdy ulec skokowej zmianie. Jeśli zatem stan przejściowy zaczyna się w chwili t = 0, to

tzn. prądy w cewkach i napięcia na kondensatorach tuż po komutacji (t = 0+) są takie, jak tuż przed komutacją (t = 0-).

Rozwiązanie równania różniczkowego wygodnie jest przedstawić w postaci sumy dwóch składowych: przejściowej (swobodnej) i ustalonej (wymuszonej). Z matematycznego punktu widzenia składowe te odpowiadają całce ogólnej równania jednorodnego i całce szczególnej równania niejednorodnego. Postać składowej ustalonej zależy zarówno od struktury i parametrów obwodu, jak i od wymuszenia. Z kolei postać składowej przejściowej nie zależy od rodzaju wymuszenia, lecz tylko od struktury i parametrów układu. Składowa przejściowa zawiera n stałych dowolnych, gdzie n - rząd obwodu. Stałe te wyznacza się z warunków początkowych, których jest dokładnie n, ponieważ dla każdej cewki i dla każdego kondensatora spełnione muszą być warunki komutacji. W rzeczywistych obwodach (ze stratami) składowa przejściowa zanika po czasie zależnym od struktury i parametrów obwodu.

2.2. Stan nieustalony w szeregowej gałęzi RC

Dla obwodu jak na rysunku 1 prawdziwe są zależności

Rys. 1. Szeregowa gałąź RC

z których wynika, że

a ponadto z warunku komutacji otrzymujemy

gdzie U₀ - początkowe napięcie na kondensatorze. Rozwiązanie tego zagadnienia ma postać

składowa ustalona składowa przejściowa

gdzie  = RC - stała czasowa obwodu. Przebiegi napięcia i prądu kondensatora zostały pokazane na rysunku 2. Należy zwrócić uwagę na sposób zaznaczenia stałej czasowej  oraz na fakt, że prąd kondensatora może ulec skokowej zmianie.

a)	b)

Rys. 2. Przebiegi napięcia i prądu kondensatora dla wybranych przypadków przejściowych:
a) doładowanie kondensatora (U > U₀ > 0), b) rozładowanie kondensatora (U = 0, U₀ > 0)

Na podstawie powyższych rozwiązań można otrzymać wzory dla przypadków szczególnych (np. ładowanie nienaładowanego początkowo kondensatora - U₀ = 0, czy rozładowanie naładowanego uprzednio kondensatora - U = 0). Ponadto możliwa jest analiza gałęzi RC zasilanej napięciem prostokątnym (rys. 3). W czasie trwania impulsu prostokątnego sytuacja jest taka, jak podczas załączenia kondensatora na napięcie stałe U - kondensator ładuje się. Po czasie T/2 napięcie zasilania zanika - wtedy następuje rozładowanie kondensatora. Po dalszym czasie T/2 sytuacja powtarza się.

Rys. 3. Przebiegi napięcia i prądu kondensatora w szeregowej gałęzi RC zasilanej napięciem prostokątnym

2.3. Stan nieustalony w szeregowej gałęzi RL

Dla obwodu jak na rysunku 4 prawdziwe są zależności

Rys. 4. Szeregowa gałąź RL

z których wynika, że

a ponadto z warunku komutacji otrzymujemy

gdzie I₀ - początkowy prąd cewki. Rozwiązanie tego zagadnienia ma postać

składowa ustalona składowa przejściowa

gdzie  = L/R - stała czasowa obwodu. Przebiegi napięcia i prądu cewki zostały pokazane na rysunku 5. Należy zwrócić uwagę na sposób zaznaczenia stałej czasowej  oraz na fakt, że napięcie na cewce może ulec skokowej zmianie.

a)	b)

Rys. 5. Przebiegi napięcia i prądu cewki dla wybranych przypadków przejściowych:
a) załączenie cewki na napięcie stałe (U/R > I₀ > 0), b) zwarcie cewki przez rezystor (U = 0, I₀ > 0)

Na podstawie powyższych rozwiązań można otrzymać wzory dla przypadków szczególnych (np. załączenie cewki przy I₀ = 0, zwarcie cewki przez rezystor - U = 0). Ponadto możliwa jest analiza gałęzi RL zasilanej napięciem prostokątnym (rys. 6). W czasie trwania impulsu prostokątnego sytuacja jest taka, jak podczas załączenia cewki na napięcie stałe. Po czasie T/2 napięcie zasilania zanika - wtedy następuje zwarcie cewki. Następnie sytuacja powtarza się.

Rys. 6. Przebiegi napięcia i prądu cewki w szeregowej gałęzi RL zasilanej napięciem prostokątnym

2.4. Stan nieustalony w szeregowej gałęzi RLC

Dla obwodu jak na rysunku 7 prawdziwe są zależności

Rys. 7. Szeregowa gałąź RLC

z których wynika, że

a ponadto z warunków komutacji otrzymujemy

gdzie U₀ - początkowe napięcie na kondensatorze, I₀ - początkowy prąd cewki. Składowa wymuszona napięcia na kondensatorze jest równa U, natomiast postać składowej swobodnej zależy od znaku wyróżnika równania charakterystycznego.

Przypadek aperiodyczny

Jeśli

gdzie

to wyróżnik jest dodatni, równanie charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste s₁ i s₂ równe

a składowa swobodna przyjmuje postać

skąd po wykorzystaniu warunków początkowych otrzymuje się

Przypadek oscylacyjny

Jeśli

to wyróżnik jest ujemny, równanie charakterystyczne ma dwa zespolone sprzężone pierwiastki s₁
i s₂ równe

gdzie

jest pulsacją drgań, a składową swobodną zapisuje się w postaci

skąd po wykorzystaniu warunków początkowych otrzymuje się

Powyższe wzory opisują drgania sinusoidalne tłumione wykładniczo. Szybkość tego tłumienia określa stała  - mianowicie e^T (gdzie T = 2/ - okres drgań) równa się stosunkowi amplitudy drgań prądu lub napięcia w chwili t do amplitudy w chwili t + T. Wprowadza się też pojęcie logarytmicznego dekrementu tłumienia δ:

Przypadek aperiodyczny krytyczny

Jeśli

to wyróżnik jest równy zeru, równanie charakterystyczne ma jeden pierwiastek podwójny s₁₂ równy

a składowa swobodna przyjmuje postać

skąd po wykorzystaniu warunków początkowych otrzymuje się

Rezystancją krytyczną R_kr szeregowej gałęzi RLC nazywa się wartość

Można pokazać, że jeśli R > R_kr, to składowa przejściowa ma charakter aperiodyczny, jeśli R = R_kr - aperiodyczny krytyczny, a jeśli R < R_kr - oscylacyjny.

Przykładowe przebiegi napięć i prądów podano na rysunku 8.

a)	b)
(U > 0, U0 = 0, I0 = 0, R ≥ Rkr)	(U = 0, U0 > 0, I0 = 0, R ≥ Rkr)
c)	d)
(U > 0, U0 = 0, I0 = 0, R < Rkr)	(U = 0, U0 > 0, I0 = 0, R < Rkr)
e)	f)
(U > 0, U0 = 0, I0 > 0, R = Rkr)	(U = 0, U0 = 0, I0 > 0, R = Rkr)

Rys. 8. Przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu cewki w szeregowej gałęzi RLC w wybranych przypadkach

2.5. Płaszczyzna fazowa

Płaszczyzna fazowa zmiennej x to płaszczyzna o współrzędnych (x, dx/dt). Procesy przejściowe opisane przebiegami x(t) można zilustrować na płaszczyźnie fazowej w postaci krzywych f(x, dx/dt) = 0, zwanych trajektoriami fazowymi. Każdy punkt na płaszczyźnie fazowej odpowiada pewnym warunkom początkowym. Ponieważ warunki początkowe jednoznacznie wyznaczają rozwiązanie zagadnienia (dla danego układu), a więc jednoznacznie wyznaczają trajektorię fazową, oznacza to, że przez każdy punkt płaszczyzny fazowej przechodzi dokładnie jedna trajektoria fazowa (pomijając tzw. punkty osobliwe). Zbiór trajektorii fazowych nazywa się portretem fazowym układu.

W przypadku szeregowego układu RLC procesy przejściowe można obserwować na dwóch płaszczyznach fazowych: na płaszczyźnie ładunku kondensatora q i na płaszczyźnie prądu i. Ładunek na kondensatorze q = Cu_C, natomiast pochodna dq/dt = i = u_R/R. Trajektoria fazowa na płaszczyźnie (q, dq/dt) jest zatem tego samego kształtu, to trajektoria w układzie (u_C, u_R). Stąd obraz trajektorii fazowej na oscyloskopie można uzyskać podając na płytki odchylania poziomego napięcie z kondensatora, a na płytki odchylania pionowego - napięcie z rezystora. Z kolei di/dt =
= u_L/L, zatem trajektoria fazowa na płaszczyźnie (i, di/dt) jest tego samego kształtu, to trajektoria w układzie (u_R, u_L). Obraz trajektorii fazowej na oscyloskopie można uzyskać podając na płytki odchylania poziomego napięcie z rezystora, a na płytki odchylania pionowego - napięcie z cewki.

Na rysunku 9 naszkicowano trajektorię fazową na obydwu płaszczyznach dla przypadku zilustrowanego na rysunku 8c.

Rys. 9. Trajektoria fazowa w szeregowym układzie RLC dla przypadku z rysunku 8c

3. Przebieg ćwiczenia

3.1. Opis układu pomiarowego

Stanowisko laboratoryjne zawiera generator napięcia prostokątnego oraz szeregowy
i równoległy obwód RLC z możliwością wyłączenia dowolnego elementu oraz z możliwością regulacji wartości rezystancji i pojemności. Płytę czołową stanowiska pokazano na rysunku 10.

Rys. 10. Płyta czołowa stanowiska do badania stanów nieustalonych: 1 - łącznik sieciowy, 2 - woltomierz,
3 - przełączniki typu „Isostat”, 4 - lampki sygnalizacyjne, 5 - przełączniki siedmiopozycyjne,
6 - potencjometry

Przełączniki typu „Isostat” pozwalają na zmianę konfiguracji obwodu. Dzięki temu możliwe jest badanie stanów nieustalonych zarówno w obwodach szeregowych jak i równoległych RL, RC
i RLC. O rodzaju konfiguracji informują lampki sygnalizacyjne.

Regulacji pojemności kondensatora dokonuje się przełącznikiem siedmiopozycyjnym. Wartości pojemności dla poszczególnych położeń przełączników zamieszczono w tabeli 1.

Tabela 1. Pojemności odpowiadające położeniom przełączników

Położenie	1	2	3	4	5	6	7
Układ szeregowy	14,6 F	0,45 F	0,21 F	97 nF	31 nF	6,2 nF	3 nF
Układ równoległy	86,7 F	50,4 F	38 F	18,8 F	16,9 F	4,9 F	1,46 F

Regulacji rezystancji dokonuje się płynnie potencjometrem w zakresie od 450  do 12,3 k w obwodzie szeregowym oraz od 450  do 5,8 k w obwodzie równoległym.

Indukcyjność cewki w obydwu obwodach jest stała i wynosi 6,65 H.

3.2. Obserwacje przebiegów napięć w szeregowym układzie RC

• Za pomocą przełączników płyty czołowej stanowiska laboratoryjnego zbudować szeregowy układ RC,

• Za pomocą oscyloskopu zdjąć przebiegi napięć u_R(t) i u_C(t) dla pięciu różnych wartości stałych czasowych (zapisywać położenie przełącznika wartości kondensatora).

3.3. Obserwacje przebiegów napięć w szeregowym układzie RL

• Za pomocą przełączników płyty czołowej stanowiska laboratoryjnego zbudować szeregowy układ RL,

• Za pomocą oscyloskopu zdjąć przebiegi napięć u_R(t) i u_L(t) dla pięciu różnych wartości stałych czasowych.

3.4. Obserwacje przebiegów napięć w szeregowym układzie RLC

• Za pomocą przełączników płyty czołowej stanowiska laboratoryjnego zbudować szeregowy układ RLC,

• Za pomocą oscyloskopu zdjąć przebiegi napięć u_R(t), u_L(t) i u_C(t) dla trzech przypadków: aperiodycznego, oscylacyjnego i krytycznego (w przybliżeniu), zapisując przy tym nastawę pojemności,

• Nastawić wartości parametrów tak, aby uzyskać przypadek oscylacyjny; regulując wartością rezystancji oraz pojemności zbadać wpływ ich wartości na dekrement tłumienia oraz na pulsację drgań (wyniki zapisać).

3.5. Obserwacje trajektorii fazowych w szeregowym układzie RLC

• Na płytki odchylania poziomego oscyloskopu podać napięcie kondensatora, a na płytki odchylania pionowego - napięcie rezystora; przerysować trajektorie fazowe dla różnych wartości R i C, starając się uzyskać zarówno przypadki oscylacyjne jak i aperiodyncze,

• Na płytki odchylania poziomego oscyloskopu podać napięcie rezystora, a na płytki odchylania pionowego - napięcie cewki; postępować jak poprzednio.

4. Opracowanie sprawozdania

1. Cel ćwiczenia.

2. Schematy pomiarowe (oddzielne dla RL, RC i RLC).

3. Parametry i dane znamionowe zastosowanych przyrządów.

4. Dla punktów 3.2 i 3.3: wyskalować otrzymane przebiegi w czasie i wyznaczyć stałe czasowe; na każdym przebiegu zaznaczyć czy wartość rezystancji jest większa czy mniejsza
   w porównaniu z wartością rezystancji w przypadku poprzednim. Sprawdzić, czy otrzymane wyniki są zgodne z teoretycznymi.

5. Przyjmując, że U_min jest napięciem na kondensatorze w chwili załączenia połówki napięcia prostokątnego, a U_max - w chwili jego wyłączenia, omówić jak zmieniają się te napięcia
   w funkcji stałej czasowej układu RC.

6. Przyjmując, że U_min jest napięciem na rezystorze w chwili załączenia połówki napięcia prostokątnego, a U_max - w chwili jego wyłączenia, omówić jak zmieniają się te napięcia
   w funkcji stałej czasowej układu RL.

7. Dla punktów 3.4 i 3.5: opisać i wyskalować uzyskane przebiegi; dla każdego przypadku znaleźć rezystancję krytyczną i sprawdzić, czy uzyskane przebiegi pozostają w zgodzie
   z teorią.

8. Dla przypadków oscylacyjnych: określić dekrement tłumienia.

9. Wnioski.

5. Pytania sprawdzające

1. Co to jest stan ustalony, a co stan nieustalony?

2. Co to jest rząd układu?

3. W jakim celu formułuje się warunki początkowe?

4. Podać warunki komutacji w liniowych obwodach elektrycznych.

5. Co to jest składowa przejściowa, a co wymuszona?

6. Omówić załączenie napięcia stałego w szeregowej gałęzi RC. Naszkicować przebiegi napięć
   i prądów.

7. Omówić zwarcie szeregowej gałęzi RC. Naszkicować przebiegi napięć i prądów.

8. Omówić załączenie napięcia stałego w szeregowej gałęzi RL. Naszkicować przebiegi napięć
   i prądów.

9. Omówić zwarcie szeregowej gałęzi RL. Naszkicować przebiegi napięć i prądów.

10. Omówić możliwe rodzaje przebiegów przejściowych w szeregowej gałęzi RLC.

11. Co to jest dekrement tłumienia?

12. Co to jest rezystancja krytyczna szeregowej gałęzi RLC?

13. Naszkicować przebiegi napięć i prądów w szeregowej gałęzi RLC po załączeniu napięcia stałego.

14. Co to jest płaszczyzna fazowa, trajektoria fazowa i portret fazowy?

Literatura

[1] Bolkowski S.: Elektrotechnika teoretyczna, tom I - teoria obwodów elektrycznych, WNT, W-wa 1986, ss. 264-334.

[2] Cholewicki T.: Elektrotechnika teoretyczna, tom II, WNT, W-wa 1971, ss. 13-84.

[3] Krakowski M.: Elektrotechnika teoretyczna, tom I - obwody liniowe i nieliniowe, PWN, W-wa 1991, ss. 267-300.

[4] Wąsowski J.: Stany nieustalone w obwodach elektrycznych, Cz-wa 1976.

Stany nieustalone

10

Politechnika Częstochowska, Wydział Elektryczny, Katedra Elektrotechniki