Wykład 5

Prawa Keplera ruchu planet

Przed sformułowaniem przez Newtona prawa powszechnego ciążenia, Johannes Kepler stwierdził, że ruch planet stosuje się do trzech prostych praw.

Prawa Keplera wzmocniły hipotezę Kopernika.

Praca Keplera (1609 - 1619) była wielkim odkryciem i aktem odwagi zwłaszcza po tym, jak w 1600 roku spalono na stosie Giordana Bruno, zwolennika systemu heliocentrycznego. Warto dodać, że nawet Galileusz został zmuszony do publicznego odwołania swoich poglądów (1633 r.), mimo że papież był jego przyjacielem.

Dogmatem wtedy był pogląd, że planety poruszają się wokół Ziemi po skomplikowanych torach, które są złożeniem pewnej liczby okręgów. Np. do opisania orbity Marsa trzeba było około 12 okręgów różnej wielkości.

Kepler poszukiwał nieskomplikowanej geometrycznie orbity, żeby udowodnić, że Mars i Ziemia muszą obracać się wokół Słońca. Po latach pracy odkrył trzy proste prawa, które zgadzały się z wynikami pomiarowymi pozycji planet z bardzo dużą dokładnością. Te prawa stosują się też do satelitów okrążających jakąś planetę.

• Pierwsze prawo Keplera

Każda planeta krąży po orbicie eliptycznej, ze Słońcem w jednym z ognisk tej elipsy.

• Drugie prawo Keplera (prawo równych pól)

Linia łącząca Słońce i planetę zakreśla równe pola w równych odstępach czasu.

• Trzecie prawo Keplera

Sześciany półosi wielkich orbit dowolnych dwóch planet mają się do siebie jak kwadraty ich okresów obiegu.

(Półoś wielka jest połową najdłuższej cięciwy elipsy).

Dla orbit kołowych

Newton rozwijając swoją teorię potrafił dowieść, że tylko wtedy, gdy siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości, orbita dowolnej planety jest elipsą ze Słońcem w jednym z ognisk oraz, że
. Newton wyprowadził prawa Keplera z zasad dynamiki. Przykładowo wyprowadźmy III prawo Keplera dla planet poruszających się po orbitach kołowych.

Korzystając z otrzymanego uprzednio wzoru na masę Słońca otrzymamy dla pierwszej planety:

a dla drugiej

Porównując otrzymamy

Drugie prawo Keplera wynika z zasady zachowania pędu (dowód można pominąć).

Ciężar

Ciężar zazwyczaj definiujemy jako siłę ciążenia działającą na ciało.

W pobliżu powierzchni Ziemi dla ciała o masie m będzie ona równa mg. Na Księżycu ciężar jest mniejszy w porównaniu z ciężarem na Ziemi około sześć razy.

Definicja ciężaru może być myląca. Np. astronauta, pomimo że działa na niego jeszcze siła ciążenia uważa, że jest w stanie nieważkości.

1. Ciężar pozorny, masa bezwładna i masa grawitacyjna

Ważną konsekwencją tego, że siła grawitacyjna działająca na ciało jest proporcjonalna do jego masy, jest możliwość pomiaru masy za pomocą mierzenia siły grawitacyjnej. Można to zrobić używając wagi sprężynowej albo porównując siły grawitacyjne działające na masę znaną (wzorzec) i na masę nieznaną, innymi słowy ważąc ciało na wadze. Powstaje pytanie czy w obu metodach mierzymy tę samą właściwość.

Np. gdy spróbujemy pchnąć klocek po idealnie gładkiej poziomej powierzchni, to wymaga to pewnego wysiłku, a przecież ciążenie nie pojawia się tu w ogóle.

Konieczność przyłożenia siły jest związana z masą. Ta masa występuje we wzorze F = ma, nazywamy ją masą bezwładną m.

W innej sytuacji utrzymujemy ten klocek uniesiony w górę w stanie spoczynku. Bezwładność nie odgrywa tu żadnej roli, bo ciało nie przyspiesza, jest w spoczynku. Ale musimy używać siły o wartości równej przyciąganiu grawitacyjnemu między ciałem i Ziemią, żeby ciało nie spadło. Odgrywa tu rolę ta właściwość ciała, która powoduje jego przyciąganie przez inne obiekty takie jak Ziemia i siła jest tu dana wzorem

gdzie m' jest masą grawitacyjną. Czy m i m' ciała są sobie równe?

Masa bezwładna m₁ spadając swobodnie w pobliżu powierzchni Ziemi ma przyspieszenie a₁, przy czym

jeżeli inna masa m₂ uzyskuje inne przyspieszenie a_2, to

Dzieląc te równania przez siebie otrzymamy

Widzimy, że jeżeli wszystkie ciała spadają z tym samym przyspieszeniem a₁ = a₂ = g to stosunek mas bezwładnych jest równy stosunkowi mas grawitacyjnych. Jeżeli dla jednej substancji ustalimy, że masa bezwładna jest równa masie grawitacyjnej to prawdziwe to będzie dla wszystkich substancji. Aktualnie jesteśmy w stanie stwierdzić, że a₁ = a₂ z dokładnością 10^-10. Te wyniki sugerują, że masa bezwładna jest równa masie grawitacyjnej.

To stwierdzenie nazywa się zasadą równoważności.

Konsekwencją jest to, że nie można rozróżnić między przyspieszeniem układu (laboratorium), a przyspieszeniem grawitacyjnym. Ta zasada jest punktem wyjścia ogólnej teorii względności Einsteina.

Pole grawitacyjne

Na przykładzie sił grawitacyjnych omówimy ważne w fizyce pojęcie pola. Nasze rozważania rozpoczynamy od umieszczenia masy M w początku układu. W punkcie przestrzeni opisanym wektorem r znajduje się natomiast masa m. Wektor r opisuje położenie masy m względem masy M, więc siłę oddziaływania grawitacyjnego między tymi masami można zapisać w postaci wektorowej

(5.1)

Zwróćmy uwagę, że siłę tę możemy potraktować jako iloczyn masy m i wektora γ(r), przy czym

(5.2)

Jeżeli w punkcie r umieścilibyśmy inną masę np. m' to ponownie moglibyśmy zapisać siłę jako iloczyn masy m' i tego samego wektora γ(r)

Widzimy, że wektor γ(r) nie zależy od obiektu, na który działa siła (masy m), ale zależy od źródła siły (masa M) i charakteryzuje przestrzeń otaczającą źródło (wektor r). Oznacza to, że masa M stwarza w punkcie r takie warunki, że umieszczona w nim masa m odczuje działanie siły. Inaczej mówiąc masie M przypisujemy obszar wpływu (działania), czyli pole.

Zwróćmy uwagę, że rozdzieliliśmy siłę na dwie części. Stwierdzamy, że jedna masa wytwarza pole, a następnie to pole działa na drugą masę. Taki opis pozwala uniezależnić się od obiektu (masy m) wprowadzanego do pola.

Z pojęcia pola korzysta się nie tylko w związku z grawitacją. Jest ono bardzo użyteczne również przy opisie zjawisk elektrycznych i magnetycznych. Źródłami i obiektami działania pola elektrycznego są ładunki w spoczynku, a pola magnetycznego ładunki w ruchu. Właściwości pól wytwarzanych przez ładunki elektryczne omówimy w dalszych rozdziałach.

Chociaż pole jest pojęciem abstrakcyjnym jest bardzo użyteczne i znacznie upraszcza opis wielu zjawisk. Na przykład gdy mamy do czynienia z wieloma masami, możemy najpierw obliczyć w punkcie r pole pochodzące od tych mas, a dopiero potem siłę działającą na masę umieszczoną w tym punkcie.

2. Pole grawitacyjne wewnątrz kuli

Rozpatrzmy teraz pole czaszy kulistej o masie m i promieniu R. Dla r > R pole jest równe Gm/r² tj. tak jakby cała masa była skupiona w środku kuli (przykład z satelitą). Jakie jest jednak pole wewnątrz czaszy?

Rozważmy przyczynki od dwóch leżących naprzeciwko siebie powierzchni A₁ i A₂ w punkcie P wewnątrz czaszy (rysunek poniżej). Fragment A₁ czaszy jest źródłem siły F₁ ~ A₁/(r₁)² ciągnącej w lewo. Powierzchnia A₂ jest źródłem siły ciągnącej w prawo F₂ ~ A₂/(r₂)² .

Mamy więc

Z rozważań geometrycznych widać, że

(pola powierzchni stożków ~ do kwadratu wymiarów liniowych)

Po podstawieniu do pierwszego równania otrzymujemy

Tak więc wkłady wnoszone przez A₁ i A₂ znoszą się. Można w ten sposób podzielić całą czaszę i uzyskać siłę wypadkową równą zero.

A więc wewnątrz czaszy pole grawitacyjne jest równe zeru.

Pole wewnątrz czaszy mającej skorupę dowolnej grubości też jest zero, bo możemy podzielić tę skorupę na szereg cienkich warstw koncentrycznych.

Na rysunku poniżej przedstawiono pełną kulę o promieniu R i masie M.

W punkcie P pole pochodzące od zewnętrznej warstwy jest zerem. Pole pochodzi, więc, tylko od kuli o promieniu r, czyli

a = Gm/r² lub a = GρV/r²

Dla kuli V = 4πr³/3. Gęstość
, więc pole w punkcie P wynosi

Widać, że pole zmienia się liniowo z r.

Praca i energia

Podstawowym zagadnieniem dynamiki jest określenie ruchu punktu, jeżeli znana jest siła działająca na ten punkt. W pierwszym etapie wyznaczamy przyspieszenie

a = F/m

Gdy m i F stałe, to a też jest stałe i wtedy prędkość wynosi

v = v₀ + at

i położenie

x = v₀t + at²/2

Zagadnienie jest bardziej złożone, gdy F nie jest stała. Mamy często do czynienia z takimi siłami, np. siła grawitacji między dwiema ciałami zależy od ich odległości, siła wywierana przez rozciągniętą sprężynę zależy od stopnia rozciągnięcia.

Postępowanie pozwalające określić ruch punktu prowadzi nas do pojęcia pracy, energii i twierdzenia o pracy i energii. Zagadnienia związane z energią są tak istotne (szeroko rozumiana ekonomia, ekologia, zasoby energii itd.), że ich znajomość jest konieczna dla wszelkich rozważań zarówno ekonomicznych, technologicznych jak i społecznych. Z energią związana jest najważniejsza chyba zasada całej fizyki - zasada zachowania energii. Nakłada ona sztywne granice na przetwarzanie energii i jej wykorzystanie. W mechanice zasada zachowania energii pozwala obliczać w bardzo prosty sposób ruch ciał bez konieczności korzystania z zasad dynamiki Newtona.

Praca wykonana przez stałą siłę

W najprostszym przypadku, siła F jest stała, a punkt porusza się w

kierunku działania siły. Wtedy

W = F·s = Fs cosα (7.1)

Zastanówmy się czy kąt α może być różny od zera? Odpowiedź jest twierdząca, bo stała siła nie musi mieć kierunku zgodnego z kierunkiem ruchu punktu materialnego. Oczywiście muszą działać jeszcze inne siły (np. ciężar, tarcie). Gdyby działała tylko jedna, to i tak ciało nie musiałoby poruszać się w kierunku jej działania np. rzut ukośny (tylko grawitacja).

Wzór Fs cosα określa jedynie pracę wykonaną przy przemieszczaniu punktu przez jedną siłę. Pracę wykonaną przez inne należy obliczyć oddzielnie i potem je zsumować.

Zwróćmy uwagę, że gdy α = 0 otrzymujemy pierwszy wzór Fs. Gdy α = 90° to z równania wynika, że W = 0.

Przykłady

(a) i (b) W = 0 bo α = 90°, (c) i (d) bo przesunięcie s = 0.

Jednostką pracy jest w układzie SI dżul (J), 1J = 1N·1m.

Często używa się jednostki elektronowolt 1eV = 1.6·10^-19 J.

Przykład 2

Sanki o masie 5 kg są ciągnięte ze stałą prędkością po poziomej powierzchni (rysunek). Jaka praca zostanie wykonana na drodze s = 9 m, jeśli współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0.2, a sznurek, za który ciągniemy tworzy kąt 45° z poziomem?

Pracę obliczamy z zależności:

W = Fs cosα

Aby obliczyć pracę musimy znaleźć F. Z warunku stałej prędkości (w kierunku poziomym)

Fcosα - T = 0

a dla kierunku pionowego

Fsinα +R - mg = 0

Nacisk na podłoże (równy reakcji podłoża) wynosi mg - Fsinα, więc siła tarcia wynosi

T = μ (mg - Fsinα)

Te równania pozwalają wyliczyć F (eliminując T).

F = μmg/(cosα+μsinα)

więc praca

W = Fs cosα = μmgs cosα/(cosα+μsinα)

Praca wykonana przez siłę zmienną

Rozważmy teraz siłę będącą funkcją położenia F(x), której kierunek jest zgodny z osią x. Szukamy pracy jaką wykona ta siła przy przesuwaniu ciała od położenia x₁ do położenia x₂. Jak skorzystać ze wzoru W = Fs cosα czyli co podstawić za F, skoro wartość jej zmienia się (rysunki poniżej)?

Zaczynamy od przybliżenia. Dzielimy całkowite przemieszczenie na n jednakowych odcinków Δx (rysunek poniżej). Wewnątrz takiego przedziału przyjmujemy (to jest to przybliżenie), że siła jest stała (prawie) i możemy teraz policzyć pracę na tym odcinku Δx: ΔW_i = F_iΔx, gdzie F_i jest wartością siły na tym odcinku. Zwróćmy uwagę, że od strony czysto formalnej (geometria) liczenie pracy jest równoważne liczeniu sumy powierzchni prostokątów o szerokości Δx i wysokości F_i. Następnie możemy zsumować prace na kolejnych odcinkach (zsumować pola prostokątów) i otrzymać pracę całkowitą.

Żeby poprawić to przybliżenie dzielimy przedział (x₁, x₂) na więcej (mniejszych) odcinków Δx (patrz kolejny rysunek).

I teraz znowu powtarzamy procedurę sumowania. Przybliżenie jest lepsze, bo siła ma prawie stałą wartość wewnątrz "małych" przedziałów Δx (pola powierzchni prostokątów bardziej pokrywają się z polem pod krzywą).

Widać, że rozwiązaniem problemu jest przejście (w granicy)

Δx → 0.

Stosujemy tę samą procedurę obliczając

(7.2)

To jest definicja całki. Liczbowo odpowiada to liczeniu pola powierzchni pod krzywą (w zadanym przedziale - granicach). Odpowiada to też z definicji liczeniu wartości średniej co zgadza się z intuicyjnym podejściem: W = F_średnia(x₂ - x₁)

Dla przykładu rozważmy sprężynę zamocowaną jednym końcem do ściany i rozciąganą siłą F tak, że jej koniec przemieszcza się o x.

Siła wywierana przez sprężynę jest siłą przywracającą równowagę i wynosi F = -k x.

Aby rozciągnąć sprężynę musimy przyłożyć siłę równą co do wartości lecz przeciwnie skierowaną. Tak więc F = k x.

Obliczmy pracę

Możemy też wprost obliczyć pole pod wykresem F(x)

Pole powierzchni jest polem trójkąta i wynosi

P = (1/2) x·kx = (1/2) kx²

i zgadza się z wynikiem uzyskanym z obliczenia całki.

To był przypadek jednowymiarowy. Przypadek 2 i 3-wymiarowy są w zasadzie swej rozpatrywane podobnie, ale matematycznie trudniejsze.

Energia kinetyczna i twierdzenie o pracy i Energii

W przykładzie z sankami mieliśmy do czynienia z ruchem bez przyspieszenia. Oznaczało to, że wypadkowa siła działająca na ciało wynosi zero. Teraz rozważmy przypadek, gdy ciało porusza się pod wpływem niezrównoważonej siły. Najprostszy przypadek to stała siła, czyli ruch ze stałym przyspieszeniem. Jaką pracę wykonuje ta siła przy przemieszczeniu ciała na odległość x?

Zakładamy, że kierunek siły F i przyspieszenia a pokrywa się z kierunkiem osi x. Dla stałego przyspieszenia mamy

oraz

co w połączeniu daje

Wykonana praca jest równa

(7.3)

Połowę iloczynu masy ciała i kwadratu prędkości nazywamy energią kinetyczną.

Praca wykonana przez wypadkową siłę F działającą na punkt materialny jest równa zmianie energii kinetycznej tego punktu.

W = E_k - E_k0 (7.4)

To jest twierdzenie o pracy i energii.

Gdy nie ma zmiany wartości prędkości to nie ma zmiany energii kinetycznej, tzn. nie jest wykonywana praca (np. siła dośrodkowa). Z twierdzenia powyższego wynika, że jednostki pracy i energii są takie same.

Moc

Rozważmy czas, w jakim wykonywana jest praca. Często interesuje nas szybkość wykonania pracy a nie jej wartość. To jest właśnie moc.

Moc średnia: P_średnia = W/t

Moc chwilowa:

P = dW/dt

Oczywiście, gdy moc jest stała w czasie, to P_średnia = P.

Jednostką mocy jest wat. 1W = 1J/1s.

Dla celów praktycznych używa się kW (kilowatów) lub KM (koni mechanicznych, przy czym 1 KM ≈ (3/4) kW.

---