Kinetyczno - molekularny model gazu doskonałego

(przełom XIX i XX w. - J.W. Gibbs, L. Boltzmann)

Założenia

• cząsteczki gazu są to punkty materialne

• poruszają się ruchem chaotycznym

• drogę miedzy zderzeniami (odcinek prostej) nazywamy drogą swobodną

Równanie gazu doskonałego, jako wniosek z teorii kinetyczno - molekularnej

W sześciennym naczyniu o krawędzi l znajduje się N cząsteczek gazu.

m - masa cząsteczki

ν_x - składowa prędkości cząsteczki w kierunku osi x

Zmiana pędu cząstki przy jednym zderzeniu ze ścianką naczynia:

Ile zderzeń następuje w czasie 1 s ?

Czas przelotu cząstki między ścianką lewą i prawą i z powrotem wynosi:

Liczba zderzeń jest równa odwrotności tego czasu (np. jeśli czas wynosi 0,2 s to liczba zderzeń n = 5 1/s, czyli 5 zderzeń w czasie 1 s), zatem liczba zderzeń cząsteczki ze ścianką w czasie 1 s wynosi:

Zmiana pędu przy tej samej liczbie zderzeń wynosi:

Zmiana pędu w czasie 1s w przypadku N cząsteczek:

Wyrażenie to pomnóżmy i podzielmy przez N

Ponieważ żaden z kierunków nie jest wyróżniony możemy zapisać:

Zmiana pędu w czasie 1s N cząsteczek równa się:

Z II zasady dynamiki

Zmiana pędu p spowodowana jest siłą F_śr (W czasie 1s siła ulega fluktuacji, bierzemy więc F_śr).

Oznaczamy:

P - ciśnienie na ściankę

S - powierzchnia ścianki

l^3 - objętość naczynia

- średnia energia kinetyczna cząsteczki

równanie gazu doskonałego

Eksperymenty

1. Robert Boyle (1627 - 1691) - fizyk angielski

Edme Mariotte (1620 - 1684) - fizyk francuski

Prawo Boyle i Mariotte'a:

m = const T = const

2. Jacques A. Charles (1746 - 1823) - fizyk francuski

Prawo Charlesa:

m = const V = const

3. Joseph L. Gay-Lussac (1778 - 1850) - fizyk francuski

Prawo Gay-Lussac'a:

m = const P = const

4. Benoit P. Clapeyron (1799 - 1864) - fizyk francuski

Równanie Clapeyrona:

R = 8,31432

Porównanie wyników eksperymentów z wnioskami z modelu

dla 1 mola gazu n = 1, N = NA

stąd

k - stała Boltzmanna k = 1,38 * 10^-23

Powyższy wzór pozwala na interpretację temperatury jako miary średniej energii kinetycznej ruchu postępowego cząsteczek.

Jeśli mamy dwa gazy w tej samej temperaturze, przy czym m₂ > m₁ to
, ponieważ

W tej samej temperaturze atomy gazu cięższego poruszają się wolniej niż lżejszego (gaz cięższy dyfunduje wolniej niż lżejszy).

Energia wewnętrzna

Przy założeniu, ze cząsteczki gazu są punktami materialnymi całkowita energia gazu jest energią ruchu postępowego cząsteczek. Nazywamy ją energią wewnętrzną U.

Zatem

Traktując cząsteczki jako układy złożone nazywamy energię wewnętrzną sumą wszystkich rodzajów energii: kinetycznej ruchu postępowego i obrotowego, oscylacyjnego, energii potencjalnej oddziaływania atomów, elektronów, energii wewnątrz-jądrowej, związanej z masą cząstek.

Energia wewnętrzna układ cząstek gazu wzrasta, gdy nad układem zostanie wykonana praca sił zewnętrznych.

Przy założeniu, że W_zewn = 0 energia wewnętrzna układu może wzrastać na sposób ciepła (w procesie cieplnym).

Ogólnie:

I zasada termodynamiki

1. W układzie odosobnionym W_zewn = 0

2. W układzie izolowanym adiabatycznie Q = 0

Zasada ekwipartycji energii

Ponieważ

Energia kinetyczna rozkłada się na trzy niezależne ruchy w kierunkach wzajemnie prostopadłych - na trzy stopnie swobody. Na każdy stopień przypada energia równa
.

Cząsteczka dwuatomowa ma dodatkowe dwa stopnie swobody na energię ruchu obrotowego wokół dwóch niezależnych osi obrotu oraz ponadto dwa stopnie swobody na energie kinetyczną .....

ruch postępowy f1 = 3	ruch obrotowy f2 = 2	ruch oscylacyjny f3 = 2

Całkowita średnia energia jaką ma ta cząsteczka w temperaturze T wynosi:

Energia wewnętrzna jednego mola gazu wynosi:

Ciepło właściwe gazu (molowe)

Doprowadzanie do 1 mola gazu ciepła o ilości dQ powoduje wzrost temperatury od dT (V = const).

Ciepłem właściwym nazywamy stosunek

Ale

zaś

Zatem

W przypadku gazów jednoatomowych (f = 3)

W przypadku molekuł dwuatomowych liczba stopni swobody może wynosić 3, 5 lub 7.

Np. dla H₂ w temperaturach

poniżej 100 K	ruch postępowy
do 400 K	+ rotacje
powyżej 3500 K	+ oscylacje

Gazy rzeczywiste

1. Między molekułami gazu rzeczywistego istnieją siły wzajemnego oddziaływania (siły międzycząsteczkowe).

2. Molekuły nie są punktami. Można je traktować jako doskonale spężyste kulki o promieniu r_k i objętości
   .

Uwzględnienie skończonych wymiarów cząsteczek oraz ich wzajemnego oddziaływania pozwoliło fizykowi holenderskiemu J. Van der Waalsowi otrzymanie równania dobrze opisującego właściwości gazów rzeczywistych.

równanie Van der Waalsa

gdzie:

P - ciśnienie

V - objętość

T - temperatura gazu

ciało w stanie lotnym	a	b
wodór	0,0032	23,4 * 10^-6
tlen	0,1360	31,9 * 10^-6
para wodna	0,5480	30,6 * 10^-6

W wysokich temperaturach i przy niskich ciśnieniach gazy rzeczywiste stosują się do równanie Clapeyrona.

Przy założeniu: T = const

równanie izotermy Van der Waalsa

gdzie:

P_k - ciśnienie krytyczne

V_k - objętość krytyczna

T_k - temperatura krytyczna

Substancja	Tk	Pk	Vk
Azot	-147	34	90,3
Hel	-268	2,3	61,5
Wodór	-240	34	70
CO2	+ 31	74	98,2

Rozkład prędkości cząsteczek

1. Doświadczenie Lammerta

2. Równanie Maxwella (rozkład Maxwella)

3. Prędkości charakterystyczne: v_p,
   , v^*

Im większa liczba cząsteczek o prędkości v, tym krótszy czas na otrzymanie dostrzegalnego osadu na ściance detektora.

Przykład:

l = 0,40 m;
;

Jeśli
, to
.

W doświadczeniu Lammerta można było wyznaczyć względną liczbę cząsteczek, których prędkości leżały w przedziale od v do
, tzn. wielkość
.

Przedział prędkości				Przedział prędkości				Przedział prędkości
60		90	32	270		300	368	480		510	161
90		120	137	300		330	361	510		540	127
120		150	195	330		360	342	540		600	100
150		180	251	360		390	313	600		660	46
180		210	300	390		420	278	660		720	22
210		240	338	420		450	237	720		840	9
240		270	361	450		480	190	840		960

W 1860 r. „rozkład prędkości” został wyprowadzony przez Maxwella.

N	 liczba cząsteczek zamkniętych w naczyniu
dN	 liczba cząsteczek, których prędkości zawierają się w przedziale: v,
	 względna liczba cząsteczek, których prędkości leżą w przedziale: v,

Na wartość funkcji
wpływają: prędkość v i temperatura T.

Maksimum tej funkcji obliczmy:

Dla tej prędkości funkcja osiąga maksimum. Prędkość tą nazywamy prędkością najbardziej prawdopodobną v_p.

Z taką prędkością porusza się największa liczba cząsteczek (w danej temp. T).

gdzie:

 prędkość średnia

 prędkość średnio kwadratowa;

Cząsteczki O₂

T = 100 K	vp = 229 m/s
T = 300 K	vp = 394 m/s
T = 1000 K	vp = 721 m/s

Cząsteczki H₂

T = 0	vp = 1510 m/s
T = 100	vp = 1765 m/s

Pary Hg

T = 0	vp = 151 m/s
T = 100	vp = 176,5 m/s

Przykład:

10 drobin, kórych prędkości wynoszą: 0, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6 m/s

Znaleźć: v_p,
, v^*

Gaz • Fizyka 2002 - 2003

15

---