DRGANIA WYMUSZONE TŁUMIONE -cd.
W wyniku rozwiązania równania drgań tłumionych wymuszonych harmonicznie uzyskujemy odpowiedź układu w postaci członu czynnika:
(5.1)
pozostaje składnik charakteryzujący drgania ustalone z częstością siły wymuszonej, gdzie :
(5.2)
(5.3)
Całkowanie równania ruchu jest dość złożone. Podamy metodę prostszą - metodę impedancji mechanicznej. W tym celu wróćmy do wzoru :
(5.4)
Przeanalizujmy ruch harmoniczny :
Pamiętamy, że jeśli wektor x obraca się z prędkością ω, czyli w czasie t obraca się o kąt α, to rzut P i Q na osie y i x wykonują względem środka 0 ruch harmoniczny.
Jeśli przyjąć reprezentacje x zespolone, tzn. przyjąć oś y jako Im a oś x jako Re, to wektormożna zapisać jako :
W reprezentacji geometrycznej tworzą wzajemnie względem siebie obrócone wektory :
Innymi słowy obrót wektora x wokół osi z jest wektorową reprezentacją ruchu harmonicznego, który można przedstawić dwoma ruchami okresowymi na płaszczyźnie xt i yt.
Podobnie można zaprezentować tor :
Wnioski.
Zapis reprezentacji ciała liczb zespolonych jest bogatszy, ponieważ zawiera dwa ruchy harmoniczne.
Spróbujemy wyznaczyć wzory na amplitudę i tgϕ stosując tzw. metodę impedancji. W tym celu zamienimy :
(5.5)
- wymuszenie typu kosinusowego.
- wymuszenie typu sinusowego.
(5.6)
Dla równania (5.6) przewidujemy rozwiązanie w postaci :
(5.7)
Różniczkując równanie (5.7) dwa razy otrzymamy :
(5.8)
(5.9)
Podstawiając równania (5.7), (5.8) i (5.9) do równania (5.6) otrzymamy:
(5.10)
(5.11)
(5.12)
Wyrażenie (5.12) spróbujemy przekształcić do przyjaznej dla nas postaci :
(5.13)
Wyłączymy ωn przed pierwiastek :
- współczynnik rozstrojenia
- bezwymiarowy współczynnik tłumienia
Statyczne oddziaływanie F0 od c :
Po wprowadzeniu tych oznaczeń amplituda przyjmuje postać :
(5.14)
(5.15)
α - współczynnik zwielokrotnienia amplitudy (uwielokrotnienia amplitudy).
Natomiast :
(5.16)
Przeanalizujmy wykres współczynnika zwielokrotnienia amplitudy :
z |
0 |
1/2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
α |
1 |
4/3 |
∞ |
1/3 |
1/8 |
1/15 |
(5.17)
Można wyznaczyć tgϕ - przesunięcie fazowe.
Otrzymane wykresy informatycy nazywają charakterystykami częstotliwościowymi amplitudy i fazy. Z przedstawionej charakterystyki częstotliwościowej amplitudy wynika, że dla z=1 czyli, gdy p.=ωn tzn. gęstość drgań wymuszonych pokrywa się z gęstością drgań własnych amplituda rośnie znacząco i dla przypadku zerowego tłumienia zachodzi tzw. ostry rezonans (amplituda zdąża do nieskończoności). Zjawisko rezonansu jest bardzo niebezpieczne w technice i można zauważyć je w życiu codziennym (jazda samochodem). Sokowirówki, które pracują poza zakresem rezonansowym charakteryzują się wibracjami.
Przyjęło się nazywać maszynami lekkimi te, które pracują przy częstościach wyższych kilka razy od częstości rezonansowych. Maszyny ciężkie to takie, które pracują w zakresie przedrezonansowym (sztywne). Przeciwdziałanie rezonansu to wibroizolacja maszyn bądź też stosowaniu dynamicznych eliminatorów drgań.
WYKŁAD 5.