Spis treści

1. Wprowadzenie

2. Związki fizyczne w teorii sprężystości dla ciała jednorodnego i izotropowego

3. Inne postacie związków fizycznych

4. Związki fizyczne w teorii sprężystości dla ciała niejednorodnego

1. Wprowadzenie

W niniejszym opracowaniu przedstawiono związki fizyczne dla ciała fizycznie jednorodnego i izotropowego oraz niejednorodnego, anizotropowego.

2. Związki fizyczne w teorii sprężystości dla ciała jednorodnego i izotropowego

W każdym materiale konstrukcyjnym przy umiarkowanych wartościach naprężeń i odkształceń obserwujemy obszar, w którym podczas jednoosiowego rozciągania lub ściskania zależność σ(ε) jest liniowa, a droga obciążenia pokrywa się z drogą odciążenia.

W obszarze tym ciało zachowuje się liniowo-sprężyście. Przyjęcie liniowej zależności σ(ε) jest najprostszym przybliżeniem stosowanym do opisu zachowania się konstrukcji pod obciążeniem.

W analizie ciała izotropowego korzysta się z klasycznej teorii sprężystości przy niżej wymienionych założeniach:

- ciało jest wypełnione w sposób ciągły materią zarówno przed, jak i po odkształceniu,

- ośrodek ciągły jest fizycznie jednorodny i izotropowy,

- przemieszczenia i odkształcenia pojawiają się w chwili przyłożenia obciążeń wywołujących naprężenia,

- istnieje naturalny beznapięciowy stan ciała, do którego poprawca ono zawsze po odciążeniu,

- odkształcenia i przemieszczenia są bardzo małe,

- ośrodek ciągły zachowuje się zgodnie z prawem Hooke'a,

- funkcje określające naprężenia, przemieszczenia i odkształcenia są ciągłe i różniczkowalne.

W teorii sprężystości analizowane jest ciało poddane działaniom sił powierzchniowych q oraz masowych X.

Poszukiwane są: wartość wektorowego pola przemieszczeń oraz tensorowych pól stanu naprężenia i odkształcenia.

Do znalezienia tych funkcji należy zastosować równania teorii sprężystości tj.:

- równania wewnętrznej równowagi lokalnej (trzy warunki Naviera w tym postulat Boltzmana/ Cauchy'ego),

- związki geometryczne (zależność między składowymi stanu odkształcenia i przemieszczeniami - sześć związków Cauchy'ego, warunki ciągłości (nierozdzielności) odkształceń de Saint-Venanta)

- związki fizyczne.

Związkami fizycznymi jest uogólnione prawo Hooke'a i określają je niżej wymienione równania:

- funkcje określające stan odkształcenia w zależności od składowych stanu naprężenia

- funkcje określające składowe stanu naprężenia w zależności od składowych stanu odkształcenia

Poniżej przedstawimy sposób budowy związków fizycznych dla ciał liniowo-sprężystych w ogólnym przypadku trójosiowego stanu naprężenia. Na wstępie przyjmiemy założenie polegające na tym, że kierunki głównych naprężeń i głównych odkształceń się pokrywają. Podczas jednoosiowego rozciągania (ściskania) odkształcenia liniowe w kierunku działania siły.

Wtedy prawo Hooke'a:

ε =σ / E , a odkształcenia poprzeczne opisuje wzór

Fakty te wykorzystamy do budowy związków fizycznych w przypadku trójwymiarowym dla materiału izotropowego. Na rysunku niżej zamieszczonym przedstawiono deformację elementarnego prostopadłościanu pod wpływem jednoczesnego działania trzech naprężeń głównych σ1, σ2, σ3. Każde z tych naprężeń działające z osobna powoduje odkształcenia podłużne i poprzeczne. Ostateczne wartości odkształceń

ε1, ε2 i ε3 można uważać za sumę efektów działania poszczególnych naprężeń głównych. W ten sposób uzyskano związki fizyczne. Przy budowie wzorów przyjęto zatem zasadę, że ostateczny skutek działania kilku przyczyn jest równy sumie efektów działania każdej z przyczyn. Zasadę tę nazywamy zasadą superpozycji skutków. Zasięg jej stosowania jest jednak ograniczony. Zasada superpozycji obowiązuje bowiem tylko wówczas, gdy skutek jest liniową funkcją przyczyny.

Równania wiążą wartości główne tensorów odkształcenia i naprężenia, są podstawową formą związków fizycznych.

Równania fizyczne dla ciał izotropowych

W dowolnym układzie osi współrzędnych stan naprężenia określa 9 składowych σij. Na podstawie zasady superpozycji odkształcenia wywołane przez te składowe można uważać za sumę efektów działania naprężeń normalnych i naprężeń stycznych, które z kolei składają się z trzech czystych ścinań w płaszczyznach (x1, x2), (x2, x3) i (x3, x1). Efekty działania naprężeń normalnych są opisane równaniami.

Dla określenia wpływu naprężeń stycznych wystarczy analiza deformacji

występujących podczas czystego ścinania.

Rozważmy dla przykładu czyste ścinanie w płaszczyźnie (x1, x2) wywołane przez naprężenia σ12 i σ21. Stan czystego ścinania odpowiada − jak wiemy − działaniu naprężeń normalnych, σ1'1' = −σ2'2' =τ w układzie osi x1' , x2' obróconym o kąt 45° w stosunku do osi x1' , x2, przy czym σ12 =σ21 =τ . Osie x1' , x2' są osiami głównych naprężeń, dla których obowiązują wzory wyżej podane.

Mamy więc

skąd widać, że

Otrzymany wynik odpowiada odkształceniu czysto postaciowemu w układzie osi x1, x2

przy czym ε11 = ε22 = ε. Widzimy więc, że w układzie osi x1, x2 naprężenia styczne σ12 = σ21 = τ wywołują

odkształcenia czysto postaciowe:

Wzór można zapisać jeszcze inaczej:

gdzie:

Współczynnik G nazywamy modułem ścinania, modułem odkształcenia czysto postaciowego lub modułem Kirchhoffa. Wzór można łatwo uogólnić na pozostałe płaszczyzny układu przez zamianę wskaźników:

Podsumowując dotychczasowe rozważania stwierdzamy, że ogólną postać związków fizycznych dla izotropowych ciał liniowo-sprężystych opisuje sześć następujących równań:

W równaniach uwzględniono składniki wywołane zmianą temperatury. Składniki te − wobec przyjęcia izotropii termicznej materiału − występują tylko przy odkształceniach liniowych.

Po rozwiązaniu układu równań ze względu na naprężenia otrzymujemy drugą, równoważną postać związków fizycznych:

3. Inne postacie związków fizycznych

W mechanice ośrodków ciągłych spotykamy często skrócony zapis równań fizycznych:

lub związki odwrotne:

gdzie μ, λ oraz μ' i λ' oznaczają stałe Lamégo:

Współrzędne aksjatorów odkształcenia i naprężenia określa się następująco:

Wobec tego równania można uważać za związki fizyczne dla aksjatorów:

Podobne zależności można zbudować dla dewiatorów odkształcenia i naprężenia.

Otrzymujemy stąd związki fizyczne dla dewiatorów:

Należy zwrócić uwagę, że izotropowy materiał sprężysty jest całkowicie określony przez dwie stałe sprężystości, np. E i ν, E i G, K i G, λ i μ, λ´ i μ´ itd.

4. Związki fizyczne w teorii sprężystości dla ciała niejednorodnego

We wszystkich dotychczasowych rozważaniach założyliśmy małe odkształcenia oraz izotropię materiału, oznaczającą, że jego własności mechaniczne są takie same we wszystkich kierunkach. Założenie izotropii materiału pozwoliło przyjąć, że kierunki głównych naprężeń i głównych odkształceń pokrywają się.

Niektóre materiały konstrukcyjne nie wykazują jednak własności izotropii. Dotyczy to np. drewna, w którym wydłużenia w kierunku włókien są przy tej samej sile mniejsze niż w kierunku prostopadłym do włókien. Materiały, których własności zależą od kierunku, nazywamy anizotropowymi. Najogólniejsza postać związków fizycznych, obejmująca wszystkie możliwe przypadki anizotropii sprężystej (w tym również izotropię), jest następująca:

gdzie Eijkl oraz Cijkl są tzw. tensorami sprężystości. Pierwszy z nich można traktować jako tensor sztywności, drugi zaś jako tensor podatności sprężystej. Liczba współrzędnych (współczynników) tensorów sprężystości Eijkl lub Cijkl wynosi 81, tworzą one bowiem tensory czwartego rzędu (34 = 81).

Po wykorzystaniu symetrii tensorów εij i σij oraz pewnych zależności energetycznych liczba niezależnych współczynników sprężystości w tym ogólnym przypadku wynosi 21, podczas gdy dla ciała izotropowego są dwa (E,ν) takie współczynniki (współczynniki G, K, μ, λ , λ´, μ´ można wyrazić przez E i ν). Dla przykładu podamy rozwiniętą postać równań (5.14) w zapisie inżynierskim:

Funkcję współczynników Eijkl pełnią tutaj współczynniki brs (r, s = 1, 2, 3, 4, 5, 6), wykazujące własność symetrii brs = bsr. Liczba niezależnych współczynników sprężystości brs wynosi 18, bo od 21 należy odjąć 3 kąty określające przestrzenną orientację badanej próbki. Konkretne wartości współczynników brs zależą od przyjętego układu współrzędnych w danym punkcie. Ciało izotropowe charakteryzuje się tym, że współczynniki przyjmują zawsze te same wartości w każdym układzie współrzędnych. Wymaganie to spowoduje zerowanie się większości współczynników, a macierz brs przyjmuje postać:

gdzie μ i λ oznaczają stałe Lamego. Omówiona wyżej cecha charakterystyczna ciał izotropowych stanowi o tym, że tylko w tych ciałach kierunki głównych naprężeń zawsze pokrywają się z kierunkami głównych odkształceń.

Dużą rolę w technice odgrywają tzw. materiały ortotropowe. Materiały te wykazują 3 wzajemnie prostopadłe osie symetrii dwukrotnej. Równania fizyczne związane z tymi osiami mają postać:

3

---