Wykład 1

EKONOMIA MATEMATYCZNA jest to dyscyplina naukowa, która obejmuje różnorodne zastosowania matematycznych pojęć, metod i teorii w ekonomii, a zwłaszcza- w teorii ekonomii.

Teorie: przedsiębiorstwa, oligopolu, równowagi konkurencyjnej, wzrostu gospodarczego.

Korzyści:

-bardziej precyzyjne formułowanie teorii

-otrzymanie z teoretycznego punktu widzenia wyników czasami niemożliwych do otrzymania w matematyce

-

EKONOMIA MATEMATYCZNA jest matematyką stosowaną, „spółka” matematyki z ekonomią.

EKONOMIE MATEMATYCZNĄ najlepiej jest uważać za proces wyprowadzenia wniosków z jakiegoś szczególnego zbioru niesprzecznych aksjomatów mających treść ekonomiczną

Etapy działania ekonomii matematycznej:

1. Przyjmuje się wstępne założenia o badanym obiekcie ekonomicznym i formułuje się je w języku matematyki

2. Posługując się pojęciami odpowiednich teorii matematycznych i korzystając z twierdzeń i metod tych teorii z przyjętych założeń wyprowadza się wnioski, stawia hipotezy i otrzymuje się rozwiązania postawionych problemów.

W ekonomii matematycznej charakterystyczne jest to, że rozpatrywane są typowe obiekty (konsument)

Rys historyczny. Prekursorzy i mistrzowie myśli ekonomicznej.

Ekonomia matematyczna wyłoniła się z historii ekonomii w latach 30 XIX w.

Francois Quesnay- ekonomista francuski (1694- 1774) podjął próbę stworzenia systemu wyjaśniającego mechanizmy rządzące gospodarką narodową. W 1759 r wydał dzieło pt. „Tableau economique” które jest uważane za pierwowzór tzw. Modelu przepływów międzygałęziowych Leontiefa. Mistrz szkoły ekonomicznej zwanej fizjokratyzmem.

Za prekursora ekonomii matematycznej, prekursora szkoły lozańskiej uważany jest Antoine Augustin Cournot (1801-1877). Napisał w 1838 „Badania nad zasadami teoretycznymi teorii bogactwa”. Posługiwał się rachunkiem różniczkowym, który jako pierwszy wprowadził do ekonomii.

Cesare Bonesana di Beccaria- zwolennik fizjokratyzmu . „Elementy ekonomii politycznej”

Leon Wal ras (1834-1910) mistrz szkoły lozańskiej. „Elementy czystej ekonomii politycznej”. Podstawy teorii równowagi ogólnej, stosował analizę matematyczną.

W.S. Javons (1824-1910)

Vilfredo Pareto (1848-1923)

Szkoła lozańska stworzyła teorię... firmy , oligopolu.

Obok szkoły austriackiej (psychologicznej) i angloamerykańskiej (neoklasycznej) była jedną z głównych szkól tworzących kierunek marginalistyczny.

Przedstawiciele szkoły austriackiej: Karl Mengel-mistrz

Przedstawiciele angloamerykańskiej: Jevons-mistrz

Pierwszy okres w historii ekonomii kończy się w latach 30-40 XX w dziełami :

J.R. Hicks „Wartość i kapitał” 1931

P.A. Samuelson „Podstawy analizy ekonomicznej” 1947

Michał Kalecki „Teoria cyklu biznesowego” 1937

„A Theory of business cycle”

Drugi okres w ekonomii matematycznej to lata 1948-1959 -okres modeli mnogościowych i liniowych.

Grupy zagadnień:

Pierwsza grupa osiągnięć- prace z równowagi teorii ekonomicznej:

G. Debren „Teoria wartości: aksjomatyczna analiza równowagi ekonomicznej” 1955

K. J. Arrow

Druga grupa

Pracec z zakresu ekonomicznych zastosowań programowania matematycznego

T. Ch. Koopmans

L. Kantorowicz

Prace z teorii przepływów międzygałęziowych

Matematyczne modele wzrostu gospodarczego i dynamiki gospodarczej

R. M. Solow

R. F. Harrod

E. D. Domer

Zagadnienia teorii gier

J. von Neumann

O.Morgenstern

J.F. Nash

Nobliści :

1994 John Charles Harsony, John F. Nash, Reinhard Selten- równowaga w teorii gier

1987 Robert M. Solow -teoria wzrostu gospodarczego

1983 Gerard Debreu- nowe metody analityczne w ekonomii

1973 Wassily Leontief- przepływy międzygałęziowe

1972 Sir John R. Hicks oraz Kenneth J. Arrow- ogólna teoria równowagi oraz teorii dobrobytu

1970 Paul Anthony Samuelson- statystyczna i dynamiczna teoria ekonomii

Wykład 2

Elementy popytu indywidualnego konsumenta

Zał.

Towary są nieskończenie podzielne i jednorodne

Przestrzeń towarów

Zał.

Na rozpatrywanym rynku znajduje się n różnych towarów

n-ta potęga kartezjańska

Def

Wektor x=(x₁, x₂...x_i,...x _n)∈R₊ⁿ, w którym i-ta współrzędna reprezentuje ilość i-tego towaru, którą konsument ewentualnie może kupić, wyrażoną w jednostkach naturalnych nazywamy koszykiem towarów (wiązka towarów)

X-zbiór wszystkich dostępnych na rynku koszyków towarów

Przykład1

N=4

X=(1, 2, 0, 2)

Y=(0, 3, 1, 5)

Wprowadzamy w zbiorze * metrykę z

X=(x₁, x₂,... x _n)

Y=(y₁, y₂,... y _n)

X=(1,2,0,2)

Y=(0,3,1,5)

Definicja

Przestrzenią towarów będziemy nazywali parę (X,d) gdzie X-zbiór wszystkich dostępnych na rynku towarów, a d jest metryką zdefiniowaną (*)

Przykład2

X0=(1,1)

R=1

K(x0,r)

1

1

Relacje preferencji konsumenta

To, który z koszyków konsumetn wybierze zależy od jego preferencji

Preferencje konsumentów można formalnie scharakteryzować za pomocą relacji w przestrzeni towarów X x,y∈X

Konsumetn silnie preferuje koszyk x nad koszyk y

Konsumetn woli koszyk y niż x

x∼y

konsumetn uważa koszyki za jednakowo dobre , koszyki x i y są indyferentne

Def

Relacją obojętności w postaci x nazywamy zbiór

I={(x,y)∈X*X|x∼y} I⊂X2

Zał

Relacja obojętności jest zwrotna , symetryczna przechodnia-jest relacją równoważności

Def

Relacją silnej preferencji konsumenta nazywamy zbiór:

Ps⊂x2

Zał

Relacja silnej preferencji jest przechodnia

Def

Relacją słabej preferencji nazywamy zbiór:

- konsument słabo preferuje x nad y lub konsumetn uważa koszyk x za niegorszy od y

Zał

Relacja słabej preferencji jest przechodnia i zupełna. Zupełność relacji

Preporządek- zwrotna i przechodnia

Pełny porządek-zwrotna, przechodnia i zupełna

Wyżej zdefiniowana relacja słabej preferencji jest przykładem pełnego preporządku w przestrzeni towarów i usług.

P=Ps∪I-w sensie mnogościowym

Związki między relacjami:

Twierdzenie1

Dla wolnych koszyków x, y, z∈X:

1. x>y ∨ y>x ∨ x∼y

2.

3.

4.

Definicja

Pole preferencji konsumenta to para

Dla każdego koszyka x∈X można zdefiniować;

Zbiór koszyków nie gorszych niż x:

Zbiór koszyków nie lepszych niż naszych X

Zbiór koszyków indyferentnych-względem koszyka x

Krzywą obojętności po raz pierwszy zastosował w ekonomii F.J. Edgeworth (druga poł XIXw)

Zbiór koszyków lepszych niż koszyk x

Zbiór koszyków gorszych niż koszyk x

Przykład 3

Dobra doskonale komplementarne to dobra, które mogą być konsumowane jedynie razem i w stałych proporcjach.

Cola

Własności:

1. Monotoniczność

Def

Relację

nazywamy monotoniczną, jeżeli dla każdych koszyków

x=(x₁,...x _n)∈X oraz y=(y₁,...y _n)∈X zachodzi imlikacja

x>y⇒x>y

W której zapis x>y oznacza, że xi>yi dla i=1,2,...n. Jeśli relacja słabej preferencji jest monotoniczna to konsument kieruje się zasadą „im więcej tym lepiej”

2. Ciągłość relacji słabej preferencji

Def

Relację ≥ nazywamy ciągła w przestrzeni X jeżeli dla każdych dwóch koszyków x,y∈X takich, że x>y istnieje otoczenie Ux⊂X oraz Uy ⊂X takich, że:

Interpretacja ciągłości:

1. Gdy relacja preferencji konsumenta jest ciągła i konsument uważa koszyk x za lepszy niż y to uważa on również każdy koszyk x ^I „niewiele” różniący się od koszyka x za lepszy od każdego koszyka y ^I „niewiele” różniącego się od koszyka y.

2. x∈X⊂R₊ⁿ

Jeżeli relacja ≥ jest ciągła to odcinek w Rⁿ łączący dowolny punkt y∈S ^>_x z dowolnym punktem z∈S ^< _x musi mieć niepustą część wspólną ze zbiorem obojętności K _x.

Przykład 4

Załóżmy że na rynku handluje się jednym doskonale podzielnym towarem którego podaż a (a>0)

Konsument ocenia koszyki następująco:

x∼yx=y

x>yx>y

R₊

X

R₊

Relacja słabej preferencji:

czyli

R₊

Ps

Uy X ^I >y ^I

x>y

Ux

Wykład 3

Twierdzenie (wkw ciągłości)

Relacja słabej preferencji jest ciągła przestrzeni X⊂R₊ ⁿ wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego koszyka x, zbiory: zbiór koszyków niegorszych niż x S ^≥_x i nielepszych niż S^≤_x są zbiorami domkniętymi.

Przykład nieciągłej relacji preferencji.

X=R²₊

x=(x₁, x₂)∈X y=(y₁, y₂)∈X

Indyferentność

Zatem

Tak zdefiniowana relacja jest przykładem relacji nieciągłej

Wypukłość relacji

X⊂Rⁿ nazywamy wypukłym ⇔

Silnie wypukły wypukły niewypukły

Def

Relację≥ nazywamy wypukła w przestrzeni x jeżeli

Można pokazać, że relacja słabej preferencji jest wypukła w X w.t.w. gdy zbiór S^≥_x koszyków niegorszych od x jest wypukły dla każdego koszyka x należącego do X.

A b

c

Relację ≥ nazywamy silnie wypukłą w przestrzeni x jeżeli

Można dowieść, że jeśli relacja preferencji jest silnie wypukła to zbiór koszyków niegorszych niż x jest silnie wypukły dla każdego koszyka x (typowa sytuacja to b)

X=R²₊

Koszyki optymalne i warunki ich istnienia

(X, ≥)- pole preferencji konsumenta

A⊂X(A≠φ)

Def

Koszyk x^*∈A nazywamy koszykiem optymalnym w zbiorze A jeżeli

Jeżeli relacja preferencji (słabej pref.) jest ciągła w przestrzeni towarów x i zbiór A jest zbiorem zwartym to w zbiorze A istnieje co najmniej jeden optymalny koszyk
towarów. Zbiór wszystkich koszyków optymalnych jest zwartym koszykiem zbioru A.

Zbiór A⊂Rⁿ nazywamy zwartym w.t.w. gdy jest domknięty i ograniczony.

Jeżeli relacja preferencji jest ciągła i słabo wypukła w wypukłej przestrzeni towarów x a zbiór A jest zwarty i wypukły to w zbiorze A istnieje co najmniej jeden koszyk optymalny. Zbiór wszystkich koszyków optymalnych jest w tym przypadku zwartym i wypukłym podzbiorem zbioru A.

Jeżeli relacja słabej preferencji jest ciągłą i silnie wypukła w wypukłej przestrzeni towarów X i zbiór A jest zwarty i wypukły to w zbiorze A istnieje dokładnie jeden optymalny koszyk towarów.

Funkcja użyteczności konsumentów.

U:xR -tak też można opisać

Użyteczność to zdolność dóbr do zaspokojenia potrzeb konsumenta. Aksjomatyczną teorię użyteczności w latach 40 XX w stworzyli J. Von Neumann, O. Morgenstern.

XIIIw teoria gier hazardowych, paradoks petersburski

Def

Funkcję u:XR (x pole preferencji konsumenta)nazywamy funkcją użyteczności konsumenta reprezentującą relację preferencji jeżeli dla każdych dwóch koszyków.

Tak zdefiniowana funkcja użyteczności nazywa się porządkową funkcją użyteczności.

x∈X

u(x)∈R

Liczba zwana użytecznością u(x) bywa czasem interpretowana jako stopień zadowolenia.

Kardynalna interpretacja użyteczności

Tw

Jeżeli funkcja u reprezentuje relację słabej preferencji to dla każdych dwóch koszyków x,y∈X

• U(x)=u(y)x∼y

• U(x)>u(y)xy

Jeżeli funkcja u:XR reprezentuje relację preferencji y:RR jest funkcją rosnącą oraz istnieje funkcja zlożona

,x∈X to funkcja

też jest funkcją użyteczności reprezentującą relację słabej preferencji

Twierdzenie G. Debreu

Jeżeli przestrzeń towarów X⊂R₊ⁿ jest zbiorem:

• Niepustym i domkniętym

• 
  Spójnym

Tak Nie

• Nieograniczonym z góry

(x∈X∧y≥x⇒y∈X)

(y _i ≥x _i) i=1,...n

oraz relacja preferencji jest ciągła w przestrzeni X to istnieje ciągłą funkcja użyteczności, która reprezentuje tą relację.

Prawdziwe jest też twierdzenie w pewnym sensie odwrotne:

Jeżeli funkcja u:XR jest ciągła w przestrzeni towarów X spełniającej warunki 1-3 to relacja preferencji p= {(x,y)∈X*X\u(x)≥u(y)} też jest ciągła w przestrzeni towarów X.

Przyjmujemy że X=Rⁿ₊ rozważane funkcje będą:

1.Wklęsłe lub silnie wklęsłe (w. Zb. X=Rⁿ₊)

Rⁿ R jest wklęsła w zbiorze wypukłym A w.t.w.

Funkcja jest silnie wklęsła w zb A w.t.w.

A A A

Wklęsła silnie wklęsła

2. Rosnące w X∈Rⁿ₊

3.Pochodne cząstkowe II rzędu funkcji urzyteczności istnieją i są ciągłe w zbiorze Rⁿ₊₊

u∈c² (Rⁿ₊₊)

Wykład 4

Tw

Jeżeli funkcja użyteczności u: Rⁿ₊R jest wklęsła (silnie wklęsła)w zbiorze R_n+ to relacja preferencji wyznaczona przez tą funkcję jest wypukła (silnie wypukła)

Gdy f użyteczności jest silnie wklęsła to zbiór:

I

Są silnie wypukłe dla każdego koszyka x.

Przykłady funkcji użyteczności

• Funkcja multiplikatywna (Cobba-Douglasa)

Gdzie 0<α_i<1 x_i>0 (i=1,...n)a>0

• Funkcja addytywna

A_i>0 x_i>0 (i=1,2,...n)

• Funkcja logarytmiczna

A_i>0 x_i>0 (i=1,2..n)

• Funkcja liniowa

(a_i>0)

• Funkcja Leontiefa-Koopmansa

(a_i>0)

Preferencje typu Cobba-Douglasa

Charakterystyki użyteczności:

-Rachunek marginalny-

krańcowa użyteczność, krańcowa stopa substytucji, elastyczność substytucji towarów.

Zakładamy że funkcja użyteczności jest różniczkowalna, silnie wklęsła lub wklęsła, rosnąca.

Dowolny ustalony stopień towarów

Def1

Krańcową użytecznością i-tego towaru w koszyku x nazywamy pochodną cząstkową funkcji użyteczności względem zmiennej x_i czyli:

(i=1,...n)

Jeżeli u jest rosnąca to krańcowa użyteczność każdego towaru jest rosnąca- oznacza to, że zwiększenie ilości jednego towaru w koszyku przy niezmienionych innych zwiększa użyteczność koszyka.

Jeśli jest podwójnie różniczkowalna i silnie wklęsła to:

Tzn. krańcowa użyteczność każdego towaru maleje w miarę wzrostu jego spożycia. Zasady malejącej krańcowej użyteczności (prawo Gossena)

Def2

Krańcową stopą substytucji i-tego towaru przez j-ty towar w koszyku x, nazywamy wyrażenie

(i≠j)

Mówi o ile (w przybliżeniu) powinna zmniejszyć się ilość j-tego towaru , przy zwiększeniu ilości i-tego towaru o jednostkę aby użyteczność koszyka x pozostała bez zmian.

Def3

Elastycznością substytucji i-tego towaru przez j-ty towar w koszyku x, nazywamy wyrażenie:

(i≠j)

Pokazuje o ile procent (w przybliżeniu) powinna zmniejszyć się ilość j-tego towaru przy zwiększeniu ilości i-tego towaru o 1% żeby użyteczność koszyka nie zmieniła się.

Maksymalizacja użyteczności konsumpcji. Funkcja popytu konsumenta.

I-dochód konsumenta (budżet konsumenta)

Zbiór budżetowy

D(p, I)={x∈X|<p, x> ≤I}

Czyli zbiór koszyków, na które stać konsumenta. Zbiór D jest zwarty(ograniczony) oraz wypukły

Linią budżetową , nazywamy zbiór

L(p, I)={x∈X| <p, x> =I}

Konsument chce kupić najlepszy koszyk x∈D(p, I)- najlepszy na jaki go stać- optymalny

Jeżeli relacja preferencji jest ciągła i silnie wypukła w przestrzeni towarów X=Rⁿ₊ to dla każdej pary (p, I) istnieje dokładnie jeden koszyk optymalny w zbiorze D(p, I)

Funkcja popytu konsumenta

Maksymalizacja funkcji konsumpcji

Problem

Wyznaczyć maksimum funkcji użyteczności

U(x)max (1)

Przy ograniczeniach <p,x> ≤1 (2)

x≥0 (3)

Jeżeli u spełnia : jest silnie wklęsła, podwójnie różniczkowalna i .........to funkcja popytu

Przy przyjętych założeniach funkcja popytu konsumenta jest funkcją ciągłą. Dla każdego p>0 i I>0 oraz k>0 zachodzi równość

Wtedy γ jest funkcją dodatnio jednorodną stopnia zerowego.

Tw

Jeżeli u jest silnie wklęsła, rosnąca i różniczkowalna w X=Rⁿ₊ oraz konsument musi kupić z n towarów (czyli x>0) to dla każdego wektora cen p>0 i każdego dochodu I>0 istnieje dokładnie jedno rozwiązanie optymalne x* problemu (1)(2)(3). Rozwiązanie to spełnia układ n+1 równań.

Z n+1 niewiadomymi: λⁿ oraz x₁^*, x₂^*...x _n^*

Układ równań (1^I),(2^I) można zapisać w postaci:

.........................................

Warunek (1) oznacza, że

Grad u(x*)=λ*

Gdzie

Gradient wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji użyteczności u.

Równość (2) oznacza, że koszyk optymalny x* leży na lini budżetowej L(p,I)

U(x₁, x₂)=a₁ ln x₁+ a₂ ln x₂max

P₁x₁ + p₂x₂ ≤ I

Wykład 5

Def

Macierz

O elementach

Nazywamy macierzą współczynników elastyczności cenowej popytu w szczególności:

(i=1,...n)

Nazywają się elastycznościami cenowymi popytu

Nazywają się elastycznościami krzyżowymi popytu. E_ii^c pokazuje o ile procent zmieni się popyt na i-ty towar przy wzroście jego ceny o 1%.

E_ij^c pokazuje o ile procent zmieni się popyt na i-ty towar przy wzroście ceny j-tego towaru.

Def

Wyrażenie

Gdzie i=1,...n nazywa się elatycznością dochodową popytu na i-ty towar

• Towary normalne E^c_ii <0

• Towary Giffena E^c_ii >0

• Towary wyższego rzędu E^d_i >0

• Towary niższego rzędu E^d_i <0

Temat: Elementy teorii produkcji

Producent towarów

Towar:jako towar konsumpcyjny albo czynnik produkcji lub nakład

Proces prod. Przekształcenie (funkcja, transformacja) jednego koszyka towarów w drugi koszyk towarów .

n- liczba towarów na rynku

x-wektor nakładów

y- wektor wyników

x=(x₁,x₂,...x_i...x _n) y=(y₁,y₂,...y_i...y_n)

Będą nas interesowały technologicznie dopuszczalne procesy produkcji, czyli procesy dopuszczalne z technologicznego pkt. Widzenia.

Przestrzeń produkcyjna

Zbiór

Wszystkich technologicznie dopuszczalnych procesów prod (x,y) z normą

Będziemy nazywali przestrzenią produkcyjną

• 
  Pierwsza sytuacja

I-ty towar może być jednocześnie nakładem i wynikiem-jednocześnie zużywany i wytwarzany np. elektrownia x_i>0, y_i>0

• Druga sytuacja

I-ty towar jest wyłącznie zużywany x_i>0, y_i=0

• Trzecia sytuacja

I-ty towar jest wyłącznie wytwarzany x_i=0 y_i>0

Prawa produkcji

I Prawo proporcjonalnych przychodów

Gdzie

Lub inaczej

α
-krotne zwiększenie nakładów powoduje α-krotne zwiększenie wyników.

1^I MALEJĄCE PRZYCHODY

a)

b)

1^II ROSNĄCE PRZYCHODY Prawa alternatywne

a)

b)

Malejące przychody rosnące przychody

II Addytywność dopuszczalnych procesów produkcji

(x,y)∈z∧ (x^I ,y^I)∈z⇒(x+x^I, y+y^I)∈z

III Brak „rogu obfitości”

(θ,y)∈z⇒y=θ z niczego się nic nie produkuje

IV Nieodwracalność procesu produkcji

(x,y)∈z∧x≠y⇒(y,x)∉z

V Możliwość marnotrawstwa

5.1 (x,y) ∈z ∧ θ ≤ y^I ≤ y ⇒ (x, y^I) ∈z

5.2 (x,y) ∈z ∧ x ^I ≥x ⇒(x ^I, y) ∈z

5.1 po stronie wyników

5.2 po stronie nakładów

VI Domkniętość przestrzeni produkcyjnej

Gdy przestrzeń prod spełnia założenia I i II to jest ona stosunkiem wypukłym o wierzchołku w przedziale θ=R²ⁿ₊

Funkcja produkcji

Zakładamy że z jest przestrzenią prod

Przekształceniem technologicznym nazywamy odwzorowanie typu:

Które każdemu wektorowi nakładów x∈Rⁿ₊ przyporządkowuje zbiór wszystkich wyników y∈Rⁿ₊ które można otrzymać dysponując nakładami x z wektora x.

α-multifunkcja

y=x

αx

x

Funkcja prod- def

Proces produkcji (x,y) ∈z nazywamy technologicznie efektywnym jeżeli nie istnieje proces produkcji (x,y^I) ∈z taki że :

Definicja

Jeżeli istnieje funkcja f: Rⁿ₊Rⁿ₊ taka że y=f(x) wtedy i tylko wtedy gdy proces (x,y) ∈z jest technologicznie efektywny, to funkcję f nazywamy wektorową funkcją produkcji związaną z przestrzenia prod z.

W szczególnym przypadku gdy producent wytwarza tylko jeden produkt zużywając w tym celu k-wymiarowy (k≤n) wektor nakładów funkcja produkcji jest typu f: R^k₊ R₊ i nazywamy ją wtedy skalarną k-czynnikową funkcją produkcji

Y₀

X₀

Założenie: (k-czynnikowej skalarnej funkcji produkcji)

1. f(Θ)=0

krańcowa wydajność i-tego czynnika zwiększa produkcję.Zwiększenie któregokolwiek z nakładów powoduje wzrost prod.

3.f-funkcja wklęsła

4.

f-funkcja jednorodna stopnia r

gdy r>1 w procesie produkcji występują „korzyści wielkiej skali”

gdy 0≤r<1 w procesie produkcji występują „niekorzyści wielkiej skali”

Wykład6

T: Wybrane charakterystyki funkcji produkcji

Def

Krańcowa wydajność i-tego nakładu w wektorze nakładów x nazywamy

ME- marginal efficiency

Definicja

Elastyczność produkcji względem i-tego nakładu w wektorze x nazywamy wielkość

Mówi o ile % w przybliżeniu wzrośnie produkcja jeżeli i-ty nakład w wektorze x wzrośnie o 1%

Definicja

Krańcowa stopa substytucji i-tego nakładu przez j-ty nakład nazywamy

Mówi o jaką ilość nakładu j należy zastąpić w wektorze x jednostkowy spadek nakładu i aby wielkość produkcji nie zmieniła się

Definicja

Elastyczność substytucji i-tego nakładu przez j-ty nakład nazywamy

Mówi o ile % powinien zwiększyć się j-ty nakład w wektorze x, aby przy zmniejszeniu i-tego nakładu o 1% wielkość produkcji się nie zmieniła

T: Izokwanty funkcji produkcji

F: R^k₊R¹₊ (funkcja produkcji) .

y₀-nieujemna liczba rzeczywista .

y₀≥0

Definicja

Zbiór postaci:

Nazywamy izokwantą (funkcji) produkcji

Przykład funkcji produkcji .

F:R²₊R¹₊

Y=f(x)=f(x₁, x₂)

Q= f (K,L)

Q-produkcja

K-kapitał

L-praca

Definicja

Technicznym uzbrojeniem pracy nazywamy iloraz:

1. 
   Funkcja produkcji Cobba-Douglasa (1927-28)

Funkcja produkcji f:R²₊R¹₊ spełniająca warunki 1-4 oraz warunek:

2. Krańcowa stopa substytucji pracy przez kapitał zależy wyłącznie od technicznego uzbrojenia pracy i jest liniową, rosnącą, funkcją tego uzbrojenia czyli:

Ma postać

W której: A>0,

Są parametrami

1. parametr wydajności, uwzględnia postęp techniczny (techniczno-organizacyjny)

Parametry α i β są odpowiednio:

-elastycznością produkcji Q względem kapitału K oraz elastycznością produkcji Q względem pracy L

Funkcja Cobba-Douglasa jest funkcją dodatnio jednorodną stopnia r=β+γ β+γ≤1

r- parametr efektu skali

W przypadku gdy współczynnik efektu skali r=1 można wyprowadzić następujące zależności:

a)w-wydajność pracy

w=w(u)=An^β

b) tzw. Efektywność kapitału od technicznego uzbrojenia pracy

e=e(u)=Au^γ

A>0

α_1, α₂,... α_k>0

2. Funkcja produkcji CES(1962)

(Constant Elasticity of Substitution)

SMAC-pierwsza nazwa (1961) od nazwisk 4 autorów

Funkcja produkcji f:R²₊R¹₊ spełniająca warunki 1-4 oraz warunek 5^I:

Krańcowa stopa substytucji pracy przez kapitał jest potęgową funkcją technicznego uzbrojenia pracy czyli:

Gdzie α i δ>0 ma postać

Gdzie A>0

Elastyczność krańcowej stopy substytucji pracy przez kapitał względem techicznego uzbrojenia pracy u jest stałą.

Funkcja produkcji Cobba-Douglasa jest szczególnym przypadkiem funkcji CES.

A>0

T:Elementy teorii przedsiębiorstwa

Przedsiębiorstwo w warunkach doskonałej konkurencji

Założenia:

1. Przedsiębiorstwo wytwarza 1 towar, zużywając w tym celu k innych towarów (nakłady, czynniki produkcji)

2. Działalność produkcyjną opisuje skalarna k czynnikowa funkcja produkcji .

Y=f(x) y=f(x₁, x₂,..x_k) f: R^k₊R₊

3. Przypisujemy, że jedynym celem przedsiębiorstwa jest max. Zysku

4.Przedsiębiorstwo nie ma wpływu na ceny towarów

5.Przed. Nie ma problemu ze zbytem produkcji

6.Pozostałe działające na rynku przeds. Są w stanie natychmiast zaspokoić zmieniające się zapotrzebowanie producenta na towary będące nakładami

Zadanie1

Wyznaczyć wektor nakładów x tak aby,

Pf(x)-<v,x>max (1)

Przy ograniczeniach

x ≥ Θ (2)

gdzie:

p-cena wytworzonego dobra

v= (v₁,...v_k) wektor nakładów

Twierdzenie

Jeżeli funkcja produkcji f spełnia warunki 1-3 a ceny p i v spełniają warunki:

p>0

to:

1. istnieje jeden wektor x*>Θ maksymalizujący dochód

2. wektor ten spełnia układ równań

Wykład7

τ
(x,p,v)=Θ (**)

Jeżeli f∈C²_Df to rozwiązanie układu (**) można w otoczeniu każdego punktu

(x,p,v)> Θ przedstawić jako funkcję:

x=ξ(p,v)

Wynika to z tzw. Twierdzenia o funkcjach uwikłanych

Funkcja produkcyjnego popytu na towaru ξ(ksi)

ξ=(ξ₁, ξ2,... ξ_k)

Funkcja ksi wyraża zależność optymalnego popytu x na towary od ceny p towaru wytwarzanego i cen v nakładów.

ξ- ma ciągłe pochodne cząstkowe w otoczeniu każdego punktu (p,v)> Θ-jest jednorodne stopnia zerowgo

ξ(λp, λv)= ξ(p,v)

Funkcja

Y=f(x)=f [ξ (p,v)]=y (p,v)

Nazywa się funkcją podaży towaru

Funkcja podaży towaru przyjmuje wartości rzeczywiste nieujemne. Funkcja y(eta) ma takie same własności jak funkcja ξ

Reakcja przedsiębiorstwa na zmianę cen:

Pochodna

Opisuje reakcję optymalnej wielkości produkcji na zmianę ceny p wytwarzanego towaru

Wzrost ceny p wytwarzanego zawsze prowadzi do zwiększenia optymalnej wielkości produkcji.

Wzrost ceny niektórych czynników produkcji (nakładów) powoduje spadek optymalnej wielkości produkcji

Wzrost ceny wytwarzanego towaru prowadzi do zwiększenia popytu na niektóre czynniki produkcji

Optymalna wielkość nakładów na zmianę ceny p

Wpływ zmiany ceny i-tego nakładu na popyt na j-ty nakład jest taki sam jak wpływ zmiany ceny j-tego nakładu na popyt na i-ty nakład

(Zależność między wektorami) Wzrost ceny produkowanego towaru powoduje wzrost popytu na i-ty czynnik produkcji, gdy zwiększenie ilości tego czynnika prowadzi do obniżenia optymalnego poziomu produkcji

Założenie

Gdy ceny są ustalone p i v a przedsiębiorstwo zdecydowało się na y-wielkość produkcji (jaką przedsięb. Otrzyma) to może ono być zainteresowane minimalizacją kosztów produkcji

Minimalizacja kosztów produkcji

Zadanie1

Wyznaczyć wektor nakładów x tak aby <v,x> min przy ograniczeniach .

F(x)=y x≥Θ

Można dowieść, że jeśli funkcja produkcji jest funkcją silnie wklęsłą to dla każdej wartości y>0 zadanie powyższe ma dokładnie jedno rozwiązanie x*

Funkcje: c:R¹₊R¹₊

Która przyporządkowuje poziomowi produkcji y>0 minimalny koszt otrzymanie takiej produkcji tj.

Y=f(x) x≥Θ

Nazywamy funkcją kosztów przedsiębiorstwa

Funkcja kosztów c jest:

A)ciągła

b)dodatnio jednorodna stopnia 1-ego

Znając funkcję kosztów c można wyznaczyć optymalną wielkość produkcji dla przedsiębiorstwa rozwiązując następujące zadanie.

Zadanie2

Wyznaczyć taką wielkość produkcji y , że: py-c(y)max

Przy ograniczeniu y≥0

Jeżeli funkcja kosztów c jest różniczkowalna to y*>0 jest optymalną wielkością produkcji ⇔gdy

1. p=c^II (y*)

2. c^II(y*)>0

Strategia krótkookresowa w przedsiębiorstwach

Omawiając strategię długookresową przyjmowaliśmy, że przedsięb może w każdej chwili wybrać i otrzymać dowolny wektor nakładów x≥Θ

W krótkich okresach czasu może tobyć niemożliwe np. niektóre z towarów zużywanych w procesie produkcji mogą być dostępne jedynie w ograniczonych ilościach

Zadanie3 (maksymalizacji zysku)

Wyznaczyć taki wektor nakładów x, że pf(x)-<v,x>max przy ograniczeniach y(x)= Θ (g(x)≤ Θ) x≥Θ

Przedsiębiorstwo w warunkach monopolu

Założenie

1. Przedsięb mające monopol na wytwarzany towar ma pływ na cenę p tego towaru, w tym wypadku p=p(y)

Przyjmujemy że .

P^I(y)<0

Monopolista jest gotowy obniżyć cenę a zwiększyć sprzedaż

2. Pozostałe przedsięb działające na rynku mają wpływ na ceny v_i (i=1,...k) tych nakładów

3.

⇓

v = v(x₁,...x_k)=(v₁(x₁),...,v_k(x_k))

⇓

Nasz producent jest skłonny zapłacić wyższą cenę za dodatkowe niezbędne mu nakłady

Zadanie4(maksymalizacji zysku)

Wyznaczyć taki wektor nakładów x aby p(y)=y-<v(x),x)max przy ograniczeniach y=f(x) x≥Θ

T: Statyczne modele równowagi. Prosty model wymiany.

Zał

1. Poniżej sformułujemy matematyczny model rynku, na którym wielu handlowców stara się zmaksymalizować swoją funkcję użyteczności w drodze wymiany towarów (bez udziału pieniędzy)

2. Na rynku znajduje się i jest dostępnych n doskonale podzielnych towarów

3. W wymianie bierze udział m handlowców

4. Każdy z handlowców posiada pewien koszyk towarów (koszyk początkowy-a k=(a1k, a2k,...a m k)≥0) k=1,...m j koszyk ten może być skonsumowany przez handlowca lub wymieniony na inny koszyk

5. Nie ma przymusu zawierania transakcji

6. Żadnemu z handlowców nie można zabronić dokonania korzystnej dla niego wymiany

7. Każdy z handlowców zachowuje się racjonalnie czyli godzi się na wymianę wtedy gdy nowy koszyk jest niegorszy od tego którego posiada

8. Każdy z handlowców posiada pełną informację na temat preferencji i początkowych zasobów koszyków wszystkich innych handlowców.

Gdyby:

Relacja słabej preferencji k-tego handlowca (k=1,...n)

Definicja

Alokacją dopuszczalną nazywamy każdy n°m wymiarowy wektor x=(x¹, x², ..., x^m) spełniający warunek:

F(a)-zbiór wszystkich alokacji dopuszczalnych odpowiadających alokacji początkowej

Każda alokacja dopuszczalna jest redystrybucją (wtórnym podziałem)koszyków początkowych.

Definicja

Alokację x∈F(a) nazywamy lokowaną przez koalicję S⊂{1,2,...,m} jeżeli isnieje alokacja y∈F(a) y=(y¹, y², ...y ^m) taka że:

1. suma po k∈S

2)

3)

Przykład

Alokacja

W której wszystkie koszyki należą do pierwszego handlowca jest blokowana przez koalicję utworzoną z S={2,3,...,m} pozostałych handlowców y∈F(a) y=a=(a¹, a²,...,a ^k)

Wykład8

Alokacje, które mogą być blokowane przez jakąś koalicję nie mają szans na dowolną realizację. Zrealizowane mogą być tylko takie alokacje, które nie mogą być blokowane przez żadną koalicję- alokacje nieblokowane.

Definicja

Alokację x∈F(a) nazywamy optymalną w sensie Pareto (Pareto-optymalną) jeżeli nie istnieje alokacja x∈F(a) taka, że:

(k=1,2,...m)

Interpretacja:

Alokacja x=(x1,...x^m) ∈F(a) jest zatem optymalna w sensie Pareto jeżeli nie istnieje alokacja y=(y ^I,...y^m) ∈F(a), która dla każdego z handlowców jest nie gorsza od x a przynajmniej dla jednego jest lepsza od x.

Zbiór wszystkich alokacji Pareto- optymalnych P(a)

Można dowieść, że dla każdej alokacji początkowej a=(a¹,....a ^m) zachodzą następujące inkluzje

C(a)⊂P(a)⊂F(a)

T:Prostokąt Edgewortha (PE) (Edgeworth's box)

Załóżmy że na rynku wymienia towary dwóch handlowców (m=2) liczba towarów też równa jest 2 (n=2)

A¹₁+a₁²

A₁² 0²

2-gi towar

a₂¹

0¹ 1-szy towar a¹₁

Przyjmijmy że krzywe obojętności każdego z handlowców są silnie wypukłe

0¹

0¹

Przez każdy punkt PE przechodzi dokładnie jedna krzywa obojętności każdego z handlowców

Zbiór punktów PE(zbiór alokacji dopuszczalnych) w których krzywe obojętności pierwszego handlowca są styczne do krzywych obojętności drugiego handlowca nazywamy krzywą kontraktów (krzywa kontraktowa) Krzywa kontraktów jest zbiorem alokacji optymalnych w sensie Pareto.

Krzywe obojętności przechodzące przez punkt a (alok. Początkowa) dzielą PE na dwie części. Obszar na zewnątrz widocznej na rys.”soczewki” i obszar złożony z punktów tej „soczewki” (razem z brzegiem). Każda alokacja położona na zewnątrz „soczewki” (nawet alok. Optymalna w sensie Pareto) będzie zawsze blokowana przez jednego z handlowców.

Zbiór wszystkich alokacji, które nie są blokowane (czyli jądro wymiany C(a)) jest częścią wspólną „soczewki” oraz krzywej kontraktów P(a)

T: Model równowagi rynkowej Arrowa-Hurwicza

Model opisuje zachowanie się grupy handlowców (m handlowców) którzy przybywają z towarami na rynek, aby je sprzedać i za uzyskane w ten sposób pieniądze kupić inne potrzebne im towary.

Zakładamy, że ceny towarów są jednolite na całym rynku.

Problem:

Czy można tak ustalić ceny towarów na rynku aby:

1) Każdy z handlowców mógł kupić koszyk towarów, który maksymalizuje jego funkcję użyteczności (w ramach budżetu tylko uzyskanego ze sprzedaży koszyka)

2. popyt na towary był równy ich podaży

m handlowców

n towarów

-koszyk początkowy k-tego handlowca

-koszyk towarów, który k-ty handlowiec chciałby nabyć

p=(p1, p2,....,p n) ≥Θ

wektor cen

Wybierając koszyki handlowcy kierują się indywidualnymi preferencjami odzwierciedlanymi przez funkcje użyteczności:

Założenie:

Każdy handlowiec zna wszystkie pary (a ^k, u ^k) k=1,...,m

Zadanie1

U^k(x)max

Przy ograniczeniach <p,x>=I^k x≥Θ

Z poznanych twierdzeń wynika że jeśli każda z funkcji użyteczności u k jest silnie wklęsła, rosnąca i dwukrotnie różniczkowalna to optymalny koszyk dla tego handlowca czyli koszyk x^k jest ciągła funkcją wektora cen p oraz budżetu I^k

ϕ^k -funkcja popytu k-tego handlowca (konsumenta)

Ponieważ

I^k=<p, a^k>

Gdzie a ^k∈Rⁿ₊ jest ustalone

Definicja

Wektorem nadmiernego popytu na towary nazywamy wektor

Ponieważ

Interpretacja:

Z(p)= (z₁(p), z₂(p),...z_n(p))∈R_n

Wtedy z _i (p)>0- nadwyżka popytu nad podażą i-tego towaru

Kiedy z _i (p)<0-nadmierna podaż i-tego towaru (przy cenach p=(p₁,...p _n)

Kiedy z _i (p)=0 na rynku jest równowaga cząstkowa

Definicje

Mówimy że rynek jest w równowadze gdy ustaliły się na nim ceny

Przy których

Wektor cen p (z daszkiem) spełniający powyższy warunek nazywamy wektorem cen równowagi walrasowskiej (ogólnej)

Definicja równowagi walrasowskiej nazywa się wektor

Utworzony z optymalnych koszyków wszystkich handlowców

Zakupionych po cenach równowagi

W(a) zbiór wszystkich alokacji równowagi walrasowskiej

Twierdzenie

Dla przyjętych założeń o funkcjach użyteczności u^k oraz dla dowolnej alokacji początkowej a zachodzą inkluzje W(a)⊂C(a) ⊂P(a) [⊂F(a)]

Twierdzenie

Założenie

1)Funkcje popytu f k (k=1,...m) są różniczkowalne w zbiorze Rⁿ₊\{Θ}

2)

3)dla każdego wektora p należącego do zbioru:

oraz każdego wektora

gdzie

macierz Jacobiego funkcji

z(p)=(z(p),...z_n(p))

spełnia warunek λ I(p) λ^T<0

Teza:

W modelu równowagi rynkowej Arrowa-Hurwicza istnieje dokładnie jeden wektor cen równowagi

Określony z dokładnością do mnożenia przez stałą

Macierz Jacobiego

Z(p)= (z₁(p),..., z _n(p))

Jest to macierz

Wyznacznik Jacobiego I(p) nazywa się jakobianem funkcji z w punkcie p.

Wykład9

Temat: Równania różniczkowe zwyczajne

Pod koniec XVIIw powstała teoria równań różniczkowych. Izaak Newton, G.W. Leibniz

Definicja

Równanie różniczkowe zwyczajne jest to równanie w którym występują pochodne y^I,y^II, ...y ⁽ⁿ⁾ pewnej nieznanej funkcji y=y(t)

t- zmienna niezależna

y- zmienna zależna

W równaniu różniczkowym może też wystąpić szukana funkcja y=y(t) oraz zmienna niezależna t

Założenie

F(t, y, y^I, y^II,... y⁽ⁿ⁾ )=0 (1)

F:Rⁿ⁺¹ R (n≥1)

F- jest ciągła w otwartym zbiorze U⊂Rⁿ⁺²

Najczęściej t∈(-∞,∞) lub t∈<0, ∞)

Istnieją jeszcze równania cząstkowe, w których poszukiwana funkcja jest funkcją wielu zmiennych.

Równanie (1) jest równaniem różniczkowym n-tego rzędu, bo występują w niej pochodna szukanej funkcji y⁽ⁿ⁾

Y ⁽ⁿ⁾ =f(t, y, y ^I,... y^(n-1) ) (2)

Przykład 1

Y ^I =a (a∈R)

Równanie różniczkowe rzędu pierwszego, normalne

Y(t)=at+c c∈R

Przykład 2

Ty^I +y ^II -e^t y² =0 t∈(-∞,∞)

Równanie nieliniowe

Y ^II= e^ty²-ty^I

Przykład 3

Załóżmy że są dane funkcja popytu i podaży na dane dobro

D=D(p) funkcja popytu

S=S(p) funkcja podaży p=p(t)

Jeżeli przyjmiemy że prędkość zmian cen jest proporcjonalna do nadmiernego popytu na rozpatrywany towar

E(p)- nadmierny popyt

To otrzymamy równanie różniczkowe

Równanie różniczkowe zwyczajne można podzielić na dwie obszerne klasy:

• Liniowe

• Nieliniowe

Definicja

Równanie n-tego rzędu nazywamy liniowym, jeżeli daje się przedstawić w postaci:

Których współczynniki a₀, a₁ , ...,a_n , g są samymi funkcjami zmiennej niezależnej t∈I

Uwagi

1) Jeśli współczynniki a₀, a₁, ...a_n nie zależą od zmiennej t to równanie liniowe jest o stałych współczynnikach

3. Gdy funkcja g jest identycznie równa 0 dla t∈I to równanie (3) nazywamy równaniem jednorodnym a jeżeli nie jest identyczne to nazywamy równaniem niejednorodnym

Przykład 4

5y^III + (sint)y^II- e^t y=0 równanie liniowe III rzędu jednorodne

Definicja

Rozwiązaniem równania różniczkowego (1) nazywamy każdą funkcję y=y(t) posiadającą dla t∈I pochodne aż do n-tego rzędu włącznie i taką że

Wykres każdej funkcji y=y(t) będącej rozwiązaniem równania (1) nazywamy krzywą całkową tego równania

Przykład5

Łatwo sprawdzić, że każda funkcja postaci

C₁, c₂ ∈R

Jest tzw. Rozwiązaniem ogólnym równanie różniczkowego y^II +y^I+1,25y=2,5

Przyjmując np.

C₁=-0,5 c₂=1,55

Otrzymujemy jedną z nieskończenie wielu tzw. Rozwiązań szczególnych powyższego równania różniczkowego

2

T: Interpretacja geometryczne rozw. Równania różniczkowego. Pole kierunków

Y I= f(t,y) (*)

Niech y=y(t) jest rozwiązaniem równania (*) dla t∈I

Fakt że funkcja y jest rozwiązaniem rów (*) oznacza, że przy zadanym prostokątnym układzie współrzędnych styczną do krzywej całkowej y=y(t) ma w każdym leżącym na tej krzywej punkcie P(t,y) współczynnik kierunkowy k=f(t,y)

A zatem rozwiązanie równania różniczkowego (*) sprowadza się do następującego zadania.

Wiedząc, że każdemu punktowi o współrzędnych (f,y) z pewnego obszaru jest przyporządkowany pewien kierunek K=f(t,y) (kiedy zadanie jest tzw. Pole kierunków) Trzeba znaleźć wszystkie krzywe, które w każdym swoim punkcie P mają styczną o współczynniku kier. Wyznaczonym przez powyższe pole kierunków

Przykład 6

Y^I=y² równanie rzędu pierwszego nieliniowe autonomiczne

Y² ⇒f(t,y)

K=f(t,y)=y ²

Rozwiązaniem ogólnym jest funkcja

Rozwiązanie osobliwe y(t)=0

Rozwiązanie ogólne i szczególne równań różniczkowych

Rozwiązanie osobliwe

Def.

Rozwiązanie równania różniczkowego-tego rzędu nazywamy rozw. Ogólnym jeżeli w rozw. Tym wyst n różnych stalych

Y=y(t, c₁,... c _n) c₁...c _n∈R

Każde rozwiązanie które otrzymuje się z rozw. Ogólnego wstawiając za wspomniane stałe ustalone wartości liczbowe nazywamy rozw. Szczególnym równanie różniczkowego

Rozw rów różniczkowego które nie może być otrzymane z rów ogólnego w wyżej opisany sposób nazywamy rozw. Osobliwym

Równanie roż może (ale nie musi) posiadać rozw. Osobliwego

Przykład7

Y II +y=0 (*)

Y(t)=c₁ cost +c₂ sint (c₁, c₂∈R)

Rozw nie posiada rozw różniczkowego

Przykład8

(y ^I)³-y=0

y(t)≡0 rozw osobliwe

T: Warunki początkowe i brzegowe . Problem Cauchiego

Chcąc wyznaczyć stała c1,...cn wyst w rozw ogólnym rów n-tego rzędu musimy narzucić na rozw ogólne pewne warunki. Liczba tych warunków musi być równa rzędowi równania n

Warunki odnoszące się do jednegoo punktu t₀∈I nazywamy warunkami początkowymi. Warunki odnoszące się do więcej niż jednego punktu I nazywamy warunkami brzegowymi.

Przykład9

Problem Cauchiego

Równanie różniczkowe wraz z narzuconymi warunkami początkowymi tworzą tzw. Problem Cauchiego

Przykład10(przykład problemu brzegowego)

Rozwiązanie

Problem Cauchiego

Znaleźć rozw y=y(t) równania róż

Spełniające warunki początkowe

Twierdzenie (o istnieniu jednoznaczności rozw problemu Cauchiego)

Jeżeli wyst w rów (*) funkcja f traktowana jako funkcja n+1 zmiennych t, y, y^I...y^n-1

Jest ciągłą i ma ograniczone pochodne cząstkowe

W pewnym obszarze D⊂R ⁿ⁺¹ zawierającym punkt (t ₀, y₀, t¹₀,..y ^n-1₀) to istnieje przedział (a,b) oraz określana dla t∈(a,b) dokładnie jedna n-krotnie różniczkowalna w sposób ciągły funkcja y=y(t) spełniająca równanie (*) i warunki początkowe tego równania

Wykład 10

T: Równania różniczkowe pierwszego rzędu

Równania o zmiennych rozdzielonych

Jeżeli funkcję f daje się przedstawić w postaci ilorazu

To daje się przedstawić w postaci

Można je także zapisać w postaci:

P(t,y)dt+Q(t,y)dy=0 (2) postać różniczkowa

Definicja

Równanie różniczkowe I-ego rzędu nazywamy równaniem o zmiennych rozdzielonych jeżeli ma poniższą postać różniczkową P(t)dt+Q(y)dy=0 (3)

UWAGA

Równanie postaci

M(t)N(y)dt+P(t)Q(y)dy=0 (4) równanie o zmiennych separowanych

Można łatwo sprowadzić do postaci (3) dzieląc je stronami przez iloczyn N(y)P(t)

Aby znaleźć rozwiązanie ogólne równania (3) wystarczy scałkować to równanie stronami

Równanie (5) daje uwikłany związek między zmiennymi y i t, czyli związek postaci

φ(t,y,c)=0 (6)

Równanie (6) jest to całka ogólna równanie (3)

Jeżeli potrafimy z równania (6) wyznaczyć y jako funkcje zmiennej niezależnej t, to otrzymujemy rozwiązanie ogólne równania (3)

Y=y(t, c₁)

Przykład1

Rozw ogólne równania (*)

Równanie (*) ma też rozwiązanie osobliwe y(t)≡0

Wiele równań różniczkowych I-rzędu daje się za pomocą różnego rodzaju przedstawień, przekształceń sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych np. równanie jednorodne i Bernoulliego

• Jednorodne

Y^I=f(t,y) w których funkcja f jest funkcja jednorodną

Przykład2

• 
  Bernoulliego

Y^I + P(t)y=Q(t)yⁿ

Np.

Y^I-ty= -ty³

• Liniowe równanie różniczkowe I-go rzędu

A₁ (t)y ^I+ a₀ (t) y=y(t) (7)

Jeśli dla t∈I a₁(t)≠0

To równanie (7) przedstwić można w postaci

Rozwiązanie

Całkując stronami otrzymamy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego (8^I)

c∈R (9)

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego (8) otrzymujemy stosując tzw. Metodę uzmienniania stałych

Poszukujemy rozwiązywania równania (8) wstając do niego funkcję

Otrzymujemy

Podstawiając powyższą funkcję do wzoru (9) otrzymujemy wzór na rozwiązanie ogólne niejednorodnego równania różniczkowego postaci I-go rzędu postaci (8)

Ze wzoru (10) widać, że rozwiązanie ogólne równanie (8) jest sumą:

-rozwiązania ogólnego równania jednorodnego (8^I)

-rozwiązania szczególnego równania równoważnego niejednorodnego (8) (po wstawieniu c₁=0)

• Liniowe równania różniczkowe wyższych rzędów

Uproszczenieoperator-funkcjom przyporządkowuje funkcje

Postać operatora

L[y]=y(t) (11^I)

Twierdzenie

Jeżeli funkcje y1=y1(t),...y n=y n(t) są rozwiązaniem równania jednorodnego

L[y]=0 (12)

To każda ich kombinacja liniowa

Też jest rozwiązaniem tego równania

Definicja

Funkcje y1,...,yn nazywamy liniowo niezależnymi w przedziale I jeżeli

Przykład3

1. {1,t,t2} liniowo niezależne w I=(-∞,∞)

2. {1,t,0} nie są liniowo niezależne w I=(-∞,∞)

3. Wrońskian od J.M.Hoene-Wroński 1776-1853

Zał

Y₁, y₂,...y_n funkcje n-1 krotnie różniczkowalne w I

Definicja

Twierdzenie

Niech funkcje y₁=y₁(t),...,y_n =y_n(t) (t∈I) będą rozwiązaniami równania

L[y]=0

Wkw ma to by funkcje te były liniowo niezależne w przedziale I jest aby istniał punkt t₀∈I taki że W(y₁, y₂,...,y_n) ≠0

Twierdzenie

Jeżeli y₁=y₁(t),...,y_n =y_n(t) są liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania L[y]=0 dla t∈I oraz c1,...c n są dowolnymi stałymi to funkcje

Jest rozwiązaniem tego równania

Twierdzenie

Jeżeli funkcja

Jest rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego L[y]=0 oraz funkcja

Jest jakimkolwiek rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego L[y]=g(t) to funkcja

Jest rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego

Rozwiązywanie równań

I Tworzymy
tzw. Równanie charakterystyczne dla równania (*)

II Rozwiązujemy równanie(**)

• Równanie charakterystyczne może mieć wyłącznie pierwiastki rzeczywiste

-różne

-wielokrotne

Równanie może mieć pierwiastki i rzeczywiste i zespolone

-jednorodne

-wielokrotne

Przykład4

1)Niech r₁, r₂, ...r _n będą rzeczywistymi i różnymi pierwiastkami charakterystycznego równania (**)

Rozwiązanie ogólne równania (*) ma wtedy postać:

Np.

Pierwiastki

R₁= -1 r₂= 1 r₃=2

Wykład11

I Pierwiastki rzeczywiste wielokrotne

Twierdzenie

Jeżeli r jest k-krotnym (k≥1) pierwiastki równania charakterystycznego dla równania różniczkowego L[y]=0 to funkcja postaci: e^{r t}, te^{r t}, ...t ^k-1e^{r t} są liniowo niezależnymi rozw równania różniczkowego L[y]=0

Przykład1

Y⁽⁷⁾ +y⁽⁶⁾ -6y⁽⁵⁾ -6y⁽⁴⁾ +9y^III +9y^III -4y^I - 4y=0

Y⁽⁷⁾ +y⁽⁶⁾ -6y⁽⁵⁾ -6y⁽⁴⁾ +9y^III +9y^III -4y^I - 4yL[y]

R⁷ +r⁶ +6r⁵ -6r⁴ +9r² -4r -4 =0

R₁= -2 R₂= 2 r₃=r₄=r₅= -1 r₆=r₇=1

Y₁(t)=e ^-2t y₆(t)=e ^t

Y₂(t)= e ^2t y₇(t)=te ^t

Y₃(t)=e ^-t

Y₄(t)= t e ^-t

Y₅(t)=t2 e ^-t

Rozwiązanie ogólne:

Y(t)=c₁y₁(t)+...+c₇y₇(t)=c₁e ^-2t+...+c₇te^t

II Pierwiastki zespolone różne

Twierdzenie

Jeżeli równanie charakterystyczne (rów kwadratowe) ma dwa różne pierwiastki zespolone

R₁= a +b_i ∧ r₂=a-b_i

To rozw ogólne L[y]=0 ma postać

Przykład2

Y^III - 3y^II +9y^I +13y=0

R³-3r²+9r+13=0

R₁= -1 y1(t)= e ^-t

R₂=2 +3i y2(t)=e^2tcos 3t

R₃=2-3i y3(t)=e^2tsin3t

Rozwiązanie ogólne:

III Wielokrotne pierwiastki zespolone

Przypuśćmy, że liczby r=a±bc są k-krotnymi zespolonymi pierwiastkami dla równanie L[y]=0. Pierwiastkom tym (a jest ich 2k)odpowiada 2k liniowo niezależnych rozwiązań równania L[y}=0 Rozwiązania te mają postać

Y₁(t)=e^{a t} cosbt y₂(t)=e^{a t} sinbt

Y₃(t)=te^{a t} cosbt y₄(t)=te^{a t} sinbt

Y₅(t)=t²e^{a t} cosbt y₆(t)=t²e^{a t} sinbt

............................. ............................

y_2k-1(t)=t^k-1 e^{a t} cosbt y_2k(t)=t ^k-1 e^{a t} sinbt

Przykład3

Y⁽⁶⁾ - 5y⁽⁵⁾ +32y^III- 84y^II+ 92y^I -48y=0

R⁶-5r⁵+32r³-84r²+92r-48=0

R₁= -3 y₁(t)=e ^-3t

R₂=4 y₂(t)=e ^4t

R₃=r₄=1-i y₃(t)=e^t sint ∧ y₄(t)=te^t sint

R₅=r₆=1+i y₅(t)=e^t cost ∧ y₆(t)=te^t cost

Ogólne rozwiązanie

IV Rozwiązanie ogólne równania L[y]=g(t) (*)

Twierdzenie

Jeżeli funkcje y₁=y₁(t),...y _n= y_n(t) są liniowo niezależnymi rozwiązaniami L[y]=0 to rozwiązanie szczególne równania

Ma postać

Gdzie W(t) jest wrońskianem funkcji y₁....y _n natomiast

Przykład4

Y ^III- y ^II - y ^I +y= e ^t (*)

Ogólnym rozwiązaniem równania jednorodnego jest funkcja

Y^III- y ^II- y^I +y= e^t

Ogólnym rozwiązaniem równania jednorodnego jest funkcja

Po scałkowaniu i pominięciu stałej całkowej

Rozwiązanie szczególne

Odp:

Więc szczególne rozwiązanie równania różniczkowego (*) ma postać

I

Kx

Kx

Kx

GradI(x*)

D(P,I)

L(P,I)

Z

Z

Z

Z

Y=x

(y,x)∉Z

Z

(x₀,y₀)

Z

A¹₂

A² ₂

X=(x¹,x²)

A(a¹,a²)

Wzrost użyt

Wzrost użyt

C(a)

a

---