00098468

152 IL RÓWNANIA RÓŻNIC/KOWB CZASTKOWB

152 IL RÓWNANIA RÓŻNIC/KOWB CZASTKOWB

n—x ---X¹/¹ = 0 w obszarze

8. Znaleźć całkę szczególną równania

D

niczkowc zwycsojne.

Wskazówka. Wprowadzić nowe zmienne niezależne £

Wskazówka. Przyjmując v za parametr rozwiązać ilaae równanie jako równani* '**■

b)

9. «(*, y) — /(y) y z+zW. aAńsflr) i g(x) s» to funkcje dowolne klasy C*; pierwsza w praodziale

(—00, +00), druga w przedziale (0, +co).    10, u{x,y)— f

są to dowolne funkcje klasy C^x w przedziale (- co, +00).

gd/ie /(f) i f<f>

dx _ dy _ dz P(x,y,z) e(x,y, z) Jł(x,y,z)    ^GL2ł)

Równanie (11.21) pozostaje w Ścisłym związku z następującym układem równań różniczkowych zwyczajnych

W dalszym ciągu zakładać będziemy, że P(x,y,z)=£ 0 w całym obszarze D. Wówczas zmienną x w układzie (11.22) możemy traktować jako zmienną niezależną, a pozostałe zmienne y i z jako jej funkcje.

Niech para funkcji

y(x), z(x)    <n.£j)

będzie dowolnym rozwiązaniem układu (11.22). Wspomniany związek równania (11.21) z układem (U.22) ustalają twierdzenia, które teraz podamy.

Tw. 1. Jeteli funkcja

u = y, z)    (U.24)

Jest rozwiązaniem równania (II.21) w obszarze D, to funkcja

Mx>y,z)    (11-25)

jest całką pierwszą układu (11.22).

DOWÓD. Wstawiając (Ł23) do <n.25) otrzymamy funkcję złożoną j>\x, Xz), t(x)), której pochodna ~ wyraża się wzorem

<tx ⁼ ix oy dx

P<X,y,r)^-+Q{x,:

(a.2Ą

Wobec (n.22) i (H-26) mamy

d* >    [

dx " Piz.y.zi L

Ponieważ suma w nawiasie prostokątnym równa się zeru z założenia, więc —O, a zatem <f>lx,yix), *(*)] - const. Funkcja (025) Jest więc całką pierwszą układu (0.22), cnd.

Tw. Z Jeżeli funkcja <jt(x,y,z) klasy C^l k> obszarze D jest całką pierwszą układu (11.22), to funkcja u = <}>{x,y, z) Jest rozwiązaniem równania 01-21).

DOWÓD. Ponieważ para funkcji y(*). *<*) j“t rozwiązaniem układu (U-22), więc 4>[x, >'(x), z(x)) - const, skąd

(D.21)

1

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE LINIOWE I Q U ASI-LINIOWE RZĘDU PIERWSZEGO

Defc Równanie różniczkowe cząstkowe

P{*, y. r) +(?(*> y, z)    - R(x, y. r) ~ - f(x, y, z) (O »>

gdzie P(x, y, z), £)(*. y, z), ft(x, y, 2) i/(x,j>,z) są danymi funkcjami klasy C¹ * pewnym obszarze D c E_it nazywamy równaniem różniczkowym cząstkowym liniowym rzędu pierwszego z funkcją niewiadomą u = u(x, y, z).

Równanie (11.20) nazywamy jednorodnym, jeżeli f[x,y. z) ł 0 w obszarze D, niejednorodnym zaś w przypadku przeciwnym.

Zajmiemy się' równaniem jednorodnym

P{x, y, z) ~ +Q(x, y, z)    + R(x, * 4 - Jf- - ⁰

w którym co najmniej jedna z funkcji P(x,y, z), Q(x, y,z) i R{x, y, z) jest różna od zera w całym obszarze D.