00098484

260 Ol. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

260 Ol. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

/W“

'+A

A oznacza tu dowolną siatą urojoną, która stanowi wartoić funkcji /(j) w początku układu,

A =/<o).

,W podobny sposób znajduje się funkcję holomorficzną /(z), gdy dana jest jej część urojona. Odpowiednikiem wzoru (III.49) jest wówczas wzór

«<*. y)= ] v,{t,y)dt+ j ~v,(x₀, t)dt+C

. Rozwalmy funkcję holomorficzną J\z) •= u{*, >)+ || +jv(x, y) różną od stałej i utwórzmy dwa pola wektorowe

J* = gradufc, y)    oraz Q ~ grad v(x, y)

Ponieważ iloczyn skalarny P- Q = 0, gdyż z uwagi na warunki Cauchy'ego-Rle* manna mamy    •J

_{p n} _ du dv du dv du dv I dv\du .

^V~’di

więc wektor P jest ortogonalny do wektora Q w każdym punkcie rozpatrywanego obszaru. Wynika stąd, że rodziny linii

«(*. y) = const oraz «(*, y) = const są ortogonalne jedna względem drugiej (rys. 111.7).

L
w		^ \
\Z		i-— \
		fr

Rys. 111.8

= const jest ortoionalna do rodziny li

Interpretacja elektrostatyczna. Rozważmy prostą L pokrytą ładunkiem elektrycznym o stałej gęstości liniowej q. Ładunek ten wytwarza pole elektrostatyczne płasko-równolegle. Wektory tego pola zaczepione w dowolnych punktach jednej prostej, równoległej do prostej L, są równe (rys. IH.8). Dla poznania właściwości pola ptasko-równolcgłego wystarczy więc dokonać analizy w jednej z ptaszę czyzn pros I opad łych do prostej L. Pole elektrostatyczne określone w takiej płaszczyźnie nazywamy płaskim polem elektrostatycznym.

Wybierzmy jedną z płaszczyzn prostopadłych do prostej L, ustalmy na niej prostokątny, kartezjański układ współrzędnych Oxy (rys. 111.9) i traktujmy ją jako płaszczyznę zespoloną Z. Odcinek dl prostej L wytwarza pole elektrostatyczne. Rzut wektora tego pola w punkcie z na płaszczyznę Z wynosi w przybliżeniu

L

Rva. III.9

Wprowadzamy nową zmienną całkowania <p. Mamy

Gdy / rośnie od —co do +00, to <p rośnie od — ~ do + -^-. Mamy zatem

COS <f df

czyli

(111.52)

Wartość natężenia E rozważanego płaskiego pola elektrostatycznego można więc zapisać za pomocą funkcji zmiennej zespolonej w postaci (III.52) bądź też, oddzielając część rzeczywistą od części urojonej, w postaci

(111.53)