00098495

więc funkcje wieloznaczne Lnz i Argr są ze sobą blisko spokrewnione. Ustalając we wzoize (111.84) wartość k i ograniczając dziedzinę funkcji Lnz do zbioru A (patrz rys. 111.13), otrzymamy jednoznaczną i ciągłą galą# funkcji wieloznacznej Lnz.

Prz/iiailem takiej gał«u jtst funkcja

w = lnz (logarylm główny)

okirtlona w zbionc A.

Obszar A (rys. III. 13). w którym wydzielaliśmy gałęzie funkcji wieloznacznej Lnz nie jest jedynym, który się d<> tego ceiu nadaje Można tu wziąć każdy obszar, klóry nie zawiera żadnej krzywej Jordana mieszczącej w swym wnętrzu punkt z = 0. Punkt ten nazywamy punktem rozgałęzieniu funkcji wieloznacznej Lnz.

PrryUed. Wydzielić w pOłptaazczy/rue Rez < 0 galąl ftz) funkcji wieloznacznej Lnz w ten sposób, Mby/t-1) - 3«/.

Bierzemy pod u«age wzór (UI.84), lita Rez < 0 i Im z > 0 liczbę * dobierzemy Uk. te»y spełniony byl ponawuioy w zadaniu warunek /(--1) — 3*/. Mamy więc

33/ - 0+j(n+2k)

czyli * - I Ola Rez < 0 I tmz > 0 mamy żalem/(z) « lnz • 2-j W celu zapewnienia ciągłoW funkcji /(z) na ujemnej półosi, przyjmiemy dla Rer < 0 l Im z <. 0,/tzl '.m-i-j, gjyi wartość lnz doznaje na tej półosi skoku o Inj. Ostatecznie

11nz+2it/    dla Re; < 0, lmz>0

lnz+4w/    dla Rez < 0, Imz < 0

Powierzchnia Kirmamu. Podane dotychczas wiadomości odnośnie funkejt wieloznacznych oraz ich gałęzi stanowią skromną, lecz wystarczającą podstawę do przedstawienia śmiałej koncepcji geometrycznej Rn manna, która prowadzi do tzw. powierzchni Kienuinna. Myślą przewodnią tej koncepcji było takie zmodyfikowanie pojęcia dziedziny funkcji wieloznacznej, które pozwoli traktować ją tak, jak funkcję jednoznaczną.

Wyjaśnimy to na przykładzie funkcji wieloznacznej w = Lnz.

Dla każdej wartości z / 0 funkcja ta ma przeliczalnie wiele wartości

Inz+/2nfc

k *■* 0, J 1. ±2..... Każdej wartości całkowitej k przyporządkujemy płaszczyznę

zespoloną Z,. rozciętą wzdłuż ujemnej półosi: Rez, < 0, lmz, = 0.

Zaapelujmy teraz do naiwnego realizmu i wyobraźmy sobie, Że dla każdego całkowitego k górny brzeg rozcięcia płaszczyzny o numerze k odpowiednio wyginamy i łączymy z dolnym brzegiem rozcięcia płaszczyzny o numerze 4+1 (rys. 111.15), przy czym tylko płaszczyzny o sąsiednich numerach są w ten sposób połączone. W tyra miejscu widać, że realizm do którego apelujemy, musi być rzeczywiście naiwny, gdyż. w przestrzeni trójwymiarowej Euklidesa laki układ płaszczyzn nie jest możliwy. Nie chodzi nam jednak o wyobrażenie sobie takiego układu płaszczyzn w przestrzeni , lecz o ustalenie pewnych jego właściwości. Chodzi mianowicie

o to, żeby punkt poruszający się po płaszczyźnie fc-tej znalazł'się po przecięciu jej ujemnej półosi rzeczywistej na płaszczyźnie (A+l)-szej, jeżeli przecięcie nastąpiło od strony lmz* > 0, natomiast na płaszczyźnie {k -łj-szej, jeżeli przecięcie nastąpiło od strony Im z* < 0. Mamy więc tu ściśle sprecyzowany przepis na przecinanie ujemnej półosi rzeczywistej, wobec którego naiwność realizmu związanego z wyobrażeniem sobie łączenia brzegów porozcinanych płaszczyzn nie jest sprawą istotną.

Rys. 111.15

Opisany tu układ płaszczyzn nazywamy powierzchnią Riemanna funkcji Lnz. Powierzchnia ta zbudowana jest tak, że funkcja Lnz jest na niej jednoznaczna i ciągła. Jednoznaczność wynika stąd, te każda z płaszczyzn Z_k — zwanych piatami powierzchni Riemanna, ma swój numer k, który determinuje poprzez równość (III.84) dokładnie jedną wartość Lnz. Ciągłość wynika natomiast z przepisu dotyczącego przecinania ujemnych półosi rzeczywistych, który niweluje skok argumentu głównego.

Następujący przykład wyjaśnia naturalność pojęcia powierzchni Riemanna. Spójrzmy na zegarek i weźmy pod uwagę wskazówkę minutową, W ciągu godziny wykonuje ona obrót o 360°. Położenie tej wskazówki nie określa jednoznacznie chwili t, w której spojrzeliśmy na nią; może to być którakolwiek z chwil odległych od t o całkowitą wielokrotność godziny. W praktyce pomagamy sobie patrząc na wskazówkę godzinową. Jednemu położeniu wskazówki minutowej odpowiada wiele (przeliczalnie wiete) chwil, przy czym następują one w ustalonym porządku. Krążenie wskazówki minutowej jest więc jakby wodzeniem po powierzchni zbudowanej z przeliczalnie wielu tarcz zegarowych, odpowiednio rozciętych radialnie i złączonych brzegami, z których każda odpowiada dokładnie jednej godzinie. Położenie wskazówki minutowej na takiej powierzchni wyznacza chwilę i jednoznacznie. Naturalny jest tu zarazem przepis dotyczący przechodzenia przez złączenia brzegów: posuwając się zgodnie z ruchem wskazówki zegara, przechodzimy z tarczy o numerze k na tarczi o numerze k+1, co wiąże się bezpośrednio z ciągłością zmiany czasu.

A oto jeszcze jeden przykład. Rozważmy zależność

w = y'z dla z* 0    (HL*

Jest to przykład funkcji dwuznacznej. Każdej wartości z # 0 funkcja ta przyporządt wuje dokładnie dwie wartości y'z, mianowicie

rti.¹*""