014 015

14

Powszechnie stosowany system dziesiętny jest systemem'pozycyjnym. Roz-' porządzamy w nim dziesięcioma cyframi 0,1,2,...,9 oraz tzw. podstawą numeracji g = 10. Każdą dodatnią liczbę rzeczywistą przedstawiamy w tym systemie przez podanie dwóch ciągów cyfr {a^J , { ajJ    l=n, n-1,...,0; j =

= -1,-2,...,-m. Ciągi-te zapisujemy bez użycia przecinków, natomiast przecinek lub kropkę używamy do wskazania miejsoa rozdzielenia tych ciągów*^ . Tak więc,wartość liczby rzeczywistej a zapisanej w postaci

■a ^an-1 •” ^ao> ^a-1 ^a-2 •“ ^a-m

jest określona przez sumę szeregu^potęgowego a = t *i“»°^{l +} Z

i-o    J-l

Przykład 1.4

Wartość liczby 379,21 określona jest sumą

3-10² + 7*10¹ + 9-10° + 2*10^-1 + 1*10“²

Jeżeli jako podstawę numeracji wybierzemy dowolną liczbę naturalną g, to dowolną liczbę rzeczywistą a możemy przedstawić w postaci szeregu potęgowego.

.    -w

^a = Z ajg¹ + £ a^g³; a^a^ e {0,1,2,...,g-1 }    (1.3)

a tym samym możemy ją określić podając wyrazy ciągów ja^}, {a^ | oraz liczbę g.

Z powyższego widać, że liczby można przedstawiać także w innych systemach pozycyjnych niż system dziesiętny, np. dwójkowym, trójkowym, piątkowym itp. Są oczywiście do pomyślenia systemy pozycyjne, w których wagi nie śą kolejnymi potęgami podstawy. Dla ich odróżnienia systemy związane z rozwinięćiami typu (1.3) będziemy nazywali naturalnymi.

Przykład 1.6

Przedstawić liczbę (100,765625)-jq w naturalnym systemie ósemkowym (o podstawie g=8)**l Ponieważ

(100,765625)₁₀ = 1-8² + 4 *8¹ + 4-8° + 6*8^-1 + 1.8^-2 mamy

(100_f765625)_lo = (W,61)₈    #

Często danej liczbie a nie odpowiada w danym systemie skończony ciąg ; w takim przypadku podajemy tylko szereg pierwszych wyrazów ciągu, decydując się na przybliżone przedstawienie liczby.

O Kropka stosowana jest w literaturze anglosaskiej i praktycznie we wszystkich komputerach i kalkulatorach.

**) V celu uniknięcia niejednoznaczności, w jakim systemie przedstawiona jest liczba, możemy zamknąć ją w nawiasy i poprzez indeks określić podstawę lub nazwę systemu.

^frzykład 1.6

Przedstawić liczbę (3,2)₁₀ w systemie trójkowym z dokładnością do sześciu miejsc po przecinku.

Ponieważ

(3,2)₁₀ = 1*3¹ + 0.3⁰ + O.3^-1 + 1-3"² + 2.3-^{3 4 5} +    + 0-3^-5 + 1-3"^{6 7 8 9}+-mamy:

(3,2)₁₀    =    (10,012101)j

przy czym konsekwencją poprzestania na 6 cyfrach rozwinięcia jest błąd mniejszy od (0,0011)₁₀    #

Ważnym parametrem charakteryzującym system przedstawienia liczb jest liczba pozycji wymagana do zapisu danej liczby naturalnej. Jeżeli liczbę naturalną a chcemy zapisać w systemie o podstawie g i jeżeli a = g^x, to liczba pozycji potrzebna do jej zapisu wynosi:

= M + 1

gdzie [x] - część całkowita liczby x. Ponieważ

log a = x log g

otrzymujemy

(1.4)

Przekład 1.7

Ile cyfr wymaganych jest do przedstawienia liczby (100)^q w systemach o podstawie 16,8,4,2?

Podstawiając dane do wzoru (1.4) otrzymujemy:

„100

^S 16

[łt

100

~W

+ 1 = 2

1

analogicznie

2

N¹⁰g = 3,    N¹⁰° = 4,    N¹⁰° =7    #

3

Z powyższego przykładu widać, że im podstawa systemu jest .mniejsza,tym

4

więcej cyfr wymaganych jest do przedstawiania danej liczby.

5

1.2.2. Naturalny system dwójkowy

6

W systemie tym podstawą numeracji jest liczba 2, przy czym dysponujemy

7

dwiema cyframi 011. Liczba pozycji wymagana dla przedstawienia dużych

8

liczb naturalnych w naturalnym systemie dwójkowym jes"t około 3,3 razy

9

większa w porównaniu z systemem dziesiętnym, gdyż