014 015

14

Powszechnie stosowany system dziesiętny Jest systemem'pozycyjnym. Roz-" porządzamy w nim dziesięcioma cyframi 0,1,2,...,9 oraz tzw. podstawą numeracji g = 10. Eażdą dodatnią liczbę rzeczywistą przedstawiamy w tym systemie przez podanie dwóch ciągów cyfr {a^j , {ajJ    i=n, n-1,...,0; j =

= -1,-2,...,-m. Ciągi-te zapisujemy bez utycia przecinków, natomiast przecinek lub kropkę używamy do wskazania miejsoa rozdzielenia tych ciągów*^ . Tak więc,wartość liczby rzeczywistej a zapisanej w postaci

®n ^an_i ^ao» ^a-l ^a-2 *•* ^a-m

jest określona przez sumę szeregu potęgowego

= £ a^lO¹ + f) a.,-10³

i-o    j.-i

Przykład 1.4

Wartość liczby 379,21 określona jest sumą

3"10² + 7*10¹ + 9*10° + 2«10"¹ + 1-10“²

Jeżeli jako podstawę numeracji wybierzemy dowolną liczbę naturalną g, to dowolną liczbę rzeczywistą a możemy przedstawić w postaci szeregu potęgowego.

oo    -00

- 2 ^ai« + 2 ^ai8» a.,a. ^e {0,1,2, ..epg-1 }    (1.3)

i-o    j-1 ^J    * ^J

a tym samym możemy ją określić podając wyrazy ciągów |a_Ł}, {aj| oraz liczbę g.

Z powyższego widać, że liczby można przedstawiać także w innych systemach pozycyjnych niż system dziesiętny, np. dwójkowym, trójkowym, piątkowym itp. Są oczywiśęle do pomyślenia systemy pozycyjne, w których wagi nie śą kolejnymi potęgami podstawy. Dla ich odróżnienia systemy związane z rozwinięciami typu (1.3) będziemy nazywali naturalnymi.

Przykład 1.6

Przedstawić liczbę (100,765625)^q w naturalnym systemie ósemkowym (o podstawie g=8)**l Ponieważ

(100.765625) _1Q = 1*8² + 4*8¹ + 4*8° + 6*8^-1 + 1.8^-2 mamy

(100.765625) ₁₀ = (144,61)_B    #

Często danej liczbie a nie odpowiada w danym systemie skończony ciąg {aj} ; w takim przypadku podajemy tylko szereg pierwszych wyrazów ciągu, decydując się na przybliżone przedstawienie liczby.

*) Kropka stosowana jast w literaturze anglosaskiej i praktycznie wa wszystkich komputerach 1 kalkulatorach.

**) W calu uniknięcia niejednoznaczności, w jakla systemie przedstawiona jest liczba, możemy zamknąć ją w nawiasy i poprzez Indeks określić podstawę lub nazwę systemu.

^frzykład 1.6

Przedstawić liczb; (3,2)₁₀ w systemie trójkowym z dokładnością do sześciu miejsc po przecinku.

Ponieważ

(3,2)₁₀ = 1-3¹ + O.3⁰ + 0.3^-1 + lO"² + 2*3^-3 + 1-3"⁴ + 0-3^-5 + 1-3"⁶+.-mamy:

(3,2)₁₀ = (10,012101)_?

przy czym konsekwencją poprzestania na 6 cyfrach rozwinięcia jest błąd mniejszy od (0,0011)₁₀    #

Ważnym parametrem charakteryzującym system przedstawienia liczb jest liczba pozycji wymagana do zapisu danej liczby naturalnej. Jeżeli liczbę naturalną a chcemy zapisać w systemie o podstawie g i jeżeli a = g^x, to liczba pozycji potrzebna do jej zapisu wynosi:

= M ⁺ 1

gdzie [x] - część całkowita liczby x.

Ponieważ

log a m x log g

*-ł8K

otrzymujemy

= [iffi]⁺¹

Przekład 1.7

Ile cyfr wymaganych jest do przedstawienia liczby (100)_1Q w systemach

0    podstawie 16,8,4,2?

Podstawiając dane do wzoru (1.4) otrzymujemy:

..100    T Iok 100 1 . „

^K 16 = [łogiS' J⁺ 1 - ²

1    analogicznie

M^°g = 3,    N¹⁰2 = 4,    N¹⁰° =7    #

Z powyższego przykładu widać, że im podstawa systemu jest .mniejsza,tym więcej cyfr wymaganych jest do przedstawiania danej liczby.

1.2.2. Naturalny system dwójkowy

W systemie tym podstawą numeracji jest liczba 2, przy czym dysponujemy dwiema cyframi 0 i 1. Liczba pozycji wymagana dla przedstawienia dużych liczb naturalnych w naturalnym systemie dwójkowym jest około 3,3 razy większa w porównaniu z systemem dziesiętnym, gdyż