0190

191

§ 2. Różniczka

gdzie k jest współczynnikiem stałym, natomiast a — promieniem. Znaleźć siłę, z jaką prąd przepływający przez przewodnik kołowy będzie działał na magnes NS o długości Ax umieszczony wzdłuż osi prądu. Będziemy przy tym uważali, że w biegunie N skupiona jest masa magnetyczna dodatnia m, w biegunie S zaś równa jej masa ujemna —m.

Siła ogólna F działania prądu na magnes wyrazi się wzorem

r?    f 1

^F=V+x²)³'²~ [a¹+(x+Ax)²Y>² = ~^kmA L(u²+*²)³'²

Zastępując przy założeniu, że Ax jest małe, przyrost funkcji przez jej różniczkę otrzymujemy

T 1 I    x

Fn —kmd I —₅=3kmAx —_;-t-tt, •

L(<j²+x²)^3,2J    {a^Jcx)'

108. Zastosowanie różniczek do szacowania błędów. Jest rzeczą szczególnie dogodną i naturalną korzystać z pojęcia różniczki w rachunku przybliżonym, do oszacowania błędu. Przypuśćmy na przykład, że wielkość x mierzymy lub obliczamy bezpośrednio, a wielkość y, zależną od niej, określamy na podstawie wzoru y=f(x). W trakcie mierzenia wielkości x popełniamy zwykle błąd Ax, który wywołuje u wielkości y błąd Ay. Wskutek tego, iż wielkości tych błędów są małe, przyjmujemy, że

Ay=y_xAx,

to znaczy zastępujemy przyrost różniczką. Niech 5x będzie maksymalnym błędem absolutnym wielkości x, tzn. \Ax\<Sx (w zwykłych warunkach tajcie ograniczenie błędu pomiaru jest znane). Wtedy oczywiście za maksymalny błąd absolutny (ograniczenie błędu) dla y można przyjąć

02)    Sy=\y'_x\-Sx.

Przykład 1. Przypuśćmy na przykład, że dla określenia objętości kuli zmierzono najpierw (za pomocą cyrkla drążkowego, klupy, mikrometru, itp.) bezpośrednio średnicę D kuli, następnie zaś obliczono objętość V według wzoru

V=>iitD³ .

Ponieważ V'_D=inD², to w tym przypadku na mocy (12) mamy

S V=i kQ²6D .

Dzieląc tę równość przez poprzednią otrzymujemy

SV SD

tak więc (maksymalny) błąd względny obliczonej objętości jest trzy razy większy niż (maksymalny) błąd względny zmierzonej średnicy.

Przykład 2. Jeśli liczba x, której logarytm dziesiętny y=log₁₀ x obliczamy, jest obliczona z pewnym błędem, to odbije Się to na logarytmie dając błąd także i w nim.

Tutaj y*-■ Mjx (Ms:0,4343), a więc na podstawie wzoru (12):

Sx

óy=0,4343 • — .

x

W ten sposób (maksymalny) błąd absolutny logarytmu jest wyznaczony po prostu przez (maksymalny) błąd względny samej liczby i na odwrót.