02

<

i

Wielkości r i f można wyrazić przez współrzędne x. y i r elementu dm, a / - przez te same współrzędne i cosinusy kierunkowe osi O A:

r =    + / + z^:

l = x cosa + y cos fi-z cosy

Korzystając z zależności:

cos' a + cos² p + cos' y = L

x można wyrazie w postaci

x’ ~x’(cos' « ⁺cos'P ⁺cos"y )

Podobnie można postąpić zy² i z². Wzór (16.2) prz>^-biera wówczas postać:

I = ]_x cos² a - l_y cos' P + I; cos²y - 2D_xy cos a cosP - 2D~ cos a cos y- 2D_y- cos P cos y    (16.3)

gdzie:

I* = f (}>² + x²) dm,    D_n. = D„ = -fxy dm,

l_y = / (x² + z²) dm,    = D_y- = -/ zy dm.    (16.4)

/. = / (y² + x²) dm,    D-_x =    - -/ xz dm,

Łatwo zauważyć, że wielkość 7_X jest momentem bezwładności ciała względem osi 0x, a l_y 1_: są odpowiednio momentami bezwładności względem osi Oy i Oz.

Wielkości D_y- D~ nazywa się dewiacyjnymi momentami bezwładności. Z równości (16.3) wynika, że w celu określenia momentu bezwładności ciała sztywnego względem

dowolnej osi obrotu należ)' znać cosinusy kierunkowe tej osi względem wybranego układu współrzędnych oraz 6 wielkości l_x, DI_y, D_l7 i l-_ obliczonych w t>'m układzie współrzędnych.

Formuła (16.3) ma prostą interpretację geometryczną. Odłóżmy wzdłuż osi 0.4, poczynając od początku układu współrzędnych, odcinek o długości R -1 /-JJ (w dowolnych jednostkach). Powtórzmy tę procedurę dla wszystkich możliwych do pomyślenia osi obrotu przechodzących przez początek układu współrzędnych różniących się między sobą kątami a, P, i y. Końce tych odcinków utworzą powierzchnię zamkniętą. Znajdźmy równanie tej powłerzchni. Współrzędne x_c, >’o Zc końca odcinka o długości R = / / 41 są równe:

_cosa . _cos p _cosy

^Xc=~JT ^y' ⁼~7T ^Zc=~7T

V

Posługując się tymi równościami cosinusy kierunkowe można wyrazić poprzez współrzędne x_c,y_c i c_c. Po wstawteniu otrz) manych zależności do wzoru (16.3) otrzymujemy równanie:

Ix*c ⁺ W ’ W - 2D„Xę)>_c - 2D,-y_cz_c - 2D_xyx_cz_z = 1

Jest to równanie elipsoidy. Nazywa się ją elipsoidą bezwładności względem punktu 0. z

-10

x

20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20

elipsoida bezwładności Rys. 16.2

Przy zmianie położenia początku układu współrzędnych zmienia się jednocześnie elipsoida bezwładności. Jeśli punkt 0 pokrywa się ze środkiem masy ciała, to odpowiednia elipsoida bezwładności nazywa się centralną elipsoidą bezwładności. Postać elipsoidy zależy tylko od własności ciała i od wyboru punktu, względem którego elipsoidę się bada. a nie zależy od wyboru osi. Jednakże postać równań opisujących elipsoidę zależy' od wyboru osi współrzędnych. Szczególnie proste równanie otrzymuje się w układzie współrzędnych, którego osie pokrywają się z osiami symetrii elipsoidy (tzw. osie główne). W układzie tym wszystkie momenty' dewiacji są równe zeru i równanie elipsoidy przyjmuje postać (rys. 16.2):

- 143-