0402

403

§ 2. Funkcje uwikłane

Ponieważ jakobian J jest w punkcie (x°, ..., y°) różny od zera, więc w ostatniej jego kolumnie co najmniej jeden element jest w tym punkcie także różny od zera. Niech na przykład

oy_m

W tym przypadku, zgodnie z twierdzeniem III, ostatnie równanie układu (5) określa y_m w pewnym otoczeniu 3* punktu (x?, ..., y°) jako jednoznaczną funkcję pozostałych argumentów

(?)    y_m=<p(x i,*2>    * * • > y m—i) *

Przy tym tożsamościowo względem tych argumentów jest W    F_m{x_x,x₂, ...,x„, y_t, y₂, ...,y_m-_U <p{x_x, ...,y_m__ł)) = 0

Funkcja ę jest ciągła i ma ciągłe pochodne cząstkowe, oprócz tego (9)    <p(x⁰1,x⁰2,...,x⁰n,y⁰1,y⁰2,...,y⁰m-₁)=y°_m.

Podkreślmy, że o ile ograniczymy się do wspomnianego otoczenia 3*, to równanie

F,n(*i,*2.....x_n,y₁,y₂, ..., y_m) = 0

jest równoważne równaniu (7) — w otoczeniu 3* spełniają je te same układy wartości zmiennych x_ltx₂, ...,x_n, y,,y₂.....y_m.

Zastępując ostatnie z równań (5) równaniem (7) i podstawiając funkcję ę zamiast y_m w pozostałych równaniach tego układu otrzymamy nowy układ złożony już z w — 1 równań z n + m — l zmiennymi

	^*l(*l > x2 , ..	■>xn,yl,y2, .	O II 1 s
(10)	02{x1,x2, ..	*»xn. y i, y 2 9 ■	3 1 'w' II O
	4>m-l(Xl,X2, ..	■9xn,yi,y2,.	O II 1 s

tu dla skrócenia wprowadziliśmy oznaczenia (dla /= 1,2,    — 1):

(11)    0j(x_lyx₂, ...,x„,y₁,y₂, ..., y_m-i) =

=Fj(xi,x₂,    yt,y₂,    ę{x_i,x₂, ...,y_m_i)).

Jeżeli się nie wychodzi poza otoczenie 3*, to układ (5) jest równoważny z układem (10) z dołączonym równaniem (7). Dlatego też, jeżeli uda nam się dowieść, że układ (10) w dostatecznie małym otoczeniu d* punktu (jc°, x₂, ...,y£-i) określa m — 1 zmiennych y,, y₂9    ,y„-i jako jednoznaczne funkcje zmiennych x_t,x₂, ..., x_n:

(12)    yi=fl(x_l,X₂, ...,X„),    ... , y_m-l=fm-l(X₁,X₂, ...,X„),

to wobec (7) również zmienna y_m będzie określona jako jednoznaczna funkcja tych sa-

26*