0410

411

§ 2. Funkcje uwikłane

Mamy

dz

1

dz

9>(z)

dx l—yę>'(z) dy 1 —yę'(z)

Z tego wynika dowodzona równość.

5) Niech równanie

y=xę{z)+y{z)

określa zmienną z jako funkcję uwikłaną x i y i przy tym niech x<p'(z)+iy'(z)¥^:0. Sprawdzimy, że funkcja ta spełnia równanie różniczkowe

d²z jdz\² _ Bz dz d²z d²z ( dz'²

I*²

Wprowadzając dla krótkości oznaczenia

l²z/0z\² dz dz d²z 0²z/0z\²_ X² \ 0>> / dx dy dxdy^dy²\dx)

dz	dz	d^2z	o^2z	d^2z
	~z~ ~ <7 * dy	S^,J ii	dxdy

napiszemy to równanie różniczkowe w postaci

rą¹ — 2pqs + lp² — 0.

Różniczkując kolejno względem x i y równanie określające funkcję otrzymujemy ę (z)+ [xp'(z) + ¥r'(z)]p=0,    lxe>'(z) + ^'(z)]0 = 1

i dalej

2<P' (2) P + [x <p" (z) + -V' (z)] p« + \x (z) + <y (z) f (*) <7 + \x <t"(z) + Ą‘"(z)\P<l+\xl_f' (z) + 'V (z) I* <?" (z) + I" (z)| q> + [.V <f' (z) + -V (z)

r = 0, s = 0, f = 0.

<7³

■ 2pq P²

Mnożąc pierwsze równanie prze/ q, drugie przez —2pq, trzecie przez p² i dodając stronami otrzymujemy sprawdzaną równość.

6) Układ równań

x-ry + z + u = a,    x² + y² + z² + u² = b²,    x³+y³ + z³ + «³=c³,

określa y, z, u jako funkcje zmiennej x. Jest tutaj

1+j'^,+z^,+«'=0, x + yy'+zz'+uu'=C, x²+y²y'+z²z'+u²u'=0.

Zakładając, że wyznacznik

jest różny od zera, otrzymujemy

i 1	1
y z	U
2 2 y z	u^2
/=-	(z (z

= (z-y)(u-y)(u-z)

itd.

7) Niech zmienne x, y, z związane będą ze zmiennymi r, 6, ę zależnościami x = rcos0cos (f, y=rsin#cos ę,    z = rsinę,

gdzie 0<r< + °o, — łn<0<łn, ~in<ę<in. Jakobian

cos 0 cos ^    — rsin#cos p — r cos# sin.

• sin8cos ę    rcos6cos, q> — r sin# sin ę =r²cos ę>0.

sin <p    0    rcos ę

J=

D (x, y, z D(r, 0, </>)