CCF20090601004

(w pierwszym ułamku jest^o), więc nie ma (x - x o) i (xo - x o), w drugim jest/(xi), więc nie ma (x - x i) i (xi -x i), itd.). Dalej:

_L(_X)= f(Q) (^x ~ ²)(^x ~ ⁴X^x ~ ⁶) i _/n(x-°)(^-⁴)(x-⁶) _| ^₁₎(x-0)(x-2)(x-6) _|

(0 — 2)(0 — 4)(0 — 6)

(2 — 0)(2 — 4)(2 — 6)

(4 - 0)(4 - 2)(4 - 6)

+ f(6) ^^X ~    ^_ 2)(x - 4) _ (x — 2)(x - 4)(x - 6) x(x - 4)(x - 6) ₊ 3x(x - 2)(x - 6) ₊ x(x - 2)(x -4)

(6 - 0)(6 — 2)(6 - 4)

16

8

16

6

20

,    5 s

Po zredukowaniu mamy f(x) = 3--x + 2,5x--x .

3    24

c) Postać Newtona: jest sumą iloczynów bo + b\(x - xo) + b₂(x - xo)(x -Xi) + b₂(x - Xo)(x - xi)(x -x₂) + ... Składników jest N + 1 (od bo do b\{x - xo)(x - xi).. .(x - x.y_i)). Każdy wyraz b, jest sumą i + 1 ułamków o

(k = 0,    i), każdy mianownik ma i nawiasów (czyli np. bą ma 5

postaci

/(**)

(x_k -x₀)(x_k -x,)(x_yt -x₂)... ułamków, każdy ułamek ma w liczniku od /(xo) do/Cr.)). a w mianowniku - 4 nawiasy), z których usuwamy (x/t -xk). Dla N = 3:

L\{x) = bo + b\(x - x₀) + b₂(x - xo)(x - xi) + h₃(x - xo)(x - xi)(x - xi) =

= bo + b\x + bix( x - 2) + &3x(x - 2)(x - 4)

_bo=_Axo)=_Xbl=lM ₊ fM

x₀ -X, X, — X

b₂ =

f(x o)

1 ^Ao

f(x l)

³    -2    5    .

-+-= — (k = 1

0-2 2-0 2

2 ułamki),

/(* 2)

(x₀ - X, )(x₀ - x₂) (Xj - x₀ )(x, - x₂ )    (x₂ - x₀ )(x₂ - X, )

3    -2    3    5

b₃ =

(0 — 2)(0 - 4)    (2 - 0)(2 - 4)    (4 - 0)(4 - 2)    4

A* 0)    ,    f(x 1)

+ ■

(x₀ - X! )(x₀ - x₂ )(x₀ - x₃ )    (X, - x₀ )(X| - x₂ )(X| - x₃)

f(x₂)    ,    /(* 3)

■ +

(x₂ - x₀ )(x₂ - x, )(x₂ - x₃)    (x₃ - x₀ )(x₃ - X, )(x₃ - x₂)

3-2    3

8

(0 — 2)(0 — 4)(0 — 6)    (2 - 0)(2 - 4)(2 - 6)    (4-0)(4-2)(4-6)    (6 - 0)(6 - 2)(6 - 4)

24

L_n(x) = 3 ~~^x + ^-x(x-2) -^x(x -2)(x-4). Po uproszczeniu /(x) = 3 -^x + 2,5x²    • 6. Rozłożyć węzły wielomianu 6. stopnia w przedziale (-5, 8) wg rozkładu Czebyszewa.

N = 6 (stopień wielomianu) 7 węzłów

a + b b-a x =----cos

( 2i +1 ^A n

2N + 2

3 13

x₀ =--

-cos

2 2 3    13

x^ =---cos

2 2

14

-n

= -4,837

3 13

2 2

-cos

14

13

14'

-n

-n

= 1,5

= 7,837

3 13

2i +1

-5. b = 8. N = 6. i		= 0, .... 6 => x =---cos
		2 2		14
3 13	^f 3 ^	____ 3 13		f 5
=---cos	— n	= -3.582 Xt =----cos
2 2	vl4 )	‘ 2 2		\14
3 13	f ^9	____ 3 13		rn
=---cos	— n	= 4,320 x, =---cos
2 2	V14	^ 2 2		L14

-n

-7Z

-n

= -1,320 = 6,582

5