CCF20101004003

1. Wprowadzanie

Przybliżenie dziesiętne podaje się wtedy z zachowaniem tylko cyfr pewnych, np. liczbę 125000 z błędem 100 zapiszemy: 125 X 10³ lub 1.25 X 10⁵.

Przy zaokrąglaniu wyniku pomiaru stosujemy powszechnie przyjęte zasady zaokrągleń, tj. liczbę kończącą się cyframi:

0-4 zaokrąglamy w dół, a 5 - 9 w górę; lub

- 0    4 zaokrąglamy w dół, 6 - 9 w górę, a cyfrę 5 w dół jeśli poprzedza

ją liczba parzysta, zaś w górę, gdy poprzedza ją liczba nieparzysta.

Można stosować dowolną z tych zasad, ale w jednym opracowaniu wyników pomiarów należy konsekwentnie stosować tylko jedną z nich. W dalszym ciągu naszego wykładu będziemy stosowali pierwszą z nich.

Oszacowane błędy zaokrąglamy zawsze w górę. Zaokrąglenie w górę jest podyktowane tym, że w żadnym przypadku nic wolno zmniejszać ;błędów. Zawsze bowiem lepiej jest podać zawyżoną wartość błędu niż go i n ied os/acow ać.

Obliczenia x ja.k i A wykonujemy zawsze z większą liczbą cyfr niż chcemy podać wynik; zaokrągleń dokonujemy dopiero po zakończeniu obliczeń. Obecnie dzięki szerokiemu zastosowaniu kalkulatorów obliczenia wykonujemy wykorzystując pełną dostępną liczbę cyfr. Na przykład wyznaczyliśmy przyspieszenie ziemskie g za pomocą wahadła matematycznego i otrzymaliśmy g = 981.3456 cm/s² oraz A = 3.0579102cm/s², czyli g = (981.3456 ± 3.05769102) cm/s². Zarówno podanie g jak i A z lak dużą liczbą cyfr nie ma sensu, ponieważ wszystkie cyfry znaczące g, poczynając od trzeciej, leżą w granicach błędu A. Powstaje więc pytanie jak zaokrąglić g oraz A. ¹

1.1. Pojęcia podstawowe. Cel i zadania teorii błędów

Tabela 1.1: Obowiązujące przedrostki dla jednostek wielokrotnych i podwielokrotnycl:

Przedrostek	Oznaczenie	Wielokrotność i pod wielokrotność
jotla	Y	KP^1 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
zelta	Z	10^21 = 1 000 000 000 000 000 000 000
eksa	13	10'^8 = 1 000 000 000 000 000 000
peta	P	10^lr’ = 1 000 000 000 000 000
tera	T	10^12 = 1 000 000 000 000
giga	G	10^9 = 1 000 000 000
rnega	M	10^6 = 1 000 000
kilo	k	"Zi II o o
hekto	h	o II o o
deka	da	o II o
	-	10° = 1
decy	a	10-’ = o.i !
cen ty	c	10~^2 = 0.01
mili	rn	10~^3 = 0.001
mikro	p	10~^6 = 0.000 001
liano	n	10~^9 = 0.000 000 001
piko	p	10-^12 = 0.000 000 000 001
leni to	r	10-^15 = 0.000 000 000 000 001
atlo	a	10-'^8 = 0.000 000 000 000 000 001
zepto	z	10-^21 = 0.000 000 000 000 000 000 001
jokto	V	JO-^21 = 0.000 000 000 000 000 000 000 001

U

W niektórych przypadkach, zwłaszcza przy wyznaczaniu wielkości o podstawowym znaczeniu (np. stałych uniwersalnych), podajemy dwie pie.rwszi cyfry niepewności, z tym, że ostatnia cyfra znacząca wyniku powinna siat na tym samym miejscu dziesiętnym co druga cyfra niepewności, np. stała Plancka li - 6.0260755(40) xl.O"³⁴ J-s [5).

Należy zaznaczyć, że jeżeli wielkość mierzona lub wyznaczona nie jesl bezwymiarowa to oszacowany błąd musi mieć ten sam wymiar co mierzona wielkość i musi być wyrażony w tych samych jednostkach. Poprawny zapis ma więc postać:

x = {5 ± A}[x],    (1.1.8)

tzn. w nawiasie okrągłym podajemy wartość liczbową wyniku pomiaru rfc oszacowany błąd, za nawiasem podajemy jednostkę miary, w jakiej są wyrażone obie te wielkości, np. v — (36 ± 1) m/s.

Często zmierzoną lub wyznaczoną wartość x wyrażamy jako liczbę e. mnożoną przez 10*, wówczas błąd A należy przedstawić w ten sam sposób

Przyjęto regułę, że błędy pomiarów zaokrąglane są do pierwszej cyfry znaczącej oraz że ostatnia cyfra znacząca w każdym wyniku pomiaru powinna stać na tym samym miejscu dziesiętnym co błąd pomiaru.

1

Odstępstwo od powyższej reguły stosu jemy gdy zaokrąglenie niepewności spowoduje jej wzrost więcej niż o 10%: wtedy błąd pomiaru zaokrąglamy do jdwóch cyfr, np. błąd A —- 2.025 zaokrąglimy nie do 3 ale do 2.1 (w niektó-* ryci) opracowaniach przyjęto zasadę, że gdy pierwsza cyfra niepewności jest I łub 2 to w zapisie błędu podajemy dwie cyfry, por. np. [4]). Tak więc wyznaczoną wartość przyspieszenia ziemskiego g zapiszemy g — (981.3 ±3.1) cm/s². Gdyby błąd A wynosił np. 3.8542 cm/s² to wyznaczoną wartość g zapisalibyśmy g — (98.1 dr 4) cm/s². Otrzymana z takim błędem wartość g ma, jak łatwo zauważyć, tylko dwie cyfry pewne.

Innym często stosowanym sposobem przedstawiania niepewności pomiarowych jest podanie ich w nawiasach bezpośrednio po wyniku, np. wysokość li — (1260 ± 30) cm zapiszemy jako /?. = 1200(30) cm.