DSC00583

Twierdzenie Oebreu. t+<U relacjo preferencji fc określona na pQi^ ^roPalogUa,e, spójnej i ośrodkowej X Je*t cięgła to wtedy funkcjo cięgła / : X — tł tako. że

V_ry₍x -r >Z r‘ <*-> /(»■) > fl*')-

Uovvó«i. Zatózm!1( >«■ rrldcfa preferencji jesl ciągłe. O/jwoa ia _# odwniMMte Uwmom 9 : AT — X/ ~ jest ciągłe. Pr/etirw* ^ połowiczna liniowo uporządkowana jest przestrzeni.) ośrodkową 1 jako obraz ciągły przestrzeni ośrodkowej i spójnej X. Zatem »i„ _fti stówie twierdzenia Cantom istnieje odwzorowanie ciągłe u: zachowujące porządek:

V_fcł*ox <*=> «(W) >

Kładąc / • u oq. f(x) u((x|) stwierdzamy, że / jest izomorFan^ porządkowym no pewien przedział / C fi    |

Obserwacja. Każdo funkcjo cięgło f : X — R /udaje na pr/cwm topologicznej X cięgłę relację preferencji określoną wzorem.

xtz':<=* /(x) > /(x')    ar,*' € AT.

Po tym stwierdzeniu interesującym zagadnieniem wydoje się pęt nie jakie warunki powinna spełniać przestrzeń topologiczna, aby otruło .wystarczająco dobra* funkcja ciągła / : X — R. Wydoje sif.a twierdzenie udowodnione w 1925 roku przez Pawła S. Urysohno bęłu zadowalającą odpowiedzią. Twierdzenie Urysohno. często występuąr w literaturze pod nazwą lematu Urysohna. Dowodzi się go podobniri* twierdzenia Cantoca.

Pf/estrzerf topologiczną AT. nazywamy przestrzenią normolry. W dla każdej pory zbiorów AC U. gdzie .4 jesl zbiorem domknięty* rf - zbiorem otwartym, istnieje zbiór otwarty V taki. że .4 C V’ C P C* , W dowodzie twierdzenia Urysohna użyjemy tak wyżej slormuloM*? I warunku normalności. Ale w literaturze, na ogół. występuje rdwmmeP I