Ekstrema Funkcji (2)

2

2

x — 1

Zadanie 1. Obliczyć wartości ekstremalne funkcji y(x) =

Rozwiązanie. Funkcja _y(x) =

x — 1

jest różniczko walna, zatem w punktach ekstremalnych

pochodna y' musi równać się zeru. Pochodna funkcji _y(x) =-jest równa

x — 1

/(X) =

d^r -² A    - -²¹    -²

2x • (x — l) — x • 1 x — 2x x(x - 2)

dx

(x-l)²

(x-l)²    (x-l)²

x(x — 2)

Mianownik wyrażenia -- jest zawsze dodatni, z wyjątkiem punktu x = 1, zatem po-

(x —1)

chodna zeruje się w tych punktach, w których zeruje się licznik, tj. w punktach x\ = 0, X2 = 2. Ponadto (badanie monotoniczności):

dla x < 0 pochodna y' jest dodatnia — funkcjay jest rosnąca,

dla 0 < x < 2, x ^ 1 pochodna y' jest ujemna - funkcjay jest malejąca,

dla x > 2 pochodna y' jest dodatnia — funkcja y jest rosnąca,

zatem w punkcie x\ = 0 funkcja y ma maksimum lokalne, a w punkcie X2 = 2 funkcja y ma minimum lokalne.

x²

Ekstrema lokalne funkcji y(x) =-są równe: y_max = y(0) = 0, y_min = y(2) = 4.

x — 1

x² +1 x²-l

Zadanie 2. Obliczyć wartości ekstremalne funkcji y(x) =

Rozwiązanie. Funkcja y(x) =

x” +1 .

1

jest różniczko walna, zatem w punktach ekstremalnych

pochodna y' musi równać się zeru. Pochodna funkcji y{x) -

x²+l

x²-l

jest równa

i / \ d

y(^x)- —

cbc

^x²+0

vx²-ly

2x-(x²-l)-(x²+l)-2x    -4x

(x² -1)²

(x²-l)²'

Mianownik wyrażenia

jest zawsze dodatni, z wyjątkiem punktów x = -1, x = 1,

-4x

(x² -1)²

zatem pochodna zeruje się w tych punktach, w których zeruje się licznik, tj. w punkcie xo = 0. Ponadto (badanie monotoniczności):

dla x < 0 pochodna y jest dodatnia — funkcjay jest rosnąca, dla 0 <x pochodna y jest ujemna — funkcja y jest malejąca,

zatem w punkcie Xo = 0 funkcjay ma maksimum lokalne równe: y_max = y(0) = -1.