IM12

Prawdopodobieństwo :

A - liczba zdarzeń elementarnych sprzyjająca zdarzeniu A Q - liczba wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych

P(A) = l

_    _ Q

A - moc zbioru A, Q - moc zbioru Q

Zdarzenia elementarne:

Pojęciem pierwotnym rachunku prawdopodobieństwa jest pojęcie zdarzenia elementarnego.

Wszystkie zdarzenia elementarne tworzą zbiór zwany zbiorem zdarzeń elementarnych. Zbiór zdarzeń elementarnych oznaczamy Q . Zdarzenie niemożliwe jest to zdarzenie, które nie zachodzi nigdy i oznaczamy je A.

Własności prawdopodobieństwa:

P(0)=O    {prawd zdarzenia    niemożliwego}

P(A')=1-P(A)    {prawd, przeciwne do    A}

P(AuB) =P(A)+P(B)-P(A^B)

{prawd, sumy zdarzeń A iB}

P(AuB) < P(A)+P(B) {gdy A,B <z Q}

P(A) <P(B)    {gdy Ai= B}

P(A) < 1    {gdy A i= G}

Prawdopodobieństwo każdego zdarzenia losowegojest liczbą należącą do przedziału <0;1>

Prawdopodobieństwo warunkowe

P(A\B) =

P(AnB)

P(B)

Prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń:

P(Ar^iB) =P(A/B)*P(B)

Zdarzenia niezależne:

P(Ar^iB) =P(A)*P(B)

Zdarzenia A, B i C nazywamy zdarzeniami niezależnymi jeżeli zdarzenia A i B, A i C, B i C są niezależne i P(A^B^C) =P(A)*P(B)*P(C), czyli gdy:

P(Ari B)=P(A)*P(B)

P(Ari C)=P(A)*P(C)

P(B a C)=P(B)*P(C)

P(AaB a C)=P(A)*P(B)*P(C)

Prawdopodobieństwo całkowite :

P(A) =P(A/B-i)*P(B-i)+P(A/B₂)*P(B₂)+..+P(A/B_n)*P(B_n)

P(Bj/A)

_PfA/Bi)*PfBi)_

P(A/B₁)*P(B₁)+..+P(A/B_nrP(B_n)

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń:

P(AuB) = P(A)+P(B) - P(A^B)

Schemat Bernouliego:

Schematem Bernoulliego nazywamy ciąg doświadczeń niezależnych, w których dane doświadczenie powtarzamy n-razy (n-liczba skończona) i w którym prawdopodobieństwo zdarzenia A (zdarzenie A-wynik doświadczenia) jest stałe, nie zależy od wyników poprzednich.

-    Zajście zdarzenia A nazywamy sukcesem.

-    Zajście zdarzenia A' nazywamy porażką.

-    Prawdopodobieństwo zdarzenia A - sukcesu oznaczamy p.

-    Prawdopodobieństwo zdarzenia A' - porażki oznaczamy q.

Pn (k) = PU * p* *    { □ < k < n}

n ■ ilość prób k ■ ilość sukces

p ■ prawdopodobieństw sukcesu q ■ prawdopodobieństw porażki    p + q = 1

Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego:

Jeżeli (N+1)*p jest liczbą całkowitą to najbardziej prawdopodobne sąwartości:

(N+1 )*p i (N+1 )*p-l

Jeżeli (N+1)*p nie jest liczbą całkowitą to najbardziej prawdopodobną liczbą sukcesów w schemacie N prób Bernoulliego jest największa liczba całkowita Ko i taka, że Ko < (N+1 )*p