img019

WYBRANE PRZYKŁADY ZASTOSOWANIATWIERDZENIA O CAŁKOWANIU PRZEZ PODSTAWIENIE-

Uwaga 2.6

Wzór (2.14) jest szczególnie ważny, gdyż sprowadza on wyznaczenie całki nieoznaczonej funkcji/w przedziale I do wyznaczenia całki nieoznaczonej funkcji (f o <p)ę' w przedziale J.

Uwaga 2.7

Zarówno we wzorze (2.13) jak i we wzorze (2.14) zmienną x można zastąpić każdą inną zmienną (np. zmienną u). Podobnie, w obu wzorach, zmienną t można zastąpić jakąkolwiek inną zmienną (np. zmienną s).

Wybrane przykłady zastosowania twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie

2.15. Niech funkcja rzeczywista / będzie ciągła w przedziale 7 czR (fe C(I)). Wówczas jest ona całkowalna w sensie Newtona w tym przedziale (zobacz twierdzenie 2.2). Jeśli więc

Jf(x)dx=F(x) + C oraz a,b e R, gdzie a * 0, to na mocy wzoru (2.14) otrzymujemy:

I f(ax+b)dx =

t = ax+b = <f>__l(t),x = -(t-b) = (p(t) a

v L « U J,_=<p__l(_t)_=ax+b

= (-f/(0<*)    =-F(ax + b) + C.

'^a    't = <p__l[l) = ax+b ^a

Uważny Czytelnik z pewnością zauważy, iż równość f f(ax+b)dx =—F(ax+b)+C można

też uzasadnić korzystając wyłącznie z definicji 2.1 oraz twierdzenia 2.1, i to przy znacznie słabszych założeniach od tych, które zostały sformułowane wyżej.

Z otrzymanego wyżej wzoru wynika natychmiast, że:

f-7 = — In \ax+b\+C (tablica 1, wzór 2),

' nr 4- h n

J

ax+b a dx

1 1

ax+b)ⁿ « 1-n (ax+6)

\e ^2x*^sdx = —e~^2xtS + C    (tablica 1, wzór 3),

J    9

Y + C dla n * 1 (tablica 1, wzór 1),

J 9/3* + 7dx - — •—yj(3x + 7) (tablica 1, wzór 1),

dx _	*		-	dx
jc + 3x^2	ii-	H)	2 J	\	l^7	:*■#)

rln

j3x-—+j₂-x+3x²

6

+ C (tablica 2, wzór 12).

19