img026

26

2,1,... będzie dowolnym cięgiem fundamentalnym w przestrzeni (A,d). Wówczas cięg 2,1,... jest równie?, fundamentelny w przestrzeni (Z;d), któr© z założenia Jest zupełne. Zetem lim x » gcZ i g jest punktem

n -* OO

skupienie zbioru A. Z domknlętości zbioru A wynika, że gcA, Udowodniliśmy więc, że przestrzeń (A,d) Jest zupełna.

Ze szkoły średniej wiadomo, że Jeśli każdemu elementowi x ze zbioru X został przyporzędkoweny Jednoznacznie (tj, tylko Jeden) element y ® f(x)« Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja {odwzorowanie lub operator) o wartościach w zbiorze Y (działajęca z X w Y). Fakt ten będziemy zapisywać w postaci X-*- y*f(x) lub f:X—*Y.

Definicja 2*4. Operator f:X—»Y, gdzie XCZ,, ^Yc22 ^oraz ^^Zl^,dl.)' (Z₂,d₂) sę przestrzeniami metrycznymi, nazywamy

1)    operatorem zwężajęcym lub kontrakcję w zbiorze ACX, Jeśli istnieje tak a liczba qt(0,l), że dla dowolnych punktów x,y c.A spełniona jest nierówność

d₂(f(x),f(y)) ^q.d₁(x,y)    (2.5)

2)    operatorem cięgłym w punkcie aCX (będziemy wówczas pisać

lim f(x) « f(o)), jeśli x —► a

A V A (d.(>,!Kn=»(i(f(»),fW)<e)    (a.e)

fc>G £>0 x c X *

3)    operatorem cięgłym w zbiorze ACx', Jeśli jest on cięgły w każdym punkcie zbioru A.

Zauważmy, że warunek (2.5) Jest "mocniejszy" niż warunek

Z\ f(x),f(y)} 4 d,(x,y)    (2.7)

x,yeA '

w myśl którego odległość obrazów punktów x i y poprzez odwzorowanie f jest mniejsza od odległości tych punktów. Nierówność (2.5) natomiast oznacza, że stosunek odległości obrazów punktów x i y do odległości tych punktów jast zawsze mniejszy od stałej liczby q mniejszej od jedności.

Zaznaczmy, że operator f spełniajęcy warunek (2.7), w całym zbiorze X, a tym bardziej zwężajęcy w X, jest w tym zbiorze cięgły.

Rzeczywiście, z nierówności (2.7) wynika, że jeśli dla danego £>0 przyjmiemy S • £ , to d₂(f (x) ,f (a)) ^ d₁(x,a)<<J - £ , jeśli d₁(x,a)<.£ (dla dowolnego a eA).