img028

3.1 Miary tendencji centralnej 3.1.1 Średnia, mediana, wartość modalna

Najczęściej używaną miarą tendencji centralnej jest średnia z próby. Oznaczamy ją x i definiujemy jako średnią arytmetyczną wyników próby:

x =

(3.1)

przy czym:

Xj — obserwacja wartości badanej cechy dla /-tego elementu populacji generalnej wybranego do próby, n — ilość wszystkich obserwacji w próbie.

Innym miernikiem tendencji centralnej jest mediana. Jest to wartość obserwacji środkowej, jeżeli wcześniej uporządkowaliśmy wszystkie obserwacje w kolejności np. rosnących wartości. Gdy liczba obserwacji n jest nieparzysta — medianą jest obserwacja o numerze

^ (/i + 1). Jeżeli mamy parzystą liczbę obserwacji to przyjmujemy, że medianą jest średnia dwóch obserwacji środkowych, to znaczy obserwacji o numerze ^ n oraz obserwacji stojącej na miejscu 1.

Często dokonuje się porównań obu miar tendencji centralnej. Zwraca się wówczas uwagę na następujące zagadnienia:

1)    obliczając średnią korzystamy z wyników wszystkich obserwacji, mediana jest zaś pojedynczą obserwacją lub zależy od co najwyżej dwu obserwacji. Dlatego też mediana niesie w sobie mniej informacji o próbie niż średnia.

2)    zmiany wartości obserwacji ekstremalnych nie mają wpływu na wielkość mediany, a wpływają na średnią. Z tego powodu dla silnie asymetrycznych (skośnych — por. rys. 2.1) rozkładów obserwacji mediana jest lepszym miernikiem tendencji centralnej, gdyż lepiej odzwierciedla typowe wartości obserwacji,

3)    mediana w niewielkim stopniu nadaje się do przekształceń i obliczeń matematycznych, nic jest więc zbyt często wykorzystywana w zaawansowanych metodach statystycznych. Kolejną miarą tendencji centralnej jest wartość modalna (dominanta, moda). Określa

się ją jako wartość tej (tych) obserwacji, która występuje najczęściej w danej próbie. Miernik ten charakteryzuje się dużą zmiennością w próbach o niewielkiej liczbie obserwacji. Jest on rzadko używany w analizie statystycznej.

28