img043

Wykład 4

Umowa. Zarówno w tym, jak 1 we wszystkich następnych wykładach przyjmujemy, że w zbiorze Rⁿ (n>l) została wprowadzona metryka orze-strzeni euklideeowej Eⁿ chyba, że wyreźnle zaznaczyliśmy, że mamy do czynienia z innę odległości*.

Funkcje ciqgłe, przestrzenie prezwarte i kompakty

Niech (Z,d) będzie przestrzeni* metrycznę, f zaś funkcję rzeczywisty określeń* w zbiorze Z. Zgodnie z definicję podań* na stronie 26 , funkcja f:Z—♦ R Jest cięgła w punkcie 8e Z, jeśli

A V A d(x,S)<£=^lf (x) - f (x) I < £

£>0    £(£)>0 x C Z

Podobnie jak w szkole średniej, można podać inne określenie, równoważne powyższemu: funkcja ftZ— R Jest cięgła w punkcie 8cZ, jeśli dla każdego cięgu    elementów zbioru Z takiego, że ^ltm^ » 8 (w

sensie metryki d) mamy lim f(x) - f(x) eeneie metryki przestrzeni 1-    m — cc

e^ł).

Tak jak poprzednio, funkcja rzeczywista cięgła w każdym punkcie zbioru AcZ Jest nazywana funkcję cięgłę w zbiorze A, Przykłady

1.    W przestrzeni metrycznej (Z,d), odległość od ustalonego punktu zbioru Z jest funkcję rzeczywiatę, która jest cięgła w całym zbiorze Z (zob. ćwiczenie 2.2).

2.    Elementarny®, ale ważnym przykładem funkcji rzeczywistej, która Jest cięgła w zbiorze Rⁿ Jest odwzorowanie