img083

83

Rzeczywiście, Jeśli o>(t) » (t-t_Q)(t-t^)    ...    to wielomiany

s<('>

(^t-^to^)(t“^tl⁾ •••(*“*k-l^

^^tk"^to^} ^k"¹!^ •••l^tk"*k-l^^tk“^tk«H> •*^#(tk“^tm^]

_n    o>(t)

(t-t_k). <o'(t_k)

maję tę własność, że L_k(t_a) lomian

(k ■ 0,1,...,m)

&_kft (zobacz wzór (7,4)). Zstem wie-

P.(t)

E'<

k-0

E ^f(v

k-0

TT

U)

tn

(V

spełnia warunki l₀(f) - ^(P*) . l_t(0 -    ^f) “ ^lm^^Pm^}

Tak więc wzór interpolacyjny Lagrange^a na postać

f(tj

f(t) * P_m(t)

k«0

Reszta we wzorach interpolacyjnych

Oeśli element i£I interpoluje funkcję f e Z względem układu funkcjonałów l_o,1^,...,l_m# to resztę wzoru interpolacyjnego nazywamy funkcję Tf, tekę ze

f(x) - i(x) « r_f(x)

dla wszystkich x należęcych do zbioru, w którym sę określone funkcje f oraz i.

Aby wyznaczyć resztę we wzorze interpolacyjnym Taylora załóżmy, że funkcja f£Z «a pochodne rzędu m-ł-l w przedziale <a,b>    , tzn.

UC*⁺¹(<a,b>) oraz t_Qe<a,b>, te<a,b> i t ^ t_Q, Wówczas różnicę f(t) - W_a(t) (zobacz (7.8)) nożowy przedstawić w postaci

f(t) - *_m(t) - (t-t₀)^B^^a h(t)

ponieważ sę spełnione równości #^^(t₀) ■    (t₀) dla k » 0,1,•••,«.

Aby wyznaczyć funkcję h przyjmijmy dle ustalenia uwagi, że t_Q<.t i rozpatrzmy funkcję g określonę wzorem