83
Rzeczywiście, Jeśli o>(t) » (t-tQ)(t-t^) ... to wielomiany
s<('>
(t-to)(t“tl) •••(*“*k-l^
^tk"to} ^k"1!^ •••ltk"*k-l^tk“tk«H> •*#(tk“tm]
n o>(t)
(t-tk). <o'(tk)
maję tę własność, że Lk(ta) lomian
(k ■ 0,1,...,m)
&kft (zobacz wzór (7,4)). Zstem wie-
P.(t)
TT
U)
tn
spełnia warunki l0(f) - ^(P*) . lt(0 - f) “ lm^Pm}
Tak więc wzór interpolacyjny Lagrange^a na postać
f(tj
f(t) * Pm(t)
k«0
Oeśli element i£I interpoluje funkcję f e Z względem układu funkcjonałów lo,1^,...,lm# to resztę wzoru interpolacyjnego nazywamy funkcję Tf, tekę ze
f(x) - i(x) « rf(x)
dla wszystkich x należęcych do zbioru, w którym sę określone funkcje f oraz i.
Aby wyznaczyć resztę we wzorze interpolacyjnym Taylora załóżmy, że funkcja f£Z «a pochodne rzędu m-ł-l w przedziale <a,b> , tzn.
UC*+1(<a,b>) oraz tQe<a,b>, te<a,b> i t ^ tQ, Wówczas różnicę f(t) - Wa(t) (zobacz (7.8)) nożowy przedstawić w postaci
f(t) - *m(t) - (t-t0)B^a h(t)
ponieważ sę spełnione równości #^^(t0) ■ (t0) dla k » 0,1,•••,«.
Aby wyznaczyć funkcję h przyjmijmy dle ustalenia uwagi, że tQ<.t i rozpatrzmy funkcję g określonę wzorem