l121

liczby naturalne

pierścień względem działań dodawania i mnożenia. W arytmetyce teoretycznej występują dwie definicje 1. c.: definicja Grassmanna (za pomocą par liczb naturalnych) i definicja aksjomatyczna (wzorowana na definicji Peano liczb naturalnych).

W. SIERPIŃSKI Wstęp do teorii liczb. Warszawa 1987.

definicja Grassmanna liczb całkowitych. W

zbiorze par (m, n) liczb naturalnych określa się relację: dwie pary (m, n) i (m', n') uważa się za równoważne, jeżeli spełniają warunek m+ri = = w+m\ Relacja ta jest równoważnością, a zatem dzieli zbiór wszystkich par na rozłączne klasy; każdą z tych klas nazywa się liczbą całkowitą. Klasę, do której należy para (m, «), oznacza się symbolem m—n.

definicja aksjomatyczna liczb całkowitych.

Czwórkę (C, 0,'), gdzie C jest pewnym zbiorem, 0 — pewnym elementem zbioru C, a ' i ' — funkcjami z C do C (pierwsza z nich nosi nazwę następnika, a druga — poprzednika), nazywa się arytmetyką liczb całkowitych, jeżeli są spełnione następujące warunki: 1) funkcje ' i' są różno-wartościowe oraz wzajemnie odwrotne, tzn.: la) ri = m' =>n = m, 1 b) ri = m' => n = m, lc) (ri)' = = (n')' = n; 2) jeżeli do podzbioru B zbioru C należy 0 i wraz z elementem n należą do niego elementy ri i ri, to B— C (zasada indukcji dwustronnej). W arytmetyce liczb całkowitych określa się dodawanie i mnożenie w następujący sposób: n-f0=«, (rt+m)'= n+m i n 0=0, n m' = nm+n. Równanie n+x = m dla każdej pary liczb całkowitych ma rozwiązanie: gdy n = 0, to x = m; jeżeli x jest rozwiązaniem równania n+x=m, to rozwiązaniem równania n'+x = m jest x\ a rozwiązaniem równania n'+ + x = m jest x\

liczba zero, zero, element neutralny dodawania liczb, tj. taki element x, który dla każdej liczby a spełnia warunek: a+x=a. Używając metod teorii zbiorów, można także określić zero jako liczbę elementów zbioru pustego. Zero pojawiło się w matematyce stosunkowo późno, prawdopodobnie w VII lub VIII w., gdy Hindusi wprowadzili pozycyjny system zapisu liczb. Przez kilka stuleci używano zera jedynie jako cyfry — znaku zapełniającego puste miejsce w zapisie pozycyjnym. Dopiero w XVI—XVII w. wraz z ukształtowaniem reguł rachunkowych na liczbach i wprowadzeniem oznaczeń literowych na liczby (matematyk franc. F. Vićte), 1. z. stała się liczbą równouprawnioną z innymi liczbami całkowitymi.

liczby względnie pierwsze, dwie liczby całkowite, których największym wspólnym dzielnikiem jest liczba jeden. Dzieląc każdą z danych dwóch liczb przez ich największy wspólny dzielnik, otrzymuje się parę 1. w. p. Licznik i mianownik ułamka nieskracalnego stanowią parę 1. w^r. p.

L. w. p. mają m. in. następujące własności: 1) najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch 1. w. p. równa jest ich iloczynowi; 2) jeżeli liczba ń jest 1. w. p. względem każdej z liczb a,, a₂,..., a„ to jest też 1. w. p. względem ich iloczynu -a₂ 3) jeśli m, n są 1. w. p., to istnieją liczby całkowite k, /, dla których km + ln = 1.

liczby parzyste, liczby całkowite podzielnc przez 2, a więc liczby postaci 2k, gdzie k jest liczbą całkowitą. Suma, różnica i iloczyn 1. p. są

1. p.

liczby nieparzyste, liczby całkowite niepodzielne przez 2; 1. n. są liczbami postaci 2k+1, gdzie k jest liczbą całkowitą. Suma dwóch 1. n. jest liczbą parzystą, iloczyn 1. n. jest 1. n.

liczłn dodatnie, liczby większe od zera. W zbiorze 1. d. wykonalne są działania dodawania, mnożenia, dzielenia, a więc suma, iloczyn i iloraz 1. d. są 1. d.

liczby dziesiętne, liczby wymierne, które można przedstawić za pomocą ułamków o mianownikach będących naturalnymi potęgami 10, czyli w postaci ułamków dziesiętnych, w których występuje skończona liczba cyfr. L. dz. tworzą pierścień zawarty w ciele liczb wymiernych.

liczby naturalne, liczby 1, 2, 3, ... Zbiór 1. n. oznacza się symbolem /V. Do końca XIX w. pojęcie 1. n. zaliczano do pojęć pierwotnych, nie wymagających określenia. Znane powiedzenie matematyka niem. L. Kroneckera (XIX w.), że „liczby naturalne stworzył dobry Bóg, wszystko inne jest dziełem człowieka” przypisywało I. n. wyjątkową pozycję w matematyce. Faktycznie polega ona na tym, że 1. n. mają bezpośredni związek z praktyczną czynnością człowieka, z liczeniem. Nawet dodawanie i mnożenie 1. n. pojawiło się w rezultacie ułatwiania procesu liczenia (rozbijanie dużych zbiorów na mniejsze, układanie elementów zbioru w prostokąt). Pytanie: „Czy 0 jest liczbą naturalną?” jest przedmiotem dyskusji; dla jednych 0 nie jest 1. n. (przez dłuższy czas odgrywało ono rolę cyfry i dopiero w XVI—XVII w. zostało również uznane za liczbę), dla innych jest 1. n., gdyż odpowiada na pytanie: „Ile jest elementów w zbiorze pustym?” W związku z tym można spotkać w literaturze matematycznej definicję 1. n., która zalicza 0 do 1. n. Znacznie trudniejsze są pytania dotyczące wszystkich 1. n.; jaka np. jest gwarancja, że pewien wzór (pewne twierdzenie), w którym występuje 1. n. n, sprawdzony dla kilku 1. n., jest prawdziwy dla wszystkich 1. n. (np. n prostych dzieli płaszczyznę co najwyżej na -+ i

części). Pierwszą próbę zdefiniowania zbioru /V podjął w 1891 matematyk wł. G. Peano. Definicja * Peano L n. ma postać aksjomatyczną. Przy-

?

?

TO BEGIN MAKE "« 0 END

?

TO NO

MAKE -i X* ♦ 1 ( TYPE x_E CHAR *2 ł NO END

?

I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2 5 26 27 28 29 30 31 32 33 34 33 36 37 38 39 40 41 42 43 44 43 46 47 48 49 50 51 52 33 54 33 56 3 7 38 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 73 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 8 9 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 113 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 132 153 154 155 156 157 158 139 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 173 176 177 178 179 180 181 182 183 184 183 186 187 188 189 190 191 192 193 194 193 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 233 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 231 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 263 266 267 268 269 270 271 272 273 274 273 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 293 296 297 298 299 300 301 302 303 304 303 306 307 308 309 310 311 312 313 314 313 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 333 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 «62 363 364 365 366 367 368 369 370 371

Program w języku programowania LOGO generujący liczby naturalne; program kończy się słowami NO END.

•Peano Giuseppe fp. dżiuzeppe], ur. 1858. zm. 1932, wł. matematyk i logik; podał aksjomalykę arytmetyki liczb naturalnych, udowodnił twierdzenie o istnieniu rozwiązań równań różniczkowych, podał przykład krzywej wypełniającej kwadrat.